專題04雙曲線

（3知識&12題型&3易錯）

知識圖譜

定義

雙曲線的定義雙曲線的集合表示

/對雙曲謝義第理解

雙雌的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點在X、海上的方程

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

雙曲線一雙畦謝簡單幾何性質(zhì)：范圍、對稱性頂點、軸、離心＜漸i隙

亙線與雙曲線的位置關(guān)系

直線與雙曲線的位置關(guān)系班與雙曲線做級長公式

雙雌的中點空問題

知識清單

【清單01】雙曲線的定義

1、定義：在平面內(nèi)與兩個定點耳、G的距離之差的絕對值等于非零常數(shù)（小于歸入|）的點的軌跡叫做雙

曲線.兩個定點片、鳥稱為焦點；兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距，表示為比￡|.

2、雙曲線的集合表示：P=6HM胃=2&0＜2”忻用.

3、對雙曲線定義的理解

（1）若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)。滿足約束條件：

|P4|-|尸眉二為＜|百瑪I（。＞0）,則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點死的一支:

若歸聞一|尸耳1=2”低￡j（a＞0）,則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點6的一支;

（2）若常數(shù)〃滿足約束條件：忖小一「周|=2a=|耳閭,

則動點軌跡是以Fl、F2為端點的兩條射線（包括端點）：

（3）若常數(shù)a滿足約束條件：忸￡|-上瑪卜24＞忻用，則動點軌跡不存在;

（4）若常數(shù)。=0,則動點軌跡為線段FF2的垂直平分線.

【清單02】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1/39

焦點位置焦點在X軸焦點在y軸

圖形7TT19

標(biāo)準(zhǔn)方程：2：2一1（。＞0乃＞0）；2y-1(。>。力>0)

焦點坐標(biāo)4(—0)、B(c，o)F、（0,-c）、於。）

4,6,C的關(guān)系C2=川+/

2、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

X2V2y2-x2=\(a>0,Z?0)

標(biāo)準(zhǔn)方程一y=1(心0,b>0)

a2b-a-b-

*

y

圖形

范圍爛一?；騲＞a,y￡Ry<—a或y>a,x￡R

對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸：對稱中心:原點

頂點A\(—a,0),Ai(a,0)4(0,—a),力2(0，a)

實軸：線段小小，長：2出虛軸：線段以&,長：2b,

性質(zhì)軸

半實軸長：出半虛軸長：b

C

離心率

e=a￡(l,+x>)

y=^x,a

漸近線y=±x

ab

【清單03】直線與雙曲線的位置關(guān)系

1、直線與雙曲線的位置關(guān)系

將雙曲線方程1-與=1與直線方程/：y=h+b聯(lián)立消去y得到關(guān)于X的一元二次方程

a~b~

（/一（2〃2卜2-2a'mkx-a'nr-a2b2=0,

2/39

（1）當(dāng)力一d六=0,即￡=±+直線/與雙曲線的漸近線平行，直線/與雙曲線只有一個交點；

（2）當(dāng)b2-a2k2H0,即狂±2設(shè)該一元二次方程的判別式為/,

a

若△＞（）,直線與雙曲線相交，有兩個公共點；

若A=0,直線與雙曲線相切，有一個公共點；

若4＜0,直線與雙曲線相離，沒有公共點；

【注意】宜線與雙曲線有一個公共點時，直線不一定與雙曲線相切，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直

線與雙曲線相交，只有一個交點.

2、弦長公式：若直線/：尸質(zhì)與雙曲線*-￡=1（。＞0,。＞0）交于力（西,必），8（5,為）兩點，

則=J1+公|演或=J1+（|必一%|（A-^0）.

3、中點弦問題

與橢圓的解題策略?樣,既可以聯(lián)立直線與雙曲線的方程,利用??元二次方程根與.系數(shù)的關(guān)系求解.也可

以用點差法建立斜率與中點坐標(biāo)的等式關(guān)系求解.

期中?？碱}型清單

【題型一雙曲線的定義及辨析】

!記!

!eoGo

i緊扣定義的"兩個關(guān)鍵點"一距離差的絕對值和2。與焦距的大小關(guān)系，解題思路可分為“定定義一判條j

II

!件一用性質(zhì)”三步.

