第01講基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情研究 202知識梳理· 303探究核心考點 4考點一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 6考點二：直觀圖 29考點三：展開圖 9考點四：最短路徑問題 11考點五：空間幾何體的表面積 13考點六：空間幾何體的體積 15三段突破訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練· 51能力提升 54真題感知 55一、5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析考情分析（1）基本立體圖形（2）表面積與體積2025年上海卷第7題，5分2025年北京卷第14題，5分2024年I卷第5題，5分2024年甲卷（理）第14題，5分2024年天津卷第9題，5分2023年乙卷（理）第8題，5分2023年甲卷（文）第10題，5分2023年天津卷第8題，5分2023年Ⅱ卷第14題，5分2023年I卷第12題，5分（1）理解基礎(chǔ)空間圖形及其簡單組合體的概念與核心特征，具備解決基本實際問題的能力；（2）多面體和球體的計算題是近年考試的重點內(nèi)容；（3）運用圖形概念描述圖形的基本關(guān)系和結(jié)果，突出考查直觀想象與邏輯推理能力。二、課標(biāo)要求1.認(rèn)識柱體、錐體、臺體、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐和圓臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題；3.會用斜二測畫法畫出簡單空間圖形（球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體）的直觀圖。三、知識導(dǎo)圖1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相①且②多邊形互相③且④側(cè)棱⑤相交于⑥，但不一定相等延長線交于⑦側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形點撥常見的幾種四棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其之間的關(guān)系：（2）旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，⑧于底面相交于一點延長線交于一點軸截面⑨⑩??側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)【答案】（1）平行；全等；平行；相似；平行且相等；一點；一點（2）垂直；矩形；等腰三角形；等腰梯形；圓點撥（1）球的任何截面都是圓面；（2）球心和截面（不過球心）圓心的連線垂直于截面；（3）球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為r=2.直觀圖（1）畫法：常用斜二測畫法。（2）規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x'軸與y'軸的夾角為?,z'軸與x'軸和②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別?于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度?，平行于y軸的線段在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼?.【答案】45°或135°；垂直；平行；不變；3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=S圓錐側(cè)=S圓臺側(cè)=【答案】2πrl；πrl4.柱體、錐體、臺體、球的表面積和體積名稱表面積體積柱體（棱柱和圓柱）S表面積V=錐體（棱錐和圓錐）S表面積V=臺體（棱臺和圓臺）S表面積V=球S=V=【答案】13S底h；考點一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征典例1．（25-26高一上·陜西·開學(xué)考試）用一個平面去截一個幾何體，如果截面的形狀是長方形，那么這個幾何體不可能是（

）A．圓錐 B．圓柱 C．五棱柱 D．正方體【答案】A【解析】對于A：一個平面只能截出三角形，圓與圓錐曲線，所以一個平面截圓錐，截面不可能為長方形，故A是；對于B：作一個軸截面，如圖，截面即為長方形，故B不是；

對于C：作一個直五棱柱，作出如圖的截面，截面即為長方形，故C不是；

對于D：做出如圖的體對角面，截面即為長方形，故D不是.

故選：A典例2．（2025·云南昆明·模擬）下列說法正確的是（

）A．四棱柱的所有面均為平行四邊形B．球面上四個不同的點一定不在同一平面內(nèi)C．在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線D．在正方體的所有頂點中取4個點，則由這4個頂點可以構(gòu)成三個面是直角三角形，一個面是等邊三角形的四面體【答案】D【解析】對于A選項，四棱柱的底面不一定是平行四邊形，A選項錯誤；對于B選項，作球的一個截面，在截面的圓周上任意取四個不同的點，則這四點就在球面上，故B選項錯誤；對于C選項，如圖在圓臺的上底面的圓周上取點，在下底面的圓周上取點，連接，則不是圓臺的母線，

所以在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線不一定是圓臺的母線，故C選項錯誤；對于D選項，如圖取正方體的頂點，由這四個點構(gòu)成四面體，設(shè)，則，，所以在四面體中，，，均是直角三角形，為等邊三角形，故D選項正確．

