13.1三角形的邊角關(guān)系

（三角形中角的關(guān)系）

A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題

題型一證明三角形內(nèi)角和

1.（23-24八年級(jí)上?廣東佛山?期天）在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于180。〃時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了

如圖四種輔助線(xiàn),其中不能證明"三角形的內(nèi)角和等于180?！钡氖牵ǎ?/p>

A.如圖①，過(guò)點(diǎn)C作所〃

B.如圖②，延長(zhǎng)AC到尸，過(guò)點(diǎn)C作

C.如圖③，過(guò)A8上一點(diǎn)。作。足〃4C,DF//AC

D.如圖④，過(guò)點(diǎn)。作。石〃8c

2.（24-25七年級(jí)"山東泰安?期口）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180?！〞r(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如

下四種輔助線(xiàn)，其中不能證明"三角形內(nèi)角和是18（）。〃的是（）

A.如圖①所示，過(guò)三角形一邊上點(diǎn)。作EO〃CB,DF//AC

B.如圖②所示，過(guò)三角形內(nèi)部一點(diǎn)。作。拉〃BC,Sr〃AC,MN〃A8

C.如圖③所示，過(guò)點(diǎn)。作CD_LA8于點(diǎn)。

D.如圖④所示，過(guò)三角形外部一點(diǎn)尸作QR〃AC,ST〃4cM

3.[24-25七年級(jí)下?福建漳州?階段練習(xí)）學(xué)習(xí)了“平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定〃后，聰明的小穎同學(xué)只撕卜三角形的

一個(gè)角來(lái)拼到另一個(gè)角的頂點(diǎn)處便可說(shuō)明三角形的內(nèi)角和等于180。.請(qǐng)閱讀小穎的操作和說(shuō)理過(guò)程，并完

所以40〃（依據(jù)：）.

所以，ND4C+=180°（依據(jù)：）.

即Z1++=180°.

所以，三角形的內(nèi)角和等于180。

題型二由三角形內(nèi)角和直接求角度

4.12025?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形A4c。中，對(duì)角線(xiàn)AC、8。相交于點(diǎn)O,ZAOD=a,則/08C

的度數(shù)是（）

45。+。C.—ctD.180。一%

24

5.（2025?云南楚雄?二模）如圖，在正五邊形A8CQE中，連接AC.則NAC3的度數(shù)是（）

A.36°B.32°C.30°D.26°

6.（24-25七年級(jí)匕安徽淮北?開(kāi)學(xué)考試）如圖：ZA+N8+NC+NO+NE+N尸等于度.

7.（24-25八年級(jí)上?安徽安慶?期口）在VA3C中，已知N4=1O5。，ZB-ZC=25°,則N8=

8.（24-25八年級(jí)上?安徽六安?期口）求出下列圖形中/的值.

（1）（2）

題型三由三角形內(nèi)角和判斷三角形形狀

9.（24-25八年級(jí)上?安徽安慶?期1）在VA8C中，ZA=2Zfi=Z.C,那么VA8c是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形

10.（24-25八年級(jí)上?安徽安慶?期中）在V/1BC中，2NA=2NB=NC,則VAAC是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形

11.（23-24七年級(jí)下嘿龍江哈爾濱,期中）具備下列條件的VABC中，不是直角三角形的是（）

A.ZA+NB=NCB.ZA:NB:NC=1:2:3

C.ZA-ZB=90°D.4=

12.（22-23八年級(jí)上?安徽亳州?期末）當(dāng)V/WC滿(mǎn)足條件（）時(shí)，是直角三角形.

A.ZA=ZB=ZCB.ZA+NB=NC

C.ZA=ZB=40°D.ZA=-ZB=-ZC

35

題型四求三角形外角的度數(shù)

13.（24-25八年級(jí)上?安徽合肥?期末）等腰三角形的一個(gè)外角是80。，則頂角是（）

A.20°B.80°C.100?；?0。D.100°

14.（24-25八年級(jí)上?安徽安慶?期中）一個(gè)三角形中，三個(gè)內(nèi)角的比為1:3:5,則該三角形最大的外角為（）

A.1（X）°B.120°C.16（）°D.165°

15.（21-22八年級(jí)上安徽馬鞍山?期末）已知一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角為102。，則這個(gè)等腰三角形的底角

為?

題型五由三角形的外角性質(zhì)求角度

16.（24-25八年級(jí)上?安徽合肥?期末）如圖，在△AOC中，AB=BD=CD,若N/WXH05。，則NA的度數(shù)

17.（24-25八年級(jí)上?安徽六安?期中）如圖，在VA8C中，44=30。，48=68。，則的度數(shù)是

18.（24-25八年級(jí)上?安徽蕪湖?期中）如圖，在VA3C41,沿虛線(xiàn)剪去NC,若Nl+N2=240°,則NC的度

數(shù)為.

