專題4.5相似三角形的應(yīng)用（舉一反三講義）

【浙教版】

題型歸納

【題型1燈光下的測(cè)量問(wèn)題】

【題型2標(biāo)桿測(cè)量問(wèn)題】

【題型3利用鏡子進(jìn)行測(cè)量】

【題型4利用視線進(jìn)行測(cè)量】

【題型5古典文化中的測(cè)量問(wèn)題】

【題型6光學(xué)成像中的測(cè)量問(wèn)題】

【題型7裁剪問(wèn)題】

【題型8三角形中內(nèi)接矩形】

【題型9實(shí)物抽象出相似問(wèn)題】

舉一反三

知識(shí)點(diǎn)相似三角形的應(yīng)用

（1）利用影長(zhǎng)測(cè)量物體的高度

①測(cè)量原理：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形

的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決；

②測(cè)量方法：在同一時(shí)刻測(cè)量出參照物和被測(cè)量物體的影長(zhǎng)，再計(jì)算出被測(cè)量物的氏度.

（2）利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）

①測(cè)量原理：測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造7"型或“X'型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)

在一條直線上，必須保證在一條直線上，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)便，盡量構(gòu)造直角三角形；

②測(cè)量方法：通過(guò)測(cè)量便于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出河的寬度.

（3）借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度

利用桿或直測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長(zhǎng)）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)

的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度.

【題型1燈光下的測(cè)量問(wèn)題】

【例1】

1.如圖，在同一水平地面上豎直地立有兩個(gè)高度相同的路燈，已知兩路燈之間的水平距離

試卷第1頁(yè)，共18頁(yè)

是24米，路燈燈光正好照在地面上的E處和尸處，且BF=FE=DE,4后與3相交于點(diǎn)

0.

AC

（I）若力￡_L3,求路燈48的高度；

（2）連接08,若44=8米.求05的值.

【變式1-11

（24-25九年級(jí)上?陜西咸陽(yáng)?期中）

2.小明家窗外有一個(gè)路燈，每天晚上燈光都會(huì)透過(guò)窗戶照進(jìn)房間里，小明想利用相關(guān)數(shù)學(xué)

知識(shí)測(cè)最這個(gè)路燈的高.如圖，路燈頂部力處發(fā)光,光線透過(guò)窗子OC照亮地面的長(zhǎng)度為/?廠

（點(diǎn)力、。、E在一條直線上，點(diǎn)4、C、尸在一條直線上），小明測(cè)得窗戶距離地面高度

DO=\mt窗高CQ=1.5m,OE=lm,EF=4m,其中8、。、E、尸四點(diǎn)在同一條直線

上，C、。、。三點(diǎn)在同一條直線上，且力8_L8￡,COLOE.求出路燈的高度48.

【變式1-2】

3.如圖，小華在晚上由路燈片走向路燈8,當(dāng)她走到尸點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后影子的頂端即好接

觸到路燈力的底部，當(dāng)她向前再步行12m到。點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前影子的頂端剛好接觸到路燈8

的底部.已知小華的身高是1.6m,兩路燈的高度都是9.6m.

（1）當(dāng)力尸=Q6=xm時(shí)，求x的值:

試卷第2頁(yè)，共18頁(yè)

（2）當(dāng)小華在路燈4與路燈8之間走動(dòng)時(shí)，在兩燈光下的影子長(zhǎng)是變化的，那么兩個(gè)影子長(zhǎng)

的和是否發(fā)生變化？若不變，求出兩個(gè)影子長(zhǎng)的和：若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1-3]

（24-25九年級(jí)上?四川成都?期末）

4.在成都未來(lái)科技城福田70。地鐵站臺(tái)，以銀杏為設(shè)計(jì)元素的“科技樹(shù)”，像一個(gè)個(gè)超大雨

傘，兼具集雨水收集、燈光聯(lián)動(dòng)等功能，實(shí)現(xiàn)站臺(tái)整體的綠色低碳（如圖1）.在數(shù)學(xué)活動(dòng)

課中，小明利用硬紙板自制測(cè)量“科技樹(shù)”的高度，即4G的長(zhǎng)（如圖2）：已知,

在中，C，=L2米，〃〃=0.5米，E,少是樹(shù)干上兩點(diǎn)，目測(cè)點(diǎn)C到地面的距離

CO=￡F=2米，到樹(shù)干的水平距離CE=IO8.2米，他通過(guò)調(diào)整位置，使斜邊CW與點(diǎn)￡在

同一直線上，另一條直角力CH與“科技樹(shù)''左側(cè)最高點(diǎn)力在同一直線上，樹(shù)冠力的正投影點(diǎn)

G到樹(shù)干底端尸距離即G尸=17米.求“科技樹(shù)”力G的高度.

【題型2標(biāo)桿測(cè)量問(wèn)題】

【例2】

（2025?河南周口?一模）

5.南陽(yáng)解放紀(jì)念碑位于中國(guó)歷史文化名城南陽(yáng)市白河游覽區(qū)，是南陽(yáng)一處重要的愛(ài)國(guó)主義

和革命傳統(tǒng)教育基地.某琮合實(shí)踐學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)了《銳角三角函數(shù)》以后，開(kāi)展測(cè)量物體

高度的實(shí)踐活動(dòng).他們把“測(cè)量南陽(yáng)解放紀(jì)念碑的高度”作為一項(xiàng)課題，利用課余時(shí)間完成了

實(shí)踐報(bào)告，弁形成了如下活動(dòng)報(bào)告.