故選：D【方法技巧】（1）熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定。例如以長方體為基礎(chǔ)模型，將其中一個側(cè)面替換為平行四邊形，即可得到一個側(cè)棱不垂直于底面的四棱柱，從而驗證“四棱柱的側(cè)面都是矩形”這一命題的錯誤，構(gòu)建模型時需注意保持關(guān)鍵條件的一致性，避免引入無關(guān)變量。（2）通過反例對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉出一個反例即可。反例的選取應(yīng)緊扣命題的核心條件，如針對“有兩個面互相平行且其余各面都是梯形的幾何體是棱臺”這一命題，可選取兩個底面相似但對應(yīng)邊不平行的梯形拼接而成的幾何體，其不滿足棱臺各側(cè)棱延長后交于一點的特征，即為有效的反例；反例需具體可感，盡量用常見幾何體或坐標(biāo)表示，使辨析過程更直觀。跟蹤訓(xùn)練1．下列命題是真命題的是（

）A．兩個四棱錐可以拼成一個四棱柱 B．正三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形C．經(jīng)過不共線的三個點的球有且只有一個 D．直棱柱的側(cè)面是矩形【答案】D【解析】對于A，兩個四棱錐不一定可以拼成一個四棱柱，A錯誤．對于B，正三棱錐的底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰三角形，不一定是等邊三角形，B錯誤．對于C，經(jīng)過不共線的三個點只能確定一個平面，經(jīng)過不共線的三個點的球有無數(shù)個，C錯誤．對于D，直棱柱的側(cè)面是矩形，D正確．故選：D2.（25-26高二上·北京·開學(xué)考試）用一個平面去截正方體，不可能截得的是以下平面圖形中的（

）A．正三角形 B．梯形 C．直角三角形 D．矩形【答案】C【解析】對于A中，在正方體中，連接，此時截面為等邊三角形，所以A不符合題意；對于B中，取的中點分別為，連接，可得，且，所以，所以截面為等腰梯形，所以B不符合題意；對于D中，在正方體中，截面為矩形，所以D不符合題意；對于C中，在分別取點，設(shè)，可得，則，同理可得：，所以均為銳角，所以截面為銳角三角形，所以C符合題意.故選：C.考點二：直觀圖典例1．（25-26高二上·遼寧·開學(xué)考試）如圖，水平放置的的斜二測直觀圖為，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以．因為，所以，，所以．還原直觀圖得到，如圖所示．

因為，，所以．故選：B典例2．（25-26高二上·遼寧·階段練習(xí)）如圖，矩形是水平放置的平面四邊形用斜二測畫法畫出的直觀圖，其中，，則原四邊形中最長邊的長度為（

）

A．2 B． C．4 D．6【答案】D【解析】將直觀圖還原為原圖，如圖，

在直觀圖中，，則，故在原圖中，，，所以，而，所以原四邊形ABCD中最長邊為6.故選：D【方法技巧】（1）在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段。平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半。（2）斜二測法下的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關(guān)系：．跟蹤訓(xùn)練1．（24-25高一下·福建莆田·期中）如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形中對角線的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形，如圖，由斜二測畫法可知，，所以.故選：A.2.用斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖如圖所示，其中是的中點，且軸，軸，，那么（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形為等腰三角形，如圖所示，其中，，，原平面圖形的面積為.故選：D．考點三：展開圖典例1．如圖，這是一個正方體的平面展開圖，在該正方體中，下列命題正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，將展開圖重新組合成正方體.顯然.因此A選項正確.

