專(zhuān)題02直線與圓的方程

(4知識(shí)&17題型&4易錯(cuò))

知識(shí)圖譜

直

線

與

圓

的

方圓的一般方程

圓的方程

程點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

二元二次方程與圓的關(guān)系

知識(shí)清單

【清單01】直線的方程

1、直線的傾斜角

(1)傾斜角的定義：當(dāng)直線/與二軸相交時(shí)，我們把X軸稱(chēng)為基準(zhǔn)，X軸的正向與/向上的方向之間所產(chǎn)生

的角。叫做直線/的傾斜角.

(2)傾斜角的范圍：當(dāng)直線/與工軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0。.因此，直線的傾斜角。的

取值范圍為OYa<180,，具體如下:

2、直線的斜率

1/46

（1）斜率的定義：我們把一條直線的傾斜角a（a*90"）的正切值叫做這條直線的斜率，常用小寫(xiě)字母女

表示，即〃=tana.

（2）斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)6（再,為）、?2）（X/與）的直線的斜率公式為《二%"”■?

3、直線方程的五種形式

形式幾何條件方程適用范圍

點(diǎn)斜式過(guò)一點(diǎn)（X0，泗），斜率ky—yQ—k(x—x^與X軸不垂直的直線

斜截式縱截距從斜率上y=kx+b與工軸不垂直的直線

y-y\_x—xi與x軸、y軸均不垂直的

兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)(xi,yi),(必yi)

yi~y\X2-x\直線

不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原

截距式橫截距a,縱截距b

ab點(diǎn)的直線

一^^4x+8y+C=0平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有直

一般式

（不十所知）線

【注意】“截距”是宜線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正、可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).

【清單02】?jī)蓷l直線的位置關(guān)系

1、兩條直線平行與垂直的判定

（1）兩條直線平行

①對(duì)于兩條不重合的直線/“6,若其斜率分別為個(gè)，依，則有八〃產(chǎn)上.

②當(dāng)直線小，2不重合且斜率都不存在時(shí)，h//l2.

（2）兩條直線垂直

①如果兩條直線八，，2的斜率存在，設(shè)為心，〃2，則有公〃2=-L

②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為（）時(shí)，/!±/2.

2、兩條直線的交點(diǎn)的求法

直線八：小x+4"+G=0,/；：4次+82卜+。2=0（41，B\,G，力2，B?,C2為常數(shù)）,

則/i與h的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組+“'+°一°,的解.

卜2%+82、+。2=0

3、三種距離公式

⑴平面上的兩點(diǎn)P1（M，A），尸2（X2,竺）間的距離公式|。典=X2-X12+J2一巾2.

特別地，原點(diǎn)0（0,0）與任一點(diǎn)尸（X，回的距離10Pl=r+/.

（2）點(diǎn)PQ）,泗）到直線/：4Y+B），+C=0的距離

2/46

(3)兩條平行線心?+8y+G=0與4r+取+C2=0間的距離d=2LC21.

4+中

【清單03］圓的方程

1、圓的定義及方程

定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓

標(biāo)準(zhǔn)方程(x_4)2+&_b)2=r(r>0)圓心：(a,b),半徑：廠

(D

圓心：12,2)

一般方程/+產(chǎn)+瓜+/+/=0(O2+E2-4QD)

半徑」="+；一4萬(wàn)

2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)A/Q),/),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x—。)2+0，-5)2=產(chǎn).

理論依據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系

(X0—a)?+(V0—3)2=尸=點(diǎn)在圓上

三種情況(X0—。)2+()'0—5)2>戶0點(diǎn)在圓外

(Xo—a)2+O—5)2</=點(diǎn)在圓內(nèi)

3、二元二次方程與圓的關(guān)系

不要把形如/+產(chǎn)+。=+切+尸=()的結(jié)構(gòu)都認(rèn)為是圓，一定要先判斷小+石2—4廠的符號(hào)，只有大于0時(shí)

才表示圓.

