專題01有理數(shù)（期中復(fù)習(xí)講義）

.明?期中考情.

核心考點復(fù)習(xí)目標考情規(guī)律

正數(shù)和負數(shù)的認識熟悉正數(shù)和負數(shù)的定義，并能夠運用在基礎(chǔ)必考點，經(jīng)常出現(xiàn)在選填題中

及其應(yīng)用實際生活中去

數(shù)軸的認識以及應(yīng)理解數(shù)軸的組成，并能夠正確判斷數(shù)軸高頻易錯點，在選擇題、填空題以及解答題

用是否正確，能在數(shù)軸上表示有理數(shù)中均可以出現(xiàn)。

絕對值、相反數(shù)和理解絕對值、相反數(shù)和倒數(shù)的基本概高頻考點，經(jīng)常出現(xiàn)在選填題中，或者在解

倒數(shù)念，能熟練的運用三者的性質(zhì)進行相關(guān)答題中作為橋梁

求解

科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用掌握科學(xué)記數(shù)法的基本概念，能用正確高頻考點，科學(xué)記數(shù)法作為考試中的?？?，

的運用科學(xué)記數(shù)法進行求解再多年中考中都是有所考察的

有理數(shù)的混合運算熟練的掌握有理數(shù)的混合運算，準確的必考題，有理數(shù)的混合運算作為計算題往往

計算出正確結(jié)果出現(xiàn)在解答題的第一大題中

有理數(shù)的實際應(yīng)用準確的將有理數(shù)運用在實際生活中，將期中?？碱}，有理數(shù)的實際應(yīng)用往往出現(xiàn)在

數(shù)學(xué)與實際生活聯(lián)系起來解答題中

■記?必備知識.

知識點01正數(shù)和負數(shù)的定義

像12、2.5、237、0.7這樣的數(shù)是,像3、3.5、500、1.2這樣的數(shù)是<,正數(shù)前面有時也

可以放一個“+”（讀作“正”）號，如7可以寫成+7

注意：0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。

1知識點02有理數(shù)及其分類

①有理數(shù)的定義：和統(tǒng)稱為有理數(shù)

②有理數(shù)的分類（2種分類方式）

知識點03數(shù)軸相關(guān)概念

①數(shù)軸的定義：規(guī)定了、和的直線叫做數(shù)軸

②有理數(shù)比較大?。涸跀?shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。由此容易得到如下數(shù)的大小比較

法則：都大于0,都小于0,都大于o

知識點04相反數(shù)、絕對值的相關(guān)概念

①相反數(shù)的定義：像6和6、1.5和1.5那樣，只有的兩個數(shù)稱互為相反數(shù)，也就是說，其中一個

數(shù)是另一個數(shù)的相反數(shù)，例如6和6互為相反數(shù)，即6是6的相反數(shù)，6是6的相反數(shù)。

②相反數(shù)的幾何意義：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點分別位于的兩旁，且與的

距離相等。

注意：0的相反數(shù)是0.

③絕對值的定義：我們把在數(shù)軸上表示數(shù)a的點與叫做數(shù)a的絕對值，記作⑶。

④絕對值的意義：(1)一個正數(shù)的絕對值是它本身；(2)0的絕對值是0；(3)一個負數(shù)的絕對值是它

相反數(shù)。

知識點05有理數(shù)比較大小

在數(shù)軸上，表示兩個負數(shù)的兩個點中，與原點距離較遠的那個點在左邊，也就是絕對值大的點在左邊，所

以，兩個負數(shù)，絕對值_________的反而o

知識點06有理數(shù)的加法法則

(1)同號兩個數(shù)相加，取與加數(shù)相同的正負號，并把絕對值相加；

(2)絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的正負號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；

(3)互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0

(4)一個數(shù)與。相加，仍得這個數(shù)。

1知識點07有理數(shù)的加法運算律

①加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，不變。

符號表示：a+b=b+a

②加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相減，不變。

符號表示：(a+b)+c=a+(b+c)

1知識點08有理數(shù)的減法法則

有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的O

知識點09有理數(shù)的乘法法則和運算律

①有埋數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得,異號得，并把絕對值相乘；任何數(shù)與。相

乘，都得0.