［第一步：明確雙曲線的定義，尤其是兩個關(guān)鍵點，這是解題的基準(zhǔn)線：

??

j第二步：分析題干條件，先提取關(guān)鍵信息，對照定義逐一判斷，排除不符合定義的情況；

i第三步：結(jié)合定義解決典型問題.

IL—------------------.—.—--.—--------------------------.—-----I

【例1】（25-26高二L河南南陽?月考）己知雙曲線C:二-二二1的兩個焦點分別為G，5，雙曲線C_L

421

有一點尸，若|尸耳|=6,則歸周=（）

A.2B.10C.2或9D.2或10

【答案】B

【解析】?"2=4,62=21?/.?=25?/.c=5,

由忸用一|尸用卜2a=4,由-=6得|P用=2或10,

3/39

又?.?歸用2c-a=5-2=3,所以I尸閭=10.故選:B.

【變式1-1]（24-25高二上?云南麗江?月考）如圖，過雙曲線xL《=l的左焦點/引圓./+爐=1的切線,

切點為7,延長歹丁交雙曲線右支于尸點，若M為線段儀的中點，。為坐標(biāo)原點，則|"0卜|切7|=（）

34-

【答案】D

【解析】依題意，雙曲線產(chǎn)-!甘實半軸長4=1,虛半軸長力=3,令半焦距為C,

設(shè)片是雙曲線的右焦點，連接防。兀。河，

由憶。分別為產(chǎn)P,歷的中點，得|MO|二g|P￡|,由雙曲線定義，得歸日-|尸用=2%

由FP切圓x2+y2=\于點T,得產(chǎn)=\l\OFf-|OT|2=>Jc2-a2=b,

所以阿0|—阿7'|=/可卜（|“/卜|口|）=3（|尸制—|尸尸|）-|b|=力—4=2.故選：D

【變式1-2]（24-25高二上?新疆?月考）動點尸到點加（-1,0）,陽1,0）的距離之差等于2,則動點尸的軌跡是

（）

A.雙曲線B.雙曲線的一支

C.兩條射線D.一條射線

【答案】D

【解析】由題意可知|PM|-|PM=2,|MN|=2,

4/39

故動點尸的軌跡是以N為端點，以x軸正方向的一條射線，故選：D

【變式1-3］（24-25高二上?寧夏期末）（多選）在平面直角坐標(biāo)系X。歹中，已知點/（-2,0）,3（2,0）,p

是一個動點，則（）

A.若|P/|+|P8|=6,則點尸的軌跡為橢圓

B.若|尸力卜08|=2,則點2的軌跡為雙曲線

C.若國+而卜國-詞，則點P的軌跡為直線

D.若網(wǎng)-1網(wǎng)=4,則點P的軌跡為兩條射線

【答案】AD

【解析】對于A,|P4|+|P8|=6>|/1M，則點。的軌跡為以48為焦點的橢圓，A正確；

對于B,\PA\-\PB\=2<\AB\f則點P的軌跡是以48為焦點雙曲線的右支，B錯誤；

對于C,由國+國=|兩-麗得萬.而=0,則點尸的軌跡是以他為直徑的圓，C錯誤；

對于D,網(wǎng)-網(wǎng)=4=|//|,則點尸的軌跡是以43為端點，且不過9月的兩條射線，D正確.

故選：AD

【題型二利用定義解決焦點三角形問題】

二二0

求雙曲線中的焦點三角形叢PF\F］面積的方法

（1）①根據(jù)雙曲線的定義求出忸用一|尸修=2〃；

②利用余弦定理表示出|尸聞、歸周、一局之間滿足的關(guān)系式;

③通過配方，利用整體的思想求出|P用?|尸乙|的值；

④利用公式S=1|刊訃|PEjsin/F/F2求得面積.

（2）利用公式5=（、忻行|.人|求得面積.

5/39

I------------------------------------------------------------'----------------------------

;（3）若雙曲線中焦點三角形的頂角/々p8=e,則面積s=—22），結(jié)論適用于選擇或填空題.

【例2】（24-25高二上?江西南昌?期末）已知耳，￡為雙曲線一一9=1的左，右焦點，。為坐標(biāo)原點，M

7

為雙曲線上一?點，且cos/￡"E=石，則時到x軸的距離為（）

A.—B.—C.2D.—

333

【答案】C

【解析】雙曲線--?=1的焦點耳（-2,0）,鳥（2,0）,||岫|一|「收42,

22

在叢F\MF,中，由余弦定理|片用『=|MF,|+|MF21-2\MFX\\MF2\cosNF、MF2,

得|百鳥|2=（|四￡H/收I）?+21MF、||呼|（1-cosNEMg）,

即16=4+2也用|呷./，解得|M不也巴嚀，又sin/不明='］_（《）?