活動(dòng)項(xiàng)目測(cè)量南陽(yáng)解放紀(jì)念碑的高度

活動(dòng)方案“測(cè)角儀”方案

試卷第3頁(yè)，共18頁(yè)

/1

方案示意圖

FDB[

①選取與紀(jì)念碑底座點(diǎn)B位于同一水平地面的D處立一標(biāo)桿CD；

②測(cè)量?jī)?yōu)。兩點(diǎn)間的距離；

實(shí)施過(guò)程③在F處從點(diǎn)E看到標(biāo)桿頂點(diǎn)C與紀(jì)念碑頂點(diǎn)A在同一條直線上；

④測(cè)量。，/兩點(diǎn)間的距離；

⑤測(cè)量E到地面的高度E尸

測(cè)量數(shù)據(jù)①CQ=2.4m；@5D=227m；③O"=3m；（4）￡F=1.6m

說(shuō)明①圖上所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)；@AB,CD,叱均與地面垂直

根據(jù)活動(dòng)報(bào)告，求南陽(yáng)解放紀(jì)念碑的高度（結(jié)果精確到OJm）.

【變式2-1]

（24-25九年級(jí)上?陜西咸陽(yáng)?期末）

6.一個(gè)陽(yáng)光明媚的午后，瑩瑩游玩期間，想測(cè)量一座信號(hào)塔的高度，出于安全考慮，瑩瑩

不能到達(dá)信號(hào)塔的正下方，于是她決定利用太陽(yáng)光線來(lái)進(jìn)行測(cè)量.如圖，她在地面上的點(diǎn)。

處豎立一根長(zhǎng)為4.5米的標(biāo)桿CO,此時(shí)發(fā)現(xiàn)標(biāo)桿CO與塔48在太陽(yáng)光下的影子末端恰好重

合于地面上的點(diǎn)E處，已知6、。、七三點(diǎn)在一條直線上，AB工BE,CDA.BE,用測(cè)距

儀測(cè)得8。=49.5米.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出標(biāo)桿弓塔在太陽(yáng)光下的影子末端E:

（2）若測(cè)得此刻?！?5.5米，請(qǐng)你求出信號(hào)塔的高度力4.

【變式2-2】

（24-25九年級(jí)上?山西晉中期中）

試卷第4頁(yè)，共18頁(yè)

7.太谷鼓樓位于山西省晉中市太谷區(qū)舊城十字街中心，始建于明萬(wàn)歷四十三年，是晉汾地

區(qū)鼓樓建筑中的代表作品，鼓樓是太谷的象征，有風(fēng)眼之稱.某校數(shù)學(xué)興趣小組決定采用如

下方法來(lái)測(cè)顯鼓樓的高度.如圖2,該小組成員選取與底端4在同一水平地面上的E,G兩

點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為2m的標(biāo)桿石尸和G”,兩標(biāo)桿間隔EG約為13.5m.從標(biāo)桿

跖后退1.5m到點(diǎn)。處（即EZ）=1.5m）,從點(diǎn)。處觀察頂端力處，使4F、。三點(diǎn)共線；

從標(biāo)桿G〃后退3m到點(diǎn)C處（即CG=3m）,從點(diǎn)。處觀察頂端力處，使4H、C三點(diǎn)共

線，其中點(diǎn)力、B、C、4E、F、G、〃均在同一平面內(nèi).請(qǐng)根據(jù)上述測(cè)量數(shù)據(jù)，求鼓樓的

高度.

【變式2-3】

8.如圖1,月5為路燈主桿，"C為路燈的懸臂，48=4.6m,5C=0.5m.MN為足夠長(zhǎng)的

標(biāo)桿，標(biāo)桿垂直地面且掛有若干個(gè)燈筑.已知8C148于點(diǎn)4,4.5m,高度為L(zhǎng)6m

的小藝同學(xué)沿地面4W走著去看燈籠與路燈C,GO=2m,繪制示意圖（如圖2）,G,。,

〃三點(diǎn)共線，GH//AM,NCDE=90。且NDFH=NEDH,連結(jié)C”能滿足△8〃與點(diǎn)

D、E、F為頂點(diǎn)的三角形相似，此時(shí)所看到的燈籠/與，點(diǎn)的距離為m.

【題型3利用鏡子進(jìn)行測(cè)量】

【例3】

9.塔剎位于塔的最高處，是“觀表全塔''和塔上最顯著的標(biāo)記.如圖①，北寺塔為九級(jí)八面

破身木檐混合結(jié)構(gòu)，塔剎島聳，宏偉秀逸.小明采用了如F方式測(cè)量北寺塔的塔剎高度.

試卷第5頁(yè)，共18頁(yè)

信息傳遞---------------------------

'法線：過(guò)入射點(diǎn)并垂直于鏡面的直線。

入射角：法線IN

入射光線與法

線的夾角。43射角:反射為

反射角：

反射光線與法

線的夾角。入射點(diǎn)

圖①圖②

【學(xué)科融合】光的反射定律：如圖②，光反射時(shí)，反射光線、入射光線和法線在同一半血

內(nèi)，反射光線、入射光線分居在法線兩側(cè)，反射角等于入射角;

【探索活動(dòng)】如圖③，小明先測(cè)量了北寺塔8的高度，他先在地面點(diǎn)P處平放一面鏡子,

然后沿直線CP退至點(diǎn)4處，此時(shí)眼睛8恰好在鏡子中看到北寺塔塔剎的頂端。.經(jīng)測(cè)量,

小明的眼睛到地面的距離45=1.6m,JP=1.2m,CP=57.0m,求北寺塔C。的高度;

【解決問(wèn)題】小明再將鏡子移至直線力。上的點(diǎn)。處，當(dāng)他回到點(diǎn)力處時(shí)，恰好可以通過(guò)鏡

子看到塔剎的頂部E.

