初四數(shù)學(xué)親愛的同學(xué)：你好！答題前，請仔細閱讀以下說明：1．本試卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷兩部．第Ⅰ卷為選擇題，第Ⅱ卷為非選擇題，考試時間120分鐘．2．不允許使用計算器．希望你能愉快地度過這120分鐘，祝你成功！第Ⅰ卷（選擇題，共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的．每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分）1.已知點在雙曲線上，則下列各點一定在該雙曲線上的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，解題的關(guān)鍵是熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式．先把點代入雙曲線，求出k的值，再對各選項進行逐一分析即可．【詳解】解：∵點在雙曲線上，∴．A、∵，∴此點在雙曲線上，故本選項符合題意；B、∵，∴此點不在雙曲線上，故本不符合題意；C、∵，∴此點不在雙曲線上，故本選項符合題意；D、∵，∴此點不在雙曲線上，故本選項不符合題意．故選：A．2.對于二次函數(shù)的圖象，下列敘述正確的是（）A.頂點坐標(biāo)為 B.對稱軸為直線C.當(dāng)時，y有最大值 D.當(dāng)時，y隨x增大而減小【答案】B【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴該函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，故選項A錯誤；對稱軸是直線，故選項B正確；當(dāng)時，y取得最小值，故選項C錯誤；當(dāng)時，y隨x的增大而增大，故選項D錯誤；故選：B．3.已知，用計算器求的大小，下列按鍵順序正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查計算器的使用，掌握計算器上三角函數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵．已知，一般先按鍵“”，再按鍵“”，輸入“”，再按鍵“＝”即可得到結(jié)果．【詳解】解：已知，用計算器求銳角A的大小，按鍵順序“”，“”，“”，“＝”．故選：A．4.中，，，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知可設(shè)，利用勾股定理求出，即可解答．【詳解】解：在中，，，∴，設(shè)，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)已知設(shè)利用勾股定理求出的長是解題的關(guān)鍵．5.的三邊長分別為3，2，，則中最小角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理和余弦定義，利用勾股定理判定出三角形是直角三角形，然后再利用余弦定義進行計算即可．【詳解】解：∵，∴直角三角形，∴最小角的余弦值是：，故選：C．6.如圖，等邊的頂點與原點重合，點的坐標(biāo)是，點在第二象限，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作軸于Ｃ，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出的面積，即可得到k值【詳解】作軸于Ｃ∵點A的坐標(biāo)為∴OA=4∵為等邊三角形∴，∴∵，且反比例函數(shù)圖象在第二象限∴故選：D【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，及k的幾何意義，熟知系數(shù)k的計算方法是解題的關(guān)鍵．7.如圖，網(wǎng)格中的小正方形邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)及勾股定理是解題的關(guān)鍵；過點A作于點D，然后根據(jù)勾股定理可得，進而根據(jù)正切的定義可進行求解．【詳解】解：過點A作于點D，如圖所示：由圖可知：，∴，故選A．8.若三點都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)分析判斷即可．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∵在第四象限，∴，∵，∴，∴，即，故選：B．9.將拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)，所得拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)變換，先將原拋物線解析式化為頂點式，將其繞頂點旋轉(zhuǎn)后，開口大小和頂點坐標(biāo)都沒有變化，變化的只是開口方向，可據(jù)此得出所求的結(jié)論．【詳解】解：∵原拋物線可化為頂點式，頂點為，∴繞頂點旋轉(zhuǎn)后，新拋物線解析式為，令，則，∴與軸交點坐標(biāo)為故選：D．10.二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象的對稱軸為直線，與x軸的一個交點在和之間．對于結(jié)論：；；（t為任意實數(shù)）；若點，，在該拋物線，則．正確的有（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點，根據(jù)拋物線的對稱軸可判斷①，由拋物線與x軸的交點及拋物線的對稱性可判斷②，由時函數(shù)取得最大值可判斷③，根據(jù)拋物線的開口向下且對稱軸為直線知圖象上離對稱軸水平距離越小函數(shù)值越大，可判斷④．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴，所以①正確；∵與x軸的一個交點在和之間，∴由拋物線的對稱性知，另一個交點在和之間，∴拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸，即，故②錯誤；由函數(shù)圖象知當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，∴，即（t為實數(shù)），故③錯誤；∵拋物線的開口向下，且對稱軸為直線，∴拋物線上離對稱軸水平距離越小，函數(shù)值越大，∴，故④正確；故選：C．