專題02考點(diǎn)易錯(cuò)專訓(xùn)（第21?24章）

一.一元二次方程的定義

1.（2025春?高青縣期中）若（，〃-3），〃廠"-『5=0是關(guān)于x的一元二次方程，則，〃的值為（）

A.1B.3C.-1D.±V3

2.（2025春?安慶期中）若關(guān)于/的方程（4一2）”2-2+4%-3=0是一元二次方程，則％=.

3.（2025春?合肥期中）若關(guān)于x的方程（〃L4）小廠21+2A―5=0是一元二次方程，則機(jī)=.

二.一元二次方程的解

4.（2025春?金安區(qū)校級(jí)期中）若m是一元二次方程?-4/2=0的一個(gè)根，則代數(shù)式2020-2m2+8m的

值為（）

A.2016B.2018C.2022D.2024

5.（2025春?金安區(qū)校級(jí)期中）如果兩個(gè)一元二次方程/+盧左=0與/+日+1=0有且只有一個(gè)根相同，那

么攵的值是（）

A.1B.2C.-2D.1或-2

6.（2025春?溫州期中）若關(guān)于k的一元二次方程ad+bx+c=0（〃9）有一根為x=m,則關(guān)于％的一元

二次方程以2?bx+a=0（。存0）必有一根為（）

11

A.-mB.-C.mD.---

m6

7.（2025春?萊州市期中）已知關(guān)于x的一元二次方程ad+Zufc、=0（。、〃、c是常數(shù)，且存0）的解是幻=6+1,

刈=①【，則方程a<x-2）2+b（x-2）+c=0（啟0）的解是（）

A.xi=V5+1,X2=VS—1B.xi=V5—1，X2=V5-3

C.xi=V5+3,X2=y/5+1D.該方程無(wú)解

三.根的判別式

8.（2025?驛城區(qū)模擬）若點(diǎn)（m,〃）在第四象限，則關(guān)于％的一元二次方程/■加計(jì)〃=0的根的情況是

（）

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.無(wú)實(shí)數(shù)根

D.無(wú)法判定

9.（2025春?肥東縣校級(jí)期末）關(guān)于x的一元二次方程/+，兒i+〃=0,下列說(shuō)法：①若加-2〃=1,則方程一

定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②若病-2〃V0,則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；③若〃是方程/+蛆+〃=0的一個(gè)根，

則〃葉〃=-1；④若x=/（學(xué)0）是方程X2+的+〃=0的一個(gè)根，則％=｝是方程/M+處+1=（）的一個(gè)根.其

V

中正確的是（）

A.1B.2C.3D.4

四.根與系數(shù)的關(guān)系

II.（2025秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）設(shè)小〃為方程『+x-2020=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a3+J+3a+2023/7的值

為（）

A.2024B.-2024C.2023D.-2023

11

12.（2025?山東校級(jí)二模）已知?、m是方程7-6%-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則一+—=（）

第132

11

A.-2B.-4C.2D.-

22

13.（2024秋?寶應(yīng)縣期末）已知方程2024x+l=0的兩根分別為〃?、〃，則一竽的值為（）

A.-2024B.-1C.1D.2024

14.（2025?臨沐縣一模）已知加，也是一元二次方程/+（2m+1）K〃尸-1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且

-17=0,則加的值是（）

5-55

A.一或一3B.-3C.-D.-5

333

15.（2024秋?海港區(qū)期末）已知;n,總是方程2024=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式書(shū)一2024#+后的

值為（）

A.4049B.4048C.2024D.1

五.一元二次方程的應(yīng)用

16.（2025?濟(jì)寧校級(jí)三模）某商店經(jīng)銷一種銷售成本為20元/個(gè)的商品，當(dāng)售價(jià)為每個(gè)30元時(shí)，每月可售

出1000個(gè)，根據(jù)市場(chǎng)分析，每漲價(jià)1元，每月要少售出100個(gè)；每降價(jià)1元，則每月多售出10（）個(gè).當(dāng)

該商品的售價(jià)定為（）元/個(gè)時(shí)，月利潤(rùn)為9600元

A.32B.28C.32或36D.32或28

17.（2025秋?寶安區(qū)校級(jí)月考）在歐幾里得的《幾何原本》中提到，形如『十如=廬（〃＞（）,心0）的方

程的圖解法是：如圖，以］和b為直角邊作RIA48C,再在斜邊上截取CD=今則AQ的長(zhǎng)為所求方程

的正根.若關(guān)于x的一元二次方程/+〃a=225,CD：AQ=8：9,那么機(jī)的值為（）

A.10B.16C.18D.20

18.（2025秋?錦江區(qū)校級(jí)月考）為迎接師一學(xué)校第二十六屆運(yùn)動(dòng)會(huì)，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一款紀(jì)念版吉祥物.某

商店該吉祥物的售價(jià)為64元/個(gè)，為了促銷，商店決定進(jìn)行兩次降價(jià)調(diào)整，最終售價(jià)為49元/個(gè)，每天

能售出50個(gè).