①請(qǐng)用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)，在圖④中作出表示鏡子位置的點(diǎn)。（不寫作法，保留作圖痕

跡）；

②經(jīng)測(cè)量,力。=L5m,求塔剎Of的高度（精確到O.hn）.

【變式3-1]

（24-25九年級(jí)上?陜西咸陽(yáng)?期中）

10.為了測(cè)量物體48的高度，小小帶著工具進(jìn)行測(cè)量.方案如下：如圖，小小在。處放置

一平面鏡，她從點(diǎn)。沿8c方向移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)2米到。處時(shí)（即。。=2米），恰好在鏡子中

看到物體頂點(diǎn)力的像，此時(shí)測(cè)得小小眼睛到地面的距離EQ為1.5米.然后，小小在廠處豎

立了一根高1.8米的標(biāo)桿尸G,發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)〃、標(biāo)桿頂點(diǎn)G和物體頂點(diǎn)A在一條直線上，

此時(shí)測(cè)得/為6米，。尸為8米.已知ED1BH,GFtBH,點(diǎn)、B、C、D、

產(chǎn)、，在一條直線上.請(qǐng)根據(jù)以上所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算物體力8的高度.

試卷第6頁(yè)，共18頁(yè)

.1

【變式3-2】

（24-25九年級(jí)上?浙江寧波?階段練習(xí)）

11.榆林人民大度，以榆林代表性的古跡“鎮(zhèn)北臺(tái)和凌霄塔''為建筑造型設(shè)計(jì)立意，配以天圓

地方的設(shè)計(jì)理念.安安和明明想利用所學(xué)的幾何知識(shí)測(cè)量榆林人民大廈的高度，測(cè)量方案如

下：如圖，安安位于明明和大原之間，在直線上的點(diǎn)C處放置一個(gè)平面鏡，鏡子不動(dòng),

安安來(lái)回走動(dòng)，走到點(diǎn)。時(shí).，恰好在鏡子中看到大廈頂端人的像，此時(shí)測(cè)得安安眼睛與地

面的高度EQ=1.6米，CO=0.8米，同時(shí)，在陽(yáng)光下，大廈＜8的影子頂端與明明的影子頂

端恰好重合于“，測(cè)得明明身高EG為1.8米、影長(zhǎng)〃〃為1.2米，己知

ED1BM,GF1BM,DF=14.5米，C、D、F、H均在BM上,圖中所有點(diǎn)均在同一半

面內(nèi)，請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求該大廈的高度.（平面鏡的大小忽略不計(jì)）

【變式3-3】

12.為了測(cè)量路燈EP的長(zhǎng)度，小明從燈桿底部N沿人行道拉一皮卷尺到4處，在0V之間

水平放置一平面鏡，移動(dòng)鏡子的位置分別到C，。兩點(diǎn)時(shí)，小明恰好能在鏡中分別看到兩燈

全貌，其視線如圖所示，已知點(diǎn)&C,D,N在同一水平直線上，且48,"N均垂直于

BN,D、P、/三點(diǎn)共線，且EPLMN,FM1MN.已知小明眼睛離地面的高度

/18=L8m,8C=1.2m,CZ）=0.6m,DN=10m,MF=3m.求路燈EP的長(zhǎng).（平面鏡的

大小忽略不計(jì)，結(jié)果精確到01）

試卷第7頁(yè)，共18頁(yè)

【題型4利用視線進(jìn)行測(cè)量】

【例4】

（24-25九年級(jí)下?陜西西安?期中）

13.周末，小凱和同學(xué)帶著皮尺，去測(cè)量楊大爺家露臺(tái)遮陽(yáng)篷的寬度.如圖，由于無(wú)法直接

測(cè)量，小凱便在樓前地面上選擇了一條直線￡F，通過(guò)在直線￡戶上選點(diǎn)觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)他位

于"點(diǎn)時(shí)，他的視線從"點(diǎn)通過(guò)露臺(tái)。點(diǎn)正好落在遮陽(yáng)篷4點(diǎn)處；當(dāng)他位于M點(diǎn)時(shí)，視線

從點(diǎn)通過(guò)。點(diǎn)止好落在遮陽(yáng)篷4點(diǎn)處，這樣觀測(cè)到的兩個(gè)點(diǎn)力、〃間的距離即為遮陽(yáng)篷

的寬.已知AB〃CD〃EF,點(diǎn)C在4G上，AG、DE、MN、A/M均垂直于石尸，

MN=MN,露臺(tái)的寬CO=GE,測(cè)得GE=2.5米，瓦\(yùn)"=3米，N'N=3.9米.請(qǐng)你根據(jù)以

上信息，求出遮陽(yáng)篷的寬是多少米？（結(jié)果精確到0.1米）

AH

【變式4-1】

（2025?河南鄭州?二模）

14.我們知道當(dāng)人的視線與物體表面互相垂直時(shí)的視覺(jué)效果較好.如圖，一副展覽畫懸掛

在墻上，展覽畫的寬48=0.6m,畫框的下邊緣緊貼在墻上，上邊緣與堵壁的距離

8c=0.2m,為了使觀賞者欣賞畫作時(shí)的視覺(jué)效果最佳，視線。上需落在展覽畫中心位置七

處，且與月8垂直，已知觀賞者眼睛。與展覽畫底端力在同一水平線上（即。

求達(dá)到最佳視覺(jué)效果時(shí)，觀賞者與墻壁的距離4。的長(zhǎng).

試卷第8頁(yè)，共18頁(yè)

【變式4-2】

（2025?廣東佛山?二模）

15.【項(xiàng)目主題】測(cè)量距離

【項(xiàng)目背景】在一次數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)中，老師帶領(lǐng)同學(xué)們測(cè)量池塘兩點(diǎn)間的距離3、

3兩點(diǎn)距離不可直接測(cè)得）.