令M到x軸的距離為d,則凡不應(yīng)=占片段/二:|町||MF?|sin/F、MF2,

22

即4〃二與25x=24，解得4=2,所以M到x軸的距離為2.故選：C.

325

【變式2-1］（24-25高二上?云南昭通?期中）若斗鳥是雙曲線工-《=1的兩個焦點，。為坐標(biāo)原點，點戶

16b~

在雙曲線上，且|。4=2石，離心率為岑，則,￡6的面積為.

【答案】4

【解析】雙曲線中/=i6,e=?=/J=曰，解得"=4，

所以。2=/+從=20,得c=2石，所以［0"二內(nèi)閆=內(nèi)"二。,

故△叼鳥為直角三角形，得山夕「+|行產(chǎn)「=忻行|2=公2=80,

6/39

由雙曲線的定義知由H-|瑪4=2。=8,

所以（|耳刊-內(nèi)"）2=|式尸?+出刊2―2怩即入刊=64,

得比P眄片=8,所以邑叼廣；陽P|優(yōu)P|=4.

【變式2-2］（24-25高二下?廣東東莞?月考）已知雙曲線右：/_巳-1的左、右焦點分別為兄，F(xiàn),,尸為雙

曲線。第一象限上一點，夕尸片的角平分線為/,過點。作”的平行線，分別與助，/交于M,N兩點,

2

若|MN|=§|PE|,則鳥的面積為.

【答案】24

【解析】如圖，記/與x軸交于點K,

由題意得，/=1萬=24,c、l+24=25，故c=5,|"J=10.

?:MNHPQ,。為4心中點,

：.OM為△尸￡鳥的中位線,

1911

,\\OM\=-\PF\,\ON\=\MN\-\OM\=-\PF\--\PF\=-\PF\,

L2322262

\OK\_\ON\=1

兩二兩二%

由MN//PF2得△OKN與△鳥心相似,

|K6|_|OK|+|O￡|_|OK|+|OE|8|OK|=4

：.\OF2\=1\OK\,

\KF2I~~\KFZ\—一—\KF2\~一610Kl-3

???々沙的角平分線為！，

，由角平分線定理得，=Ir?=7?

|PE/\KF2\3

由雙曲線的定義得,|P6H明卜2a=2,

??.|P"|=8,|桃|二6,

???|P用2+|p勺2=|￡8|2,故"后為直角三角形,

7/39

，△歷人的面積為§x6x8=24.

【變式2?3】（24-25高二下?湖南?期末）已知耳尼分別為雙曲線=1的左、右焦點.過點1-3,0）

作直線/與。的左、右兩支分別相交于M,N兩點，直線4N與相交于點P.若月M//N,則

仍修一|尸6|=-

【答案】逑

3

【解析】由己知得。2=從=2]=4,所以〃=匕=拉,。=2,6（-2,0）,6（2,0）,

因為F】M//F?N,所以△巧A/rTJV,AF\MfPNF〃

因為網(wǎng)=3-2=1,|啊=3+2=5,所以臥卜腰|=隅假,

設(shè)|M用=/,則|N周=51,

由阿-的=2dM-幽|=2%

得|〃曰=2及+/,囚用=26+51,

又|“引=|網(wǎng)+|方段=2夜+JN月=|尸耳4Wf=2/2+5,,

所以g|P周+|尸周=2四+力產(chǎn)用+5|P用=2及+5/,

可得明I=1叱+”，附卜2￡+”,

所以|P周—IS卜吟電一空生二竽.

【題型三利用定義解決線段和差的最值問題】

?-----------------------------u--------------------------------------------------------------------------------------------------------

i雙曲線中距離和差的最值問題，核心是利用雙曲線定義（距離差為定值）和幾何性質(zhì)（兩點間線段最短、

!三角形三邊關(guān)系）轉(zhuǎn)化距離表達(dá)式，避免直接代數(shù)運算的繁瑣，關(guān)鍵在「判斷動點位置與雙曲線支的對應(yīng)

!關(guān)系.