若必+產(chǎn)+小+與，+〃二。表示圓：則有：

(1)當(dāng)/=()時(shí)，圓過(guò)原點(diǎn).

(2)當(dāng)0=0,用0時(shí)，圓心在歹軸上；當(dāng)。和，后=0時(shí)?，圓心在x軸上.

(3)當(dāng)。=尸=0,礙0時(shí)，圓與x軸相切于原點(diǎn)；E=F=0,%0時(shí)，圓與y軸相切于原點(diǎn).

(4)當(dāng)。2=￡2=4”時(shí)，圓與兩絲標(biāo)軸相切.

【清單04】直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓的位置關(guān)系

(1)直線與圓位置關(guān)系的判斷方法

/>0=相交

聯(lián)立方程得方程組消去x或y

①代數(shù)法/=0o相切

得一元二次方程，A=tr—4ac

1V0Q相離

3/46

圓心到直線的距離為d"P相交

②幾何法

半徑為「相切

加>/=相離

（2）圓的切線與切線長(zhǎng)

①過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線

過(guò)圓/+產(chǎn)=/上一點(diǎn)M（xo,yo）的切線方程是XttT+yoy=r2.

過(guò)圓（x—。A+什-Z）/=產(chǎn)上一點(diǎn)Ma。，次）的切線方程是a。-a）（工一a）+（y（）—/））°，一b）=戶.

②過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線

過(guò)圓外一點(diǎn)M（xo,州）的圓的切線求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜

率上從而得切線方程；若求出的A值只有一個(gè)，則說(shuō)明另一條直線的斜率不存在，其方程為x=xo.

③切線長(zhǎng)

從圓./+j。+Dr+砂+尸=O（Z）2+尸-4F>0）外一點(diǎn)A/（xo，yo）引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)為

蚣+式+Dxo+Eyo+F.

兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)：利用等面積法，切線長(zhǎng)。與半徑7?的積的2倍等于點(diǎn)M與圓心的距離d與兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)力

的積，即力=2?.

【注意】過(guò)?點(diǎn)求圓的切線方程時(shí)，要先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以便確定切線的條數(shù).

（3）圓的弦長(zhǎng)：直線和圓相交，求被圓截得的弦長(zhǎng)通常有兩種方法

①幾何法：因?yàn)榘胂议L(zhǎng)父弦心距A半徑，?構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L=2戶一/.

2

②代數(shù)法:若直線y=h+b與圓有兩交點(diǎn)力⑶,巾），8（X2,力）,

則有|/8|=X2|=1+!卜1一歹21.

2、圓與圓的位置關(guān)系

（1）圓與圓位置關(guān)系的判斷方法｛兩圓半徑為d=|OQ”

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

隹

圖示（不

交點(diǎn)個(gè)數(shù)01210

0<6/<|/,-r|

d與，i，R的關(guān)系d>md=a々\i]-r2\<d<r]+r22

【注意】涉及兩圓相切時(shí)，沒(méi)特別說(shuō)明，務(wù)必要分內(nèi)切和外切兩種情況進(jìn)行討論.

（2）兩圓公切線的條數(shù)

桁置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

4/46

圖示?

公切線條數(shù)4條3條2條1條無(wú)公切線

期中?？碱}型清單

【題型一】直線的傾斜角與斜率

1、求直線傾斜角的方法及關(guān)注點(diǎn)

(1)定義法：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合傾斜角的定義找傾斜角.

(2)關(guān)注點(diǎn)：結(jié)合圖形求角時(shí)，應(yīng)注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如三角形內(nèi)角和定理及其有關(guān)推論.

2、求直線斜率的方法

(I)定義法：由傾斜角a的值(或范圍)求斜率的值(或范圍)時(shí)，用定義式左=121]。(。工90°)求解.

(2)公式法：由兩點(diǎn)坐標(biāo)區(qū),必)，(々，必)求斜率，利用兩點(diǎn)斜率公式上二為口?區(qū)工乙)求解.