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分，只要求填出最后結(jié)果）11.在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．【詳解】解：由題意得：，解得：．故答案為：．12.在中，，，，則的面積是_____．【答案】【解析】【分析】過點A作，交的延長線于點E，首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可求得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，即可分別求得、、的長，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖：過點A作，交的延長線于點E，∵四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．13.把一個小球豎直向上彈出，小球離開地面的高度h（米）與時間t（秒）之間的關(guān)系可用公式表示．若小球離開地面的高度超過10米，則t的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意，小球高度超過10米即，代入公式得不等式，根據(jù)二次函數(shù)圖象得到的取值范圍．【詳解】解：由題意得，整理得，即，解方程，得或，由于二次項系數(shù)為正，拋物線開口向上，因此在兩根之間成立，即，故的取值范圍是．故答案為：．14.如圖，在建筑物前面的平地上取點C，測得建筑物頂端的仰角為，從C點沿方向走100米到D點（C，D，B在同一直線上），測得建筑物頂端的仰角為，則的高度為_____米．【答案】【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵；由題意易得，，然后根據(jù)三角函數(shù)可得，進而求解即可．【詳解】解：由題意得：，，∴，，∴，∴，解得：；故答案為．15.如圖，將Rt△ABO放置在直角坐標(biāo)系中，OB邊與x軸重合，AO=10，，反比例函數(shù)（x<0）的圖象經(jīng)過AO的中點C，且與AB交于點D，則BD的長為________．【答案】####【解析】【分析】由斜邊AO＝10，sin∠AOB，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得到AB＝6，再由勾股定理得到OB＝8，即得到A點坐標(biāo)為(8，6)，從而得到AO的中點C的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式確定k，然后令x＝8，即可得到D點的縱坐標(biāo)．【詳解】解：∵斜邊AO＝10，sin∠AOB，∴sin∠AOB，∴AB＝6，∴OB8，∴A點坐標(biāo)為(﹣8，﹣6），而C點為OA的中點，∴C點坐標(biāo)為(﹣4，﹣3），又∵反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過點C，∴k＝(﹣4)×(﹣3)＝12，即反比例函數(shù)的解析式為y，∵D點在反比例函數(shù)的圖象上，且它的橫坐標(biāo)為﹣8，∴當(dāng)x＝﹣8，y，∴D點坐標(biāo)為（8，），∴BD的長為．故答案為：【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法確定反比例的解析式；也考查了正弦的定義和勾股定理以及求線段中點坐標(biāo)．三、解答題（本大題共8小題，共75分，寫出必要的運算、推理過程）16.（1）計算：；（2）拋物線的頂點在坐標(biāo)軸上，求a的值．【答案】（1）（2）a的值為1或或【解析】【分析】本題主要考查實數(shù)的混合運算和拋物線與軸的交點問題，正確進行計算是解答本題的關(guān)鍵．（1）分別代入特殊角三角函數(shù)值進行計算即可；（2）由于拋物線的頂點在坐標(biāo)軸上，故應(yīng)分在x軸上與y軸上兩種情況進行討論．【詳解】解：（1）=；（2）若拋物線的頂點在x軸上，則解得或．若拋物線的頂點在y軸上，則．解得．綜上，a的值為1或或．17.如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點，，軸，垂足為C，連接，．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出不等式的解集．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，正確求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）利用的幾何意義可得反比例函數(shù)解析式，據(jù)此求得點的坐標(biāo)，再根據(jù)、兩點的坐標(biāo)可得一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象解答即可．小問1詳解】解：由，可得，所以反比例函數(shù)的解析式為把代入可得，，把代入可得，∴．將，代入，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為；小問2詳解】解：根據(jù)圖象，可得不等式的解集為或．18.二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若反比例函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A，求k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查求二次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式，正確求出二次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)對稱性可求出拋物線的對稱軸為，利用對稱軸可求出，從而得出二次函數(shù)解析式；（2）把點A代入二次函數(shù)解析式，求得，把代入，求出即可．