第01講基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情研究 202知識梳理· 303探究核心考點 4考點一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 6考點二：直觀圖 29考點三：展開圖 9考點四：最短路徑問題 11考點五：空間幾何體的表面積 13考點六：空間幾何體的體積 15三階突破訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練· 51能力提升 54真題感知 55一、5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析考情分析（1）基本立體圖形（2）表面積與體積2025年上海卷第7題，5分2025年北京卷第14題，5分2024年I卷第5題，5分2024年甲卷（理）第14題，5分2024年天津卷第9題，5分2023年乙卷（理）第8題，5分2023年甲卷（文）第10題，5分2023年天津卷第8題，5分2023年Ⅱ卷第14題，5分2023年I卷第12題，5分（1）理解基礎(chǔ)空間圖形及其簡單組合體的概念與核心特征，具備解決基本實際問題的能力；（2）多面體和球體的計算題是近年考試的重點內(nèi)容；（3）運用圖形概念描述圖形的基本關(guān)系和結(jié)果，突出考查直觀想象與邏輯推理能力。二、課標(biāo)要求1.認(rèn)識柱體、錐體、臺體、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐和圓臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.3.會用斜二測畫法畫出簡單空間圖形（球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體）的直觀圖.三、知識導(dǎo)圖1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相且多邊形互相且側(cè)棱相交于，但不一定相等延長線交于側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形點撥常見的幾種四棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其之間的關(guān)系：（2）旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，于底面相交于一點延長線交于一點軸截面?zhèn)让嬲归_圖矩形扇形扇環(huán)點撥（1）球的任何截面都是圓面；（2）球心和截面（不過球心）圓心的連線垂直于截面；（3）球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為r=2.直觀圖（1）畫法：常用斜二測畫法.（2）規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x'軸與y'軸的夾角為,z'軸與x'軸和②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度，平行于y軸的線段在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼?3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=S圓錐側(cè)=S圓臺側(cè)4.柱體、錐體、臺體、球的表面積和體積名稱表面積體積柱體（棱柱和圓柱）S表面積V=錐體（棱錐和圓錐）S表面積V=臺體（棱臺和圓臺）S表面積V=球S=V=考點一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征典例1．（25-26高一上·陜西·開學(xué)考試）用一個平面去截一個幾何體，如果截面的形狀是長方形，那么這個幾何體不可能是（

）A．圓錐 B．圓柱 C．五棱柱 D．正方體典例2．（2025·云南昆明·模擬）下列說法正確的是（

）A．四棱柱的所有面均為平行四邊形B．球面上四個不同的點一定不在同一平面內(nèi)C．在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線D．在正方體的所有頂點中取4個點，則由這4個頂點可以構(gòu)成三個面是直角三角形，一個面是等邊三角形的四面體【方法技巧】（1）熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定。例如以長方體為基礎(chǔ)模型，將其中一個側(cè)面替換為平行四邊形，即可得到一個側(cè)棱不垂直于底面的四棱柱，從而驗證“四棱柱的側(cè)面都是矩形”這一命題的錯誤，構(gòu)建模型時需注意保持關(guān)鍵條件的一致性，避免引入無關(guān)變量。（2）通過反例對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉出一個反例即可。反例的選取應(yīng)緊扣命題的核心條件，如針對“有兩個面互相平行且其余各面都是梯形的幾何體是棱臺”這一命題，可選取兩個底面相似但對應(yīng)邊不平行的梯形拼接而成的幾何體，其不滿足棱臺各側(cè)棱延長后交于一點的特征，即為有效的反例；反例需具體可感，盡量用常見幾何體或坐標(biāo)表示，使辨析過程更直觀。跟蹤訓(xùn)練1．下列命題是真命題的是（

）A．兩個四棱錐可以拼成一個四棱柱 B．正三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形C．經(jīng)過不共線的三個點的球有且只有一個 D．直棱柱的側(cè)面是矩形2.（25-26高二上·北京·開學(xué)考試）用一個平面去截正方體，不可能截得的是以下平面圖形中的（

）A．正三角形 B．梯形 C．直角三角形 D．矩形考點二：直觀圖典例1．（25-26高二上·遼寧·開學(xué)考試）如圖，水平放置的的斜二測直觀圖為，若，，則（