（1）求該吉祥物兩次降價(jià)的平均百分率；

（2）若該吉祥物每個(gè)的成本價(jià)為20元，臨近運(yùn)動(dòng)會(huì)，為了減少庫(kù)存，決定再次進(jìn)行降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查

發(fā)現(xiàn)，母降價(jià)2元，每天可多售20件，若每天利潤(rùn)為2730元，則每件降價(jià)多少元？

六.配方法的應(yīng)用

19.（2025春?東臺(tái)市期中）已知實(shí)數(shù)m,n滿足m-n2=2,則代數(shù)式〃尸+2/尸+4〃?-3的最小值等于（）

A.9B.6C.-8D.-16

20.（2025春?濱湖區(qū)期中）已知7-2x），+2），2-6y+9=0,求"的值為（）

A.3B.6C.9D.27

21.（2025春?碑林區(qū)校級(jí)期中）三知x=4d+4岫+14,y=b2-6b-\2a,則x+y的最小值是（）

A.14B.5C.9D.不存在

22.（2025春?大豐區(qū)期中）設(shè)M=4/-4a+3,N=3a2-1,其中〃為實(shí)數(shù)，則M與N的大小關(guān)系是（）

A.M>NB.M>NC.M<ND.M=N

23.（2024春?廣陵區(qū)期中）若M=2，+x,N=J?-3x-2,則朋與N的大小關(guān)系為（）

A.M>NB.M=NC.MVND.無(wú)法確定

七.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共4小題）

24.（2025?谷城縣一模）如圖，拋物線y=o?+bX+c的對(duì)稱軸是宜線x=l,下列結(jié)論，正確的有（）

①abc>0；

②2a+〃=0；

@b2-4ac>()；

@a-b+c>0.

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

25.（2024秋?棗陽(yáng)市期末）對(duì)稱軸為直線x=l的拋物線）=磔2”狀+c（a,b,c為常數(shù)，且存0）如圖所

示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①。加>0,②房>4ac,③4a+2/?+c>0,④3〃+c>0,⑤當(dāng)/V7時(shí)，），

26.（2024秋?鄲城縣期末）如圖，已知二次函數(shù)），=⑥2+屬+,（〃，仇c是常數(shù)且#0）的圖象關(guān)于直線x

=1對(duì)稱，則下列四個(gè)結(jié)論：O2a+b=0；②。尻>0；③5a+b-c>0；④若原1,則a（F-1）+力（八1）

>0.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

27.（2025秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）已知二次函數(shù)y=a/+法+c�）的圖象如圖，有下列結(jié)論：①岫c>0；

②/*ac；③9a+3〃+c>0；?2a+b=0；⑤3a+cV0.正確的結(jié)論是（填序號(hào)）.

28.(2025?晉中二模)若點(diǎn)A(-1,戶)，B(2,)3),C(3,33)都在二次函數(shù)y=f-4x-〃的圖象上,

則產(chǎn)，yit*的大小關(guān)系是()

A.yi<yi<y3B.y3<y2<y\C.y3<yi<y2D.y2<y3<yi

29.(2024秋?勉縣校級(jí)期末)拋物線y=2(x-1)?+c過(guò)(-2,yi),(0,”)，(|,”)三點(diǎn)，則yi,”，

￥大小關(guān)系是()

A.yi>y3>y\B.y\>y2>yiC._v2>yi>y3D.y\>y3>y2

30.（2024秋?萊陽(yáng)市期末）設(shè)函數(shù)yi=—（X—?九）2,y2=—直線x=l與函數(shù)yi,”的圖象分別

交于點(diǎn)A（1,a\）?8（1,42）,得（）

A.若則〃1<〃2B.若，則。1<。2

C.若mV1V〃，則。|<。2D.若則。2<。1

31.（2025?廣州校級(jí)模擬）已知點(diǎn)A（xi,yi）,B（工，”）是二次函數(shù)y=/-隊(duì)+c的圖象上任意兩點(diǎn)，

