第09講拓展四：三角形中周長(zhǎng)（定值，最值，取值范圍）問題(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）定值高頻考點(diǎn)二：周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）最值高頻考點(diǎn)三：周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）取值范圍第一部分：知第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1、基本不等式核心技巧：利用基本不等式，在結(jié)合余弦定理求周長(zhǎng)取值范圍；2、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理，，代入周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）的取值范圍.第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）定值典型例題例題1．（2022·吉林白山·高一期末）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若的面積為，且，，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)椋裕?，得．由余弦定理，得，得，即，所以的周長(zhǎng)為．故選：D例題2．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二期末（理））的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【詳解】解：（1），由正弦定理得：，整理得：，∵在中，，∴，即，∴，即；（2）由余弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為.例題3．（2022·新疆·烏市八中高二期末（理））在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，，且的面積為.(1)求；(2)求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【詳解】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得.（2）∵，所以，，又，且，，的周長(zhǎng)為例題4．（2022·陜西·榆林市第一中學(xué)高一期末（文））在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，已知.(1)證明：；(2)若，，求的周長(zhǎng).【答案】(1)證明見解析(2)(1)證明：因?yàn)?，所以，又，所以，則，即，所以；(2)解：由余弦定理，，由（1）得，所以，即，由正弦定理可得，在銳角中，所以，，所以或，若，則，所以，，與為銳角三角形矛盾，舍去；所以，故，即，所以，解得，，所以的周長(zhǎng)為.例題5．（2022·陜西·綏德中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求角的大?。?2)若的面積，且，求的值．【答案】(1)(2)（1）解：因?yàn)?，由正弦定理可得，即，即，由余弦定理可得，故，因?yàn)?，所以．?）解：因?yàn)椋?，再由，即，所以，所?例題6．（2022·吉林·吉化第一高級(jí)中學(xué)校高一期中）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，滿足.（1）求;（2）若的面積為，求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以所以，因?yàn)樗?，因?yàn)椋裕?）由面積公式得，于是，由余弦定理得，即，整理得，故.例題7．（2022·陜西·大荔縣教學(xué)研究室高二期末（文））在△中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．（1）求角的大??；（2）若的面積，求的值．【答案】（1）；（2）．試題解析：（1），又∴又得（2）由，∴又得，∴得題型歸類練1．（2022·廣東潮州·高一期末）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)(1)由已知得：，由正弦定理得：，所以，所以，又，所以.(2)，所以，由余弦定理得：，，所以，，所以的周長(zhǎng)為：.2．（2022·廣西·南寧三中高一期末）已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，.(1)求角的大小;(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)8(1)解：由已知，所以，所以，由正弦定理得，因?yàn)椤?，則，，，所以，則，所以，所以，則；(2)解：由的面積為，得，又，所以，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所?/p>

所以

，所以，即的周長(zhǎng)為8.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)（1）由正弦定理得：，即，因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所以?）由面積公式得：，解得：，由余弦定理得：將，代入，求得：，故的周長(zhǎng)為4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角A，，的對(duì)邊分別是，，，且向量和向量互相垂直．(1)求角的大小；(2)若外接圓的半徑是1，面積是，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)（1）因?yàn)椋ハ啻怪?，所以，則．由余弦定理得．因?yàn)椋裕?）∵，則因?yàn)?，所以．即，則，因此，即．故的周長(zhǎng)．5．（2022·云南昆明·高一期中）在①(b－c)cosA=acosC，②sin(B+C)=－1+2sin2，③acosC=b－c，這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，然后解答問題．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知______________．(1)求角A的大?。?2)若a=2，且△ABC的面積為2，求b+c．【答案】(1)(2)(1)選①∵∴sincos=sinCcos+sincosC=sin(+C)=sin∴cos∵∈,∴=選②∵sin()=?1+2sin2,∴sin=?cos∴sin(+A)=1∵A∈∴A=選③∵∴∴∵A∈,∴A=(2)∵,∴又∵∴即6．（2022·山東濟(jì)南·三模）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足．(1)求的值；(2)若△ABC的面積為，求的值．【答案】(1)(2)(1)因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以?2)由（1）及余弦定理知，整理得：①由面積公式：，整理得：②，②相加得：，所以．7．（2022·江西·高三開學(xué)考試（理））已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)證明：；(2)記的面積為S，若，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)（1）證明：將兩邊平方，得，即，由正弦定理可得，所以，，所以，所以，即．（2）由，解得，且，所以．由余弦定理可得，即，所以．高頻考點(diǎn)二：周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）最值典型例題例題1．（2022·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A．16 B．18 C．20 D．14【答案】B【詳解】解：由題意得：，即，得所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).故選：B．例題2．（2022·四川巴中·高一期末（理））在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，其外接圓的半徑，且的面積，則的最小值為（