②有理數(shù)的乘法運算律：

（1）乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，不變

符號表示：ab=ba

（2）乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，不變。

符號表示：（ab）c=a（be）

（3）分配律：一個數(shù)與兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再把積o

符號表示：a（b+c）=ab+ac

一般地，幾個不等于0的數(shù)相乘，積的正負號由負乘數(shù)的個數(shù)決定，當負乘數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負數(shù)；

當負乘數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積為正數(shù)。

1知識點10有理數(shù)的除法相關(guān)概念與運算

①倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，注意：0沒有倒數(shù)。

②有理數(shù)的除法法則：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

知識點11有理數(shù)的乘方

①求幾個相同乘數(shù)的積的運算，叫做,乘方的結(jié)果叫做o在醴中，a叫做底數(shù)，n叫

做指數(shù)，a"讀作a的n次方，當把醴看作是a的n次方的結(jié)果時，也可讀作a的n次幕。

②科學(xué)記數(shù)法：一個絕對值大于0的數(shù)可以記成的形式，其中,n是正整數(shù)，像這樣

的記數(shù)法叫做。

知識點12有理數(shù)混合運算順序

（1）先做乘方，再做乘除，最后做加減；

（2）同級運算，按照從左到右的順序進行；

（3）如果有括號，就先算小括號里面的，再算中括號里的，然后算大括號里的。

.破?重難題型.

0題型一有理數(shù)的定義相關(guān)求解

【典例1】（2425七上?廣東汕頭三校聯(lián)考?期中）負數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》

中，如果把支出30元記作-30元，那么收入50元記作（）

A.一30元B.50元C.+50元D.30元

【變式1】（2425七上?貴州遵義新蒲新區(qū)濱湖中學(xué)?期中）小明向北走100m記為+100m,那么-300m的意義是

（）

A.小明向東走300mB.小明向西走300m

C.小明向南走300mD.小明向北走300m

【變式2］（2425匕上?湖南永州冷水灘區(qū)李達中學(xué)?期中）乙醇，俗稱酒精，化學(xué)式為CH3cH20H（或C2H5OH）

或EtOH,是一種帶有一個羥基的有機化合物，在標準大氣壓下，它的沸點是零上78.5口，熔點是零下117口.若

零上78.5口記作+78.5口，則零下117□記作（）

A.1170B.78.5DC.-78.50D.-117D

【變式3】（2425七上II?肅蘭州榆中縣連搭鎮(zhèn)連搭中學(xué)?期中）皋蘭軟兒梨也叫凍梨、香水梨，每年深秋采摘

后，經(jīng)西北寒冽的冬天糖化、變黑后是皋蘭軟兒梨特有的吃法，成為當?shù)厝罕妵蓝囊坏捞厣朗?，某?/p>

態(tài)園區(qū)生產(chǎn)的軟兒梨包裝紙箱上標明軟兒梨的質(zhì)量為10i0.05千克，如果一箱軟兒梨的質(zhì)量為ID.4g千克，那

么這箱軟兒梨（詵填“合格”或“不合格”）

［'題型二有理數(shù)的定義相關(guān)求解

解|題|技|巧

正確對有理數(shù)定義進行理解：整數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)：需要注意的是有限小數(shù)和無限循以小數(shù)能化

為分數(shù)，所以也是有理數(shù)。

【典例2】在一10.628、—3.1415、160、一28、；、—0.017001700017…、0、0.5、一三中，有理數(shù)的個數(shù)是（）

457

A.8個B.9個C.10個D.7個

【變式1】（2425七上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾第七中學(xué)等?期中）下列說法中，錯誤的有（）

①-2；是負分數(shù)；②1.5不是整數(shù)；③非負有理數(shù)不包括0；④正整數(shù)、負整數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；⑤0是最小的

有理數(shù)：⑥3.14不是有理數(shù).