々一演

(3)待定系數(shù)法：如果直線/沿工軸負(fù)方向平移〃7個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿歹軸正方向平移〃個(gè)單位長(zhǎng)度后，

又回到原來(lái)的位置，求直線/的斜率.此類(lèi)問(wèn)題可通過(guò)平移前和平移后的兩個(gè)方程的同一性，進(jìn)行相應(yīng)系

數(shù)的比較求得結(jié)果.

【例1】(24-25高二上?浙江杭州?期末)過(guò)點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(0,1)的直線傾斜角為()

A.45°B.90°C.135°D.0°

【答案】B

【解析】由過(guò)點(diǎn)(0.0)和點(diǎn)(0,1)的直線為x=o,即其傾斜角為90。.故選：B

【變式1-1](24-25高二上?河南開(kāi)封期中)若經(jīng)過(guò)N(2,a),8(-a,2a-l)兩點(diǎn)的直線斜率為1,則實(shí)數(shù)。=

()

A.3B.——C.2D.1

2

【答案】B

5/46

2a—1—Q

【解析】過(guò)42,幻，8（-a,2a-1）兩點(diǎn)的直線斜率為絲一=1,

-a—2

所以2a-l-a=-a-2,解得，a=-1.故選：B.

【變式1?2】（24?25高二上?貴州貴陽(yáng)?月考）已知直線/的斜率人”［一，石］,則該直線的傾斜角。的取值范

圍為（）

n3兀［「門(mén)冗］「3兀「兀3兀［「八九】I「3TT）

A.不二B.0,-u—,7iC.D.0,-U—,n

1_34JL3」|_4J164JL6」4）

【答案】B

【解析】直線傾斜角為a，則。￡［0，兀），

由-IKAKG可得-IKtanaKVL

所以ae［0百U停㈤.故選:B.

34

【變式1-3］（24-25高二上?福建泉州?期中）平面直角坐標(biāo)系X。），中，直線/的方向向量為0=卜1,6）,則

/佗傾斜角為.

【答案】y

【解析】由題意直線/的方向向量為±二（-1,6），

則直線/的斜率k=-￡,設(shè)直線/的傾斜角為。（0<a<兀），

所以tana=-x/J,所以/的傾斜角為a=彳.

【題型二】直線與線段相交求范圍問(wèn)題

，利用直線的斜率的幾何意義求最值（或取值范圍）兩點(diǎn)注意

L

6/46

I--------------------------------------------------------------------------------------二-----------------------------------------------------------------------------------------1

；（1）直線的斜率反映了直線的傾斜程度，且％（（*,必），（x,/2）是直線上橫坐標(biāo)不等的兩點(diǎn)）；；

X,一芭

1I

!（2）在求形如匕生的式子的最值時(shí)，可以將匕邑■看作動(dòng)點(diǎn)尸（工,），）與定點(diǎn)。（%,為）所確定的宜線的I

!斜率，數(shù)形結(jié)合求出最值（或取值范I韋I）,即將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)處理.

I__________________________________________________________________________________________________

【例2】（24-25高二上?廣東中山月考）設(shè)點(diǎn)/（2,-3）、例-3,-2）,若直線/過(guò)點(diǎn)尸（單）且與線段/也相交，

則直線/的斜率k的取值范圍是（）

A.k>—^k<-4B.k>-^k<--

444

C.-4<k<-D.--<A-<4

44

【答案】A

【解析】如圖所示:

則〃2g或ZW-4,故選：A

4

【變式2-11（24-25高二上?福建三明月考）已知直線/：（明+2卜+（陽(yáng)-1）嚴(yán)切-1=0,若直線/與連接4（1,-2）,

8（2,1）兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線/的傾斜角范圍為（）

7tn

A.一了彳

713兀

C.4'T

【答案】D

7/46

【解析】直線/的方程可化為機(jī)（x+y+l）+（2x-y-l）=O,

（x+y+\=0/、

聯(lián)立方程組,x；_i=o,可得x=Oj=-1,所以直線/過(guò)定點(diǎn)尸（0,7）,

由題意得，直線/的斜率一定存在，

設(shè)直線/的斜率為4，直線/的傾斜角為。，則0Wa＜。，

因?yàn)橹本€PA的斜率為一二（一之）=7,直線網(wǎng)的斜率為三口=1,

因?yàn)橹本€/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0,T）,且與線段48總有公共點(diǎn)，

所以一1WI,UP-I＜tana＜1,

因?yàn)?4a＜兀，所以O(shè)WaS孑或當(dāng)Ka＜兀，

又直線/的斜率〃=答二=一1+二一工-1,所以a工學(xué)，

故直線/的傾斜角的取值范I制是0,：U（當(dāng)K）.故選：D.

【變式2-2］（25-26高二上?重慶?月考）已知點(diǎn)力（3,4）,4（-2,-1）,若直線/：y=A（x-2）+1與線段48相

交，則人的取值范圍是（）

1

A.—,+00-00,-U［3，+動(dòng)

22]

C.(-8,D.別

【答案】B

【解析】直線/：?=〃（》-2）+1過(guò)定點(diǎn)P（2,l）,

皿1-4_.1+11

而％二有=3,^=—=-

由圖可知，要使直線/：y=A（?2）+l與線段AB相交,

則或攵23,即k的取值范圍是（-8,；］。［3,+8）.故選：B.

【變式2?3】（24?25高二上?四川眉山?期中）已知過(guò)點(diǎn)（。,-2）的直線/與以點(diǎn)力（3,1）和4（-26,4）為端點(diǎn)的

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線段48相交，求直線/的斜率的取值范圍.

【答案】（9,一e]31,+00）

_9_1.-2-4

【解析】設(shè)點(diǎn)。（0，-2）,依題意燈=占=1,%—十2司

因?yàn)橹本€/與線段月8有交點(diǎn)，所以勺0-百或勺21,

由圖可知直線/的斜率的取值范圍是（-8,-石]=[1,+8：1.

【題型三】五種直線方程的求解

（1）直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫(xiě)出直線方程；

（2）待定系數(shù)法：①設(shè)所求直線方程的某種形式；②山條件建立所求參數(shù)的方程（組）；③解這個(gè)方程（組）

求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程.

【例3】（24-25高二下?北京?期中）以力。,3）,4（-1,1）為端點(diǎn)的線段的垂直平分線的方程為（）

A.x-y+2=0B.2x-y+2=0

C.x+y-2=0D.x+2y-4=0

【答案】C

【解析】因?yàn)?。,3）,5（-1,1）則如=音5=1,

所以線段AB的中垂線的斜率為-1,

（1+（-1）3|、

乂線段的中點(diǎn)為—+L即（0,2）,

所以線段48中垂線方程為：y-2=-（x-0）t即x+y-2=0.故選：C.

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【變式3-1]（24-25高二上?北京?期中）動(dòng)直線/：（2m+l）x+（〃?+l）y-7〃L4=0（〃?eR）與一點(diǎn)“（4,0）.當(dāng)

點(diǎn)M到直線/的距離最大時(shí)，直線/的方程為.

【答案】x-y-2=0

【解析】直線/方程變形為：（2x+y-7）〃?+x+y-4=0,

由V.一八解的：＜一「即直線/過(guò)定點(diǎn)N（3,l）,

當(dāng)直線/與直線MN垂直時(shí)，點(diǎn)〃到直線/的距離最大，又必（4,0）

1-0

此時(shí)3N=「=T，則勺=1，則直線/的方程為y-l=x—3,即X—y—2=0.