）A．8 B．4 C． D．【答案】A【詳解】由正弦定理可知，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為8.故選：A例題3．（2022·河南鄭州·高一期末）在中，的平分線交于點(diǎn)，，，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，即，所以，因?yàn)楦鶕?jù)基本不等式有，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以周長(zhǎng)的最小值為.故選：C例題4．（2022·全國(guó)·高一期末）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，其中，，的面積為，則的最小值為_______.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以有，由三角形面積公式可得：，由余弦定理可知：，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)，取等號(hào)，故答案為：例題5．（2022·福建·石獅市第八中學(xué)高一階段練習(xí)）已知△的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，若△的面積為，則△的周長(zhǎng)的最小值為____________________.【答案】12【詳解】，由正弦定理可得，化簡(jiǎn)得，由余弦定理可得，則，∵△的面積為，解得，由得，由余弦定理可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴△的周長(zhǎng)為，易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即△的周長(zhǎng)的最小值為．故答案為：12.例題6．（2022·安徽·亳州二中高一期末）已知的面積為，三邊分別為，且．（1）求；（2）求，求周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由得，，所以，由，解得；（2）由余弦定理可得：，得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)的最大值為，例題7．（2022·全國(guó)·高一期末）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足．（1）若，的面積等于，求；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）；（2）12．【詳解】解析：（1）∵，∴，即，∴，∵，∴，，∵的面積等于，∴∴，∵，∴，，由余弦定理可得，∴．（2）∵，∴，∵，∴，由正弦定理可得，，∴，∵，∴∴．∴周長(zhǎng)的最大值為．題型歸類練1．（2022·四川巴中·高一期末（文））在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，其外接圓的半徑，且的面積，則的最小值為______．【答案】8【詳解】解：由題可知，的面積，所以，又由正弦定理得，，故，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為8.故答案為：8.2．（2022·陜西安康·高一期中）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，其面積，且，，成等差數(shù)列，則的最大值為______.【答案】【詳解】由已知可得，∴，∴，∴，∴最大值為故答案為:.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D為邊BC上一點(diǎn)，且AD為的角平分線，若，，則最小值為___________.【答案】9【詳解】由題意畫圖如下：因?yàn)锳D為的角平分線，，所以化簡(jiǎn)得利用基本不等式“1的代換”得故答案為：9.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，若的面積為，則周長(zhǎng)的最小值為______________．【答案】6【詳解】因?yàn)?，的面積為，且所以，所以，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最小值為．5．（2022·山東·費(fèi)縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）在中，的平分線交AC于點(diǎn)D，，，則的最小值為______．【答案】16【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，，所以，即，所以，因?yàn)楦鶕?jù)基本不等式有，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：16．6．（2022·四川·成都七中模擬預(yù)測(cè)（理））已知平面四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，BC=3.(1)若AB=6，AD=3，CD=4，求BD；(2)若∠ABC=120°，△ABC的面積為，求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)(2)(1)在△ABD中，由余弦定理得.在△BCD中，由余弦定理得.因?yàn)?，所以，即，?(2)由題意知，得.在中，由余弦定理得.令，，在中，由余弦定理得，即.所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值為..高頻考點(diǎn)三：周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）取值范圍典型例題例題1．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一期中（理））已知在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，的面積等于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】中，，的面積等于，為銳角三角形，由正弦定理可得：故選：A例題2．（2022·重慶南開中學(xué)高一期末）在中，內(nèi)角的平分線與邊交于點(diǎn)且，，若的面積，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，，，即，即，解得，又因?yàn)?，所以，即，，，故選：D例題3．（2022·浙江·舟山市田家炳中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)常數(shù)，已知.（Ⅰ）若是奇函數(shù)，求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)，中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.若，且的面積，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）.【詳解】（Ⅰ）由題意知，，得，下面對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn)：若，則，，對(duì)任意都有，是奇函數(shù)，.又因?yàn)?，由，，所以得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，；得，，由，的周長(zhǎng)為：的周長(zhǎng)的取值范圍為.例題4．（2022·河南·南陽中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，.(1)求角；(2)若，求的面積，求的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)（1）由內(nèi)角和定理得：，∴，由正弦定理邊角互化得：，即，∴，∵，∴（2）由（1），，則由題意，，故，即，由余弦定理可得，，則，故，所以，故，即的周長(zhǎng)l的取值范圍為例題5．（2022·河南平頂山·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在平面四邊形中，的面積是的面積的倍．，，．(1)求的大小；(2)若點(diǎn)在直線同側(cè)，，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).（1）設(shè)，則，因，，，則，而，，則有，即，又，，因此，，所以.（2）由（1）知，，連AC，有，則，而，中，由正弦定理有，，，，又，令，則，，因此，因，則，有，即，，所以的取值范圍為．題型歸類練1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模（理））在中，角A，B和C所對(duì)的邊長(zhǎng)為a，b和c，面積為，且為鈍角，的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)闉殁g角，即是銳角，所以，，由正弦定理知，因?yàn)闉殁g角，所以，即，所以，所以，即的取值范圍是；故選：A．2．（2022·廣東·東莞市東方明珠學(xué)校高一期中）在中，角的對(duì)邊分別為為的面積，若．（1）求；（2）若，求周長(zhǎng)的范圍．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1），所以（2）根據(jù)正弦定理可得設(shè)周長(zhǎng)為C．3．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知，，分別為銳角△三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，記三角形的面積為，若.(1)求角的大?。?2)若，試求△周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)（1）由余弦定理得，∴，∵三角形面積，∴∴，∵，∴.∴角的大小為.（2）由正弦定理及（1）得，∴，.∴在銳角△中，，，