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式2］（2425七上?上海楊思中學(xué)?期中）在數(shù)4.19,0,29,-3匕-0.010010001口口，-0.232323OD,中，

有理數(shù)有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【變式3］（2425七上?廣東清遠連州?期中）下列7個數(shù):、1.010010001、：、0、-2兀、-3.141441444...（每兩個1之

間依次一個4）、3.3,其中有理數(shù)有（）個

A.3B.4C.5D.6

題型三有理數(shù)的分類

解I題I技I巧

有理數(shù)的分類

有理數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)，整數(shù)又分為正整數(shù)、零和負整數(shù)：分數(shù)分為正分數(shù)、負分數(shù)。

【典例3】（2425七上?福建泉州第七中學(xué)?期中）下面的大括號表示一些數(shù)的集合，把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大

括號里：

0.13,20%,+7,0,兀，4.7,-2024.

正有理數(shù)集：{—...}：

整數(shù)集：

負分數(shù)集：L…};

非負數(shù)集：（「??}?

【變式1］（2425七上?貴州黔東南州凱里第I?中學(xué)?期中）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里.（填序號即可）

①1,②-0.20,③3〃④325,⑤-789,?0,⑦-23.13,⑧0.618

正有理數(shù)集合：{…};

負有理數(shù)集合：{…};

整數(shù)集合：{…};

負整數(shù)集合：{…};

有理數(shù)集合：{…}.

【變式2】（2425七上?陜西西安長安區(qū)?期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合中：

I2）?

15,-p0.8L-3,y,-3.1,-4,196,0,3.14,1.6,-3.9

正數(shù)集合{……};

非負整數(shù)集合{……};

分數(shù)集合{……}.

題型四判斷數(shù)軸是否正確

解I題I技I巧

數(shù)軸三要素?：原點、正方向（通常用向右的箭頭標出，代表E數(shù)方向）和單位長度（必須均勻分布,

確保數(shù)值對應(yīng)位置準確）。

【典例4】（2425七上?云南昭通威信縣?期中）下列數(shù)軸正確的是（）

-------1----------1~?

A.I0I

【變式1】（2425七上?廣西來賓象州縣?期中）下列圖形是四位同學(xué)畫的數(shù)軸，其中正確的是（）

A-2-1012B0I2r

c.-2-I0I2kD.I2345r

【變式2】（2425七上?貴州貴陽第十九中學(xué)?期中）下列各圖是四位同學(xué)所畫數(shù)軸，其中正確的是（）

題型五數(shù)軸上表示有理數(shù)

【典例5】（2425匕上?河南南陽鄧州?期中）小宇不小心將墨水滴在了數(shù)軸上，使部分數(shù)軸被墨跡遮蓋,則被

遮蓋的部分中表示整數(shù)的點有（）

【變式1］（2425七上?河南信陽羅山縣?期中）在一條可以折疊的數(shù)軸上,A,8表示的數(shù)分別是-9,4,如圖,

以點。為折點，將此數(shù)軸向右對折，若點A在點8的右邊，且幺8=1,則C點表示的數(shù)是（?

A.-2B.-2.5C.0D.-1

P題型六在數(shù)軸上比較數(shù)的大?。ㄗ帜割悾ㄟx答題）

解I題I技I巧

核心規(guī)則

（1）右大左小原則

數(shù)軸上右側(cè)的數(shù)永遠大于左側(cè)的數(shù)，無論正負。

示例：比較3和2—2在3右側(cè)一2>3。

（2）正負分界

正數(shù)>0>負數(shù)

負數(shù)中，絕對值小的更大

【典例6】（2526七上?天津河?xùn)|區(qū)多校?期中）如圖，根據(jù)有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置,下列關(guān)系正確的是

（）

1111,

bc0a

A.b>c>O>aB.a>Q>c>bC.b>a>c>QD.c<O<a<b

【變式11（2425七上?河南周口淮陽區(qū)?期中）a,一是有理數(shù),它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示.把a,

-ci,b,-b,按照從小到大的順序排列，正確的是（）

-101

A.-b<-a<a<hB.-a<-b<a<b

C.~b<a<~a<bD.b<-a<a<-b

【變式2】（2425七上?山西運城平陸縣多校聯(lián)考?期中）有理數(shù)a,b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)

論中正確的是（）

?1???1????

-3-2-101234

A.a>-2B.|a|>|/）|C.ab>0D.-a>b

R題型七在數(shù)軸上比較數(shù)的大小（解答題）

【典例7】（2324匕下?貴州安順慧海實驗學(xué)校?期中）把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并按從小到大的順序用“v”

連接起來.