3-4

【變式3?2】（23-24高二上?海南三亞?期中）已知V/18C的頂點(diǎn)為4（0,4）,4（—2,6）,C（-8,0）,求:

（1）邊AC上的中線所在直線的方程；

（2）邊AC上的高所在直線的方程；

【答案】（l）2x—y+10=0；（2）2x+y-2=0

【解析】（1）設(shè)4。中點(diǎn)為0，所以。（等，與）即。（T2）,

所以.=_2_（_4）",直線8D：尸2=2（x+4），即2x-y+10=0,

所以邊4C上的中線所在的直線方程為2x-y+10=0.

（2）由題意得"c=與1=￡,所以邊4C上高的斜率為-2,

—8—02

所以邊力。上高所在直線的方程為：y-6=-2（x+2）f即2x+y-2=0.

【變式3-3]（24-25高二上?寧夏吳忠?期中）已知直線/：（。-1）了=（2。-3卜+1.

（1）求直線/所過(guò)定點(diǎn)；

（2）若直線/不經(jīng)過(guò)第四象限，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（3）若直線/與兩坐標(biāo)軸的正半軸匿成的三角形面積最小，求/的方程.

10/46

3

【答案】⑴。,2)；(2)-,+oo；。)2工+尸4=0

Z

【解析】(1)由/：(a-l)y=(2a-3)x+l,即a(2x-y)-3x+y-1=。,

則d2x-y="0解得\yx=1b所以直線過(guò)定點(diǎn)。/，2)、.

(2)因?yàn)橹本€/不過(guò)第四象限，結(jié)合圖形可知，直線/的斜率存在，所以awl,

此時(shí)，直線/的方程可化為卜=3二工+—二，記點(diǎn)力。,2),則向‘=2,

a-la-\

3

因此，實(shí)數(shù)々的取值范圍足；，18

(3)已知直線/：(。-1力二(2叱3)彳+1,且由題意知"1,

I

S-X11

2-_X=___________

13-2a-4a2+10a-6

所以當(dāng)”評(píng)，S取最小值，

此時(shí)直線/的方程為6-1卜=(2x：3卜+1,即2x+y-4=0.

【題型四】?jī)蓷l直線平行與垂直關(guān)系

11/46

由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法

/1：4x+8iy+G=0（4彳+歷,0）,

直線方程

h：4以+82?+。2=0（烈+胡翔）

1\與h垂直的充要條件442+8/2=0

「=篝2（4282c2和）

1\與，2平行的充分條件

4202C1

白?（柳2和）

6與/2相交的充分條件

AiBi

f=?=￡?282c2加）

八與/2重合的充分條件

力2B?U2

【例4】（24-25高二下?山西?期中）若直線2x-y-l=0與直線〃x+2y-3=0垂直，貝1」。=（）

A.-1B.yC.1D.2

【答案】C

【解析】由直線2%一），-1二0與直線ax+2y-3=0垂直，得2。-2=0,所以”=1.故選：C

【變式4-1]（24-25高二上?甘肅蘭州?期中）已知直線4：-+2y=O與直線4：x+（a+l）歹+4=0平行,則實(shí)

數(shù)〃的值為（）

22

A.-2B.-C.一或1D.-2或I

33

【答案】D

【解析】由直線（；*+2），=0與直線小彳+（。+1亞+4=0平行，得：=二：工;，解得。=—2或。=1,

所以實(shí)數(shù)a的值為-2或L故選：D

【變式4-2X24-25高二下?江西上饒?期中）（多選）若直線人的斜望尢二:,直線右經(jīng)過(guò)點(diǎn)力（3”,6）,8（0,1+1）,

且…,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.-1B.1C.-5D.5

12/46

【答案】AD

【解析】由斜率的定義，直線《的斜率鼠=嚓￥=小1。0）,

0-3。一3〃

因?yàn)?1_L4,則公〃2=-1=＞公=上上=」，解得。=-1或5,

-3a3

代入驗(yàn)證。=7或5時(shí)，44兩點(diǎn)橫坐標(biāo)均不同，直線右的斜率均存在，

故。=-1或5均滿足題意，故選：AD.

