6.4.4探索三角形相似的條件.三邊證明相似

分層練習

基礎練

考察題型一三邊證明相似

1.下列判斷中，不正確的有（）

A.三邊對應成比例的兩個三角形相似

B.兩邊對應成比例，且有一個角相等的兩個三角形相似

C.有一個銳角相等的兩個直角三角形相似

D.有一個角是100。的兩個等腰三角形相似

【詳解】解：A、三邊對應成比例的兩個三角形相似，正確；

2、兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，故原說法不正確;

C、有一個銳角相等的兩個百角三角形的三個角分別對應相等，.??兩三角形相似，正確;

。、有一個角是100。的兩個等腰三角形，則它們的底角都是物，.?.有一個角是100。的兩個等腰三角形相

似，正確.

故本題選：B.

2.把AAAC經過下列變形，與AAAC相似的是（）

A.各邊長都加2B.各邊長都減2

C.各邊長都乘以2D.各邊長都平方

ABBCAC1

【詳解】解:

2AB~2BC~2AC~2,

「?A44C與各邊長都乘以2的三角形相似.

故本題選：C.

3.AA5c和△4方。符合下列條件，其中使A4BC和△4汗C不相似的是（）

A.ZA=ZA'=45。，N8=26。，4=109。

B.AB=\,AC=1.5,BC=2,A8=4,AC=2,=3

C.Z4=N8,AB=2,AC=2.4,A9=3.6,B'C=3

D.AB=3,AC=5,BC=7,4夕=6，4C=石，

【詳解】解：4、?.?NA=NA'=45°,N8=26。，Z^=109°?

.\ZC=109°,ZC=26°

/.ZB=ZC,

??.MBCs/XA，。人

B、=AC=}.5,BC=2,A“=4,AC=2,RC=3,

ABACBC\

而一壽一宿-5'

.?.AABC's/XCATT；

C、?.?Z4=N8,AB=2,4c=2.4，A夕=3.6,BC=3,

.\AB:B,C=AC:A,B,=2:3,

.?.AABCs△后c/；

D、?.44=3,AC=5,BC=1,A!B'=>/5,A!C=>/5,B'C=>/7,

357

'市忑工京

:.不相似.

故本題選：。.

4.在A4BC和△AMG中，有.卜列條件：①=BC，②=40,③/4=/4，@NB=NB1,⑤

A44G4GAC

NC=NG，如果從中任取兩個條件組成一組，那么能判斷AABCs/\A/JG的有（）

A.4組B.5組C.6組D.7組

【詳解】解：選①②可得：—=—=由SSS可判定兩個三角形相似；

4用B￡AG

選①④或②⑤，可通過SAS判定兩個三角形相似；

選③④、③⑤或④⑤，可通過AA判定兩個三角形相似；

綜上，共有6組.

故本題選C.

5.依據圖中所標注的數據，添加下列條件：①?Z4=ZF；?—=—?④任-竺.其

ACDF912

中仍然不能判定AABC與ADEF相似的是（）

【詳解】解：由題意可知：

DE63EF93

ABBC

~DE='EF'

?.?ZB=NE，

AABCSADEF,故①能判定MBC與^DEF相似；

②不能判定AA4C與ADEF相似；

BCEFABBC

?~AC~~DF'~DE~~EF'

ABBCAC

~DE~~EF~~DF'

二.MBC^SDEF,故③能判定MBC4^DEF相似；

ACDF

---=----，

912

AC93

二=一=一，

DF124

...組=改*,故④不能判定44c與ADEF相似.

DEEFDF

故本題選：D.

6.如圖，在由邊長為I的小正方形組成的網格中，三角形的頂點都在格點（網格線的交點）上，則與AA3C

相似的是（）

【詳解】解：VAtf=V32+l2=ViO,AC=yl22+22=2A/2,BC=dl—應,

A：三角形三邊分別為：3及，府,2,

B：三角形三邊分別為：如，3,2,

C：三角形三邊分別為：2石，4,2,

D：三角形三邊分別為：4,V13,0

根據“如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似”可知:

C中的三角形與AABC相似.

故本題選：C.

7.如圖所示，棋盤上有A、B、。三個黑子與P、Q兩個白子，要使AA4cSA/CPQ,則第三個白子R應

放的位置可以是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【詳解】解：如圖，設8C中點為E,PQ中點'為F,連接A8、BC、AC.RP、PQ、RQ，

?.?要使AABCSARQQ,需二二一，

RFPQ

1、J,解得：RF—6>

RF4

.?.第三個白子R應放的位置可以是丁.

故本題選：D.

8.中國象棋是中國棋文化，也是中華民族的文化瑰寶，它源遠流長，趣味濃厚，基本規(guī)則簡明易懂.如圖

所示是中國象棋的棋盤(各個小正方形的邊長均相等)，根據“馬走口”的規(guī)則，“馬”應該落在位置一處，

能使“馬”、“炮”、“兵”所在位置的格點構成的三角形與“帥”、“車”、“相”所在位置的格點構

成的三角形相似.