【小問1詳解】解：∵，，∴軸，又二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和,∴二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，∴，解得，，∴二次函數(shù)的表達式為．【小問2詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，∴，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，∴．19.銷售公司購進某種商品，購進價格為50元/千克．物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于80元/千克，也不得低于50元/千克．公司經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價定為80元/千克時，每天可銷售200千克；單價每降低1元，每天可多銷售20千克．單價定為多少元時，商場每天可獲得最高利潤？【答案】當(dāng)單價定為70元時，商場每天可獲得最高利潤【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)總利潤=單件利潤×銷售量可得；再將函數(shù)關(guān)系式配方成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得．【詳解】解：設(shè)銷售單價為x元，每天可獲利潤為y元．．∵，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線．∵，∴當(dāng)單價定70元時，商場每天可獲得最高利潤．20.如圖，欲拆除一座垂直于地面的煙囪，距煙囪水平距離米的處有坡度為，壩高（即）米的背水坡大壩，在壩頂處測得煙囪頂端的仰角為，，之間是寬為米的人行通道．為確保行人安全，在拆除煙囪時，是否需要將此人行通道封閉？并說明理由．（在地面上以點為圓心，以長為半徑的圓形區(qū)域為危險區(qū)域）（參考數(shù)值：，）【答案】需要封閉，理由見解析【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用（仰角、坡度問題），構(gòu)造直角三角形并利用三角函數(shù)（正切）計算線段長度是解題的關(guān)鍵．過點作于點，先由大壩坡度算出大壩水平寬度，再結(jié)合得到，由四邊形是矩形可得、，接著用仰角的正切值求出，進而得到煙囪高度，最后計算人行通道到的距離，對比與的大小，即可判斷．【詳解】解：需要封閉，如圖，在中，∵，，∴，∴，過點作于點，則四邊形是矩形，∴，，在中，，∴∵，∴，∴需要封閉．21.如圖，一次函數(shù)y＝－2x－2的圖象分別交x軸、y軸于點B、A，與反比例函數(shù)（m≠0）的圖象在第二象限交于點M，△OBM的面積是1．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）若x軸上的點P與點A，M是以AM為直角邊的直角三角形的三個頂點，求點P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）點P的坐標(biāo)為（－6，0）或（4，0）．【解析】【分析】（1）分別令中x、y＝0求出點A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合△OBM的面積是1求出點M的縱坐標(biāo)，將其代入一次函數(shù)解析式中求出點M的坐標(biāo)，根據(jù)點M的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)的解析式；（2）找出點P并過點M作MC⊥x軸于點C，分和兩種情況考慮，利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可求出、的長度，結(jié)合點B的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：令x＝0，，∴點A的坐標(biāo)為；令，解得：，，∴點B的坐標(biāo)為．即OB=1，∵，∴yM＝2，當(dāng)y＝－2x－2＝2時，x＝－2，∴點M的坐標(biāo)為（－2，2）．∵點M在反比例函數(shù)（m≠0）的圖象上，∴m＝－2×2＝－4，∴反比例函數(shù)的解析式為．【小問2詳解】：依照題意找出點P并過點M作MC⊥x軸于點C，如圖所示．當(dāng)時，∴，∵，∴，∴．∵點B（－1，0），點M（－2，2），∴點C（－2，0），∴BC＝1，，∴，∴，∴，∴點P1的坐標(biāo)為（－6，0）；當(dāng)時，∴，∵，∴，∴，∵點A的坐標(biāo)為；∴OA=2，∵OB=1，∴，∴，∴，∴，∴點的坐標(biāo)為（4，0）．綜上所述：點P的坐標(biāo)為（－6，0）或（4，0）．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出各邊之間的比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．22.綜合與實踐【問題情境】在日常生活中，我們可以看到一些窗戶上安裝有遮陽篷．要求遮陽篷既能最大限度遮擋夏天炎熱的陽光，又能最大限度使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)．陽臺窗戶的高度為，一年中的正午某個時刻，冬季太陽光與地平面的最小夾角為，夏季太陽光與地平面的最大夾角為．是在窗戶上安裝的一個遮陽篷，其中為固定架，為遮陽板，點A，B，C在同一直線上．【問題解決】（1）如圖Ⅰ，若，求固定架的高度和遮陽板的長度．（結(jié)果用含h，，的式子表示）（2）如圖Ⅱ，為增強排水效果，一居民對圖Ⅰ中的遮陽篷進行了改造，將遮陽板的傾斜角調(diào)整為．當(dāng)時，太陽光能最大限度射入室內(nèi)．當(dāng)時，太陽光剛好不能射入室內(nèi)．若，求和的值．（參考數(shù)值：，，，，，．）【答案】（1），（2），【解析】【分析】本題考查了解直角三角形和解方程，能通過解直角三角形求出和的長是解此題的關(guān)鍵．（1）作，解得，解得，聯(lián)立方程組求解即可．（2）過點D作于點G．分別作，求出，，解求出，可求出，再解，求出即可