8/39

【例3】（25-26高二上?黑龍江哈爾濱?月考）已知尸是雙曲線反■-二=1的上焦點，點?是雙曲線下支上的

45

動點，點4（3,1）,則|尸產(chǎn)|+四|的最小值為（）

A.11B.9C.V13D.5

【答案】B

【解析】由^——=1?得。=2,8=后，c=>la2+b2=3?

45

所以上焦點尸（0,3）,則下焦點為G（0,-3）,又彳（3』），

由雙曲線的定義得|PF|+|PH=2a+|PE|+|24|22a+|4A|=4+j32+（l+3）2=9,

由圖知，當(dāng)4RG三點共線（P在線段片月上）時，|所|+|&|取得最小值9.

【變式3-1］（24-25高二上?山西太原?期末）已知雙曲線E：事-/=1的左焦點為凡點加是E右支上的

動點，點N是圓/+口一2）2=3上的動點，則|MNH"日的最大值為.

【答案】2叵-耳

【解析】設(shè)雙曲線E：的右焦點為尸，則尸（_2,0）,%2,0）.

3

9/39

由雙曲線定義可得|M尸|-W1=2=2后,即=WT|+2萬.

:.\MN\-\MF\=幽-|MF\-2A/30NF\-273,

當(dāng)且僅當(dāng)M,N尸三點共線時，-|M日取得最大值|NU|-2G.

???點N是圓/+(”2)2=3上的動點，

???一+3―2)2=3圓心設(shè)為D(0,2),半徑尸=G，

|^r|<|DF'\+r=2>/2+>/3,/.|M/V|-|MF|<|/VFr|-273<2近-6.

【變式3-2］（24-25高二上?福建浦城?期中）已知尸是雙曲線￡-匕=1的左焦點，力（L4）,」。是雙曲線右

412

支上的動點，則|尸石+|產(chǎn)山的最小值為.

【答案】9

【解析】設(shè)右焦點為E'，貝IJ尸（4,0）,則|力尸［=J（l-4）2+（4-0）2=5,

依題意有IP尸1=|尸尸|+4,

尸尸|+|P*=|P尸|+|P/1+4之|力萬1+4=5+4=9,

（當(dāng)P在線段49與雙曲線的交點時，取等號）.

故|尸尸|+|尸川的最小值為9.

【變式3-3］（24-25高二上?河南鄭州?期中）設(shè)〃是雙曲線二-仁二1上一點，"，N分別是兩圓:

916

（、-5）2+_/=；和（》+5『+），2=3上的點，則|PM|—|PN|的最大值為.

【答案】8

【解析】圓（x+5『+j，2=（的圓心%-5,0）,半徑4二5，

10/39

圓（x—5『+/=:的圓心吊（5,0）,半徑4=g,

雙曲線二一仁=1的實半軸長。=3,半焦距c=5,則斤，鳥為其左右焦點,

916

1尸”人=1「瑪1+弓，1尸山『10用-4，

要|PW|-|PN|取最大值，點/＞必在雙曲線左支上，

所以（|尸M|-|PN|）皿=|?工|+4-（|2耳|-4）=2。+「+弓=8.

【題型四求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】

I待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

【例4】（24-25高二上?河南鄭州?期中）己知雙曲線經(jīng)過點力（2?司,可-2后-悶，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

B.衿=1

A.工上=1

43

C.----------=1

34?或（9I

【答案】A

11/39

[解析]設(shè)雙曲線方程為nix2+ny2=\(mn<0),

1

(2+/?=1m=-

4

則解得

[25/J)〃?+(-〃)/?=

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A.

【變式4-1】(24-25高二下?河北秦皇島?期中)已知雙曲線C：”=1(4>0力>0)的一條漸近線的傾斜

角為且。的焦距為4拉，則C的方程為()

A.=1B.=1

6226

C.=1D.=1

248824

【答案】A

【解析】由條漸近線的傾斜角為"，可知-f=tan烏，故：=百,

3b3b

又2c=4及和c=+〃，解得c=2及,〃=述力=拒，

故雙曲線方程為《-t=1，故選：A

62

【變式4-2](24-25高二上?黑龍江黑河?月考)以卜=百工和尸-百x為漸近線，且經(jīng)過點(-3,3)的雙曲線

標(biāo)準(zhǔn)方程是.

