專(zhuān)題三《邏輯用語(yǔ)》講義

知識(shí)梳理.邏輯用語(yǔ)

1.命題

能判斷真假的語(yǔ)句叫做命題.

2.量詞

(1)全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)命題

①全稱(chēng)量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫作全稱(chēng)量詞.

②全稱(chēng)命題：含有全稱(chēng)量詞的命題.

③全稱(chēng)命題的符號(hào)表示：

形如“對(duì)M中的任意一個(gè)x,有p(x)成立”的命題，用符號(hào)簡(jiǎn)記為p(x).

(2)存在量詞與特稱(chēng)命題

①存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫作存在量詞.

②特稱(chēng)命題：含有存在量詞的命題.

③特稱(chēng)命題的符號(hào)表示：

形如“存在"中的元素燦，使p(xo)成立”的命題，用符號(hào)簡(jiǎn)記為3Y()￡M,p(w).

(3)命題的否定

①改寫(xiě)量詞：確定命題所含量詞的類(lèi)型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對(duì)

量詞進(jìn)行改寫(xiě).

②否定結(jié)論：對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.

【注】原命題與命題的否定真假性相反

3.充分條件、必要條件與充要條件

⑴如果〃今生則2是4的&會(huì)條性；

(2)如果夕今〃，則〃是夕的必要條件；

(3)如果既有〃今g,又有q今p,記作則屋泌充要翁憶

【注】集合中，子集可以推出另一個(gè)集合.

口百題型一?真假命題

1.關(guān)于工的方程12+"+/?=0,有下列四個(gè)命題：

甲：該方程兩根之和為2；

乙：該方程兩根異號(hào)；

丙：x=l是方程的根；

T：x=3是方程的根.

如果只有一個(gè)假命題，則該命題是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【解答】解：若甲是假命題，則乙丙丁是真命題，

???兩根之和不為2,而x=l,x=3與兩根異號(hào)矛盾，，與題意不符；

若乙是假命題，則甲丙丁是真命題，

，兩根不異號(hào)，即方程有兩個(gè)相等的根，與題意不符；

若丙是假命題，則甲乙「是真命題，

令川=3,則火=-1,符合題意；

若丁是假命題，則甲乙丙是真命題，

令川=1，則X2=l，與題意不符.

故選：C.

2.下列命題中正確的是()

A.若xWC,f+l=O,貝Ux=i

B.若復(fù)數(shù)Z1,Z2滿(mǎn)足ZF+Z22=0,則Z1=Z2=O

C.若復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù)，則|Z|2=J

D.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(2+i)=|3-4i|,則復(fù)數(shù)z的虛部為-1

【解答】解：由/+1=0,』=-1,xWC,令x=〃+Z?i,

222

:?P=(a+bi)=a-b1+2abit貝!Ja?.=?1,2ab=0,

得a=0,b2=1,.\b=±I.即^=±1.故4錯(cuò).

設(shè)zi=(m+Aii),z2=(。2+歷i),

2222

則ZI+Z2=(%+b2i)+(a2+^20=0?得a：+公一竹一域=0,

可得：2(aibi+a2b2)=0,當(dāng)6=?3,m=歷時(shí)成立,則8錯(cuò).

設(shè)z=〃”，|z|2=m2,z2=(mi)2=-in2,AIzp^z2,故C答案錯(cuò)誤.

由復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足z(2+<)=|3-4/|,|3-4/|=5,z由+i)=5,

???z=2-i,則復(fù)數(shù)z的虛部為-I,故。答案正確.

故選：O.

3.給出下列命題：

①若空間向量工芯滿(mǎn)足向=說(shuō)，則3=7；

②空間任意兩個(gè)單位向量必相等；

③對(duì)于非零向量。，由Q,c=b?c,則a=/?；

④在向量的數(shù)量積運(yùn)算中(a.b)?c=a?(b?c).

其中假命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①若面=向，則展與茄勺模長(zhǎng)相等，但方向不確定，只有當(dāng)兩個(gè)向量的方向

相同時(shí)，才有展=1，即①錯(cuò)誤；

②單位向量只代表長(zhǎng)度相等，均為1，但方向不確定，即②錯(cuò)誤；

③由平面向量的數(shù)量積可知，若a?c=b,c,則a?cosVa,c>=b-cos<b,c>,即

③錯(cuò)誤：

④由于平面向量的方向無(wú)法確定，所以向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿(mǎn)足結(jié)合律，即④錯(cuò)誤；

所以①②③④都是錯(cuò)誤的，

故選：D.

4.已知m,n是兩條不同的直線(xiàn)，a,口，丫是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()

A.若〃i_La,〃_L0,且a_L0,則〃?_L〃

B.若m〃a,〃〃a，且〃?u0,〃u0,則a〃0

C.若"?〃a,〃〃a,則“?〃〃

D.若a_Ly，P±Y?則?！˙

【解答】解：At若機(jī)_La,w±p,a_L0,,由線(xiàn)面垂直,面面垂直的性質(zhì)得m_L〃，:.A

正確，

B：若〃?〃a,〃〃d/ua,〃u0,則a〃0或相交，錯(cuò)誤，

C：若，〃〃a,〃〃a,則〃?〃〃或相交或異面，.二。錯(cuò)誤,

D：若。_1丫，P±Y?則a〃B或相交，，。錯(cuò)誤.