-l,1.5,-|-3|,0-(+2),4-3-

【變式1】（2425七上?廣東吳川第二中學(xué)?期中）把下列各數(shù):-2.5,-（-3）,-|-2|,0在數(shù)軸上表示出來,并

用“V”把它們連接起來:

A2

【變式2】（2425七匚北京第五十中學(xué)?期中）把下列各數(shù)先在數(shù)軸上表示出來，再按從小到大的順序用“V”

號連接起來：

-4,0,3,-1.5,-（一：），—I-2|?

Q題型八數(shù)軸上的規(guī)律探索

解I題I技I巧

做此類規(guī)律題的方法都是先計算出前面幾個的數(shù)值，再從中找到規(guī)律，從而得到一般規(guī)律，最后帶入

需要求的值即可。

【典例8]（2425七上?貴州貴陽第二十八中學(xué)?期中）如圖，正六邊形力5CDE尸（每條邊長相等、每個角相等）

在數(shù)軸上的位置如圖所示，點區(qū)F對應(yīng)的數(shù)分別為-3,-1.現(xiàn)將正六邊形/4CQE廠繞著頂點順時針方向在

數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點4所對應(yīng)的數(shù)為1,像這樣連續(xù)翻轉(zhuǎn)后數(shù)軸上2025這個數(shù)所對應(yīng)的點是（）

A.點C

【變式1】（2425七上?廣西柳州?期中）如圖，周長為6個單位長度的圓上的六等分點分別為

A,B,C,D,E,R點A落在1的位置.如果將圓在數(shù)軸上沿負方向連續(xù)滾動，那么落在數(shù)軸上-2024的

點是點（）

【變式2］（2425七上?福建泉州實驗中學(xué)?期中）如圖,數(shù)軸上點八的初始位置表示的數(shù)為2,將點武做如下

移動：第1次點A向左移動2個電位長度至點小，第2次從點小向右移動4個單位長度至點刈，第3次從

點力2向左移動6個單位長度至點自，…按照這種移動方式進行下去，如果點4與原點的距離等于1008,那

么,的值是.

4A\AAi

-3-2-101234567

「「題型九相反數(shù)、絕對值和倒數(shù)的判斷

解I題I技I巧

絕對值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0

相反數(shù)的定義：只有符號不同，數(shù)值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)

倒數(shù)：兩個乘積為1的數(shù)互為倒數(shù)，。沒有倒數(shù)。

【典例9】（2425七上?福建泉州實驗中學(xué)?期中）一：的相反數(shù)是（

4)

A.一!B.4C.-4D.-

44

【變式1】下列各數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A.3與;B.-3與;C.3與-3D.3與|-3|

【變式2】（2425七上?甘肅天水麥積區(qū)?期中）-1-3|的相反數(shù)是（）

A.3B.-3C.±3D.1

【變式3］（2324七上?青海西寧二中教育集團?期中）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的一組是（）

A.*和0.333B.-什(-7)］和7C.-拊0.25D.|-6|和6

題型十絕對值的非負性

解I題I技I巧

此題型經(jīng)?？疾榈念愋蜑椋海ǎ?+11=0,I|+|1=0這兩類題型，我們歸納為

0+0=0型，即遇到此類題型只需要將平方內(nèi)和絕對值內(nèi)的數(shù)或式子等J--0即可。

【典例10]（2425七上?山東臨沂蒙陰縣第五中學(xué)?期中）若|〃L2|+|〃+7|=0,則（）

A.2B.7C.8D.5

【變式I】（2423七上?河南南陽桐柏縣?期中）若口-1|與|什2|互為相反數(shù)，則3+力）2。25的值為（）

A.1B.-1C.0D.-2

【變式2】（2425七上?廣東河源紫金縣?期中）若13rl與3+1）2的值互為相反數(shù)，則孫-6=燈的值是（）

A.7B.-7C.1D.-1

「題型十一有理數(shù)的混合運算（計算題）

解|題|技|巧

有理數(shù)的混合運算順序

（1）先做乘方，再做乘除，最后做加減：

（2）同級運算，按照從左到右的順序進行；

（3）如果有括號，就先算小括號里面的，再算中括號里的，然后算大括號里的。

易錯點；區(qū)分『和（1），

【典例11】計算.