）

A． B． C． D．典例2．（25-26高二上·遼寧·階段練習(xí)）如圖，矩形是水平放置的平面四邊形用斜二測畫法畫出的直觀圖，其中，，則原四邊形中最長邊的長度為（

）

A．2 B． C．4 D．6【方法技巧】（1）在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段.平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.（2）斜二測法下的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關(guān)系：．跟蹤訓(xùn)練1．（24-25高一下·福建莆田·期中）如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形中對角線的長度為（

）A． B． C． D．2.用斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖如圖所示，其中是的中點，且軸，軸，，那么（

）A． B．2 C． D．4考點三：展開圖典例1．如圖，這是一個正方體的平面展開圖，在該正方體中，下列命題正確的是（

）

A． B． C． D．典例2．（2025·新疆·二模）已知圓錐的表面積為9，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【方法技巧】（1）多面體展開圖形狀多樣，需通過實踐與觀察建立立體圖形與展開圖的對應(yīng)關(guān)系；（2）對于圓錐、圓臺等旋轉(zhuǎn)體，展開圖的幾何特性（如半圓、扇環(huán)）常用于推導(dǎo)關(guān)鍵參數(shù)；（3）結(jié)合具體實例，靈活運用公式與空間想象能力，可高效解決復(fù)雜問題。跟蹤訓(xùn)練1.（24-25高三下·浙江湖州·階段練習(xí)）已知某圓臺的側(cè)面展開圖是如圖所示的扇環(huán)，且，的弧長分別為，．若，則該圓臺的體積是（

）

A． B． C． D．2.“蝠”與“?！卑l(fā)音相同，在中國文化中，蝙蝠圖案經(jīng)常寓意福氣臨門。某商家設(shè)計的折疊儲物凳是正三棱臺形狀，如圖，其側(cè)面展開圖形似蝙蝠。每個側(cè)面梯形的上底長為分米，下底長為分米，梯形的腰長為分米，忽略儲物凳的表面厚度，則該正三棱臺儲物凳的儲物容積為（

）A．立方分米 B．立方分米 C．7立方分米 D．立方分米考點四：最短路徑問題典例1．某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則一只小蟲從點沿著該圓臺的側(cè)面爬行到點所經(jīng)過的最短路程為（

）A． B． C． D．典例2．（2025·江蘇·模擬）如圖，四棱錐截取自邊長為1的正方體.其中平面且是線段上靠近的三等分點，是線段上最靠近B的四等分點，M，N分別是棱和上的動點且恒有，垂足為H，則的最小值為（

）

A． B． C． D．

【方法技巧】此類問題的核心在于大膽展開幾何體表面，將其轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的線段最短問題。通過展開圖簡化復(fù)雜空間幾何關(guān)系，從而高效求解。跟蹤訓(xùn)練1．（2025·貴州·一模）如圖，這是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為，山高為是山坡上一點，且．現(xiàn)要建設(shè)一條從到的環(huán)山觀光公路，這條公路從出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長度最短時，公路上坡路段長為（

）A． B． C． D．2.（24-25高二下·云南·期中）已知正三棱錐側(cè)棱長.一只小螞蟻從頂點A出發(fā)沿著棱錐的側(cè)面爬行一周回到A點，則小螞蟻爬行的最短距離是（

）A． B． C．3 D．考點五：空間幾何體的表面積典例1．（2025·福建福州·模擬）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．典例2．（2025·鄭州·模擬）在一個正六棱柱中挖去一個圓柱后，剩余部分幾何體如圖所示.已知正六棱柱的底面正六邊形邊長為3cm，高為4cm，內(nèi)孔半徑為1cmA.(72+C.(72+【方法技巧】求多面體的表面積將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給不規(guī)則幾何體的表面積跟蹤訓(xùn)練1.（2025·四川涼山·三模）某圓錐母線長為1，其側(cè)面積與軸截面面積的比值為，則該圓錐的高為（