【實(shí)踐T具】皮尺?測(cè)角儀等T具.

【實(shí)踐操作】

方案一：如圖1,一位同學(xué)在離池塘邊8點(diǎn)不遠(yuǎn)處的C點(diǎn)站立，力、B、C三點(diǎn)在同一條直

線上.調(diào)整帽子，使得視線通過(guò)帽檐正好觀測(cè)到池塘對(duì)面的力點(diǎn).該同學(xué)保持剛才的姿勢(shì),

轉(zhuǎn)過(guò)180。，這時(shí)視線剛好落在點(diǎn)￡處.利用皮尺測(cè)得C￡=am,BC=bm.

同學(xué)們還設(shè)計(jì)了方案二、方案三……

【問(wèn)題解決】

（1）根據(jù)方案一，求力、〃兩點(diǎn)間的距離；

（2）嘗試設(shè)計(jì)與方案-不同的方案，在圖2中畫幾何圖形，并求力、A兩點(diǎn)間的距離（為

使表達(dá)簡(jiǎn)潔，需要測(cè)量的角建議用Nl、N2、N3等表示）.

試卷第9頁(yè)，共18頁(yè)

【變式4-3】

（24-25九年級(jí)上?陜西咸陽(yáng)?期中）

16.如圖，小明和爸爸二人配合測(cè)量小區(qū)內(nèi)一棵樹(shù)的高度力。.小明在距離樹(shù)0.3m的B處

（48=0.3m）,看樹(shù)的頂端。的視線為EQ,原地再看爸爸的頭部，視線為四,爸爸經(jīng)過(guò)移

動(dòng)調(diào)整位置，當(dāng)b_LEO時(shí)爸爸停止移動(dòng)，這時(shí)測(cè)得力C=Llm.已知點(diǎn)力，B,C在地平

面的一條直線上，樹(shù)和二人都垂直于這條直線，小明的瓜睛到地面的距離E6=L6m,爸爸

的身高求樹(shù)的高度力。.

【題型5古典文化中的測(cè)量問(wèn)題】

【例5】

17.《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有邑方

二百步，各中開(kāi)門，出東門十五步有木，問(wèn)：出南門幾步而見(jiàn)木？”用今天的話說(shuō)，大意是:

如圖，QE/G是一座邊長(zhǎng)為200步（“步”是古代的長(zhǎng)度電位）的正方形小城，東門〃位于

GQ的中點(diǎn)，南門K位于七。的中點(diǎn)，出東門15步的<處有一樹(shù)木，求出南門多少步恰好

看到位于力處的樹(shù)木（即點(diǎn)。在直線力C上）.

試卷第10頁(yè)，共18頁(yè)

G

【變式5-1]

18.《孫子算經(jīng)》中記載一題：“今有竿，不知長(zhǎng)短，度其影，得一丈五尺?別立一表，長(zhǎng)一

尺五寸，影得五寸?問(wèn)：竿長(zhǎng)兒何？”其大意是：今有一根木桿，不知道其長(zhǎng)度，量它的影子,

等于15尺，另外再有一根標(biāo)桿，桿長(zhǎng)1.5尺，量得標(biāo)桿的影子為0.5尺，則木桿的長(zhǎng)為（）

A.5尺B.15尺C.30尺D.45尺

【變式5-2]

（24-25九年級(jí)上?重慶渝中?階段練習(xí)）

19.《周髀算經(jīng)》中記載:“偃矩以望高”，是指把“矩”（圖中48C）的一邊仰著放平，可以測(cè)量

高度.如圖，“矩”的一邊4〃緊貼地面，8c和旗桿印均垂宜地面.測(cè)得力4長(zhǎng)0.5m,BD

長(zhǎng)0.2m,長(zhǎng)17m,則旗桿"'的高度為m.

【變式5-3]

20.《海島算經(jīng)》中記載：“今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表

參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合.從后表卻行?百二

I七步，人目著地，取望島峰，亦與表木參合.問(wèn)島高幾何.”其大意是：如圖，為了求海

島上的山峰力8的高度，在。處和E處樹(shù)立高都是3丈（1丈=：步）的標(biāo)桿C。和EE,D,

產(chǎn)相隔1000步，并且48,CO和E尸在同一平面內(nèi)，從。處后退123步到G處時(shí)，A,

C,G在一條直線上；從尸處后退127步到〃處時(shí)，力，E,，在一條直線上，則山峰的

高度48為一步.

試卷第11頁(yè)，共18頁(yè)

A

【題型6光學(xué)成像中的測(cè)量問(wèn)題】

【例6】

（24-25九年級(jí)上?遼寧阜新?期末）

21.手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的，如圖1中小狗手影就是我們小時(shí)候常

玩的游戲.在一次游戲中，小明的手距離墻壁3米，爸爸拿的光源與小明手的距離為1米，

如圖2.在光源不動(dòng)的情況下，要使小狗手影的高度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，則小明的手與光源的

距離應(yīng)（）

A.增加0.5米B.增加1米C.增加2米D.減少0.5米

【變式6-1】

（24-25八年級(jí)下?江蘇蘇州?期末）

22.大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了小孔成像的實(shí)驗(yàn)、并在《墨經(jīng)》中有這樣

記載：“景到，在午有端，與景長(zhǎng)，說(shuō)在端如圖所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為95?,

像距為14c7〃，蠟燭火焰倒立的像的高度是7c,〃，則蟒燭火焰的高度是cm.