設(shè)4?xi=/,若當(dāng)?2VxiV2且?1V6V4時(shí)，都有則/的取值范圍是（）

A./V-4或f>7B.fl-5或/>8

C.Y-5或>7D.7V-4或>8

32.（2025?費(fèi)縣二模）已知二次函數(shù)y=-nic+2（/n+l）x+3的圖象上有四個(gè)點(diǎn)：A（a,p）,B（b,〃），

C（c,q）,DCd,q）,其中pVg,下列結(jié)論一定不正確的是（）

A.若機(jī)>1,則〃+Z?+c+d>（）B,若〃?>1,則dVaVbVc

C.若mV-l,則a+〃+c+d>0D.若，〃V-l,則cV〃V〃Vd

九.二次函數(shù)的最值

33.（2024秋?納溪區(qū)期末）已知二次函數(shù)y=f+〃駿+〃的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3,0）,當(dāng)-3人0時(shí)，y的最

小值為-4,則m的值為（）

A.-2或10B.10或2C.2D.-

3

34.（2024秋?昭通期末）當(dāng)心出+2時(shí)，二次函數(shù)y=』+4x+2的最小值為-1,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.-5B.-1C.-5或?1D.?3或?1

35.（2025?連州市三模）已知二次函數(shù)y=〃M+2〃?x+l（旭0）在-2002時(shí)有最小值-4,則相等于（）

55

或

5-5或5

A.B.8-D.-8-

36.（2025?新城區(qū)三模）已知二次函數(shù)產(chǎn)-f+4x+9在性0+2的范圍內(nèi)的最大值為4,則實(shí)數(shù)i的值為（）

A.-1或5B.-3或5C.-I或7D.-3或7

十.拋物線與x軸的交點(diǎn)

37.（2025?威海一模）女口圖，拋物線），=-F+px十機(jī)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xi,X2（XI<X2），拋物線y=-

/+px+〃與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X3,14（X3<X4）.已知0V〃?V〃，則下列結(jié)論正確的是（）

A.X3<A,4<X1<.V2B.X3<.Xl<X2<X4

C.XI<X2<X3<X4D.XI<X3<X4<X2

38.（2024秋?江陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）已知拋物線），=依2-5如+4。（存0）不經(jīng)過(guò)第二象限，與x軸交于A,B

兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)C這條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線頂點(diǎn)為C,若四邊形AC3C是正方形，則。的值為

（）

32322

A.-7TB.-C.—D.—或一不

23233

39.（2025秋?海安市月考）已知拋物線），=（x-.ri）G-X2）-1（xi<.r2）,拋物線與x軸交于（加，0）,

（〃，0）兩點(diǎn)（〃?V〃），則機(jī)，〃，XI,X2的大小關(guān)系是（）

A.m<x\<x2<nB.m<x\<x2<-n

C.m<x\<n<x>D..ri</?z<x2<n

十一.垂徑定理

40.（2025秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）在RtAABC中，ZC=900,8c=3,AB=5,D、￡分別是AC8。上的一

點(diǎn)，且?！?3,若以。足為直徑的圓與斜邊4/3相交于M、N,則MN的最大值為（）

4L（2025?池州開(kāi)學(xué)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)G（0,1）為圓心，半徑為2的圓與二軸交于A,

8兩點(diǎn)，與），軸交于C,。兩點(diǎn)，點(diǎn)E為。G上一動(dòng)點(diǎn)，CFLAE于點(diǎn)F,則點(diǎn)E在（DG上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,

線段的長(zhǎng)的最小值為（）

A.V5-2B.V3-1C.VS+2D.V3+1

十二.扇形面積的計(jì)算

42.（2025?威海一模）如圖1是山西平遙推光漆器，圖2是選取該漆器上的部分圖案并且放大后的示意圖,

四邊形A8CO是邊長(zhǎng)為2的正方形，分別以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，對(duì)角線長(zhǎng)的一半為半徑在正方

形內(nèi)畫(huà)弧，四條弧相交于點(diǎn)O.則圖中陰影部分的面枳為（）

圖1圖2

1

A.2n-4B.71-2C.2兀D.-7T

4

43.（2025?淮南模擬）如圖，在菱形ABC。中，A8=4,N8=60。，點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，以C為圓心，CE

為半徑作弧，交CO于點(diǎn)F,連接AE、AF.EF,則陰影部分的面積為（）

A

C

A.5g一等B.5追+萼C.3冉一等D.36+萼

OOOO

44.（2025?中衛(wèi)校級(jí)二模）在如圖所示的“趙爽弦圖”中，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形

EFGH拼成的大正方形A8CD分別以點(diǎn)凡以為圓心，EF長(zhǎng)為半徑作弧，若人G=5,OE=3,則圖中

陰影部分的面積為（）

A.2n-2B.271-4C.n-2D.n-4

45.（2024秋?涼州區(qū)校級(jí)期末）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,AD=4,取AD的中點(diǎn)E,連接BE,CE,

以8E為半徑，8為圓心畫(huà)弧交BC于G；以CE為半徑，C為圓心畫(huà)弧交8c于R則陰影部分面積是

).