【答案】^--￡=1

618

【解析】漸近線為V5x±j，=o的雙曲線可設(shè)為3/-/=久，

又雙曲線經(jīng)過點(-3,3),代入曲線解得/=18.

所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為三-亡=1.

618

【變式4-3](24-25高二上?江西南昌?期中)求符合下列要求的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

12/39

(1)已知橢圓的焦點在X軸，且長軸長為12,離心率為：；

(2)已知雙曲線以橢圓《+片=1長軸的端點為焦點，且經(jīng)過點(3,癡).

85

【答案】嗚+*5若-j

【解析】(I)由已知條件可設(shè)所求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為?+《目

(其中。>6>0)

則2a=12,.*.a=6,

C

且離心率為6=一=二，；?c=3

a2

***Z>2=tz2—c2=62—32=27

故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+己=1

3627

(2)由題意得，雙曲線的焦點在x軸上，且c=2及.

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-5二15>0,/)>0),

ab~

910

則有//=8-〃2,=-77=1,解得。2=3,//=5.

a-b2

故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡=1.

35

【題型五雙曲線方程的參數(shù)問題】

由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)范圍

x2y2

(I)對于方程一+2=1,當(dāng)加〃<0時表示雙曲線；

mn

當(dāng)m>0,//<0時表示焦點在x軸L的雙曲線：

當(dāng)〃?<0,〃>0時表示焦點在y軸上的雙曲線.

X2v2

(2)對于方程——乂=1,當(dāng)加〃>0時表示雙曲線；

mn

當(dāng)〃7>0,/?>0時表示焦點在不軸上的雙曲線：

當(dāng)〃?<0,〃<0時表示焦點在歹軸上的雙曲線.

(3)已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,

13/39

r存詢篇■逗謔藪版循希國前妻嬴贏示薪"if)-親麗蓊藪鬲嬴贏甬廠

?

【例5】(25?26高二上?全國?單元測試)已知方程上——匚=1表示雙曲線，則m的取值范圍為()

3+mm+5

A.(-5,-3)B.(y,-5)U(-3,+oo)

C.(3,5)D.(-oo,3)u(5,+a)

【答案】B

【解析】因為方程匯——亡=|表示雙曲線，所以(3+〃》(〃?+5)>0,解得加<-5或用>-3,

3+mm+5

故機的取值范圍為(-8,-5)U(-3,+oo).故選：B.

22

【變式5-1](24-25高二下?甘肅慶陽?開學(xué)考試)已知方程——+上一=1表示焦點在％軸上的雙曲線,

5+2m2m-1

則實數(shù)，〃的取值范圍是()

A?2TB.[-1,||n)D.2一)

【答案】C

【解析】方程號+養(yǎng)7=1表示焦點在X軸上的雙曲線'

5+2加>0，解得-小后

則

2m-1<0

所以實數(shù)m的取值范圍是(-油故選：C

【變式5-2](24-25高二上?湖北孝感?月考)設(shè)〃，為實數(shù)，若方程二―+上=1表示焦點在了軸上的雙曲

3-mm+2

線，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.-2<ni<3B.m>3C.—</?<3D.-2<w<—

22

【答案】B

【解析】方程二一+上=1表示焦點在歹軸上的雙曲線,

3-mm+2

m+2>0

由題意可得，八，解得〃03,故選：B.

3-<0

14/39

【變式5?3】（24.25高二下?重慶渝中?月考）（多選）若方程上+上=1表示的曲線為C.給出以下四

3-mm-2

個判斷，其中正確的是（）

A.當(dāng)2<〃?<3時，曲線。表示橢圓

B.當(dāng)用<2或〃?>3時，曲線C表示雙曲線

C.若曲線。表示焦點在x軸上的橢圓，則，

D.若曲線。表示焦點在y軸上的雙曲線，則〃?>3

【答案】BD

【解析】當(dāng)二g時曲線。表示國，A選項錯誤.

若曲線C表示雙曲線，則（3—〃?）（〃，-2）<0,/.用<2或3,

所以當(dāng)機<2或〃?>3時，曲線C表示雙曲線，B選項正確.

若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則3—〃?>〃?-2>0,.,.2<〃?〈：，???（2選項錯誤.

，〃一2>0

若曲線。表示焦點在y相上的雙曲線，則.八,.,?加>3,.'D選項正確.故選：BD.