由圖易得，顯然與所成角非直角，因此異面直線與所成角也非直角，所以不成立.因此B、C選項不正確.由圖易得，顯然與相交，因此不成立.因此D選項不正確.故選：A典例2．（2025·新疆·二模）已知圓錐的表面積為9，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長為l，圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則，得，又表面積，解得，所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為．故選：B．【方法技巧】（1）多面體展開圖形狀多樣，需通過實踐與觀察建立立體圖形與展開圖的對應(yīng)關(guān)系；（2）對于圓錐、圓臺等旋轉(zhuǎn)體，展開圖的幾何特性（如半圓、扇環(huán)）常用于推導(dǎo)關(guān)鍵參數(shù)；（3）結(jié)合具體實例，靈活運用公式與空間想象能力，可高效解決復(fù)雜問題。跟蹤訓(xùn)練1.（24-25高三下·浙江湖州·階段練習(xí)）已知某圓臺的側(cè)面展開圖是如圖所示的扇環(huán)，且，的弧長分別為，．若，則該圓臺的體積是（

）

A． B． C． D．【答案】C【難度】0.65【解析】由題設(shè)，圓臺上下底面半徑分別為，高，所以圓臺的體積.故選：C2.“蝠”與“?！卑l(fā)音相同，在中國文化中，蝙蝠圖案經(jīng)常寓意福氣臨門．某商家設(shè)計的折疊儲物凳是正三棱臺形狀，如圖，其側(cè)面展開圖形似蝙蝠．每個側(cè)面梯形的上底長為分米，下底長為分米，梯形的腰長為分米，忽略儲物凳的表面厚度，則該正三棱臺儲物凳的儲物容積為（

）A．立方分米 B．立方分米 C．7立方分米 D．立方分米【答案】D【解析】如圖，在正三棱臺中，，將棱臺補全為正三棱錐，設(shè)為底面的中心，連接，則平面，而平面，所以，因為，所以，，所以，則正三棱臺的高，該正三棱臺的上底面面積，下底面面積，所以該正三棱臺儲物凳的儲物容積.故選：D.考點四：最短路徑問題典例1．某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則一只小蟲從點沿著該圓臺的側(cè)面爬行到點所經(jīng)過的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以圓的周長是圓周長的兩倍，則弧的弧長.將圓臺一半側(cè)面展開，如圖1中扇環(huán)所示．延長和交于點，連接，如圖1所示，由可得，所以，則，所以在中，，即點到點所經(jīng)過的最短路程為．故選：C．典例2．（2025·江蘇·模擬）如圖，四棱錐截取自邊長為1的正方體.其中平面且是線段上靠近的三等分點，是線段上最靠近B的四等分點，M，N分別是棱和上的動點且恒有，垂足為H，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】先把及展開在一個平面上，當(dāng)過點做的垂線垂足為,，當(dāng)三點共線時即得的最小值，因為是取自邊長為1的正方體，易知，且面，面，所以，，，，在，等面積法得，因為是靠近的三等分點，所以，所以.故選：C.