【詳解】解：由圖可知：“帥”、“車”、“相”所在位置的格點構成的三角形的三邊的長分別為4,2,

275,

“兵”、“炮”之間的距離為2,“炮”與②之間的距離為1,“兵”與②之間的距離為石，

4225/52

,GT丁廠

.?.馬應該落在②的位置.

故本題答案為：②.

9.如圖，在平面直角坐標系中，我們把縱橫坐標都是整數的點叫做整點.三個頂點的坐標為0(0,0),

44,4),8(6,2),由AOAB的三邊(包括頂點)中的整點構成的三角形與ACMg相似的共有()

A.4個B.5個C.6個D.7個

【詳解】解：①以。為頂點的三角形：A(2,2),9(3,1)：

②以A為頂點的三角形：0(2,2),以(5,3)或。(6,2),"(5,5)；

③以8為頂點的三角形：A(5,3),B'(3,l)；

④4(2,2),用(3,1),0(3,1);

⑤與bOAR全等?、

綜上，共有6個.

故本題選：C.

10.已知，如圖，—=—=那么A/3D與A?CK相似嗎？為什么？

:.MBCsgBE,

ZABC=NDBE,

ZABC-ZDBC=NDBE-NDBC,即ZABD=NCBE,

ABBC

AB13D

---=---,

BCBE

：.AABD^SCBE.

11.如圖，在邊長為I的小正方形組成的網格中，A43c和ADE產的頂點都在格點上，A，P2,八，1

R是ADb邊上的5個格點，請按要求完成下列各題：

(1)判斷AA5C和拉無尸是否相似，并說明理由；

(2)畫一個三角形，它的三個頂點為鳥，居，巴，巴中的3個格點，并且與A48C相似.(要求:

不寫作法與證明)

【詳解】解：(1)AABC和拉死產相似，理由如下:

由勾股定理可得：AB=yJ42+22=2x/5,AC3+22=后,?C=V32+42=5,

DF=>/22+22=2>/2,DE=V42+42=472,FE=y/22+62=2\/10,

AC_AB_BC_M

l)F~~DE~~FE~~r'

.??A44c和ADE/7相似;

12.如圖，點4、。、E在一條直線上，AE與AC相交于點尸，—=—=—

ADDEAE

(1)求證：NBAD=NCAE；

⑵若EF=LCF,AAEb的周長等于2,求尸的周長.

2

【詳解】解：（1）?.?絲=史=生

ADDEAE

.?.NBAC=NDAE,

ABAC-ZAMC=ZAME-ZMC,即N曲。=NC4E；

(2)由(1)知：△ABCS'ADE,

.\ZE=ZC,

又YNAFEM/BFC,

AFEFAE

~BF~~CF~~BC

QFE_EF

------------------,

VCA?FC5CF

5

2}_

GCBF2

''C^BFC=5"

考察題型二分類討論思想在相似中的應用

I.已知A/WU的三功長分別為I,出、叵,△4用仁的兩功長分別為血和#.若AAACsZXA"。'

則△的第三邊長為（）

A.V2B.2C.-D.—

23

【詳解】解：設△4EU的第三邊的長為x,

①當xv正〈幾時，

五.省

.?.此情況不存在：

②當0<4<幾時，

；=顯=卑,解得：％=2；

\/2XyJ6

③當時，

1a

,?飛飛

.?.此情況不存在.

故本題選：B.

2.一個鋼筋三腳架三邊長分別為30c/〃，60cm,SOcm,現在要做一個和它相似的鋼筋三腳架，而只有長

為40cm和90c/〃的兩根鋼筋，要求以其中的一根為一邊，從另一根上截兩段（允許有余料）作為另兩邊，

則不同的截法有（）

A.一種B.兩種

C.三種D.四種或四種以上

【詳解】解：由相似三角形對應邊成比例可知：只能將40c?〃長的作為?邊，將90c,〃長的截成兩段，

設從90cm的鋼筋上截下的兩段分別長xcm,yan,

①當40c力?長的邊對應長的邊時，一=一=—,x=80(67?0,)才10.6(。7?),x+>,=90.6(?！?>90(?！?，

40xy

.??此截法不可行；

②當40c〃z長的邊對應60c7〃長的邊時，—=—=—>x=20(cm)?y?5.3(cm),x+)，=25.3[c?〃)<90c/??,

x40y

.?.此截法可行：

③當40(7?7長的邊對應80c7九長的邊時，竺="=應，x=1.5((7?1)，y=3(5。，x+y=4.5(c〃!)<90cm，

xy40

，此截法可行；

綜上，截法有兩種.

故本題選：B.

提升練

1.如圖，已知二次函數)，=-/+2.1+4S，c為常數)的圖象經過點A(3,l),點C(0,4),頂點為點M,過

點A作軸，交y軸于點。，交該二次函數圖象于點3,連接BC.點?是坐標平面內的?點，使得

A4C3與&WCP相似，且CM的對應邊為AC,請寫出所有點P的坐標

【詳解】解：AAC4與AMCP相似，且CM的對應邊為4C,存在AACBSACW0或ACA3s,

點A、