【變式4-3]（24-25高二上?山東濟(jì)寧?月考）已知直線小4%+幻，+C|=012：4X+%F+G=0,若"％，

貝U（）

A.4層=4片B.4層=4用

D

C.4冬=44,4G工，2G.力生=A2BIC±c?

【答案】C

[解析】直線4：4x++G=0可化為A}A2X+B]A2y+C,J2=O,

直線l2:A2x+B2y+C2=0可化為A}A2x+A}B2y+A]C2=0,

因?yàn)椤啊?,所以4-=44且4c2H4G.故選:c.

【題型五】?jī)蓷l直線的交點(diǎn)問(wèn)題

I求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法

!求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫(xiě)出直線方程，也

：可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

【例5】（24-25高二上?黑龍江綏化?月考）直線3x+2y-18=0和-2x+5y-7=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（工一3）B.（4,3）C.（-4,3）D.（3,4）

【答案】B

13/46

3x+2y=18[x=4

【解析】解方程組，1寸得彳，，

-2x+5y=7[y=3

所以所求交點(diǎn)坐標(biāo)為（4,3）.故選：B

【變式5-1]（24-25高二上?黑龍江力考）若直線辦+了-。+1=0與x+2y-4=0的交點(diǎn)位于第一象限，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

-8,一；)U(3,+8)

A.

1、

C.(-00,-3)U一,+8

(3>

【答案】A

ax+y-a+\=0

【解析】由可得3aI1=(2ai)y，

x+2y-4=0

因?yàn)閮蓷l直線的交點(diǎn)在第一象限，故2小工。且"署，故"書(shū),

故:"：，解得〃＜一！或"3.故選：A.

衛(wèi)＞03

2a-l

【變式5-2]（25-26高二上?江蘇南京?月考）（多選）設(shè)〃為實(shí)數(shù)，若三條直線2x+3y+8=0,x-k1=0

和i+0+〃+g=0不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)上的取值可能為（）

33一，1

A.-B.—C.1D.—

222

【答案】AD

【解析】①當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)不能?chē)扇切危?/p>

由《1八，得到交點(diǎn)坐標(biāo)為《中

x-y-]=0[y=-2

由直線x+@+%+g=0過(guò)點(diǎn)（一1,一2）,可得一A一；=0得A=_；；

②當(dāng)直線2x+3y+8=0與直線x+@+k+g=0平行時(shí)，

14/46

不能用成封閉圖形，則2%=3且3（〃+g卜弘，解得心,；

③當(dāng)直線X—/—1=0與直線x+@+%+g=O平行時(shí)，

不能?chē)扇切危瑒t”=-1且解得〃=-1.故選：AD.

【變式5?3】（25.26高二上?安徽亳州?月考）（多選）已知與23，4）是直線y=云+l（%為常數(shù)）

上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于4：。儼+4?-1=0和/2：/'+"），-1=0的交點(diǎn)情況說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.無(wú)論晨M、N如何，總是無(wú)交點(diǎn)

B.存在鼠A/、N使之無(wú)交點(diǎn)

C.無(wú)論k、M、N如何，總是唯一交點(diǎn)

D.存在"、M、N使之有無(wú)窮多交點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】由于"（《力）與N（生也）是直線歹=依+1（k為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，

故b[=k%+l,b2=ka2+\,

又。也~a2b\=4（&&+1）一“2（履1+1）=6~a2，

由于《工生，因此。也-。2々=《一。240，故直線44不平行，也不重合，

故兩直線相交，因此只有唯一的交點(diǎn)，故C正確，ABD錯(cuò)誤，故選：ABD

【題型六】直線的距離公式及應(yīng)用

點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件

I

（1）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式.

（2）求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.!