（2025?山西長(zhǎng)治?三模）

23.在初中物理課程中，我們學(xué)過(guò)凸透鏡的成像規(guī)律.如圖，"N為凸透鏡，其厚度忽略不

計(jì)，。為凸透鏡"N的光心，石為凸透鏡的焦點(diǎn)，在凸透鏡左側(cè)的主光軸上垂直放置一

試卷第12頁(yè)，共18頁(yè)

支蠟燭48,透過(guò)凸透鏡后成的像為8.平行于主光軸的光線//，通過(guò)凸透鏡折射后經(jīng)過(guò)

焦點(diǎn)，并與光線力。會(huì)聚于點(diǎn)C.若物距（用=6cm，像距。。=12cm,則凸透鏡MN的焦距OE

的長(zhǎng)為cm.

【變式6?3】

（24-25九年級(jí)上?上海徐匯?期中）

24.在初中物理中我們學(xué)過(guò)凸透鏡的成像規(guī)律.如圖為一凸透鏡，/是凸透鏡的焦

點(diǎn).在焦點(diǎn)以外的主光軸上垂直放置一小蠟燭4透過(guò)透鏡后呈的像為8.光路圖如圖

所示：經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的光線力E,通過(guò)透鏡折射后平行干主光袖,并與經(jīng)i寸凸透鏡光心的光線40

匯聚于。點(diǎn).若焦距。〃=4,物距08=6,小蠟燭的高度48=1,求蠟燭的像的長(zhǎng)度以

及像。與透鏡A/N之間的距離.

【題型7裁剪問(wèn)題】

【例7】

25.現(xiàn)有一張RtZ^ABC紙片，直角邊BC長(zhǎng)為12cm,另一直角邊AB長(zhǎng)為24cm.現(xiàn)沿BC

邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖.已知剪得的紙條中有一張是止方形,

則這張正方形紙條是（）

試卷第13頁(yè)，共18頁(yè)

.張

小

C.第6張D.第7張

【變式7-1】

（24-25九年級(jí)上?福建漳州?期中）

26.小明準(zhǔn)備送禮物給媽媽，他利用邊長(zhǎng)為50分米的正方形紙板按如圖所示裁剪，制作?

個(gè)止方體禮品盒，則這個(gè)禮品盒的體積為一立方分米.

【變式7-2]

27.在綜合實(shí)踐課中，小慧將一張長(zhǎng)方形卡紙如圖1所示裁剪開(kāi)，無(wú)縫隙不重疊的拼成如圖

2所示的“”形狀，月.成軸對(duì)稱圖形.裁剪過(guò)程中卡紙的消耗忽略不計(jì)，若已知9,AC=16,

FGLAD.

求（1）線段"'與的差值是.

（2）尸G的長(zhǎng)度.

圖1圖2

【變式7-3]

28.一個(gè)小風(fēng)箏與一個(gè)大風(fēng)等形狀完全相同，它們的形狀如圖所示，其中對(duì)角線力CJL8D.已

知它們的對(duì)應(yīng)邊之比為1：3,小風(fēng)箏兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為12c〃?和14”?.

試卷第14頁(yè)，共18頁(yè)

A

（1）小風(fēng)箏的面積是多少？

（2）如果在大風(fēng)箏內(nèi)裝設(shè)一個(gè)連接對(duì)角頂點(diǎn)的十字交叉形的支撐架，那么至少需用多長(zhǎng)的

材料？（不記損耗）

（3）大風(fēng)箏要用彩色紙覆蓋，而彩色紙是從一張剛好覆蓋整個(gè)風(fēng)箏的矩形彩色紙（如圖中

虛線所示）裁剪下來(lái)的，那么從四個(gè)角裁剪下來(lái)廢棄不用的彩色紙的面積是多少？

【題型8三角形中內(nèi)接矩形】

【例8】

（24-25九年級(jí)上?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）

29.張師傅有一塊如△力8c的銳角三角形木料，其中BC=120mm,高力O=80mm,張帥傅想

把它加工成矩形零件尸OMN,使一邊在"C上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊力4、4C上，PN

與力。交于點(diǎn)與

圖1圖2

（1）當(dāng)點(diǎn)。恰好為48中點(diǎn)時(shí)，MQ=

（2）當(dāng)四邊形尸QMN為正方形時(shí)?，求出這個(gè)零件的邊長(zhǎng)；

（3）圖2,如果把這塊材料形狀改為RtZ\/4C的斜板，已知/4=90。，力3=80mm,

JC=60mm,要把它加工成一個(gè)形狀為平行四邊形尸。MM的工件，使在5c上，P、N

兩點(diǎn)分別在44，4c上，且PN=80mm,求出平行四邊形P0MN的面積.

【變式8-1]（24-25九年級(jí)上?廣東河源?階段練習(xí)）

30.近年來(lái)，全國(guó)各地積極踐行綠色發(fā)展理念，把打造綠色宜居環(huán)境作為提升城市形象和居

民幸福感的重要舉措，科學(xué)規(guī)劃、合理布局，不斷優(yōu)化人居環(huán)境如圖，某市要從一塊RtAJBC

的城市綠地上劃出一塊矩形EFG〃做花壇.已知/力=90。，＜B=160m,AC=120m,要求

試卷第15頁(yè)，共18頁(yè)

矩形花壇的長(zhǎng)與寬的比為2:1,且較長(zhǎng)邊在4c上，點(diǎn)G、尸分別在力&/C上，所劃出的矩

形花壇的長(zhǎng)和寬各是多少？

（24-25九年級(jí)上?陜西榆林?期末）

31.汽車盲區(qū)是指駕駛員位于正常駕駛座位置時(shí)（如圖：），其視線被車體遮擋而不能直接

觀察到的那部分區(qū)域，預(yù)防進(jìn)入汽車盲區(qū)，能有效預(yù)防交通事故發(fā)生，提高學(xué)生避險(xiǎn)能

力.小明在學(xué)習(xí)了交通安全知識(shí)后，對(duì)汽車盲區(qū)產(chǎn)生了興趣.如圖2,是他研究的一個(gè)汽車

盲區(qū)的示意圖，仍為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點(diǎn)P處與地面AE之間的距離為1.4m,車

寬/尸=1.8m,車頭廠女力近似看成一個(gè)矩形，且滿足30產(chǎn)=2/1八點(diǎn)力，尸分別在PB,PE

上，點(diǎn)C,D在EB上,求汽車盲區(qū)的長(zhǎng)度.