十三.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

46.（2025春?開(kāi)江縣月考）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊8。所

在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接。區(qū)在QE的右側(cè)作等邊△。七立連接”,則"'的最小值是

47.（2024秋?榮成市校級(jí)期末）如圖，在△A4C中，ZACB=90".將△A8C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)加。得到MOE

（NC/WVWV180。）.CE與A5交于點(diǎn)凡設(shè)NA8C=〃。（30<n<45）,當(dāng)〃八〃滿足（）條件時(shí)，

A.tn=2nB.n=2mC./〃+〃=180°或〃?=2〃D.〃=2，〃或，〃+/1=180°

48.（2025?淄博）如圖，。是以正方形A8C。的頂點(diǎn)4為圓心，4/3為半徑的弧4。上的點(diǎn)，連接AP,CP,

將線段CP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到線段PQ,連接AQ.若AB=I,則△/1PQ的最大面積是（)

V2+1

D.----

4

專題02考點(diǎn)易錯(cuò)專訓(xùn)（第21?24章）

一.一元二次方程的定義

1.（2025春?高青縣期中）若（〃?-3）731?.L5=0是關(guān)于x的一元二次方程，則〃?的值為（）

A.1B.3C.-1D.±V3

【答案】C

【解答】解：由題意可知：｛團(tuán)一,丁/，

（機(jī)一3。0

解得："?=-I,

故選：C.

2.（2025春?安慶期中）若關(guān)于x的方程（攵一2）/2-2+4%-3=0是一元二次方程，則k=-2.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：???關(guān)于x的方程（4一2）/2-+4%-3=0是一元二次方程，

）〃-2翔且必-2=2,

解得2=-2.

故答案為：-2.

3.（2025春?合肥期中）若關(guān)于x的方程（m-4）小「21+2A5=（）是一元二次方程，則機(jī)=g.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：???方程（〃L4）W〃-2I+3X+5=O是一元二次方程，

,（m-40

,,（|m-2|=2，

解得“7=0.

故答案為：0.

二.一元二次方程的解

4.（2025春?金安區(qū)校級(jí)期中）若m是一元二次方程W-4x+2=0的一個(gè)根，則代數(shù)式2020-2〃尸+8〃？的

值為（)

A.2016B.2018C.2022D.2024

【答案】。

【解答】解：?，〃是一元二次方程/-4x+2=0的一個(gè)根，

nr-4/77+2=0,

m1-4〃?=-2,

J2020?2陽(yáng)2+8加=2020-2(m2-4m)=2020+4=2024.

故選：D.

5.(2025春?金安區(qū)校級(jí)期中)如果兩個(gè)一元二次方程/+4+&=()與/+履+|=()有且只有一個(gè)根相同，那

么k的值是()

A.1B.2C.-2D.1或?2

【答案】C

【解答】解：設(shè)它們相同的根為小

由題意得：。2+。+*=0①，/+"&+]=o②，

工①-②得：a-ak+k-1=0,

-k)a=\-k,

「。有且只有一個(gè)值，

1-原0,

把4=1代入①得：l+l+A=0,

解得:k=-2,

故選：C.

6.(2025春?溫州期中)若關(guān)于人的一元二次方程ax2+bx+c=0(ac￥0)有一根為x=m,則關(guān)于x的一元

二次方程ex2-Zu+a=0(ac￥0)必有一根為()

1

A.-mB.—C.mD.--

mm

【答案】D

【解答】解：:〃?是若關(guān)于x的一元二次方程a*+/?x+c=0的一個(gè)根,

?\am~+bm+c=0,

?"+小++。=°，

])2.(_1)/『0,

煮是方程ex2-bx+a=（）（a存0）的一個(gè)根，

故選：D.