）A． B．1 C．2 D．2.（2025·天津和平·三模）已知底面半徑為的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則此圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．考點六：空間幾何體的體積典例1．（2025·四川成都·一模）已知圓錐的高為1，母線與底面所成角的大小為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．典例2．（2025·江蘇南京·二模）已知平行六面體中，各棱長均為，，則四棱錐的體積為.【方法技巧】求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積跟蹤訓(xùn)練1.（2025·江西·模擬）（多選題）一個三棱錐和一個正三棱柱的所有棱長與一個表面積為的正方體的棱長相等，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的表面積為B．三棱柱的表面積為C．三棱錐、三棱柱、正方體的高之比為D．三棱錐、三棱柱、正方體的體積之比為2.（2025·河北唐山·模擬預(yù)測）一個等邊三角形邊長為2，以其一邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周圍成的幾何體的體積為．1.如圖所示，在三棱臺中，截去三棱錐，則剩余部分是（

）A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．組合體2.（24-25高二上·四川達州·期末）如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形的面積為（

）A．1 B． C． D．33.如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為，，分別是兩底面的直徑，，是母線。若一只小蟲從點出發(fā)，從側(cè)面爬行到點，則小蟲爬行的最短路線的長度是（

）cm．（結(jié)果保留根式）A． B． C． D．44.（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測）已知圓錐的側(cè)面積為，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則此圓錐的高為（

）A． B． C．2 D．35.如圖，在正三棱錐中，，側(cè)棱長為4，過點C的平面與側(cè)棱AB，AD分別交于，，則的周長的最小值為（

）A． B．4 C． D．6.圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為4.已知P為該圓臺某條母線的中點，若一質(zhì)點從點P出發(fā)，繞著該圓臺的側(cè)面運動一圈后又回到點P，則該質(zhì)點運動的最短路徑長為.7.（2025·海南·模擬預(yù)測）已知一個圓錐的母線長為，高為2，則該圓錐的表面積為（

）A．5 B． C． D．8.（2025·四川成都·模擬預(yù)測）已知正四棱臺的上、下底面面積分別為4和16，側(cè)棱長為，則該正四棱臺的體積為（

）A． B． C．56 D．9.如圖所示，在正方形鐵皮上剪下一個扇形和一個直徑為4的圓，使之恰好圍成一個圓錐，則圓錐的高為（

）A． B． C． D．10.（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，其側(cè)面積等于上、下底面積之和，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．1.（2025·湖南邵陽·三模）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積為，則此圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為（

）A． B． C． D．2.（2025·山東臨沂·三模）一圓臺的上、下底面半徑分別為2、4，體積為，則該圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．3.（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知一個圓臺母線長為2，側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇環(huán)，則圓臺上下底面圓周長之差的絕對值為（

）A． B． C． D．4.（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知正四棱臺的體積為，且，則正四棱臺的高為（

）A． B． C．2 D．5.（2025·山東德州·三模）已知正三棱錐底面邊長為2，且其側(cè)面積是底面積的倍，則此正三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．6.（2025·河南駐馬店·模擬預(yù)測）已知點為空間一定點，圓錐（為底面的中心）表面上的所有點到點的距離均不超過3，則當(dāng)該圓錐的體積取得最大值時，圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．7.（2025·黑龍江哈爾濱·三模）已知一個等腰梯形的下底邊長是上底邊長的3倍，兩腰與下底邊所成角為，面積為．若該等腰梯形是一個圓臺的軸截面，則該圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．8.（2025·寧夏銀川·二模）如圖所示，一個正四棱臺的上底邊長與側(cè)棱長相等，且為下底邊長的一半，一個側(cè)面的面積為，則該正四棱臺的體積為（

）A． B．C． D．9.（2025·遼寧·三模）（多選題）有一張長方形的紙（如圖所示），現(xiàn)可任意沿虛線將其剪開或折疊（不將紙剪斷），可以得到的圖形的直觀圖是（

）A． B．C． D．10.（2025·廣東梅州·一模）分別以銳角三角形的邊，，為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積之比為，則．1.（2020·江蘇卷·9題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的。已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm3.2.（2020·浙江卷·14題）已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為2π，且它的側(cè)面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是_______。3.（2020·海南卷·13題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A-NMD1的體積為____________4.（2022·新高考1卷·8題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．5.（2022·北京·9題）已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合。設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．6.（2022·天津·8題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．277.（2022·新課標(biāo)甲卷·文10題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．8.（2022·新高考2卷·11題）（多選題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．9.（2021·新高考2卷·5題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．10.（2021·北京·8題）某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）。24h降雨量的等級劃分如下：

等級24h降雨量（精確到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨11.（2021·新高考2卷·4題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果。在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）。將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)。地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星