故選：A.

5.給出下列命題：

（1）在△人BC中，若人〉B,則sinA>sin&

（2）設(shè)a,h,c為實(shí)數(shù)，若a>b,則”?>從2：

（3）設(shè)OVaV0VM則a-0的取值范圍是（一?，y）.

乙乙乙

其中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.IC.2D.3

【解答】解：對(duì)于（1）,在A(yíng)BC中，若A>8,則。>力，

由正弦定理三=一二=2R,

sinAsinB

得2RsiM>2RsinB,

即sinA>sin8成立,（1）正確;

對(duì)于（2）,a,b,c是實(shí)數(shù)，"a>b,且c=O,貝1ad*”,

則“。>力”推不出“小》心所以（2）不正確；

對(duì)于（3）,設(shè)OVaV0V*,-^<-^<0,則a-0的取值范圍是（一條因此（3）

正確：

故選：C.

6.下列五個(gè)命題：

①在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果彳服從正態(tài)分布N（2,。2）（0>0）,若馬在（0,2）內(nèi)取

值的概率為0.4,則彳在（0,+8）內(nèi)取值的概率為0.8；

②集合4=*口|?+2"3號(hào)0},8={H（XW2},則AC18的真子集個(gè)數(shù)為3；

③命題“若/-4m3—0,則x-3”的逆古命題為“若xV3,則--4X+340”；

④若（2%-白產(chǎn)的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則此展開(kāi)式中?項(xiàng)的系數(shù)為80：

⑤在10道題中有7道理科題和3道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，在第1次抽

2

到理科題的條件卜，第2次抽到理科題的概率為3

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：p(0<^<2)=0.4,并且測(cè)量結(jié)果;服從正態(tài)分布N(2,o2)(a>0),

則尸(5>0)=P(0<?<2)+P(?>2)=0.4+0.5=69,故①錯(cuò)誤;

經(jīng)計(jì)算可得4={入包!?+2^-3五0}=1-3,-2,-1,0,I},???AnB={0,1},

則其真子集的個(gè)數(shù)為2"-1=3,故②正確；

原命題“若/-4%+3=0,則x=3”的逆否命題為“若xW3,則』-4X+3W0"，故③正

確；

(2工一9)“的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則2〃=32,可得〃=5,

砥2%尸(一前=(一1)=25Tq?-一乎，令5一當(dāng)=2,解得r=2,

則展開(kāi)式中?項(xiàng)的系數(shù)為(一1)2X23x底=80,故④正確；

在10道題中有7道理科題和3道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，在第I次抽到

7

理科題的概率為短，

767

第I次和第2次都抽到理科題的概率為啟X-=—,

JLU?JLO

7

—2

???在第I次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為孽=故⑤正確.

—3

10

所以有四個(gè)正確的命題.

故選：C.

口題型二?量詞與命題的否定

1.命題“V〃6N*,/(n)WN*且/(〃)W〃”的否定形式是()

A.V/7GN*,f(n)0N*且/(〃)>n

B.V/?GN\/(〃)CN”或f(〃)>n

C.3n0eN*,/(/io)eN*旦/(〃o)>〃o

D.3n0GAT,/(n0)GN*或f(no)>no

【解答】解：因?yàn)槿Q(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，所以，命題，〃6N*,/(〃)WN*且/(〃)

的否定形式是：3n0GN",/(n0)6N"或f(〃o)>no.

故選：D.

2.已知/(x)=sinx-x,命題P：V.rG(0,—),f(x)VO,則()

2

A.。是假命題，vxe(o,芻，/(x)>o

B.尸是假命題，「P：3x0e(0,今，/(x0)>0

C.尸是真命題，「P：Vxe(o,5),/(x)>0

D.2是真命題，「P：3x0e(0,今，/(x0)>0

【解答】解：V/(x)=siru,--x,:(x)=cosx?lWO

：.f(x)是定義域上的減函數(shù),

</(())=0

???命題aVXG(o,一),f(x)VO,是真命題;

2

?7T

???該命題的否定是

P：3x0G(0,力/(x0)0-

故選:D.

3.對(duì)于下列四個(gè)命題,其中的真命題是()

ixoixo

3.voG(0,+00)?(4)<(4)

“2:3xoE(0,I),\ogixo>logixo；

23

1

P3：V.rG(0,+8),(-)X>log\x；

22

11

P4：Vxt(0,-)?(-)X<logix.

322

A.0,〃3B.pit〃4C.p2,p3D.〃2,

(士尸(士尸

3,(3-)x>\.即孚一=31

【解答】解：：宙(-)3當(dāng)￡>0時(shí)(-)x>\,即(一)

22胱22

1

(-)

3

aV(i)

貝U〃i：3.vo￡(0,+8),x°;為假命題,

4,3

1log1JO=]

logIAO=

，。外：

230'

v,u)e(o,1),

???0Vlogx1<logz1<1則7J1

00>log益’

lO^02

即〃2：3AOG(0,1),log1刈>1。91村成立,

當(dāng)時(shí)，(V)x>/ogix不成立，即P3是假命題，

N22

11

X

由圖象知VxW(0,-),(-)<logxx.成立，

322

故真命題為P2,〃4,

故選：D.