7.12025春?萊州市期中）已知關(guān)于x的一元二次方程ad+bx+c=0（a、〃、c是常數(shù)，且。翔）的解是幻=通+1,

X2=x^5—I?則方程a（x-2）2+b（x-2）+c=0（存0）的解是（）

A.AI=V5+1,X2=V5—1B.xi=V5-1,X2=V5—3

C.xi=V5+3,X2=y/5+1D.該方程無(wú)解

【答案】C

【解答】解：I?關(guān)于X的一元二次方程如2+云+°=（）（心b、。是常數(shù)，且存0）的解是川=遍+1,X2=

V5-1,

，方程a（x-2）2+b（x-2）+c=0（存0）中x-2=V5+l或工-2=6—1

解得：川=遙+3,X2=V54-1

故選：C.

三.根的判別式

8.（2025?驛城區(qū)模擬）若點(diǎn)（蟲(chóng)〃）在第四象限，則關(guān)于x的一元二次方程/?加計(jì)〃=0的根的情況是

（）

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.無(wú)實(shí)數(shù)根

D.無(wú)法判定

【答案】B

【解答】解：方程f■儂+〃=0的判別式/=（-m）2-4n,

???點(diǎn)尸（/〃，〃）在第四象限,

.*./7Z>0,〃<0,

/.（-m）2>0,

???△=（-m）2-4〃>0,

方程〃/+x+〃=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選:B.

9.（2025春?肥東縣校級(jí)期末）關(guān)于x的一元二次方程/+g+〃=0,下列說(shuō)法：①若加?2〃=1,則方程一

定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②若序-2〃<（）,則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；③若〃是方程f+g+〃=（）的一個(gè)根，

則m+n=-1;④若入=/（/，0）是方程/十〃5十〃=0的?個(gè)根，貝卜—"是方程/以2十〃認(rèn)十［=0的?個(gè)根.其

中正確的是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解答】解：①對(duì)于方程/+〃認(rèn)+〃=0,

???△=〃『-4xlx〃=〃『-4/2,

若m-2n=1,則zn=2/1+1,

.??△=〃,-4/7=(2/z+l)2-4〃=4，產(chǎn)+4〃+]-4〃=4/+1>0,

???方程/+〃“+〃=()一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故①正確；

②由①可知，A=〃?2-4〃，

若nr-2〃<0,則nr<2n,即2n>m~>0,則4n>2n>f7r>Q,

-4〃V0,

???方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；故②正確；

④若x=l(y0)是方程=0的一個(gè)根，

???子0,

，尸+加什〃=0兩邊同除以P得，1+m?9+n?§=0,

11

即九(彳)2+m?彳+1=0,

，％9是方程/>+/心+1=0的一個(gè)根，故④正確；

V

③若〃是方程/+〃吠+〃=()的一個(gè)根，貝ljn2-mn+n=0,即八(n+m+1)=0,

工〃=0或〃+，〃+1=0,即〃=0或m+n=-1,故③錯(cuò)誤；

綜上可知，①②④正確，共3個(gè).

故選：C.

四,根與系數(shù)的關(guān)系

11.(2025秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考)設(shè)。，〃為方程/+."2020=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則。3+J+3a+2023。的值

為()

A.2024B.-2024C.2023D.-2023

【答案】D

【解答】解：:小為方程Phx-2020=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

(r+ci=2020,a+b=-1,

???。3?。213.2023〃

=(cP+q)a+3a+2023b

=2020a+3a+2023b

=2023(a+b)

=-2023,

故選：D.

12.(2025?山東校級(jí)二模)已知幻、是方程6"3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則」~+」■=()

Xix2

11

A.-2B.-4C.2D.-

22

【答案】A

【解答】解：:加、X2是方程f-6x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

/.X|4-X2=6,X\X2=-3,

11Xi+%26

—+一—-----————-2,

Xix2X±X23

故選：A.

13.（2024秋?寶應(yīng)縣期末）已知方程x2-2024/1=0的兩根分別為機(jī)、小則而一丹卓的值為（）

A.-2024B.-1C.1D.2024

【答案】B

【解答】解：方程2024/1=0的兩根分別為〃?、〃，

/.nr-2024m+1=0,mn=1,

八1

//r?=2024/z:-1,—=m,

n

Am2-=2024m-1-2024m=-1,

n

故選：B.

14.（2025?臨沐縣一模）已知xi,X2是一元二次方程『+（2加+1）x+-2?1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且

xf+xf+xix2-17=0,則，〃的值是（）

5-55

A.一或一3B.-3C.-D.

333

【答案】C

【解答】解：根據(jù)題意得A=（2/n+l）2-4（/M2-1）>0,

解得〃?>—.