圖2

【變式8-3】

32.（1）【問(wèn)題探究】如圖①，點(diǎn)8,。分別在4M,4M上，4M=12米，4V=20米，力8=2

米，8c=2.6米，4C=1.2米.

①探究△力8。與“MN是否相似并說(shuō)明理由；

②求MN的長(zhǎng).

（2）【問(wèn)題解決】如圖②，四邊形力。?。規(guī)劃為園林綠化區(qū)，對(duì)角線48將整個(gè)四邊形分成

面積相等的兩部分，己知力8=60米，四邊形力。8。的面積為240（）平方米，為了更好地美化

環(huán)境，政府計(jì)劃在8C,力C邊上分別確定點(diǎn)E,F,在48邊上確定點(diǎn)P,Q,使四邊形成產(chǎn)。

為矩形，在矩形EFP。內(nèi)種植花卉，在四邊形剩余區(qū)域種植草坪，為了方便市民觀賞,

計(jì)劃在尸。之間修一條小路，并使得最短，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，求出產(chǎn)。的最小值，并求出當(dāng)

尸。最小時(shí)，花卉種植區(qū)域的面積.

試卷第16頁(yè)，共18頁(yè)

N

圖①圖②

【題型9實(shí)物抽象出相似問(wèn)題】

【例9】

33.如圖是一個(gè)常見(jiàn)的鐵夾的剖面圖，0A,04表示鐵夾的剖面的兩條邊，點(diǎn)C是轉(zhuǎn)動(dòng)軸

的位置，CDL0A,垂足為。，。力=15mm,DO=24mm,DC=10mm,且鐵夾的剖面圖

是軸對(duì)稱圖形，則力，8兩點(diǎn)間的距離為（）

C.60mmD.65mm

【變式9-1]

34.如圖①，是生活中常見(jiàn)的人字梯，也稱折梯，因其使用時(shí)，左右的梯桿及地面構(gòu)成一

個(gè)等腰三角形，因而把它形象的稱為“人字梯如圖②，是其工作示意圖，拉桿

EF//BC,AE=^BE,E尸=0.4米，則兩梯桿跨度8、C之間距離為米.

【變式9-2】

35.如圖，已知箱子沿著斜面向上運(yùn)動(dòng)，箱高48=1.2m.當(dāng)=2.5m時(shí)，點(diǎn)8到地面的

距離8E=L5m,則點(diǎn)力到地面的距離4。為（）

試卷第17頁(yè)，共18頁(yè)

4

EKB

CDE

A.2.6mB.2.5mC.2.46mD.2.22m

【變式9-3】

36.如圖是一個(gè)矩形足球球場(chǎng)，力4為球門，。。_1.48于點(diǎn)。，48=a米.某球員沿CO帶

球向球門力〃進(jìn)攻，在。處準(zhǔn)備射門，已知80=3。米，QD=3a米,對(duì)方門將伸開(kāi)雙臂后,

可成功防守的范圍大約為0.25。米；此時(shí)門將站在張角/力。4內(nèi)，雙臂伸開(kāi)MN且垂直于

力。進(jìn)行防守，中點(diǎn)與距離米時(shí)，剛好能成功防守.

試卷第18頁(yè)，共18頁(yè)

1.(1)路燈48的高為16米

(2)2歷米

【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，勾股定理，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是添加輔

助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.

(1)根據(jù)題意得到米，BE=DF=16米,證明

CFortQ"mRF(yr)

△OFEsgFC得生=笠，/=?,進(jìn)而得看=胃，進(jìn)而可得答案；

OFABOFDFABDF

(2)過(guò)點(diǎn)。作。Hl8。于點(diǎn)〃，則/1B〃OH〃(:D,證明AOEHSA4EB,AOFHSACFD,得

OHEHOHFH、在而組EHFH、丑而—1?卡汨廠〃14出

方=而‘五=而‘進(jìn)而得百;而,進(jìn)而可求得,二“ri4二/r7r』米,

ADFf~J

BH=BF+FH=12(米)，OH=—=2(米)，再由勾股定理求得08=2西(米).

BE

【詳解】(1)解：由題意知：80=24米，

???BF=FE=DE,

:.BF=FE=DE=；BD=，米,BE=DF=\6米,

???AELCF,

:.乙EOF=NABE=Z.CDF=90°,

又?：/0EF=/BE4NOFE=/DFC,

：.AOEFSABEAAOFESADFC,

OE=BEOECD

'OF~7B,OF~~DF,

BECD16CD

...——=——，即1In——=——,

ABDFAB16

又?：AB=CD,

.?.48=8=16米，

答:路燈48的高為16米；

(2)解：由題意得力〃=。。=8米，BF=FE=DE=；8D=8米,BE=DF=16米,

過(guò)點(diǎn)。作OHJ.BD于點(diǎn)H,

答案第1頁(yè)，共31頁(yè)

.'.AB//OH//CD,

AAOEHSAAEBOOFHSACFD,

OHEHOHFH

'^B~~EB'~CD~~FD'

EH_FH

:?=,

EBFD

：.EH=FH=LEF=4米,BH=BF+FH=12（米）,

2

ABEH8x4

:.0H=（米）,

BE~~i6~

.?.在R308〃中，QB=>JBH2+OH2=V122+22=2V371米）

2.路燈的高度48為4m

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???/8J.8E,COLOE,

:./ABE=NDOE=90。,

又AAEB=ZDEO,ZAFB=ZCFO,

.?△DOESAABE,△COFSAABF,

.DO=OECOOF

…下一樂(lè)‘~AB~~BF

llrlI11.5+11+4

ABBEABBE+4

解得：4B=BE=4（m）,

答：路燈的高度為4m.