19.（22-23八年級(jí)上?安徽淮北?期末）如圖，ZA=35°,ZB=45°,ZD=25°,則N8CO的度數(shù)為

D

AG

題型六三角形的內(nèi)角和定理/外角性質(zhì)的應(yīng)用

20.（24-25八年級(jí)上?安徽宿州?期末）如圖，VA8c缺了一個(gè)角NC,若4=76。，N8=20。，則NC的度

數(shù)是（）

A.96°B.86°C.84°D.66°

21.（24-25八年級(jí)上?安徽合肥?期中）在下列條件中：@ZA+ZC=ZB：②NA:N8:NC=2:3:5；③

4=90。—/B；④N4=N8=：NC中，能確定VA8C是直角三角形的條件有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

22.（24-25八年級(jí)上?安徽合肥?期中）如圖，在中，8是。。邊上一點(diǎn)，2N1=N2,N3=4N4,

ZDAC=110°,求N1和NDA8的度數(shù).

23.（24-25八年級(jí)上?河南信陽(yáng)?期中）小明同學(xué)在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)后，對(duì)其作了進(jìn)一步

的探究：在一個(gè)支架的橫桿的點(diǎn)0處用一根細(xì)繩懸掛一個(gè)小球A,小球A可以自由擺動(dòng)，如圖，。人表示小

球靜止時(shí)的位置.當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時(shí)，小球從OA擺到03位置，此時(shí)過(guò)點(diǎn)“作于點(diǎn)。，

當(dāng)小球擺到OC位置時(shí)，03與OC恰好垂直（圖中的A、B、0、C在同一平面上），過(guò)點(diǎn)C作C￡_L04于點(diǎn)

E，測(cè)得BD=8cm?OD=17cm.

A

⑴求證：NCO￡=N8；

（2）求。石的長(zhǎng).

24.（2024七年級(jí)上?安徽?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，A,8兩處是我國(guó)在南海上的兩個(gè)觀測(cè)站，從A史發(fā)現(xiàn)它的北

偏西。方向有一艘輪船，同時(shí)，從處發(fā)現(xiàn)這艘輪船在它的北偏西。方向.

X30X360

AB

⑴試在圖中確定這艇輪船的位置c處.（保留畫(huà)圖痕跡）

⑵求NAC8度數(shù).

能力提升題

題型一三角形內(nèi)角和（或外角性質(zhì)）與平行線(xiàn)的綜合運(yùn)用

1.（2025?安徽合肥?一模）某物體靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力6

的方向與斜面垂直，摩擦力人的方向與斜面平行.若斜面的坡角。=31.5。，則摩擦力尸2與重力G方向的夾

角廠的度數(shù)為（）

2.（2025?安徽六安?一模）如圖，將一直角三角形放于一對(duì)平行線(xiàn)上，若Nl=62。，則N2=（）

A.142°B.148°C.152°D.158°

根據(jù)題意可知4〃力,

3.（2025?河南周口?一模）如圖，一束太陽(yáng)光線(xiàn)平行照射在放置于地面的正六邊形上，若Nl=42。，則N2的

C.18°D.15°

4.（2025?安徽蚌埠?三模）圖1是某折疊椅的側(cè)面圖，圖2是該折疊椅抽象成的幾何圖形，椅面。E與地面

平行,々=50°,ZBCD=105°,則椅子靠背與椅面夾角/ED/的度數(shù)為（）

圖1

A.130°B.125°C.115°D.105°

5.（23-24八年級(jí)上?四川達(dá)州?期末）平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)有相交和平行兩種位置關(guān)系.

⑴如圖1,若:A&7CD,點(diǎn)P在48、CD內(nèi)部，N4=50,NQ=30。，求NBPD；

⑵如圖2,將點(diǎn)尸移到A3、CO外部，則NWYXNB、NO之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)淪.

題型二三角形內(nèi)角和（或外角性質(zhì)）與角平分線(xiàn)的綜合運(yùn)用

1.（24-25八年級(jí)下?安徽蚌埠?階段練習(xí)）如圖，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為2,連接AC,BD,CE平分乙4co

交.BD于點(diǎn)、E,則的長(zhǎng)為（）

B.2C.2&D.4

2.（2025?湖南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在五邊形ABCOE中，AB\\DE,AO,EO分別平分NE4B和則ZAOE

的度數(shù)為（）

C.80°D.100°

3.124-25八年級(jí)上?安徽蚌埠?期末）如圖，在VAAC中，ADJ.BC,AE平分2B4C,若N1=35。,N2=25。,

則N7?的度數(shù)為（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

4.（24-25八年級(jí)上?安徽安慶?期中）如圖，A4和CO相交于點(diǎn)。，ZC=ZCOA,NBDC=/BOD,AP,

。戶(hù)分別平分NC1。和NBDC,若NC+/P+/8=144。，則NC=

5（24-25八年級(jí)上?安徽淮北?期中）（1）問(wèn)題引入：如圖①，在VABC中，。是/A8C和N4C8的平分線(xiàn)

的交點(diǎn)，若4=70。，則N3OC=；如圖②，NCBO=；NABC,NBCO=；NACB,ZA=a,則

JJ

ZBOC=（用含。的式子表示）

ZA=a,請(qǐng)猜想N8OC=（用含。的式子

表示），并說(shuō)明理由.

