第三題向量及其運(yùn)算高考真題3.已知向量，若，則（）A. B.C. D.知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量與非零向量a共線的單位向量為±eq\f(a,|a|)共線向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共線向量0向量與任一向量平行或共線相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)蓚€(gè)向量只有相等或不相等，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理：向量平行(共線)的充要條件：a∥b?a＝λb(b≠0)．向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得.4.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，滿足，我們把不共線向量e1，e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．5.向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝，λa＝，|a|＝.(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝.6.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，則a，b共線?.7.向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB稱為向量a與b的夾角，向量夾角的取值范圍是.8.投影向量如圖，設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，考慮如下變換：過(guò)eq\o(AB,\s\up6(→))的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，稱上述變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量，且a在b方向上的投影向量為|a|cosθeq\f(b,|b|)＝eq\f(a·b,|b|2)·b，θ為a與b的夾角．9.平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a，b，θ為a，b的夾角，那么數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b.10.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)若e是單位向量，則a·e＝e·a＝|a|cosθ(θ為a，e的夾角)；(2)a⊥b?a·b＝0；(3)當(dāng)向量a，b同向時(shí)，a·b＝|a||b|，當(dāng)向量a，b反向時(shí)，a·b＝，特別地，a·a＝|a|2，|a|＝eq\r(a·a)；(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)(θ為a，b的夾角)；(5)|a·b|≤.11.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b＝b·a；(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；(3)對(duì)任意λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．12.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)運(yùn)算若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(θ為a，b的夾角)，則：(1)a·b＝；(2)a⊥b?；(3)|a|＝；(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝.13.常用結(jié)論(1)若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝.(2)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，且點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1.(3)若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.(4)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1.由△OAB與△OA′B′相似，知必存在一個(gè)常數(shù)k，k∈R，使得eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))，則eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→)).又eq\o(OP′,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，所以x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立．(5)兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線．(6)平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.題型展示向量的概念(多選)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.單位向量都相等B.零向量與任意非零向量平行C.長(zhǎng)度相等方向相反的向量共線D.方向相反的向量可能相等向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)：(1)向量定義的關(guān)鍵是方向與長(zhǎng)度；(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制；(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等；(4)單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度；(5)零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是零，規(guī)定零向量與任何向量共線．向量的線性運(yùn)算(2022·揭陽(yáng)模擬)如圖，在矩形ABCD中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝4e2，則eq\o(OC,\s\up6(→))等于()A.3e1＋2e2 B.3e1－2e2C.2e1＋3e2 D.2e1－3e2(1)共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則；(2)求首尾相連向量的和用三角形法則；(3)求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系，即先通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，再進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．共線向量定理及其應(yīng)用(1)已知向量e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，a＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，則λ的值為()A.2 B.－2C.－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)(2)已知e1與e2不共線，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2e1－e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1＋3e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值是()A.2 B.－4C.－2 D.3(1)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．(2)向量a，b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時(shí)成立，則向量a，b不共線．平面向量基本定理的應(yīng)用(2022·重慶三模)已知O為△ABC的重心，記eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A.－2a－b B.－a＋2bC.a－2b D.2a＋b向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算已知點(diǎn)A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，求點(diǎn)E，F(xiàn)及向量eq\o(EF,\s\up6(→))的坐標(biāo)．(1)利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過(guò)程中，常利用“向量相等，則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論，由此可列方程(組)進(jìn)行求解．向量共線的坐標(biāo)表示(2022·營(yíng)口期末)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(2，λ)，若(a＋2b)∥c，則λ＝.平面向量數(shù)量積的簡(jiǎn)單運(yùn)算(1)如圖，在直角梯形ABCD中，已知AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))等于()A.8 B.12C.16 D.20(2)(2022·福州模擬)已知向量a，b為單位向量，且a⊥b，則b·(4a－3b)等于()A.－3 B.3C.－5 D.5平面向量數(shù)量積常用的兩種運(yùn)算方法：(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|·cosθ，其中θ為a與b的夾角；(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.向量模和夾角的計(jì)算(1)(多選)設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，且|b－2a|＝eq\r(,5)，則以下結(jié)論正確的是()A.a⊥bB.|a＋b|＝2C.|a－b|＝eq\r(,2)D.a與b的夾角為60°(2)已知向量a＝(2,4)，b＝(－2，m)，若a＋b與b的夾角為60°，則m等于()A.－eq\f(\r(,3),3) B.eq\f(\r(,3),3)C.－eq\f(2\r(,3),3) D.eq\f(2\r(,3),3)幾何圖形中的數(shù)量積問(wèn)題(2022·聊城二模)如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°.設(shè)E為CD的中點(diǎn)，則eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))的值是.真題演練一、單選題1．已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件2．已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．13．正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．54．已知向量，則（

）A． B． C． D．5．已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．6．已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．67．已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．58．已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．29．在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．10．已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．二、填空題11．已知向量，滿足，，則．12．設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．13．已知向量．若，則．14．已知向量，若，則．模擬訓(xùn)練一、單選題1．已知向量＝(3，1)，＝(2，λ)(λ∈R)，若⊥，則(

)A．5 B． C． D．102．如圖，已知平面向量的模均為4，且，則（

）

A．4 B． C．8 D．3．已知非零向量，滿足，，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．在三角形ABC中，已知三邊之比為，則的值是（

）A．2 B．1 C． D．5．河中水流自西向東每小時(shí)10km，小船自南岸A點(diǎn)出發(fā)，想要沿直線駛向正北岸的B點(diǎn)，并使它的實(shí)際速度達(dá)到每小時(shí)10km，該小船行駛的方向和靜水速度分別為()A．西偏北30°，速度為20km/hB．北偏西30°，速度為20km/hC．西偏北30°，速度為20km/hD．北偏西30°，速度為20km/h6．如圖所示，在中，，，P為上一點(diǎn)，且滿足，若的面積為，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題7．如圖所示，是的邊上的中點(diǎn)，則向量（

）A． B．