【方法技巧】此類問題的核心在于大膽展開幾何體表面，將其轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的線段最短問題。通過展開圖簡化復(fù)雜空間幾何關(guān)系，從而高效求解。跟蹤訓(xùn)練1．（2025·貴州·一模）如圖，這是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為，山高為是山坡上一點，且．現(xiàn)要建設(shè)一條從到的環(huán)山觀光公路，這條公路從出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長度最短時，公路上坡路段長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，半徑為，山高為，則母線，底面圓周長，則圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角，如圖，是圓錐側(cè)面展開圖，顯然，由點向引垂線，垂足為點，此時為點和線段上的點連線的最小值，即點為公路的最高點，段為上坡路段，段為下坡路段，由直角三角形射影定理知，即，解得，所以公路上坡路段長為．故選：D2.（24-25高二下·云南·期中）已知正三棱錐側(cè)棱長.一只小螞蟻從頂點A出發(fā)沿著棱錐的側(cè)面爬行一周回到A點，則小螞蟻爬行的最短距離是（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】將三棱錐三個側(cè)面沿著剪開展開置于同一平面內(nèi)如圖所示，則，所求最短距離為線段的長度，而，由勾股定理得，所以蟲子爬行的最短距離.故選：D考點五：空間幾何體的表面積典例1．（2025·福建福州·模擬）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓錐的母線長為，依題意，可得，解得，則該圓錐的表面積為.故選：C.典例2．（2025·鄭州·模擬）在一個正六棱柱中挖去一個圓柱后，剩余部分幾何體如圖所示.已知正六棱柱的底面正六邊形邊長為3cm，高為4cm，內(nèi)孔半徑為1cmA.(72+C.(72+【答案】C【解析】選C.正六棱柱的側(cè)面積為3×4×6=72(cm2)，所求幾何體上【方法技巧】求多面體的表面積將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給不規(guī)則幾何體的表面積跟蹤訓(xùn)練1.（2025·四川涼山·三模）某圓錐母線長為1，其側(cè)面積與軸截面面積的比值為，則該圓錐的高為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐底面圓半徑為，圓錐高為，則圓錐的側(cè)面積為，軸截面的面積為，依題意，解得.故選：A.2.（2025·天津和平·三模）已知底面半徑為的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則此圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知圓錐的軸截面是邊長為的正三角形，則圓錐的高，如圖，由△△，可得，則，，圓柱側(cè)面積，圓錐側(cè)面積，則．故選：C．考點六：空間幾何體的體積典例1．（2025·四川成都·一模）已知圓錐的高為1，母線與底面所成角的大小為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，因為母線與底面所成角的大小為，所以，，所以該圓錐的體積為，故選：A典例2．（2025·江蘇南京·二模）已知平行六面體中，各棱長均為，，則四棱錐的體積為.【答案】【解析】四棱錐和平行六面體同底同高，故四棱錐的體積為平行六面體體積的，平行六面體的高即為正四面體的高，如下圖所示：設(shè)點在平面的射影為點，則為正的中心，由正弦定理可得，，菱形的面積為，所以平行六面體的體積為，所以四棱錐的體積為故答案為：【方法技巧】求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積跟蹤訓(xùn)練1.（2025·江西·模擬）（多選題）一個三棱錐和一個正三棱柱的所有棱長與一個表面積為的正方體的棱長相等，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的表面積為B．三棱柱的表面積為C．三棱錐、三棱柱、正方體的高之比為D．三棱錐、三棱柱、正方體的體積之比為【答案】ACD【解析】對于A項，設(shè)正方體的棱長為，則，解得，則三棱錐的表面積為，故A正確；對于B項，三棱柱的表面積為，故B錯誤；對于C項，易知該三棱錐為正四面體，如圖，高，

則三棱錐、三棱柱、正方體的高之比為，故C正確；對于D項，，所以三棱錐、三棱柱、正方體的體積之比為，故D正確.故選：ACD.2.（2025·河北唐山·模擬預(yù)測）一個等邊三角形邊長為2，以其一邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周圍成的幾何體的體積為．【答案】【解析】如圖，為等邊三角形，O為的中點，，以其邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周圍成的幾何體是以為半徑的圓為底面高為1的兩個圓錐，故幾何體體積為，故答案為：1.如圖所示，在三棱臺中，截去三棱錐，則剩余部分是（

）A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．組合體【答案】B【解析】三棱臺中，沿平面截去三棱錐，剩余的部分是以為頂點，四邊形為底面的四棱錐．故選：B2.（24-25高二上·四川達(dá)州·期末）如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形的面積為（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】在梯形中，，則該梯形的高為，梯形的面積為，在斜二測畫法中，原圖形的面積是對應(yīng)直觀圖面積的，所以平面圖形的面積.故選：D3.如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為，，分別是兩底面的直徑，，是母線．若一只小蟲從點出發(fā)，從側(cè)面爬行到點，則小蟲爬行的最短路線的長度是（

）cm．（結(jié)果保留根式）A． B． C． D．4【答案】C【解析】如圖，在圓柱側(cè)面展開圖中，線段的長度即為所求，在中，，，.故選；C4.（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測）已知圓錐的側(cè)面積為，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則此圓錐的高為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長為，由，得，又，所以，解得，；所以圓錐的高為.故選：A.5.如圖，在正三棱錐中，，側(cè)棱長為4，過點C的平面與側(cè)棱AB，AD分別交于，，則的周長的最小值為（