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系的xi+x2=-（2/zz+l）,x\xi=nr-1,

VxlIX2IXiX217=0,

/.(XI+.V2)2-XIX2-17=0,

(2/n+l)2-(nr-1)-17=0,

5

整理得3〃P+4/〃-15=0,解得-

3J

???，〃的值為|.

故選：C

15.(2024秋?海港區(qū)期末)已知;vi,也是方程2024=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式埒一2024川+廄的

值為()

A.4049B.4048C.2024D.1

【答案】A

【解答】解：???川，X2是方程X2”"2024=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

%i—2024="1，x\x2=-2024,xi+x2=1,

2

xl-2024%1+后=x^xl-2024)+以=*+據(jù)=(力+r2)-2xxx2=l-2x(-2024)=4049,

故選：A.

五.一元二次方程的應(yīng)用

16.(2025?濟(jì)寧校級(jí)三模)某商店經(jīng)銷一種銷售成本為20元/個(gè)的商品，當(dāng)售價(jià)為每個(gè)30元時(shí)，每月可伐

出100()個(gè)，根據(jù)市場(chǎng)分析，每漲價(jià)I元，每月要少售出100個(gè)；每降價(jià)1元，則每月多售出1001.當(dāng)

該商品的售價(jià)定為()元/個(gè)時(shí)，月利潤(rùn)為9600元

A.32B.28C.32或36D.32或28

【答案】D

【解答】解：設(shè)銷售價(jià)應(yīng)定為每件x元，根據(jù)題意根據(jù)市場(chǎng)分析，每漲價(jià)1元，每月要少售出1。0個(gè):

每降價(jià)1元，則每月多售出100個(gè)可得：

(x-20)II000-1(X)(x-30)]=96(K),

整理得??60X+896=0,

(x-32)(x-28)=0,

x=32或x=28,

答：該商品的售價(jià)定為32或28元/個(gè)時(shí)，月利潤(rùn)為9600元.

故選：D.

17.（2025秋?寶安區(qū)校級(jí)月考）在歐幾里得的《幾何原本》中提到，形如小，3=房（">（）,〃>0）的方

程的圖解法是：如圖，以B和b為直角邊作RSA8C,再在斜邊上截取CQ=*則A。的長(zhǎng)為所求方程

的正根.若關(guān)于工的一元二次方程/+〃吠=225,CD：AQ=8：9,那么小的值為（）

A.10B.16C.18D.20

【答案】B

【解答】解：由題意得可知，BC=CD=AB=V225=15,

設(shè)CO=C4=8），，則力O=9y,

：.AC=CIHAD=\7yt

在RtAABC中，由勾股定理得：BCZ+AB2=AC2,

即（8y）2+152=（17），）2,

整理得：『=1,

解得：yi=I,”=-1（不符合題意，舍去），

ACD=8y=8,

1

8?

2

解得：機(jī)=16,

即〃?的值為16,

故選:B.

18.（2025秋?錦江區(qū)校級(jí)月考）為迎接師一學(xué)校第二十六屆運(yùn)動(dòng)會(huì)，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一款紀(jì)念版吉祥物.某

商店該吉祥物的售價(jià)為64元/個(gè)，為了促銷，商店決定進(jìn)行兩次降價(jià)調(diào)整，最終售價(jià)為49元/個(gè)，每天

能售出50個(gè).

（1）求該吉祥物兩次降價(jià)的平均百分率；

（2）若該吉祥物每個(gè)的成本價(jià)為20元，臨近運(yùn)動(dòng)會(huì)，為了減少庫(kù)存，決定再次進(jìn)行降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查

發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)2元，每天可多售20件，若每天利潤(rùn)為2730元，則每件降價(jià)多少元？

【答案】（1）該吉祥物兩次降價(jià)的平均百分率為12.5%；

（2）每個(gè)降價(jià)16元.

【解答】解：（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為居

由題意列一元二次方程得：64（1x）2=49,

整理得，64?-128x-15=0,

解得：XI=0.125=12.5%,X2=1.875（不合題意,舍去）,

答：該吉祥物兩次降價(jià)的平均百分率為12.5%；

（2）設(shè)每個(gè)商品應(yīng)降價(jià)y元，

由題意列一元二次方程得：

（49-y-20）（50+竽20y）=2730,

解得yi=8,”=16,

為了減少庫(kù)存，應(yīng)取y=16,

答：每個(gè)降價(jià)16元.