⑴（-2）3+（-3）x[（-4）2+2]-（-3）2X-2）;

⑵-14-（I_（）.5）X；X[2-（-3打；

（4）-2?x|-1|-4-5-（-0+8.

【變式1】計算：

⑴8+（-0.25）；

⑵（―24）x?—漢）：

⑶dGHT：

(4)-14-^X[2-(-3)2].

【變式2】計算：

⑴(-2)3x(gVI)

⑵-32+l+4x^―|—1x(—0.5)2

Q題型十二有理數(shù)加減法中添括號

解I題I技I巧

添括號或去括號法則：如果括號前面是負號，在添(去)括號時，括號里面的數(shù)符號要發(fā)生變化：如

果括號前是正號，在添(去)括號時，括號里面的數(shù)符號不發(fā)生變化。

【典例12](2425七匚甘肅蘭州第十六中?期中)把-2-(+3)-(-5)+(-4)+(+3)寫成省略括號的形式是()

A.-2-3-5-4+3B.-2+3+5-4+3

C.-2-3+5-4+3D.-2-3+5-4-3

【變式1】(2425七上海南海口第十四中學(xué)聯(lián)考?期中)把4-(-2)+(-6)-(+5)寫成省略加號和的形式為()

A.4+2-6-5B.4-2-6-5C.4+2+6-5D.4+2-6+5

【變式2](2324七上?山東濰坊昌樂縣?期中)將-(-5)+(+6)+(-3)-(+2)寫成省略加號后的形式是()

A.5+6-3-2B.-5+6-3-2C.5+6+3-2D.-5+6-3+2

〔題型十三判斷計算過程是否錯誤

解|題|技|巧

容易出現(xiàn)的錯誤：①運算順序錯誤：當題目中只有乘除運算時，應(yīng)該從左到右依次計算；②開括號錯

浜：開括號時需要判定括號前面是正號還是負號，從而考慮開括號是否變號得問題；③22和(2)2計

算錯誤；④使用乘法分配律時漏分配；⑤在同級計算中，需要優(yōu)先計算后面項時需要添括號提升優(yōu)先

級。

【典例131(2324七上?浙江杭州保俶塔教育集團?期中)小紅與小亮兩位同學(xué)計算-42父-2)3、(-，)的過程如下:

小紅：小亮：

-42^-(-2)3X(-g)

=-16+(-8)x(-0①=(-8)+(-6)x(-J①

=-16^[(-8)x(-0]@=-48乂9g)②

=-16+1③=-6.③

——16.④

(1)請指出小紅與小亮開始出錯的步驟：

(2)寫出你的解答過程.

【變式1】(2425七上?廣東河源連平縣隆街中學(xué)?期中)下面是樂樂同學(xué)進行有理數(shù)運算的過程，請認真閱讀

并完成相應(yīng)任務(wù).

解：T2xg-；+,

\364/

=(-12)x^-(-12)xl+(-12)xl……第一步

=-8-2-9…第二步

=-10-9…第三步

=-19.…第四步

任務(wù):

(1)填空:

①以上運算步驟中，第一步依據(jù)的運算律是—;

②第一步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是—.

(2)請直接寫出正確的計算結(jié)果.

【變式2】(2425七上?吉林長春第八十七中學(xué)?期中)小明在計算題目：24x；+2+QV)時，步驟如下：

解：原式=6+2+，-2+；........第一步

=6+6-4........笫二步

=8........第三步

根據(jù)小明的計算過程解答下列過程：

⑴小明的計算過程中開始出現(xiàn)錯誤的步驟是第步：

(2)寫出該題正確的解題過程.

[題型十四數(shù)軸與絕對值綜合化簡

解|題|技|巧

①去絕對值：先判斷絕對值里面的數(shù)與0的大小關(guān)系，如果絕對值里面的數(shù)大于0,則直接去掉絕對

誼，如果絕對值里面的數(shù)小于D,則需要先把絕對值里面的數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)后再去掉絕對值。

②進行合并化簡即可

【典例14](2425七上?貴州畢節(jié)七星關(guān)區(qū)第三實驗學(xué)松期中)已知小瓦c為有理數(shù)，且它們在數(shù)軸上的對

應(yīng)點的位置如圖所示.