【例6】（24-25高二下?浙江?期中）若直線4：2x-y+l=O與直線4：h+y-2=0（￡eR）平行，那么這兩條

直線之間的距離為（）

15/46

A3口1r3后n石

A.-B.-C.------D.——

5555

【答案】D

【解析】有已知直線小2戈-y+l=O與直線/2：G+y-2=0(A€R)平行，

則2x1—(-1).%=0,即4=一2,

此時(shí)宜線/"2T—J，+1=0與直線/”—2x+y-2=0,即《：2》一^+2=0滿足平行,

V5

則兩直線間距離1=故選：D.

獷+(-1)25

【變式6?1]（24-25高二上?湖南邵陽(yáng)?期中）已知兩點(diǎn)43,2）和例-1,4）到直線〃?.r+y+3=0的距離相等，則

實(shí)數(shù)〃？的值為（）

A.-6或！B.-5或1C.一萬(wàn)或gD.0或去

【答案】A

【解析】依題意得，直線對(duì)+丁+3=0過(guò)線段的中點(diǎn)，或與直線平行.

線段48的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）,且在直線以+v+3=0上，

7M+3+3=0,解得--6：

由兩直線平行知一4-不2=-〃?，解得機(jī)=1=

-1-32

因此機(jī)的值為-6或故選：A

【變式6-2]（23-24高一上?山西運(yùn)城?期中）若0。<。<90。.點(diǎn)（l.cosO）到直線xsin0+ycos0-l=O的距

離是J，則這條直線的斜率是______.

4

【答案】一皂

3

Isin+cos26/-1,,

【解析】由題意結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得：4=L-----------------J=sin<9-sin2

4Vsin26>+cos2^1

16/46

又OcOv],故0<sin0<l,所以卜inO—sir?0=sinO-sii?,

sin2^-sin^+—=0,解得sin6='，

42

又0<。<5,故。=5,所以cos6=立，

262

則這條直線的斜率A=-期2=-正

cosJ3

【變式6-3](24-25高二上?山東濟(jì)南?月考)Vx/eR,函數(shù)/(3)=J(x-爐+()，一4『+機(jī)工+4〉-5|的

最小值為()

、C「12尸14、16

A.2B.—C.—D.—

JJJ

【答案】C

【解析】設(shè)點(diǎn)4(xj),8(1,4)和直線/:3》+4?-5=0,46到1的距離?分別為4W，

易知/(X?)=MM+4,顯然.?=網(wǎng)+^必=國(guó)+；4-5|二U

當(dāng)且僅當(dāng)48重合時(shí)取得等號(hào).故選：C

【題型七】直線的對(duì)稱(chēng)關(guān)系及應(yīng)用

!

x，2a，，x

；1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)：點(diǎn)尸(x,y)關(guān)于點(diǎn)0(a，3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸(X'，了)滿足一

^=2b-y.

I2、線關(guān)于點(diǎn)：直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)解決.

；3、點(diǎn)關(guān)于線：點(diǎn)8)關(guān)于直線4丫+/+。=0(8,0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，(w,〃),

17/46

r

X[B）=—\.,

m-a

則有〃工.

N"〃?+/A+〃+C=O.

22

4、線關(guān)于線：直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)解決.

【例7】（24-25高二下?湖北?期中）己知點(diǎn)題2,4）關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為6（-1,2）,則直線/的方程為（）

A.4x-6y+15=0B.6x+4y+15=0C.6x+4^-15=0D.4x-6^-15=0

【答案】C

4-22

【解析】由題意可知，直線/為線段48的垂直平分線，且3夕=萬(wàn)、='，

所以直線/的斜率為-T，

又因?yàn)榫€段"的中點(diǎn)為"-,3,所以直線/的方程為尸3=-3工-7，

整理可得6x+4y-15=0.故選：C.

【變式7-1]（24-25高二上?廣東清遠(yuǎn)?期中）已知直線4"-y+3=0,/°:x-y-1=（）,若《關(guān)于/。對(duì)稱(chēng)的直

線為4,則直線%的方程是（）

A.x-y-3=0B.x-y+5=0

C.x-y+3=0D.x-y-5=0

【答案】D

【解析】因?yàn)?/〃o,所以?！?,設(shè)直線4的方程為》7+〃?=0（加=3且，〃“】）.