3.（l）x=3

（2）不發(fā)生變化，兩個(gè)影子長(zhǎng)的和是3.6m

【分析】（1）證明△力PM?！髁ΑΓ脤?duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例列式計(jì)算即可；

（2）根據(jù)題意作出圖形，找出其中的相似三角形，根據(jù)三角形的相似比即可求出影子的長(zhǎng)

度和.

【詳解】（1）解：DBLAB,

???MP//DB,

:."PMS"BD,

答案第2頁(yè)，共31頁(yè)

MPAP1.6x

?,*二,nBnP:=9

DBAB9.62x+12

解得：x=3：

(2)解：不會(huì)發(fā)生變化；

如圖，當(dāng)小華在48之間走動(dòng)時(shí)，在彳路燈下的影子長(zhǎng)度為。〃，在8路燈下的影子長(zhǎng)度

為0G,

AD//OE//BC,

:eAHDs式)HEQBGSOGE,

OEOHOEOG

??布一說(shuō)’

plij—=—,—,整理得：OH=-AHf()G,BG,

9.6AH9.6BG66

：.OH+OG=L(AH+BG),

6

：.GH=-(AB+GH)t

由(1)得：A8=12+3+3=18(m),

.?.G”=’(18+GH),解得：GH=36m,

6

兩個(gè)影子的長(zhǎng)的和不會(huì)變，一直都是3.6m.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，要求學(xué)生能根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)圖形，能判定

出相似三角形，以及能利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等的原理解決求

線段長(zhǎng)的問(wèn)題等，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法.

4.“科技樹(shù)”4G的高度為40米.

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，設(shè)4G交CE于點(diǎn)7,則有四

邊形CDGT,四邊形。血，四邊形EFG7是矩形，故有CO=TG=M=2米，ET=FG=17

米，然后證明△CHMSAC。，根據(jù)性質(zhì)得空_=凄，最后代入求解即可，掌握相似三角

AlCI

形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

答案第3頁(yè)，共31頁(yè)

【詳解】解：如圖，設(shè)力G交CE于點(diǎn)T,

由題意可得：四邊形CDG7,四邊形。町，四邊形EFG7是矩形,

：.CD=TG=EF=2（米），ET=FG=\7（米），

???CE=108.2米，

.-.Cr=CE-￡r=108.2-17=91.2（米），

???ZHCM=/ACT,NMHC=Z.ATC=90°，

:.ACHMSACTA,

HMCH

----=----，

ATCT

0.51.2

"7T~9L2,

?37=38（米）,

??./1G="+TG=38+2=4O（米），

答：“科技樹(shù)”4G的高度為40米.

5.約為62.9m

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)E作￡N_L%8于點(diǎn)N,交CD于

點(diǎn)〃，則四邊形￡7力”和四邊形4DMN均為矩形，得MN=BD=227m,EM=DF=3m,

BN=MD=EF=1.6m,即得CW=8-MO=0.8m,進(jìn)而由△ECA/SAE/N得

穿=暮，代入計(jì)算求出4V即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

ANEN

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EN_L/出于點(diǎn)N,交CD于點(diǎn)M,則四邊形EPDW和四邊形

BDMN均為矩形,

:.MN=BD=227mEM=DF=3mBN=MD=EF=1.6m,

答案第4頁(yè)，共31頁(yè)

CM=CD-MD=2.4—1.6=0.8m,

CM〃AN,

:△ECMs/\EAN,

CMEM

ANEN

.0.8_3

一前-227+3'

0.8x(227+3)

AN=---------------上?61.33m.

3

+N8=61.33+1.6b62.9m,

答：南陽(yáng)解放紀(jì)念碑4?的高度約為62.9m.

6.(1)見(jiàn)解析

(2)45米

【分析】本題考杳作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖,相似二角形的判定和性質(zhì).

(1)利用中心投影的性質(zhì)畫出圖形;

⑵證明△SC-△歐/得貴二號(hào)’再代值計(jì)算即可得"的值.

【詳解】(1)解：如圖，線段。E即為所求,

公EDCs^EBA,

CDED

???布=麗’

4.5_5.5

'布-5.5+49.5'

.?.48=45(米).

答：信號(hào)塔的高度力4的長(zhǎng)為45米.

7.鼓樓48的高度為20m.

【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用舉例，設(shè)4Z)=xm,則

答案第5頁(yè)，共31頁(yè)

5C=i?D+DG+CG=x+l3.5-1.5+3=(x+15)m,由48_L8C,EFJ.BC,得〃EF,

21523

證明△"DS/FD,得至I|二一，同理得到-了=-進(jìn)而建立方程求出x的值，然

ABxABx+15

后代入即可求解，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)8O=xm,則8C=8O+QG+CG=x+l3.5—1.5+3=(x+15)m,

vABLBC,EFJ.BC,

AB//EF,

:.AABDS^FED,

EFDE21.5

——=——，即niI——=——，

ABBDABx

同理可證△/IBCs^HGC,

GHCG23

?**=,unilJ=,

ABBCABx+15

153

解得x=15,

xx+\5

經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原方程的解,

21.5

A=,

AB15

:.AB=20(m),

???鼓樓的高度為20m.