）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，把正三棱錐側(cè)面沿展開，所以的周長為，在正三棱錐中，，側(cè)棱長為4，所以，，，故選：C.6.圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為4.已知P為該圓臺某條母線的中點，若一質(zhì)點從點P出發(fā)，繞著該圓臺的側(cè)面運動一圈后又回到點P，則該質(zhì)點運動的最短路徑長為.【答案】【解析】P為圓臺母線AB的中點，分別為上下底面的圓心，把圓臺擴成圓錐，如圖所示，則，，，由，有，，，圓錐底面半徑，底面圓的周長為，母線長，所以側(cè)面展開圖的扇形的圓心角為，即，如圖所示，質(zhì)點從點P出發(fā)，繞著該圓臺的側(cè)面運動一圈后又回到點P，連接，，，有.此時點到的距離為，則運動的最短路徑為展開圖中弦，所以該質(zhì)點運動的最短路徑長為.故答案為：.7.（2025·海南·模擬預(yù)測）已知一個圓錐的母線長為，高為2，則該圓錐的表面積為（

）A．5 B． C． D．【答案】B【解析】由題知圓錐母線，高，所以底面圓的半徑，則圓錐的側(cè)面積，底面積，所以圓錐的表面積.故選：B.8.（2025·四川成都·模擬預(yù)測）已知正四棱臺的上、下底面面積分別為4和16，側(cè)棱長為，則該正四棱臺的體積為（