3—m<0

【題型六與雙曲線有關(guān)的軌跡問題】

I與雙曲線有關(guān)的軌跡問題，核心是根據(jù)已知條件（如距離關(guān)系、角度關(guān)系、位置約束等），推導(dǎo)滿足雙曲

I

!線定義或符合雙曲線方程特征的動點軌跡.解題的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化條件”——將幾何約束轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,

：或直接匹配雙曲線的定義.

【例6】（24-25高二上?遼寧大連期末）與兩圓。1：/+（7+1『=1和。2：*2+/-8》+2尸13=0都外切的圓

的圓心在（）

A.一個橢圓上B.雙曲線的一支上

C.兩支雙曲線上D.一條拋物線上

【答案】B

【解析】圓。1：/+（戶1）2=1的圓心為G（O,-I）,半徑11,

15/39

方程/+/一8戈+2＞，+13=0可化為（工-4）2+（^+1）2=4

圓g:x2+y2-8x+2y+13=0的圓心為G（4,-1）,半徑0=2,

設(shè)與圓G和圓G都外切的圓的圓心為P，該圓的半徑為R，

則|PCj=l+R,|尸G|=2+R,

所以I尸C』-|PCj=l,且|C￡|=4＞1,

所以點尸的軌跡為以G，G為焦點的雙曲線左支，故詵：B.

【變式6-1]（24-25高二上?山東濱州?期末）與圓（x+4『+/=4及圓，十/一8.1+]5=0都內(nèi)切的圓的圓心

在（）

A.橢圓上B.雙曲線的左支上

C.雙曲線的右支上D.拋物線上

【答案】B

【解析】圓（x+4『+y2=4的圓心為%-4,0）,半徑為12,

圓/+爐-8x+15=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（工-4『+/=1,圓心為6（4,0）,半徑為弓二1,

如下圖所示：

設(shè)所求圓的圓心為P,半徑為，，

由圓與圓的位置關(guān)系可得忸耳卜一2,|%|=一1,

所以，|P周一附|=1＜忸周=4,

所以，圓心尸的軌跡是以片、鳥分別為左、右焦點的雙曲線的左支，故選：B.

【變式6-2]（24-25高二上?湖北武漢?期末）已知圓4:（x+3y+/=4,8（3,0）,點尸在圓力上運動，設(shè)

線段心的垂直平分線和直線P4的交點為。，則。點的軌跡方程為（）

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A.x2-^-=\B.x2-^-=lC.=1D.=1

8686

【答案】A

圓力的圓心為4-3,0),半徑為r=2,由中垂線的性質(zhì)可得|叫=|0四，

所以儂一|例卜|以|例|=’?=2<|陽,

所以。點的軌跡方程是雙曲線，目.c=3,2。=2,。=1,/=/-/=8,

所以。點的軌跡方程為/.故選：A.

【變式6-3](25-26高二上?陜西西安?月考)設(shè)點43的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0),宜線4W,相交

4

于點M,且它們的斜率之積是1,則動點M的軌跡方程為.

X2.2_

【答案】不一巫='**士5

V

[解析】設(shè)點J)，則直線AM,BM的斜率分別為yy（x?！?）,

x+5'x-5

因它們的斜率之積是：，則上^士二上。，化簡得去一岔=1，"±5

9x+5x-59--

9

xy_t

則動點M的軌跡方程為25"W=,X*

V

【題型七由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)】

17/39

「先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程確定“定位參數(shù)”（焦點位置）和“定量參數(shù)”（Q.”C）,最1

II

；后代入公式計算離心率、漸近線等幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是避免參數(shù)混淆和符號錯誤.

【例7】（24-25高二下?重慶?期中）雙曲線上-《=1的漸近線方程為（）

32

A.v=±-|xB.y=±—xC.y=D.y=±^-x

2233

【答案】B

【解析】由雙曲線!-：=1,則〃=石］=夜，焦點在y軸上，

所以雙曲線仁-上=1的漸近線方程為尸土@］=±火尤故選：B.

32b2

【變式7-1］（24-25高二下?廣東汕頭?期中）已知雙曲線。:/一《=1（〃>0）的離心率為石，則雙曲線C的

焦點到漸近線的距離為（）

A.72B.2C.4D.石

【答案】B

【解析】由題意4=1,又￡=石，所以c=石，故〃=,2一/=4,所以6=2,

a

所以雙曲線。:/一1=|,故漸近線方程為卜=±2X且焦點為（土石,0）,

則焦點到漸近線的距離為年三=2.故選：B.

