清華大學自動化系2025.08電子電路與微處理器基礎葉朝輝FundamentalsofElectronicCircuitsandMicroprocessor10.1數(shù)制與碼制10.2邏輯代數(shù)基礎10.3邏輯函數(shù)的表示方法及變換10.4邏輯函數(shù)的化簡第10章邏輯代數(shù)基礎2310.1.1

數(shù)碼10.1.2

數(shù)制10.1.3

不同進制之間的轉換10.1.4

二進制算術運算10.1數(shù)制與碼制410.1.1數(shù)碼

數(shù)字信號對應的數(shù)字（數(shù)碼）也可以表示不同的事物或事物的不同狀態(tài)。例如，紅、綠、藍三原色可以用0、1、2三個數(shù)字表示；學生的學號也可以用數(shù)字表示。數(shù)字電路(DigitalElectronicCircuit)

用于產(chǎn)生或處理數(shù)字信號。數(shù)字信號：離散的電壓（或電流）值，該電量通常為0或者是某個電量(Δ)的整數(shù)倍，該倍數(shù)對應不同的數(shù)字（數(shù)碼）。數(shù)字信號tu(V)02431tu(V)05電壓值(例如5V，3.3V)0102030403020101010101510.1.2數(shù)制多位數(shù)碼中每一位的構成方法和從低位到高位的進位規(guī)則稱為數(shù)制，常見的有十進制、二進制、八進制、十六進制。二進制是逢二進一八進制是逢八進一十六進制則是逢十六進一

與十進制相比，二進制在表示同一個數(shù)字時需要的位數(shù)多，但是在進行數(shù)學運算時卻簡單一些。此外，由于二進制中的數(shù)字只有0和1，處理起來相對簡單，因而電路也簡單。610.1.3不同進制之間的轉換一、二進制轉換為十進制

(1011)2十進制數(shù)：D=dn-1dn-2……d1d0=

di*10i(125)10=(1*102+2*101+5*100)10二進制數(shù)：=(8+0+2+1)10=(11)10

=1*23+0*22+1*21+1*20(1011.01)2=1*23+0*22+1*21+1*20+0*2-1+1*2-2=(8+0+2+1+0+0.25)10=(11.25)10

第i位代表的權重權重第i位二、十進制轉換為二進制(11)10=(1011)2

(11)10=1*23+0*22+1*21+1*20

十進制數(shù)→依次除以2的余數(shù)→

二進制數(shù)=23+21+1D=bm-1*2m-1+bm-2*2m-2+……+b1*21+b0*20（1）首先將11除以2，得到商為5，余數(shù)為1，即得到二進制的第0位b0=1；（2）再用商5除以2，得到商為2，余數(shù)為1，即得到二進制的第1位b1=1；（3）再用商2除以2，得到商為1，余數(shù)為0，即得到二進制的第2位b2=0；（4）最后用商1除以2，得到商為0，余數(shù)為1，即得到二進制的第3位b3=1。8三、二進制與十六進制的轉換

十六進制數(shù)H的每一位數(shù)hi的數(shù)值h的范圍為0~15的整數(shù)（其中10~15分別用a、b、c、d、e表示），且hi均可表示為4位二進制數(shù)。十六進制數(shù)(ac6)16=(101011000110)2二進制數(shù)(111010110101)2=(eb5)169表10-1-14位二進制數(shù)與十進制數(shù)和十六進制數(shù)的對照表十進制數(shù)二進制十六進制0000000010001102001020300113040100405010150601106070111708100080910019101010A111011B121100C131101D141110E151111F1010.1.4二進制算術運算二、二進制正數(shù)的加法 +5（00101）+4（00100）=

9（01001）00101+

00100=01001+11=（01011）-11=（11011）一、二進制數(shù)的表示：最高位為符號位（0為正，1為負）三、二進制正數(shù)的減法和負數(shù)的加法00101+10100=1

1001錯誤結果00001正確結果（1）二進制正數(shù)減法用加法實現(xiàn) +5(00101)2-4(00100)2=+5(00101)2+(-4)(10100)2=-9(11001)2

得到錯誤結果。（2）補碼、反碼設最高位為符號位（0為正，1為負）正數(shù)的補碼和它的原碼相同負數(shù)的補碼=數(shù)值位逐位求反(反碼BINV)+1，

符號位不變

例如+4的補碼=(00100) -4的補碼=(11011)+1=(11100)00101+10100=1

1001╳補碼√

10100原碼+11100補碼=10000負數(shù)的加法用補碼BCOMP的加法來實現(xiàn)！1負數(shù)的原碼與補碼之和為2n(10000=1111+1)00101+=0000100111··加上補碼等于減去原碼！13－10=？