因?yàn)橹本€人/關(guān)于直線4對(duì)稱(chēng)，所以4與A）間的距離等于4與i0間的距離.

由兩平行直線間的距離公式，得~7T~解得〃?=-5或/〃=3（舍去）.

所以直線，2的方程為X-y-5=o.故選：D.

【變式7-2]（24-25高二上?云南玉溪?期中）一光線過(guò)點(diǎn)（2,4）,經(jīng)傾斜角為亍的且過(guò)（0,1）的直線/反射后

18/46

過(guò)點(diǎn)（5.0）,則反射后的光線不會(huì)經(jīng)過(guò)下列哪個(gè)點(diǎn)（）

A.B.C.D.

21al)

【答案】D

【解析】?jī)A斜角為牛的且過(guò)（01）的直線/的方程為尸l=tan%-0）,即y=-x+1,

4+〃m+2,

----=------+1

設(shè)點(diǎn)力（2,4）關(guān)于直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)/（見(jiàn)〃）,則?22

m+n=-4(m=-3，/'、

即『解得]，即4-3,-1,

m-n=_2〃=_]

）'—（―I）x—（一3）]

于是反射后的光線所在的直線方程/'為丁Y即r：y=g（x-5）,

、3

對(duì)于B：x=2時(shí)，^=—（2-5）=--；

88

對(duì)于C：x=3時(shí)，^=：（3-5）=-；；

84

對(duì)于D：x=4時(shí)，y=，（4-5）=」.故選：D

【變式7-3]（24-25高二上?貴州黔東南?期中）已知點(diǎn)尸（2,1）,。（1,0）,“在直線"7+1=0上，則|必|+|聞

的最小值為（）

A.2GB.VHc.3D.Vio

【答案】D

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【解析】如圖，設(shè)尸關(guān)于直線x-y+l=()對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為P'(a,6),則

1二1,

4=0

,解得?則P'(0,3),

67+26+1.。=3,

----------+1=0,f

22

所以|〃?|+=的尸1+woBpP|=-=而.故選：D.

yjk

【題型八】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

------------------一0------------------------------------------------------------]

1、幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程.i

2、待定系數(shù)法：(1)若已知條件與圓心g,與和半徑廠有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)！

于。，&〃的方程組，從而求出a,b,〃的值；

?

(2)若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,/的j

方程組，進(jìn)而求出。，E,/的值.[

【例8】(24-25高二上?湖南長(zhǎng)沙?期中)以點(diǎn)(2,0)為圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)的圓的方程為()

A.(X-2)2+/=5B.(if+(”2尸=5

C.(x-\)2+(y-2)2=\3D.(x+ir+(y+2)2=13

【答案】A

【解析】因?yàn)閳A是以點(diǎn)(2,0)為圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),

所以圓的半徑為：=7(0-2)2+(1-0)2=V5>

所以圓的方程為5-2)2+/=5,故選：人

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【變式8-1](24-25高二上?寧夏吳忠?期中)己知力Q,0),8(3,6),則以48為直徑的圓的一般方程為()

A.x2+y2-4x-6_y+3=0B.x2+y2-4x-6y-3=Q

C.x2++4x-6y+3=0D.x2+_y2+4x--3=0

【答案】A

【解析】因?yàn)?4,0)，4(3,6),則48的中點(diǎn)為(2,3),且?8|=J(3—1)2+(6—0/=2阿

所以川？為直徑的圓的方程為(x-2『+(y-3)2=10,UPx2+/-4x-6y+3=0,故選：A.

【變式8?2】(24-25高二上?河南南陽(yáng)?月考)已知圓M經(jīng)過(guò)尸(14),。(2,-2)兩點(diǎn)，且圓心M在直線

l:x-y+\=Ot則圓