）A． B． C．56 D．【答案】A【解析】如圖所示的正四棱臺，連接,作平面，由正四棱臺的性質(zhì)可知在上.因為正四棱臺的上、下底面面積分別為4和16，所以正四棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，所以.易知四邊形為等腰梯形，所以，由勾股定理得，所以四棱臺的體積為.故選：A.9.如圖所示，在正方形鐵皮上剪下一個扇形和一個直徑為4的圓，使之恰好圍成一個圓錐，則圓錐的高為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圖知，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，圓錐底面圓的半徑為，設(shè)扇形半徑為，則有，解得，因此圓錐的母線長為，所以圓錐的高.故選：D10.（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，其側(cè)面積等于上、下底面積之和，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓臺的母線長，圓臺為高為，則圓臺的上、下底面圓的面積分別為，側(cè)面積為，所以，可得，則，所以圓臺的體積為.故選：B.1.（2025·湖南邵陽·三模）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積為，則此圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓錐母線長為，可得底面圓的周長為，由題意可得，解得，所以圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為.故選：D.2.（2025·山東臨沂·三模）一圓臺的上、下底面半徑分別為2、4，體積為，則該圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可知，圓臺上底面面積為，下底面面積為；設(shè)圓臺的高為，由體積可得，解得，所以可得圓臺母線長為，根據(jù)側(cè)面展開圖可得圓臺側(cè)面積為.故選：C3.（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知一個圓臺母線長為2，側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇環(huán)，則圓臺上下底面圓周長之差的絕對值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓臺的側(cè)面展開圖扇環(huán)的內(nèi)圓半徑為，外圓半徑為，（），則圓臺母線長為，設(shè)圓臺上、下底面圓半徑分別為，（），則，，∴，圓臺上下底面圓周長之差的絕對值為.故選：A.4.（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知正四棱臺的體積為，且，則正四棱臺的高為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】已知，，因為正四棱臺的底面為正方形，可得下底面積，上底面積.已知正四棱臺體積，將，代入正四棱臺體積公式，可得.解得.即正四棱臺的高為.故選：A.5.（2025·山東德州·三模）已知正三棱錐底面邊長為2，且其側(cè)面積是底面積的倍，則此正三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，在正三棱錐中，設(shè)頂點在底面的射影點為，則為正的中心，延長交于點，則為的中點，連接，因為正的邊長為，為的中點，則，因為，則，則，，由題意可知，正三棱錐的側(cè)面積為，則，即，即，故，因為為正的中心，則，因為平面，平面，則，所以，因此，該三棱錐的體積為.故選：D.6.（2025·河南駐馬店·模擬預(yù)測）已知點為空間一定點，圓錐（為底面的中心）表面上的所有點到點的距離均不超過3，則當(dāng)該圓錐的體積取得最大值時，圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為圓錐表面上所有點到點的距離均不超過3，所以圓錐表面上所有點均在以定點為球心，3為半徑的球內(nèi)或球面上，要使圓錐的體積最大，則圓錐的頂點及底面圓周上的所有點均在球面上，且球心在圓錐的內(nèi)部，此時圓錐的軸截面如圖所示.設(shè)圓錐的底面圓周的半徑為，球心到圓錐底面的距離為，則，所以，圓錐的體積，則.由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，此時該圓錐的母線長為，從而其側(cè)面積.故選：A.7.（2025·黑龍江哈爾濱·三模）已知一個等腰梯形的下底邊長是上底邊長的3倍，兩腰與下底邊所成角為，面積為．若該等腰梯形是一個圓臺的軸截面，則該圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，由題意得．設(shè)等腰梯形ABCD的上、下底邊長分別為a，，，即．分別過點D，A作，垂足分別為點G，F(xiàn)，因為，則四邊形ADGF為矩形，且，所以．在中，，，則等腰梯形的面積，解得，則圓臺的上、下底面的半徑分別為，母線長為，所以圓臺的側(cè)面積為．故選：A．8.（2025·寧夏銀川·二模）如圖所示，一個正四棱臺的上底邊長與側(cè)棱長相等，且為下底邊長的一半，一個側(cè)面的面積為，則該正四棱臺的體積為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，正四棱臺的各個側(cè)面都為等腰梯形，上?下底面為正方形，在四邊形中，過點作于點，，則，，解得，在平面中，過點作于點，則為正四棱臺的高，且，因此，該正四棱臺的體積為.故選：D9.（2025·遼寧·三模）（多選題）有一張長方形的紙（如圖所示），現(xiàn)可任意沿虛線將其剪開或折疊（不將紙剪斷），可以得到的圖形的直觀圖是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A項沿著和豎線剪開，沿中間線上翻得到.B項和線剪開，和線剪開，沿中間線上翻得到.C項四邊形和四邊形都被剪了，四邊形和四邊形位置沖突，所以不可能得到.D項沿和剪開，沿中間線上翻，再沿線剪開，沿中間線下翻得到.故選：ABD.10.（2025·廣東梅州·一模）分別以銳角三角形的邊，，為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積之比為，則．【答案】【解析】設(shè)以邊，，為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積分別為，，，設(shè)邊上的高為，設(shè)，則，可得，可得：，同理可得，，由題意可得：，由得，由正弦定理得，故，即，同理可得，所以．故答案為：1.（2020·江蘇卷·9題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm3.【答案】【解析】正六棱柱體積為，圓柱體積為，所求幾何體體積為故答案為：2.（2020·浙江卷·14題）已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為2π，且它的側(cè)面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是_______．【答案】【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，則，解得.故答案為：3.（2020·海南卷·13題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A-NMD1的體積為____________【答案】【解析】因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點所以故答案為：4.（2022·新高考1卷·8題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，，所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，，所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時，得，則當(dāng)時，球心在正四棱錐高線上，此時，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是5.（2022·北京·9題）已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)頂點在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，且，故.因為，故，故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，而三角形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為故選：B6.（2022·天津·8題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【解析】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，因為，所以，因為重疊后的底面為正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，則,由可得平面，設(shè)重疊后的EG與交點為則則該幾何體的體積為.故選：D.7.（2022·新課標(biāo)甲卷·文10題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.8.（2022·新高考2卷·11題）（多選題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】設(shè)，因為平面，，則，，連接交于點，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確.故選：CD.9.（2021·新高考2卷·5題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積.故選：D.10.（2021·北京·8題）某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級劃分如下：

等級24h降雨量（精確到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】B【解析】由題意，一個半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨.故選：B.11.（2021·新高考2卷·4題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【解析】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為.故選：C.12.（2021·新課標(biāo)甲卷·文14題）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為________.【答案】【解析】∵∴∴∴.故答案為：.13.（2023·天津卷·8題）在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，分別過作，垂足分別為.過作平面，垂足為，連接，過作，垂足為.

因為平面，平面，所以平面平面.又因為平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因為，所以，所以，在中，因為，所以，所以.故選：B14.（2023·新高考1卷·12題）（多選題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【解析】對于選項A：因為，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對