微專題2余弦定理、正弦定理的應(yīng)用類型1用正、余弦定理解決平面幾何中的問題1.在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且BC邊上的高為36a,當(dāng)cb+A.π2 B.π6 C.2π2.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”,類比趙爽弦圖,用3個全等的小三角形和1個小等邊三角形拼成了如圖所示的等邊△ABC,若EF=2,sin∠ACF=33A.8 B.7 C.6 D.53.如圖所示,在四邊形ABCD中,AC=AD=CD=7,∠ABC=120°,BD為∠ABC的平分線,sin∠BAC=53A.6 B.8 C.72 D.94.在平面四邊形ABCD中,AB⊥AC,且AB=AC,AD=2CD=22,則BD的最大值為()A.27 B.6C.25 D.235.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=2,BC=1,∠DAB=π3A.23 B.35C.346.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知c=3,S△ABC=b2sinC,則a的取值范圍是;當(dāng)∠B最大時,△ABC的面積為.

類型2正、余弦定理與三角恒等變換的綜合問題7.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=3,b=2,csinA=acosC+π6,則c=()A.1 B.13C.4 D.138.在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足sinB-3cosC=3(c2A.12,2 B.12,9.△ABC中,sinπ2-BA.-1,12 B.1310.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知三個向量m=a,cosA2,n=b,A.等邊三角形B.鈍角三角形C.有一個角是π6的直角三角形11.已知a=(3sinx,cosx),b=(cosx,cosx),f(x)=a·b(x∈R).(1)求函數(shù)y=f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)已知△ABC三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,當(dāng)f(A)=-12類型3正、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用12.某校學(xué)生為測量操場上的旗桿高度,在與旗桿底端Q位于同一水平高度的共線三點A,B,C處,測得旗桿頂端P處的仰角分別為π6,π4,A.36m B.46mC.66m D.86m13.火箭造橋技術(shù)是我國首創(chuàng)在陡峭山區(qū)建橋的一種方法.由兩枚火箭牽引兩條足夠長的繩索精準(zhǔn)地射入對岸的指定位置,是建造高空懸索橋的關(guān)鍵.位于湖北省的四渡河大橋就是首次用這種技術(shù)建造的懸索橋.工程師們需要測算火箭攜帶的引導(dǎo)索的長度(引導(dǎo)索比較重,如果過長會影響火箭發(fā)射),已知對岸目標(biāo)點D的正下方地面上一標(biāo)志物AB的高為h,工程師們從建橋外C看點A和點B的俯角分別為α,β,則一枚火箭應(yīng)至少攜帶引導(dǎo)索CD的長度是()A.hsinαcosC.hcosαcos答案1.D由題意得12×36a2=12bcsinA,∴a2又∵cosA=b2∴b2+c2=a2+2bccosA=23bcsinA+2bccosA,∴cb+bc=23sinA+2cosA=4sin∴cb+bc取最大值時,有A+π6=2kπ+π∴A=2kπ+π3,k∈Z,又∵0<A<π,∴A=π2.B在△ACF中,∠AFC=180°-60°=120°,設(shè)AF=CE=t,則CF=2+t,由正弦定理可知AFsin∠ACF=ACsin∠AFC,即則AC=73在△ACF中,AC2=AF2+CF2-2AF·CF·cos∠AFC,即499t2=t2+(2+t)2-2t(t+2)×-123.B在△ABC中,因為∠ABC=120°,所以∠BAC為銳角,所以cos∠BAC=1-53因為AC=AD=CD=7,所以△ADC為等邊三角形,所以∠DAC=60°,因為BD為∠ABC的平分線,∠ABC=120°,所以∠ABD=60°,所以sin∠BAD=sin(∠BAC+∠DAC)=sin∠BACcos∠DAC+cos∠BACsin∠DAC=5314×12+1114×在△ABD中,由正弦定理可知BDsin∠BAD=即BD=sin∠BAD·ADsin∠ABD=434.B由題意可知CD=2,設(shè)∠ADC=θ,在△ADC中,由正弦定理可得ACsinθ=所以ACsin∠DAC=CDsinθ=2sinθ,由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosθ=12-82cosθ.在△ADB中,由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠DAB=AC2+AD2-2AC·ADcosπ212-82·cosθ+8+42ACsin∠DAC=20-82cosθ+82sinθ=20+16sinθ-5.B因為在平行四邊形ABCD中,AB=2,BC=1,∠DAB=π3,所以AB=DC=2,AD=BC=1,∠ABC=∠ADC=2因為將三角形ABC沿直線AC翻折得三角形AB'C,使得AB'交CD于E,所以CB'=BC=1,∠ABC=∠CB'E=2π所以AD=CB',∠ADE=∠CB'E,又∠AED=∠CEB',所以△ADE≌△CB'E,所以DE=B'E,設(shè)DE=x,則CE=2-x,B'E=x,在△CB'E中,由余弦定理得CE2=CB'2+B'E2-2CB'·B'E·cos∠CB'E,即(2-x)2=1+x2-2x·-12,解得x=356.答案(2,6);3解：因為S△ABC=12absinC=b2由三角形的三邊關(guān)系知a+b>c,a-b<c.又c=3,所以2<a<6,即a的取值范圍是(2,6).cosB=a2+c2-b22ac=3b2+c2又B∈(0,π),所以∠B的最大值為π6,此時S△ABC=12acsinB=12×23×3×17.A∵csinA=acosC+π∴sinCsinA=sinA32∵sinA≠0,∴sinC=32cosC-1∴3sinC=3cosC,∴tanC=33又∵C∈(0,π),∴C=π6.在△ABC中,由余弦定理得c2=3+4-2×3×2×38.A由sinB-3cosC=3(c2-a化簡得sinB=32×ba,即bsin由正弦定理得asinA=a3又三角形ABC是銳角三角形,所以A=π3bc=sinBsinC=sinBsin(A+B)=sinB32cosB+12sinB=23tanB+1,因為三角形ABC是銳角三角形,且A=9.Bsinπ2則C=π-A-B=π-A-2A=π-3A,由B=2A∈(0,π),C=π-3A∈(0,π),得A∈0,在△ABC中,由正弦定理得ACsinB=ABsin故AC-BCAB=sinB-sinA易知sinA≠0,故AC-BCAB=2cosA因為A∈0,故AC-BCAB易得2cosA+1∈(2,3),故AC-BCAB=110.A∵向量m=a,cosA2,n=b,cosB2共線,∴acos∴2sinA2cosA2cosB2=2sinB2cos∵A,B∈(0,π),∴cosB2cosA2≠0,則sinA2又0<A2<π2,0<B2<π2,∴同理可得B=C.∴△ABC為等邊三角形.故選A.11.解：(1)f(x)=a·b=3sinxcosx+cos2x=32sin2x+12cos2x+12=sin2x+所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2π由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2可得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-π(2)因為f(A)=sin2A+π6+12所以sin2A+π所以2A+π6=2kπ-π2,k∈Z,所以A=kπ-π3又A∈(0,π),所以A=2π所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,a=7,b+c=8可得49=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=64-bc,所以bc=15,所以S△ABC=12bcsinA=12×15×3212.C設(shè)