長郡中學(xué)2025年高二雙曲線基礎(chǔ)專項訓(xùn)練

1，點的坐標（c,Q）,通徑空

aa

2,距離：焦點到漸近線的距離為b

3,中點弦（點差法證明）:若雙曲線與直線I交于4B兩點，其中力）,8（小，力），M（a,

%），為43中點，焦點在x軸上：kAB?k0M=

4,第三定義：橢圓（雙曲線）上的點到兩端點的斜率之積為定值（焦點在x軸上），/（雙

曲線）（利用P點坐標消Y得到）

5,設(shè)小乃是雙曲線會=l（a>0,〃>0）的兩個焦點，。是雙曲線的中心，P是雙曲

b2

線上任意一點，/F\PF?=8,則比岑|=//-"+|0刊2=二^_

1-cosO

6,焦點三角形面積

雙曲線S._2i=l(a>0,。>0)的焦點為&、F2，B為雙曲線上的點，NF]BFz=a,則

a2b2

2

c.2sinab

S&F\BF、-b~?"~'

1-cosa.ct

tan—

2

7,雙曲線焦半徑

設(shè)P（x（）,）為雙曲線上的一點,

附|=。+用

①焦點在x軸：P在左支

\PF2\=-a+ex0

陶二/3支)=a+c〉'o

②焦點在），軸：尸在下支?

=-a+ey()

8,雙曲線上的點到漸進線的距離之積為罷.

1.設(shè)橢圓=+5=1和雙曲線與一）2=1的公共焦點為F2,P是兩曲線的一個

公共點，則COSN*P/2等于（）.

A.]B.gC.9D.I

2.已知產(chǎn)是雙曲線C/一（=1的右焦點，P是C上一點,且。尸與x軸垂直，

點A的坐標是（1,3）,則尸產(chǎn)的面積為（）.

123

-C-D-

A.B.232

3.已知雙曲線Cx2—g=lS>0）的一條漸近線/：y=2g,設(shè)"，B分別是

C的左、右焦點，點尸在/上，且|OR|=|O尸|,。為坐標原點，則下列結(jié)論錯誤

的是（）.

A.C的虛軸長為4啦

B.//4”2=見尸

C.||PFI|-|PF2||=2

D.△PF1F2的面積為6班

4.已知雙曲線C：,一）2=1，。為坐標原點，尸為。的右焦點，過尸的直線與

。的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|=（）.

3

A.3B.3C.2小D.4

5.（多選題）設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=±5,則該雙曲線的離心率e可以為（）.

A.申B.C.小D.2小

6.（多選題）已知雙曲線的方程為看一,=1,則下列說法正確的有（）.

A.焦點坐標為（也，0）,（一也，0）

B.漸近線方程為幣x±3y—0

4

C.離心率為？

D.焦點到漸近線的距離為手

7.雙曲線也一營=1（。>0,〃>0）的漸近線為正方形。A8C的邊04,OC所在的

直線，其中點O為坐標原點，點8為該雙曲線的焦點，若正方形0A8C的邊長

為2,則4=

8.若雙曲線C，一,2=1(。＞0)與直線/：x+y=l相交于兩個不同的點4B,

則實數(shù)。的取值范圍為一.

9.已知雙曲線過點(3,-2),且與橢圓4f+9)2=36有相同的焦點.

⑴求雙曲線的標準方程；

(2)若點M在雙曲線上,Fi，尸2分別為左、右焦點，且|MFi|+|MB|=65，試判

斷的形狀.

10.在平面直角坐標系X。)，中，已知雙曲線。的焦點為(0,一小),(0,5),實

軸長為2幣.

(1)求雙曲線C的標準方程；

⑵過點。(1,1)的直線/與雙曲線C交于M,N兩點，且點。恰好為線段MN的

中點，求線段MN的長度.

11.己知Q,3分別是雙曲線及，一方=1(。＞0,Q0)的左、右焦點，P是雙

曲線上一點，B到左頂點的距離等于它到漸近線距離的2倍.

(1)求雙曲線的漸近線方程；

(2)當NRPB=60。時，ZXPQB的面積為48#,求雙曲線E的方程.

答案LB解析設(shè)|PF]|=B,\PF2\=d2,則"1+必=2&,①|(zhì)4一必|=2小，②

由①2十②2,得看+及=18.