4.若命題使得(〃+1)X+4W0”為假命題，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(-5,

3).

【解答】解：命題叼足R，使得/-(。+1)X+4W0”為假命題，

即命題“Vx￡R,使得J-(a+1)/4>0”為真命題，

則判別式4=(fl+1)2-4X4<0,

即4=(?+1)2V16,

則-4<a+l<4,

即-5Va<3,

故答案為：(-5,3).

口題型三?充分必要條件

1.(2015?福建)若/,J是兩條不同的直線(xiàn),J垂直于平面a,則“/JLm”是“/〃?！钡?)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：I,m是兩條不同的直線(xiàn)，〃？垂直于平面a,則“Lm”可能“/〃a”也可

能/ua,

uM

反之，“/〃a”一定有l(wèi)±m(xù)t

所以/，機(jī)是兩條不同的直線(xiàn)，，〃垂直于平面a,則是“/〃a”的必要而不充分

條件.

故選：B.

2.(2020?天津)設(shè)於R,則是“J〉/，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：由解得aVO或

故。>1”是的充分不必要條件,

故選：A.

3.設(shè)小b都是不等于1的正數(shù)，則“l(fā)oga3>logr>l”是a3a<3bn的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：小人都是不等于1的正數(shù)，

由1。取3>1。勖3>1,得lVaVbV3,.a.3a<3b；

反之，由3Y3"得aVb,若OVaVl,h>\,則log#VO,故loga3>由段3>1不成立.

???“l(fā)o電3>log〃3>l”是“3”<3力”的充分不必要條件.

故選：B.

4.設(shè)小〃是實(shí)數(shù)，則，>0,Q0”是“2+?工2”的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答］解：若。>0,b>0,則3+￡之24^=2,故充分性成立，

ba匕ait

若〃<0,b<0,滿(mǎn)足—>0,—>0,滿(mǎn)足一+工N2J?￡=2,但。>0,〃>0不成立，

ababb

故”〃>（）,b>（yf是“2+f工2”的充分不必要條件，

ab

故選：A.

5.在A(yíng)A3c中，設(shè)命題p：-9==一二=一匚，命題q：ZXABC是等邊三角形，那么命

sinCstnAsinB

題p是命題q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

bc

【解答】解：由正弦定理可知焉=焉J若，_----=------f

sinC,sinCsinAsinB

abc

則nl展=a=b

即a=tc,h=ta,c=h：t

BPabc=Pabc,即f=1,

則4=8=C,即△ABC是等邊三角形，

若△極是等邊三角形，則則就=高=島n成立,

即命題〃是命題g的充要條件，

故選：C.

6.（2019?北京）設(shè)點(diǎn)A,B,。不共線(xiàn)，則“眾與品1的夾角為銳角”是“前+北|>|辰

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：點(diǎn)A,B,C不共線(xiàn)，

BC=AC-AB,：.BC2=AC2+AB2-2AC-AB,

T2-2T2

當(dāng)前與北的夾角為銳角時(shí)，AC-AB=AC+A^~BC>0,

???“京與前的夾角為銳角”=a\AB+AC\>\BC\f\

（i\AB+AC\>\BC\ff="幾與晶的夾角為銳角”，

???設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線(xiàn)，則“筋與成的夾角為銳角”是“成+啟>|辰|"的充分必

要條件.

故選：C.

7.已知“/-廠(chǎng)2>0”是“2x+p>0”的必要條件，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（-8,-

【解答】解：由2x+p>0,得—即A={Mx>—與},

由』-x-2>0,解得A>2或xV-1,令8={就>2或xV-1},

由題意知AG8時(shí)，

即一空2,

解得〃W-4,

???實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（-8,-4].

故答案為：（-8,-4].

8.設(shè)命題p：|4x-3|WI；命題g：x2-（2a+1）x+a（6+1）W0.若是-'夕的必要而不

充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范闈是_[0,力.

]

【解答】解：解|4x-3|Wl,得解/-（2。+1）x+a（。+1）W0.得忘xW

a+\.

因?yàn)?〃是1q的必要而不充分條件，所以，q是〃的必要不充分條件,

即由命題p成立能推出命題q成立，但由命題q成立不推出命p成立.

/.[―?1度31].

???。工2且〃+121,兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立，解得OWaw]

???實(shí)數(shù)。的取值范圍是：[0,

國(guó)題型四.存在問(wèn)題、恒成立問(wèn)題

1.不等式-〃a-2Vo對(duì)任意xWR恒成立的充要條件是"怎（?8，0].

【解答】解：：不等式uvr-g-2VO對(duì)任意x€R恒成立，

八—piH0

..6=0或卜_機(jī)）2+87n<0，

解得-8c〃W0.

A不等式-nix-2<0對(duì)任