六,配方法的應(yīng)用（共5小題）

19.（2025春?東臺(tái)市期中）已知實(shí)數(shù)m,n滿足m-/r=2,則代數(shù)式m2+2/i2+4m-3的最小值等于（）

A.9B.6C.-8D.-16

【答案】A

【解答】解：???〃?-“2=2,

C.ir=m-2>0,m>2,

.*./w2+2n2+4m-3

=m~+2m-4+4，〃-3

=rrr+6m+9-I6

=（6+3）2-16,

則代數(shù)式〃?2+2〃2+4〃L3的最小值等于（2+3）2-16=9.

故選：A.

20.（2025春?濱湖區(qū)期中）已知?-2r），+2）2-6y+9=0,求x-v的值為（）

A.3B.6C.9D.27

【答案】。

【解答】解：由題意，-2x），+2/-6y+9=0,

1?x2-2xy+）?+），2?6y+9=0.

/.（x->'）2+（j-3）2=0.

，x-y=0,y-3=0.

^?x=y=3?

/.XV=33=27.

故選：D.

21.（2025春?碑林區(qū)校級(jí)期中）已知x=4/+4a0+14,y=b2-6b-\2a,則x+），的最小值是（）

A.14B.5C.9D.不存在

【答案】B

【解答】解：根據(jù)題意得：x+y=4a2+4ab+14+b2-6h-\2a

=（4/+4a什〃2）-6（b+2a）+14

=[（2a+〃）2-6（b+2a）+9]-5

=（2。+〃-3）2+5.

VC2a+b-3）2>0,

???x+y的最小值是5.

故選:B.

22.（2025春?大豐區(qū)期中）設(shè)朋=4。2?4。+3,N=3a2-1,其中〃為實(shí)數(shù)，則M與N的大小關(guān)系是（）

A.M>NB.M>NC.M<ND.M=N

【答案】4

【解答】解：-N=4〃27a+3-（3--I）

=cP-4。+4

=（a-2）2>0,

故選：A.

23.（2024春?廣陵區(qū)期中）若知=21+工，N=J?-3.r-2,則朋與N的大小關(guān)系為（）

A.M>NB.M=NC.MVND.無(wú)法確定

【答案】。

【解答】解：由題意，作差：M-N=（2?+x）-（?-3x-2）

=7+4x+2

=（x+2）2-2.

令M-N=0,

:.（x+2）2-2=0.

Ax=-2±V2.

考查函數(shù)）=（x+2）2-2,

Va=l>0,

.??當(dāng)x<2一&或x>2+式時(shí)，)，>0；

當(dāng)彳=-2±V2N，y=0；

當(dāng)2-企<r<2+a時(shí)，y<0.

???當(dāng)xV2一&或x>2+&時(shí)，M>N；

當(dāng)x=-2土或時(shí)，M=N；

當(dāng)2〈工<2十注時(shí)，MVN.

故選：D.

七,二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

24.(2025?谷城縣一模)如圖，拋物線y=a*+尿+(.的對(duì)稱軸是直線x=l,下列結(jié)論，正確的有(

①〃/?<?>()：

②2〃+〃=0；

③力2.4。。>0：

?a-b+c>0.

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【解答】解：①根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸位于1y軸右側(cè)知：。、人異號(hào)，Mab<().

由拋物線與)，軸交于正半軸，則c>0.

所以"c<0.

故該結(jié)論錯(cuò)誤；

②由該拋物線的對(duì)稱軸是.直線x=l知，x=-/=1,則2〃+。=0.

故該結(jié)論正確；

③由該拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)知：A=/?2-4ac>0.

故該結(jié)論正確；

④根據(jù)圖示知：當(dāng)x=-l時(shí)，y>0,貝

故該結(jié)論正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有3個(gè).

故選：B.

25.（2024秋?棗陽(yáng)市期末）對(duì)稱軸為直線x=l的拋物線產(chǎn)混（a,b,c為常數(shù)，且存0）如圖所

示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①abc>0,②從>4ac,③4〃+28+<?>0,④3〃+c>0,⑤當(dāng)/V-1時(shí)，y

隨x的增大而減小.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解答】解：①由圖象可知：a>（）,c<0,

,2ai

:.b=-2aVO,

.*.abc>0f故①正確,符合題意；

②由題意可得:b2-4at?>0,

???序>4ac,故②符合題意；

③當(dāng)x=0和x=2時(shí)函數(shù)值相等，都小于0,

???y=4a+2A+cV0,故③不符合題意；

④當(dāng)x=-1時(shí),y=a-b+c=a-（-2a）+c>0,

???3a+c>0,故④符合題意；

⑤由圖象可知，當(dāng)xV-I時(shí)，y隨x的增大而減小，故⑤符合題意.