8.5

【分析】過(guò)C作C7V_LGH于點(diǎn)M證明ACDNSAFDH,即可求得結(jié)果.

【詳解】過(guò)。作CNLGH于點(diǎn)N,

答案第6頁(yè)，共31頁(yè)

BC=GN=0.5(m),GH=AM=4.5(tn),

:.NH=GH—GN=4(m),DN=DG-GN=,

DH=NH-ND=4-T5=25g,

vZCDE=90°,

:"CDN+/EDH=90°,

???NCON+N3CN=90°,

:./DCN=4EDH,

???ZDFH=/EDII,

:.NDCN=Z.DFH,

?：/CND=4FHD-

:sCDNs/DH、

CN_DN

即N-=",

FH2.5

."H=5(m),

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考杳了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造相似三角形，熟練掌握相似三

角形的判定定理.

9.探索活動(dòng)：北寺塔。的高度為76m；解決問(wèn)題：①見(jiàn)解析；②塔剎OE的高度為

15.5m

【分析】

本題考查了圖形的相似和尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵在于讀懂題意，正確作圖.

［探索活動(dòng)］由題意知，"PB=/CPD,/歷1尸可知"PBSKFD,進(jìn)而求解：

［解決問(wèn)題］①根據(jù)題意作圖即可；

②根據(jù)題意可知，“QB-CQE,利用相似求解.

【詳解】

解：［探索活動(dòng)］由題意如，NAPB=NCPD,NB/1P=NDCP,

???△APB^ACPD,

答案第7頁(yè)，共31頁(yè)

APAB

'*CP-CD

1.21.6

'~51=~CD

:.CD=16,

故北寺塔。。的高度為76m；

［解決問(wèn)題］①如圖，

D

,￡

Ml

.

?I>.

滬

圖④

②由［探索活動(dòng)］同理得，7^=77

1.51.6

"56J~CE，

解得C￡=60.48,

DE=C￡>-CE=76-60.48=15.52?15.5m,

故塔剎力石的高度為15.5m.

10.物體的高度為8米

【分析】本題主要考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，先證明△NBCSAEQC得到照=桀，求

oCCD

1.86

4A---=--------------

出4C=；月4,再證明△.""S^G/77得到AOJIA，解方程即可得到答案.

3o+8+ZH—AD

3

【詳解】解：由題意得：ACB=/ECD,

vAB1BH,EDLBH,GF工BH,

:.NB=NEDC=NGFH=90°,

.,.△J5CS4EDC、

ABBC

'''ED=CD，

ABBC

二--=---,

1.52

答案第8頁(yè)，共31頁(yè)

4

解得：BC=-ABt

???/"二/",NABH=NGFH=90°,

：.4GFHS^ABH,

GFFH

=，

ABBH

1.8_6

"AB6+8+2+±48'

3

解得：，48=8.

答：物體45的高度為8米.

11.99米

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平面鏡成像的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，連接

CE,利用平面鏡成像的性質(zhì)得到N/1CB=/EC。，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到

AB=2BC,設(shè),48=x米，則8C=；x(米)，利用等式的性質(zhì)求得

8〃=4。+。。+?！?修=(16.5+1)米，利用平行線的判定得至最后利用相似

三角形的判定與性質(zhì)解答卻可得出結(jié)論，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接CE，如圖,

???走到點(diǎn)。時(shí);恰好在鏡子中看到大廈頂端4的

ZACB=NECD，

/ABC=NEDC=90。，

:AABCS^EDC,

ABDE1.6c

===2,

BCCD().8

：.AB=2BC,設(shè)力8=x米，則8C=gx(米),

,影長(zhǎng)777為1.2米，=14.5米，。。=0.8米,

答案第9頁(yè)，共31頁(yè)

:,BH=BC+CD+DF+FH={\G.5-^-x米，

\2J

?;ABLBM,GFA.BM,

：.FG\\AB,

.FHFGSAHBA,

FGFH

,,萬(wàn)一麗’

1.81.2

~i-

x16.5+-X*

2

;.x=99,

「?大廈4?的高度為99米.

12.約3.9m

【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)、矩

形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)解決問(wèn)題.先根據(jù)反射知識(shí)和等腰直

角三角形的判定與性質(zhì)得到PN=DN=l()m,過(guò)E作EG上BN于G,則EG=PN=10m,

20

EP=GN,證明△XBCSAEGC求得CG=《m,進(jìn)而求得GN即可.

【詳解】解：???44=L8m,3c=L2m,CD=0.6m,

:.AB—BD=1.8m,

?:EP工MN,FMLMN,

："ADB=ABAD=45°,則4PDN=4DPN=45°,

：.PN=DN=\Qm,

過(guò)E作EG_L8N于G,則四邊形EGNP是矩形，

；.EG=PN=10m,EP=GN,

v/ABC=ZEGC=90°,4ACB=AECG,

:.AABCS^EGC，

答案第10頁(yè)，共31頁(yè)

空二段即?空

ABBC1.81.2

20

解得CG=Tm,

20

GN=QN+CO-CG=10+0.63.9（m）,

:.EP=GN=39m.

答：路燈E尸的長(zhǎng)約為3.9m.

13.遮陽(yáng)篷的寬力8是1.4米

【分析】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

延長(zhǎng)交。K于〃，則〃M=6.9米，CO=GE=2.5米，MM'=NN'=3.9米,先證明

RtAACDsRdDHM,則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得當(dāng)■=照二14,再證明

DMHM6.9

△ABDS