圖③

⑶類(lèi)比研究：BO,CO分別是VABC的外角NO8C,NEC8的”等分線(xiàn)，它們交于點(diǎn)O,/C8O=，NO8C,

n

NBCO'/ECB,ZA=a,請(qǐng)猜想NBOC=.

n

題型三三角形內(nèi)角和（或外角性質(zhì)）與翻折的綜合運(yùn)用

1.（24-25八年級(jí).匕安徽合肥?期口）如圖，在V4BC中，AB=AC,ZBAC=120°,點(diǎn)。是8。上的一點(diǎn),

將△A3。沿AO翻折得到△AED,邊AE交BC于點(diǎn)F,箱DE!/AC,則NAD8的度數(shù)為（）

2.（24-25八年級(jí)上?安徽淮北?期末）如圖，在VA8C中，4=35。,將VA8C沿直線(xiàn)加翻折，點(diǎn)8落在點(diǎn)。

的位置，則Nl-N2的度數(shù)是（）

A

E

1

BN-「7ZC

A.55°B.65°C.70°D.75°

3.（2022?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在VA3c中，NA3c的平分線(xiàn)8廠與—AC4的平分線(xiàn)C廠交于點(diǎn)尸.若將

V4BC沿。月翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)廠重合，則（）

A.ZA=Z1+Z2B.Z3=90°+^(zl+Z2)

C.ZA=180°-(Zl+Z2)D.Z3=90°+-j(Zl+Z2)

4.123-24八年級(jí)上?安徽亳州?期中)如圖，7ABC,AB=BC,點(diǎn)。、E分別為A3、8。上的兩點(diǎn)，將△8DE

沿DE翻折得到△*QE，交AC于點(diǎn)F,若Nl+N2=64。，AD=AFf則N2=.

5.（24-25七年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè)）把三角形紙片ABC沿。￡折疊.

BB

①②

⑴如圖①，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形8CDE內(nèi)部時(shí)，NA,Zl,N2有怎樣的等量關(guān)系？寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式，并證

明你的結(jié)論.

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形3CD￡外部時(shí)，NA,N1,N2有怎樣的等量關(guān)系？寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式，并證

明你的結(jié)論.

題型四三角形內(nèi)角和與三角板的綜合運(yùn)用

1.（2025?山東莉澤?一模）一副三角板按如圖方式擺放,NA=N5=45。,ZC=60°,ZD=30°,若

則/I的度數(shù)為（）

2.（2025?安徽宿州?三模）如圖，直線(xiàn)把一塊含30。角的直角三角板A8C按如圖所示的方式放置,

點(diǎn)A在乙上，點(diǎn)5,。在4上，BD=BC,若Nl=72。，則N2的度數(shù)為（）

3.（24-25七年級(jí)下?安徽阜陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)A重合，其中ZCAB=ZDAE=90°,

4=60。，ZC=30°,ZD=ZE=45°,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.若N2=NC,則AQ〃C4B.Z2+ZG4D=180°

C.若。E||AC,則N2=45。D.若NCAO=I20。，貝ijN4=ND

4.（23-24八年級(jí)上?江西吉安?期末）如圖，將一個(gè)直角三角板。所放置在銳角三角形A8C上，使得該三角

板的兩條直角邊力廠恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,。，若NA=5O°,貝IJ/AAO+NACO=

.1

5.（22-23八年級(jí)下?安徽宿州?期口）小明善于用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，從中找到數(shù)學(xué)研究的樂(lè)趣.他用一

副三角板拼成了如下兩幅圖.

⑴圖1中，NFAA的度數(shù)是.

（2）①求圖1中/防C的度數(shù)；

②圖2中，AE//BC,求NE"的度數(shù).

題型五由三角形內(nèi)角和定理（或外角性質(zhì)）探究角度之間的關(guān)系

1.（23-24七年級(jí)下?安徽蕪湖?期口）已知A8〃CO,請(qǐng)完成以下問(wèn)題:

圖1圖2

⑴如圖1,Zl、N2、N3、N4、N5的度數(shù)之間的等量關(guān)系是.