1111W

a0bc

(1)試判斷小b,c的正負性：a0；b0：c0(用填)；

(2)艱據(jù)數(shù)軸化簡：\a\=；\b\=；\c\=；

(3)若|a|=5.5,|c|=4,求a,c的值.

【變式1】(2324七上.江蘇鹽城射陽縣實驗初級中學(xué).期中)有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點位置如圖所示.

----1------1--1--->

。0b

⑴判斷：a0,a+b0,b-a0；(填“>”，"V”或“=”)

(2)叱簡：\2a\+\a+b\-3\b-a\.

【變式2】(2425七上?河南安陽滑縣?期中)已知有理數(shù)o,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示：

IIII〉

ab0c

(1)比較大小：a0；b+c0(填〈”或“=”)；

(2)叱簡：\c-a\-\a+b\.

「題型十五科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用

解I題I技I巧

一個絕對值大于0的數(shù)可以記成axion的形式，其中l(wèi)0|a|V10,n是正整數(shù)，

【典例15］（2324匕上?甘肅武威古浪縣第四中學(xué)?期中）某電視臺報道,截止到2010年5月5日,慈善總會已接

受支援玉樹地震災(zāi)區(qū)的捐款15510000元.將15510000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.551X106B.1.551X107C.1.551x1（）8D.15.51X106

【變式1］（2324八上?員州遵義南門初級中學(xué)?期中）病毒“7/V9的直徑為米，用科學(xué)記數(shù)法表示這個病毒直徑

的大小，正確的是（）

A.28x|07B.2.8x10sC.0.28xl07D.2.8xl07

【變式2】今年的國慶假期外出旅游火爆，據(jù)文化和旅游部數(shù)據(jù)中心統(tǒng)計,國慶假期國內(nèi)旅游總收入為7008.17

億元.將7008.17億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.7008.17x10sB.7O.O817xlO10C.7.00817x10"D.7.00817xl012

「題型十六流程圖與有理數(shù)的運算

【典例161（2425七上?浙江杭州下城區(qū)啟正中學(xué)?期中）我校計算機社團的同學(xué)用編程軟件編寫出了如下運算

程序，如果開始輸入的％值為-24,我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為72,第2次輸出的結(jié)果為-6,……，第2021

次輸出的結(jié)果為（）

A.-6B.-3C.-24D.-12

【變式1］（2425七上?廿肅蘭州樹人中學(xué)?期中）如圖所示，在這個數(shù)據(jù)運算程序中，若開始輸入的x的值為2,

結(jié)果輸出的是1，返回進行第二次運算則輸出的是-4,…，則第2024次輸出的結(jié)果是（）

A.-6B.-4D.-2

【變式2】（2425I-卜?貴州遵義校聯(lián)考?期中）樂樂在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到了神奇的“數(shù)值轉(zhuǎn)換機”,按如圖所示的

程序運算，如果輸入I,則輸出的結(jié)果是（）

A.1B.一5C.-13D.13

國題型十七算“24”點游戲

【典例17］（2425七上?浙江溫州龍灣區(qū)多校聯(lián)考?期中）有一種算“24點”的游戲，其游戲規(guī)則如下:取四個數(shù)，

將這四個數(shù)（每個數(shù)只能用一次）進行加減乘除運算，使其結(jié)果等于24.現(xiàn)有四個有理數(shù)：3,4,-6,10,

運用上述規(guī)則，下列算式中不巧碰的是（）

A.4x3-（-6）+10B.4-（-6-3xI0）

C.10-（-6x3）-4D.（4-6+10）x3

【變式1】（2324七上?廣東佛山南海區(qū)?開學(xué)考）“算24點”的游戲規(guī)則是：用“+,x,4，…四種運算符號把

給出的4個數(shù)字連接起來進行計算，要求最終算出的結(jié)果是24,例如，給出2,2,2,8這四個數(shù)，可以

列式（2+2+2）x8=24.以下的4個數(shù)用"+,乂,+”四種運算符號不能算出結(jié)果為24的是（）

A.1,6,8,7B.1,2,3,4C.4,4,10,10D.6,3,3,8

【變式2】（2425六上?山東煙臺牟平區(qū)（五四制）?期中）24點是棋牌類益智游戲，要求四個數(shù)字運算結(jié)果等

于二十四，它以自己獨具的數(shù)學(xué)魅力和豐富的內(nèi)涵正逐漸被越來越多的人們所接受.小凡抽到如下四張撲

克牌：湊成24的算式是_________.