+13的補碼=+13的原碼（01101）-10的補碼=-10的反碼+1

01101+10110=00011=(11010)的反碼+1=

(10101)+1=（10110）

··（3）采用補碼實現(xiàn)正數(shù)的減法和負數(shù)的加法13－10=3A×B：A根據(jù)B的非零位左移累加四、二進制乘法和除法1.二進制乘法十進制9×5即二進制1001×0101的豎式：

1001×01011001乘數(shù)第1位為“1”，與被乘數(shù)相乘，得到被乘數(shù)

0000乘數(shù)第2位為“0”，與被乘數(shù)相乘為0，并左移1位

1001乘數(shù)第3位為“1”，與被乘數(shù)相乘，得到被乘數(shù)，并左移2位

0000乘數(shù)第4位為“0”，與被乘數(shù)相乘為0，并左移3位=0101101部分積相加得到結果因此乘法可以用移位和加法實現(xiàn)。2.二進制除法A/B：二進制除法可以用減法實現(xiàn)，9/3=3，用9連續(xù)三次減去3，余數(shù)為0，商為3。二進制運算的特點：加、減、乘、除

全部可以用相加和移位這兩種操作實現(xiàn)。簡化了電路結構!數(shù)字電路中普遍采用二進制算術運算！而二進制算術運算通常可以用邏輯運算實現(xiàn)。1610.2.1

基本概念10.2.2

三種基本邏輯運算10.2.3

幾種常用的復合邏輯運算10.2.4

邏輯代數(shù)的基本公式10.2邏輯代數(shù)基礎1710.2.1基本概念

邏輯：事物的因果關系

邏輯運算的數(shù)學基礎：

邏輯代數(shù)

在二進制邏輯運算中的變量取值：0/1邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)，1847年，英國數(shù)學家喬治.布爾發(fā)表《邏輯的數(shù)學分析》，1854年發(fā)表了《思維規(guī)律》，布爾代數(shù)問世，用于集合運算和邏輯運算，為數(shù)字計算機的開關電路設計提供了重要的數(shù)學方法和理論基礎。喬治.布爾1810.2.2三種基本邏輯運算

與（AND）

或（OR）

非（NOT）邏輯抽象：分析因果關系A=1表示開關A合上，A=0表示開關A斷開；Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；三種電路的因果關系不同。一、三種基本邏輯運算關系19二、三種基本邏輯運算的表達式、符號和真值表與條件同時具備，結果發(fā)生Y=AANDB=A&B=A·B=ABABY0000100011真值表邏輯式20或條件之一具備，結果發(fā)生Y=AORB=A+BABY0000110111真值表邏輯圖邏輯式21非(反)條件不具備，結果發(fā)生

Y=NOTA=A′AY0110真值表邏輯式邏輯圖2210.2.3幾種常用的復合邏輯運算與非

或非

與或非異或同或23一、與非邏輯運算

表達式為Y=(A?B)′=(AB)′表10-2-4與非邏輯真值表ABY00101110111024二、或非邏輯運算

邏輯式為Y=(A+B)′表10-2-5或非邏輯真值表ABY00101010011025三、與或非邏輯運算

邏輯式為Y=(AB+CD)′表10-2-5與或非邏輯真值表ABCDY0000100011001010011001001010110110101110100011001110101101101100011010111001111026四、異或邏輯運算

異或邏輯運算的結果是，當兩個輸入信號A、B不相同時，輸出結果為1，否則為0。

邏輯式為Y=A

B，可以寫為Y=AB′+A′B表10-2-6異或邏輯真值表ABY00001110111027五、同或邏輯運算

同或邏輯運算的結果是，當兩個輸入信號A、B相同時，輸出結果為1，否則為0。

邏輯式為Y=A⊙B，也可以寫為Y=A′

B′+A

B表10-2-7同或邏輯真值表A

B=(A⊙B)′，(A

B)′=A⊙BABY0010101001112810.2.4邏輯代數(shù)的基本公式表10-2-8邏輯代數(shù)的基本公式序號公

式序號公

式11′

=0;0′=110

(A′)′=A20A=0110+A=A31A=A121+A=14AA=A13A+A=A5AA′=014A+A′=16AB=BA稱為交換律15A+B=B+A稱為交換律7A(BC)=(AB)C稱為結合律16A+(B+C)=(A+B)+C稱為結合律8A(B+C)=AB+AC稱為分配律17A+BC=(A+B)(A+C)