故選：C.

26.（2024秋?鄲城具期末）如圖.已知二次函數(shù)y=ar2+〃x+c（小〃，c是常數(shù)H.啟（））的圖象關(guān)干直線

=1對(duì)稱，則下列四個(gè)結(jié)論：?2^=0；②仍cAO；③5al加c>0；④若導(dǎo)】，貝4。（必1）\b（k1）

>0.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解答】解：由圖象可知，拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線％=-以=1,與），軸交于負(fù)半軸，

，a>0,b=-2。<0,c<0?

：.2a+b=0,abc>0,故①②正確；

由圖象可知：當(dāng)x=-1時(shí)，a-b+c>0,

/.a+b-2b+c>0,

*：b=-2a,

/.a+b-2b+c=a+b+4a+c=5a-b+c>0；故③正確；

???拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線％=1,

/.當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值最小為a+b+c,

3x=k（A#l）時(shí)，y=alc+bk^c>a+b+cf

：.alc-a+bk-b>0,

：.a（F-1）+。（k-1）>0：故④正確；

故選：D.

27.（2025秋嘲陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）已知二次函數(shù)），=/+/2r+c（存0）的圖象如圖，有下列結(jié)論：①abc>0；

②序24ac；③9a+3〃+c>0；④2a+/?=0：⑤3a+cV（）.正確的結(jié)論是①④⑤（填序號(hào)）.

【答案】①④⑤.

【解答】解：由于拋物線的開(kāi)口向上，則。>0,由于拋物線的對(duì)稱軸在），軸右邊，則。、匕異號(hào),所以

〃V0,山于拋物線與），軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，則cVO,故。灰>0,故①正確；

由于拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則后-4ac>0,所以戶>4比，故②錯(cuò)誤；

當(dāng)x=3時(shí)，y=9a+3b+cV0,故③錯(cuò)誤；

因?yàn)閷?duì)稱軸為戶一名=1,則匕=?2?,所以2什。=0,故④正確；

當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c<0,貝lja+2a+cV0,即3a+cV0,故⑤正確；

故答案為：①④⑤.

八.二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共5小題）

28.（2025?晉中二模）若點(diǎn)A（-1,V），B（2,?）,C（3,A）都在二次函數(shù)?4x?〃的圖象上，

則V，”，）3的大小關(guān)系是（）

A.yi<y2<y3B.y3<y2<y\C.y3Vty1Vly2D.yi<y3<y\

【答案】。

【解答】解：??，=，-4x-n,

???拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線％=-益=2,

???拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，

V|-1-2|>|3-2|>|2-2|,

.,.>2<y3<yi：

故選：D.

29.（2024秋?勉縣校級(jí)期末）拋物線y=2（x-1）過(guò)（?2,yi）,（0,”），"）三點(diǎn)，則）”，>2,

”大小關(guān)系是（）

A.1y2>），3>yiB.yi>y2>yiC.y2>y\>yiD.y\>y3>y2

【答案】。

【解答】解：拋物線y=2（x-1）2+c的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線1=1,當(dāng)1<1時(shí)?，y隨工的增大而減

小，

???點(diǎn)（-2,yi）、（0,”）、*）是拋物線y=2（x-I）2+c上的三點(diǎn)，

51

，點(diǎn)（1*）關(guān)于對(duì)稱軸x=l的對(duì)稱點(diǎn)是（一天）3）,

V-2<-1<0,

???）'1>聲>戶，

故選：D.

30.（2024秋?萊陽(yáng)市期末）設(shè)函數(shù)yi=—（X—?九）2,y2=—直線x=l與函數(shù)yi,”的圖象分別

交于點(diǎn)A（1,。1）,8（1,。2）,得（)

A.若1V〃?V〃，則41<42B.若m<n<L則ai<a2

C.若m<1<n,則ai<。2D.若m<n<1，則a2<a\

【答案】B

如圖所示,若m<1<n,則a\>ai或at<a2?

如圖所示，若m<n<\，則ai<a2f

故選：B.

31.（2025?廣州校級(jí)模擬）己知點(diǎn)A（xi,yi）,BGz”）是二次函數(shù)y=/-以+。的圖象上任意兩點(diǎn),

設(shè)m-燈=/,若當(dāng)-2VxiV2且-IV/?V4時(shí)，都有y2>yi,貝U/的取值范圍是（）

A./V-4或/>7B.<-5或>8

C.fV-5或>7D.—V-4或>8

【答案】B

【解答】解：???二次函數(shù)V=？-bx+c,

-b