⑵如圖2,NEFA=30°,NFGH=90。,4HMN=30°,4CNP=50°,則NGHM=

2.（15-16八年級(jí)上?安徽蚌埠?期口）如圖①，已知線(xiàn)段A8、C。相交于點(diǎn)。，連接AO、CB,我們把這

圖①圖②

⑴在圖①中寫(xiě)出/A、/B、/C、NO之間的等量關(guān)系為.

(2)如圖②，NDAB和NBC。的平分線(xiàn)AP和C尸相交于點(diǎn)P,并與C。、AB分別交于點(diǎn)M、N.

①若NO=40。，NB=36。，求NP的度數(shù)；

②探究-P與一。、之間有何等量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

3.(21-22八年級(jí)上?安徽合肥?期口)如圖1,在VA4C中，OB、OC是一人BC、/ACB的平分線(xiàn);

⑴填寫(xiě)下面的表格

/A的度數(shù)50°60°

-8OC的度數(shù)130°

(2)試猜想/A與/BOC之間存在一個(gè)怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

⑶如圖2,VAAC的高BE、CD交于。點(diǎn)，試說(shuō)明圖中N4與/8。。的關(guān)系.

題型六與三角形的外角性質(zhì)有關(guān)的規(guī)律探究

1.(24-25八年級(jí)上?河南駐馬店?期末)如圖，在VA4c中，AEitB片分別是內(nèi)角/C43、外角NCBO的

三等分線(xiàn)，且=,HBD=±/CBD，在“6月中，AE?,BE?分別是內(nèi)角/耳46,外角NEQD

的三等分線(xiàn).且/月八。=；/448,“即=》即，…,以此規(guī)律作下去.若NC=W.則/E“=()

度.

11

A.—mB.----rUIC.----rfUD.-m

3”3"T3"討3

2.(24-25八年級(jí)上?山東德州?期中)如圖，已知ZAQ8=a，在射線(xiàn)。4、。8上分別取點(diǎn)。凡=。4,連接人的，

在BA、8用上分別取點(diǎn)&、&,使用生=B內(nèi),連接右與按此規(guī)律，記N&B出2=8\,NA冉&=02,

NAEB/N=4，則%的值為

A

4

。BiB2ByB、B

3.（23-24八年級(jí)上?安徽蕪湖?期中）如圖，在四邊形/WC曾中，的平分線(xiàn)與外角NOCE的平分線(xiàn)交

于點(diǎn)尸，愛(ài)動(dòng)腦筋的小明在寫(xiě)作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

900°

①若NA+ND=200。，WJZP=10°=—--90°；

220°

②若乙4+/。=220°,則NP=200=；--90°；

240°

③若ZA+O=240。，WJZP=30°=—-90°.

2

⑴根據(jù)上述規(guī)律，若4+/。=260。.則NP=

⑵猜想：NP,乙4,的數(shù)量關(guān)系，并證明.

C拓展培優(yōu)題.

1.（24-25七年級(jí)下?安徽?期中）【問(wèn)題提出】小穎同學(xué)在學(xué)習(xí)中自主探究以下問(wèn)題，請(qǐng)你解答她提出的問(wèn)題:

圖1-1圖1-2圖1-3

⑴如圖1所示，已知44〃C。，點(diǎn)￡為AB,C。之間一點(diǎn)，連接班;，DE,得到N8EO.請(qǐng)猜想N3EQ與

N8之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）【類(lèi)比遷移】如圖2所示，已知A8〃CD,點(diǎn)E為ABCD之間一點(diǎn)，NA砥和NCQ&的平分線(xiàn)相交于

點(diǎn)/，若/BED=7（f,求N8ED的度數(shù)；

（3）【變式挑戰(zhàn)】小穎結(jié)合角平分線(xiàn)的知識(shí)將問(wèn)題進(jìn)行深入探究，如圖3所示，已知：AB//CD,點(diǎn)E的位

置移到A8上方,點(diǎn)尸在所延長(zhǎng)線(xiàn)上，且3G平分ZAB尸與NCDE的平分線(xiàn)DG相交于點(diǎn)G,請(qǐng)直接寫(xiě)出ZG

與之間的數(shù)量關(guān)系.

2.（24-25八年級(jí)上?安徽合肥?期中）如圖，點(diǎn)石，尸分別在V4BC邊人8和AC上，連接￡7、將VABC沿著

直線(xiàn)所折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)4重合，連接48,AfC,48平分/ABC,4C平分/AC3.

.1

⑴若乙4=50。，求N8AC的度數(shù)：

r

（2）若NA，￡B+NA/C=x。，ZBAC=y°f求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.

3.（24-25八年級(jí)上?安徽池州?階段練習(xí)）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3