稱為分配律9(AB)′=A′+B′稱為反演律（德·摩根定理）18(A+B)′=A′B′稱為反演律（德·摩根定理）29序號公

式21A+AB=A稱為吸收率22A+A′B=A+B稱為吸收率23AB+AB′=A稱為吸收率24A(A+B)=A稱為吸收率25AB+A′C+BC=AB+A′CAB+A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′表10-2-9邏輯代數(shù)的常用公式3010.3.1

邏輯函數(shù)及其表示方法10.3.2

常用的邏輯函數(shù)式及轉換10.3.3

邏輯函數(shù)式的最小項之和形式10.3邏輯函數(shù)的表示方法及變換3110.3.1邏輯函數(shù)及其表示方法

邏輯函數(shù)可以用邏輯函數(shù)式（邏輯式）、真值表、邏輯圖、波形圖等表示，他們之間可以互相轉換。圖10-3-1與非邏輯函數(shù)的波形圖

當已知與非邏輯函數(shù)的波形圖時，可以列出其真值表，然后根據(jù)真值表寫出邏輯式，最后畫出邏輯圖。32由真值表寫出邏輯式的方法如下：1.將真值表中所有輸出為1的項所對應的各輸入變量的乘積項相加并化簡.其中輸入變量為1時用原變量表示，為0時用反變量表示；2.當輸出為1的項較多而輸出為0的項較少時，也可以將所有輸出為0的項所對應的各輸入變量的乘積項相加再取反，然后化簡。3310.3.2常用的邏輯函數(shù)式及轉換

常用的邏輯函數(shù)式有與-或邏輯式和與-非邏輯式等，簡稱為與-或式和與-非式。

與-或式為乘積項之和（積之和）的形式，例如Y=A’BC+AC’D。與-非式中的邏輯變量相與之后再取反，例如Y=(AB’C)′。

在用電路實現(xiàn)邏輯函數(shù)關系時，由于受到現(xiàn)有器件種類或類型的限制，有時需要將邏輯函數(shù)式轉換為另一種形式。例如，當要求用與非門實現(xiàn)電路時，則需要將與-或式轉換為與-非式。3410.3.3邏輯函數(shù)式的最小項之和形式一、最小項n個不同變量以原變量或者反變量的形式相與的乘積項稱為最小項，n變量最多可以組成2n個最小項。表10-3-1三變量最小項的真值表及編號最小項編號最小項使最小項為1的變量取值ABCm0A’B’C’000m1A’B’C001m2A’BC’010m3A’BC011m4AB’C’100m5AB’C101m6ABC’110m7ABC11135二、最小項之和形式

將邏輯函數(shù)化為與-或式，即乘積項之和的形式，然后利用基本公式A+A’=1將乘積項中缺少的變量補全，即可得到最小項之和的標準形式。例

將Y=A’BC+AC’

化為最小項之和形式

由于第二項AC’中缺少B變量，因此利用B+B’=1補全。Y=A’BC+A(B+B’)C’=A’BC+ABC’+AB’C’

=m3+m6+m4=m3+m4+m63610.4.1化簡方法簡介10.4.2

公式化簡法10.4.3

卡諾圖化簡法10.4邏輯函數(shù)的化簡3710.4.1化簡方法簡介

常見的邏輯式的化簡方法有公式化簡法和卡諾圖化簡法。公式化簡法即利用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式消除公式中的多余乘積項和每個乘積項中的多余變量，直至最簡。卡諾圖化簡法利用繪圖方式將最小項填入表格中，然后將邏輯相鄰項進行合并化簡。

當需要借助計算機進行快速化簡時，可以采用奎恩—麥克拉斯基化簡法（Q-M法）。

此外，也可以利用Multisim軟件的“邏輯轉換器”化簡。3810.4.2公式化簡法常用的公式化簡方法有并項法、吸收法、消去法、配項法等。一、并項法

利用公式A+A′=1將兩項合并，并消去一個變量。

例如：利用并項法化簡Y=A′BC+ABC′+AB′C′

Y=A′BC+ABC’+AB′C′=A′BC+A(B+B′)C′=A′BC+AC′二、吸收法

利用公式A+AB=A(1+B)=A可將AB消去。

例如：利用吸收法化簡Y=AB′C+BC′+A′BC′

Y=AB′C+BC′+A′BC′=AB′C+BC′(1+A′)=AB′C+BC′39三、消去法

利用公式A+A′B=A+B可將A′消去。

例如：利用消去法化簡Y=ABC’+C

Y=ABC′+C=AB+C

四、配項法

利用公式A+A=A、A+A′=1可以在邏輯式中增加必要的項，然后再用其它化簡方法化簡，能得到更加簡單的結果。

例：利用配項法化簡Y=ABC+A′BC+A′BC′

Y=ABC