4+22

【變式7,?⑵為高二上?湖南?期中）已知離心率為2的雙曲線與橢彩+9】有相同的

焦點，則〃/+〃？=（）

A.21B.19C.13D.11

【答案】B

【解析】由題意解得忙II

所以/+〃2=]9.故選:B.

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【變式7-3］（24-25高二上?安徽滁州?期中）己知雙曲線。:鼻-方=1（。＞0力＞0）的左，右焦點分別為大,

點、P是C上一點、,且/用岑=,歸周=3|咫則C的漸近線方程為（）

A.一=±2fxB.y=±^-xC.y=±^-xD.y=±\/3x

【答案】C

【解析】由雙曲線定義知||尸瑪|一|尸厘=2%又0周=3歸用,見|叫"，|%|=3%

＜

/1\

|尸耳|2+|尸鳥|2-14月『J_

在4大尸鳥中，/百至二;，山鳥|=2c,則cos/月尸鳥二

21mll尸￡|2'

所以4可得L貝—Qb23

a24

所以。的漸近線方程為j，=±2r=±@n故選：C.

a2

【題型八求雙曲線離心率的值或范圍】

r匕

?

I求雙曲線離心率的常用方法

（1）利用凡C求：若可求得Q,c,則直接利用e=￡得解；

a

I（2）利用a/求：若已知凡b,則直接利用e=J1'g）得解

■

!（3）利用方程求：若得到的是關(guān)于Q,C的齊次式方程，即p?c1+q-ac+r-a2=0(p,q,r為常數(shù),且

1

!p工0）,則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程p-/+q.e+〃=0求解.

L

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【例8】（24-25高二下?廣西貴港期中）已知耳，鳥分別是雙曲線C:￡—￡=l（a〉O力〉0）的左、右焦點,

P是。上一點，且|尸圖=可尸用，cos/班用=，則C的離心率為（）

6

A.-B.2C.-D.—

324

【答案】C

【解析】由題意得dm,

在△刊例中,由余弦定理得|P&2=|歷『+出用『-2|"；M&|cosN尸/工,

得6c2—47一12/=0,則6/—e—12=(左一3)(3e+4)=0.

3

得e=：（負(fù)值舍去）.故選：C

【變式8?1】（24-25高二下?安徽環(huán)寧?期中）已知￡,巴分別是雙曲線:-與=15>0,〃>0）的左、右焦點,

a'b'

P是左支上一點，且△小人的面積為力2,若△牛鳥的內(nèi)切圓與了軸相切，則雙曲線的離心率6=（）

3

A.-B.V3C.2D.G+l

【答案】D

【解析】設(shè)內(nèi)切圓圓心為/,三個切點分別為。、E、M,

如圖,由切線長定理可得內(nèi)”|=內(nèi)即

即c-%=|尸局-陷|=陷卜|叫=|即卜附|十|。制=2。+陽M

=2a+（c+xM）,.,?如=-4,"/=工”.圓/與”軸切于左端點.內(nèi)切圓半徑廣=a.

222

設(shè)|?￡|=m,|PF2\=n,：.n-m=2a,4c=m+n-2nincosZf；PF2,

4b2=4c2-4a2=2加〃（1-cos/耳尸鳥）,

1i_b__2

-mnsinZEPF.=---；-----------------sin/片尸尸，二-1…，

21222（l-cos/￡產(chǎn)乙）7?tan-Z/^P/^

二./丹桃=90。，:.\PD\=\PE\=r=a,:.\PF'i\=c]PF2\=2a+ct

由勾股定理4不二。2+（2。+。>,整理得_2/+4/+4ac=0,

20/39

所以/_2ac-2〃2=0,解得c=2"±_,即c=或。=。一也〃（舍去），

【變式8-2]（24-25高二上?重慶渝中?期中）已知雙曲線￡=1（00力＞0）的兩條漸近線之間的夾角小

于：，則雙曲線的高心率的取值范圍是（）

C.（2,+00）D.（2,+司

【答案】D

【解析】因為雙曲線二-￡=1（°＞0力＞o）的兩條漸近線之間的夾角小r4,

4"h~3

所以0<2<tan二或—>tan=，即0或■>后,

a6a303a