(fi+di—4c118—161

由①2一②2,得2dic，2=6.又c=2,所以cosNQPB=—2d[力=——=?

2,D解析由°2=〃2+。2=4得c=2,所以F(2,0).

?

將x=2代入『一治=1,得尸土3,所以|PF]=3.

13

又點4的坐標是(1,3),且PR與X軸垂直，故△APF的面積為爹X3X(2-1)=,

3,解析雙曲線C:f-￡=lS>0)的一條漸近線/:y=2g,可得b=2p,

所以雙曲線的虛軸長為4、r，所以A正確；

點夕在/上，且|OFi|=|OP|,所以三角形是直角三角形，且NQPB=90。，

所以B正確；

雙曲線方程為?一?=1,所以。=1,因為尸在雙曲線的漸近線上，所以不滿足

||「尸]|一|尸產(chǎn)211=2,所以C錯誤；

雙曲線的半焦距為3,一條漸近線方程為y=2啦x,所以sinNPOBUNS2.

所以a]X2cXcXsinNPOB=/IX2X9X2平12=6g，

即△PFiB的面積為6也，所以D正確.

r2S

4,B解析因為雙曲線左一)2=1的漸近線方程為尸土手%所以NMON=60。.

不妨設(shè)過點R的直線與直線y=室交于點M,又△OMN為直角三角形，不妨

設(shè)NOMN=90。，則NMR9=60°.又直線MN過點尸(2,0),所以直線MV的方程

為y=_/(%_2),

p=-V3(x-2),

由正得5

3x尸2

所以碣坐),

=瓜所以|MN|=S|OM|=3.故選B.

5,解析當焦點在x軸上時，-=1,

215

2--

所

所

十

以

e2-44以V25

當焦點在y軸上時，所以/=1+系=1+4=5,所以e=小.

92

6,解析雙曲線的方程為1,

可知a=3,b=幣,c=4,所以雙曲線的焦點坐標為(4,0),(—4,0),所以A

錯誤；

漸近線方程為幣x±3y=0,所以B正確；

4

離心率為所以C正確；

焦點到漸近線的距離為:幣=幣,所以D錯誤.

79+7

7,解析取B為雙曲戰(zhàn)的右焦點，如答圖.因為四邊形OABC為正方形，且邊

長為2,

第6題答圖

所以c=|O8|=2啦，又NAO3=￡,

hjr

所以,=tanW=L即〃=b.

乂/+序=/=8,所以4=2.

8,解析將)=—x+1代入雙曲線方程興一,2=得(1—/)/+244—2〃2

=0.

1一/W0,

依題意彳4,

[/=4/+8/(1一〃92)>0,

所以0VaV，5且

2,2___

9,解(1)橢圓方程可化為5+?=1,焦點在x軸上，且。=產(chǎn)7=小，故設(shè)

94

d=3,

雙曲線方程為，一］=1(。>0,/?>0),則n解得1

廬=2,

/+〃=5,

72

所以雙曲線的標準方程為1.

(2)不妨設(shè)點M在右支上，則陷「||一|四6|=2仍，又|"人|+|“22|=6小，解得|做「］|

=4小，|MB|=2#.

又舊乃|=2小，所以在中，邊MFi最長，

IM&F+IFEF-IMBF

<0,

又cosZMF2FI=2\MF2\\F\F2\

所以NM&Q為鈍角.

故為鈍角三角形.

10,解(1)雙曲線。的焦點為(0,-^3),(0,#),實軸長為入2則。=切，

2a=2y［2,即則/=°2一〃2=3-2=1,

9

所以雙曲線C的標準方程為，-f=1.

(2)設(shè)點M(M,yi),N(X2y”).

因為點。(1,1)恰好為線段MN的中點，所以加+及=2,yi+)12=2,

XT=1,

12一所1，

1y\—yi

兩式相減可得5。1—?)(yI+刈=3—12)(即+X2).所以--=2,

乙X\一X2

所以直線/的斜率為2,

所以直線/的方程為)，-1=2(x—1),即)，=2x—1.

y=2x-I,?

由'，c消去），得2/—4x—1=°，所以X|X2=-5.

乙

/■—2x-=2y

所以附川=卜1+22々(乃+及)2