「題型十八有理數(shù)的實際應(yīng)用

【典例18］（2425七上?云南大理門族劍川縣馬登鎮(zhèn)初級中學(xué)?期中）小蟲從某點O出發(fā)在一直線上來回爬行,

假定向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程記為負數(shù)，爬過的各段路程依次為（單位：cm）：十5,-3,

+10,—8,—6,+12>—10.

（1）小蟲最后是否回到出發(fā)點O?

（2）小蟲離開出發(fā)點。最遠是多少cm?

（3）在爬行過程中，如果每爬行1cm獎勵一粒芝麻，則小蟲一共得到多少粒芝麻？

【變式1】（2425七?貴州遵義十葉?期中）無人駕駛技術(shù)逐步走向成熟，在今年7月無人駕駛網(wǎng)約車在我

國各個城市開始試運營.無人駕駛網(wǎng)約車在東西走向的道路上運行，往東行駛的路程記作正數(shù)，往西行駛

的路程記作負數(shù).全天行程的記錄如下（單位:km）：6,-5.6,-2.3,7,5.4,-6,9,-5.4,-7,8.

（1）當無人駕駛網(wǎng)約車將最后一位乘客送到目的地時，距出發(fā)地點的距離為多少千米？

（2）若無人駕駛網(wǎng)約車每公里耗電。.12度，電費單價0.5元/度，問該網(wǎng)約車當天消耗電費多少元？

【變式2】（2425七上?遼寧沈陽遼中區(qū)?期中）2024年7月下旬遼中區(qū)連降暴雨，28日（周日）冷子堡鎮(zhèn)團結(jié)

水庫水位已達到警戒水位，區(qū)教育局緊急抽調(diào)90名教師到冷子堡鎮(zhèn)支援，協(xié)助當?shù)氐綀F結(jié)水庫巡堤，下表

記錄了水庫接下來一周水庫水位的變化情況:

星期―?二三四五六日

水位變化

+0.15+0.58-0.43+0.22-0.38+0.24-0.52

（單位：m）

注：正數(shù)表示水位比前一天上升，負數(shù)表示水位比前一天下降

（1）這一周哪一天的水位最高？位于警戒水位之上還是之下？

（2）與上周周末相比，這一周周末的水位是上升了還是下降了？

Q題型十九有理數(shù)中新定義類題型

【典例19］（2425匕上?廣西柳州鐵五中學(xué),期中）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)完有理數(shù)的運算后，對運算產(chǎn)生了濃厚的興

趣，她借助有理數(shù)的運算，定義了一種新運算忙”，運算規(guī)則為：。匚6=">2.如：2匚6=2、6-2

⑴求2口4的值；

（2）求（一3）口（2口!）的值.

【變式1）（2425七上?貴州畢節(jié)七星關(guān)區(qū)第三實驗學(xué)校期中）現(xiàn)在定義兩種運算“*”和“☆”,對于有理數(shù)a,b,

有4口b=a+2b-1,aLb=2ab+1.

⑴求1口（-?（-3）口（-2）的值；

⑵求（―3）口［5口（-4）］.

【變式2】（2425匕上?河南南陽鎮(zhèn)平縣?期中）閱讀下列內(nèi)容，完成相關(guān)問題.

明明說：“我定義了一種新的運算,叫*（加乘）運算然后他寫出了一些按照次（加乘）運算的運算法則

進行運算的算式：

(+4)口(+2)=+6,(-4)口(-3)=+7；

(+4)口(-2)=-6,(-4)口(+3)=-7；

(+8)口0=8,0J(-9)=9.

蘭蘭看了這些算式后說：“我知道你定義的字(加乘)運算的運算法則了."聰明的你也明白了嗎？

(1)歸納*(加乘)運算的運算法則：同號得,異號得,并把.特別地，0和任何數(shù)進行

*(加乘)運算，或任何數(shù)和0進行*(加乘)運算，都得這個數(shù)的.

(2)計算：[(-5)口(+3)]口[(-6)口0]

「題型二十有理數(shù)中找規(guī)律類題型

【典例20](2425七上?甘肅天水麥積區(qū)?期中)觀察下列各式:

31-3。=2'3。........①

32-3,=2X3,......②

33-32=2X32......③

探索以上式子的規(guī)律：

(1)寫出第5個等式：_；

(2)試寫出第〃個等式：_；

(3)計算3°+31+32+...+32020.

【變式1](2425七上?甘肅蘭州榆中縣連搭鎮(zhèn)連搭中學(xué)?期中)觀察下列各式：

-1X-2=1

233

—1X2-X—3?=一1,

2344

（1）猜想9?涉以看=_.

（2）艱據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問題：

（，）*（忌H禺）、、（f（巧《?

【變式2］（2425七上?安徽宿州宿城第一初級中學(xué)?期中）觀察下列等式：

第I個等式：T+g=-lx；x2；

第2個等式:-汨=-沁x2；

2424

第3個等式:-j+j=-jxlx2；□.

（1）請寫出第5個等式：;

（2）寫出第〃個等式：；（用含〃的式子表示，〃為正整數(shù)）

⑶艱據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：1局+卜沁）+（-2）+□+（-壺x壺）一9痣

國題型二十一絕對值的幾何意義（壓軸題）

【典例21］（2425七上?河南南陽社旗縣?期中）閱讀:

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難人微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問

題的重要思想方法.例如，代數(shù)式卜2|的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與2所對應(yīng)的點

之間的距離；因為|x+11卡-（-1）|,所以|x+11的幾何意義就是數(shù)粕上x所對應(yīng)的點與T所對

應(yīng)的點之間的距離.

（I）發(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式|/1|+卜-2|的最小值是多少？

（2）探究問題：如圖，點48『分別表示數(shù)T2MA3.

4r尸一

5432I0<12345因為卜+1|+|尸2|的幾何意義是線段以與總的長度

之和，

所以當點P在線段上時，以+P3=3；當點P在點片的左側(cè)或點8的右側(cè)時，PA+PB>3,所

以|x+l|+|x-2|的最小值是3.

（1）借助數(shù)軸，說明|L3|+|X+2|的最小值是多少？

⑵當代數(shù)式|X+Q|+|L3|的最小值是I時，直接寫出此時的〃值.

【變式1】(2425七上?廣東廣州海珠區(qū)景中實驗中學(xué)?期中)數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以

將數(shù)與形進行完美地結(jié)合，研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了很多重要的規(guī)律，如果數(shù)軸上點4、8在數(shù)軸上分別表示有

理數(shù)。、b,那么4、8兩點之間的距離表示為力B予-“例如數(shù)軸上表示4和T的兩點之間的距離可表示為

|4-(-1)|=5,

(1)已知數(shù)軸上點力表示的數(shù)為-3,點4表示數(shù)為2,則線段44的長度是.

(2)i表示任意一個有理數(shù)，利用數(shù)軸回答下列問題：

匚若|什3|+卜-2|=7,求x的值；口|#3|+卜-2|的最小值是多少，這時候x的取值范圍.

【變式2】(2425七上?福建漳州平和縣廣兆中學(xué)?期中)觀察下列幾組數(shù)在數(shù)軸上體現(xiàn)的距高，并回答問題：

-6-5-4-3-2-I0~I~2~3~4_56*

(1)探究：

你能發(fā)現(xiàn)：3與5在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離可以表不為：5-3=2；4與-2在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離可以

表示為：4-(-2)=6；根據(jù)以上規(guī)律填空.

①數(shù)軸上表示6和3的兩點之間的距離是

②數(shù)軸上表示-2和-4的兩點之間的距離是

③數(shù)軸上表示-5和2的兩點之間的距離是

(2)歸納：

一段的，數(shù)軸上表