.4.3余弦定理、正弦定理課時(shí)2正弦定理基礎(chǔ)知識(shí)鞏固練知識(shí)點(diǎn)1已知兩角和任一邊解三角形1.在△ABC中,A=π4,C=7π12A.1 B.2 C.3 D.22.已知在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,c=10,A=45°,C=30°,求a,b和B.知識(shí)點(diǎn)2已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形3.在△ABC中,B=30°,b=2,c=22,則角A的大小為()A.45° B.135°或45°C.15° D.105°或15°4.在△ABC中,已知A=π3,a=3A.1 B.2C.3-1 D.35.在梯形ABCD中,AD∥BC,CD=4,△ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形,則sin∠ADC=()A.34 B.338 C.7知識(shí)點(diǎn)3用正、余弦定理判斷三角形形狀6.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=7,b=3,c=5,則()A.△ABC為銳角三角形 B.△ABC為直角三角形C.△ABC為鈍角三角形 D.△ABC的形狀無(wú)法確定7.在△ABC中,若bcA.直角三角形 B.等腰三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形8.在△ABC中,A+C=2B,b2=ac,則△ABC的形狀是()A.直角三角形 B.等腰直角三角形C.等邊三角形 D.鈍角三角形9.在△ABC中,已知acosπ2-A知識(shí)點(diǎn)4三角形的面積公式及應(yīng)用10.設(shè)△ABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=4,b=6,cosC=-12A.62 B.63 C.12 D.8311.(多選)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b=23,c=2,C=π6A.3 B.3 C.23 D.3312.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足2b=a+c,cosB=45A.4 B.26 C.6 D.6或1513.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,C=π3且a+b=7,△ABC的外接圓半徑為4(1)求△ABC的面積;(2)求△ABC邊AB上的高h(yuǎn).綜合能力提升練14.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=9,b=8,c=5,則△ABC的外接圓的面積為()A.22511π B.12511π C.1236π 15.在△ABC中,已知a-b=ccosB-ccosA,則△ABC的形狀是()A.底和腰不等的等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰或直角三角形16.在△ABC中,已知AB=x,BC=22,C=π4A.[22,+∞) B.(0,22)C.(2,22) D.(2,2)17.(多選)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,根據(jù)下列條件解三角形,其中有兩解的是()A.b=10,c=53,C=60°B.b=15,c=4,B=60°C.a=3,b=2,A=45°D.a=8,b=4,A=60°18.(多選)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=2,則()A.若A=45°,且△ABC有兩解,則b的取值范圍是(2,22)B.若A=45°,且b=4,則△ABC恰有一解C.若c=3,且△ABC為鈍角三角形,則b的取值范圍是(13,5)D.若c=3,且△ABC為銳角三角形,則b的取值范圍是(5,13)19.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2asinC=3bsinA,cosA=13(1)證明:△ABC為等腰三角形;(2)若D是邊BC的中點(diǎn),AD=34,求△ABC的面積.20.從①3bsinA1+cosB=a;②asinB-3bcosBcosC=3ccos在銳角△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,若.

(1)求角B的大小;(2)求sinA+sinC的取值范圍;(3)當(dāng)sinA+sinC取得最大值時(shí),在△ABC所在平面內(nèi)取一點(diǎn)D(D與B在AC兩側(cè)),使得線段DC=2,DA=1,求△BCD面積的最大值.(注:若選擇多個(gè)條件,按第一個(gè)解答計(jì)分)答案1.D由題意可得B=π-A-C=π6由正弦定理asinA=bsinB得a=2.解：∵asinA=csinC,∴a=csinB=180°-(A+C)=180°-(45°+30°)=105°.∵bsinB=csinC,∴b=csinBsinC=3.D由bsinB=csinC得sinC=csin由于c>b,故C>B=30°,則C=45°或C=135°,故A=105°或A=15°,故選D.4.B由asinA=bsinB及已知可得∴sinB=12由a>b,得A>B,又A=π3,∴B∈0,π3,∴B=π6.故C=π-π3-5.B因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為3的正三角形,所以∠ABC=∠ACB=60°,AC=3,因?yàn)锳D∥BC,所以∠CAD=∠ACB=60°,在△ACD中,由正弦定理得ACsin∠ADC=所以sin∠ADC=ACsin∠CADCD=3×6.C由余弦定理的推論得cosA=b2+c2-故A為鈍角,所以△ABC為鈍角三角形,故選C.7.B由bc易知sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以2sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC?sin(C-A)=0,由于C,A為△ABC的內(nèi)角,故C=A,故△ABC為等腰三角形,故選B.8.C在△ABC中,A+C=2B,則B=π3由b2=a2+c2-2accosB,得b2=a2+c2-ac,又b2=ac,所以a2+c2-2ac=(a-c)2=0,即a=c,所以△ABC是等邊三角形.故選C.9.解：:∵acosπ2-A∴asinA=bsinB.結(jié)合正弦定理可得a2=b2,∴a=b,∴△ABC為等腰三角形.10.B∵0<C<π,∴sinC=1-cos∴S△ABC=12absinC=12×4×6×3211.AC由余弦定理得c2=a2+12-43acosπ6即a2-6a+8=0,解得a=2或a=4,故S△ABC=12absinC=3或S△ABC=12absinC=212.B∵cosB=45,B∈(0,π),∴sinB=1-co由題意得6=12acsinB=3又2b=a+c,∴b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-85ac=4b2解得b=26,故選B.13.解：(1)在△ABC中,由正弦定理可得csinC=2×433,則c=2×由c2=a2+b2-2abcosC,得16=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,所以3ab=49-16=33,所以ab=11,所以S△ABC=12absinC=11(2)S△ABC=12absinC=12ch,所以h=2S△ABC14.A因?yàn)閍=9,b=8,c=5,所以cosC=a2+b2-所以sinC=1-cos設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,則R=c2sinC=5113=15故選A.15.D將cosA=b2+c2-a2等式兩邊同乘2ab得2a2b-2ab2=a2b+c2b-b3-ab2-ac2+a3,整理得ab(a-b)+c2(a-b)-(a-b)·(a2+ab+b2)=0,即(a-b)(c2-a2-b2)=0,解得a=b或a2+b2=c2,所以△ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形,故選D.16.C由ABsinC=BCsinA得sinA=由題意可知關(guān)于A的方程sinA=2x在A∈0在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出曲線y=sinA,A∈0,3π4由圖可得22<2x<1,所以2<x<22,即x的取值范圍是(2,217.BC對(duì)于A,因?yàn)閎=10,c=53,C=60°,所以由正弦定理得sinB=bsinCc所以B=90°,所以△ABC有唯一解,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,因?yàn)閎=15,c=4,B=60°,所以csinB=4sin60°=23,由23<15<4,得csinB<b<c,如圖,△ABC有兩解,故B正確.對(duì)于C,因?yàn)閍=3,b=2,A=45°,所以bsinA=2sin45°=2,由2<3<2,得bsinA<a<b,如圖,△ABC有兩解.18.AD對(duì)于A,由正弦定理得2sin45°=bsinB對(duì)于B,bsinA=4×22=22對(duì)于C,①若c為最大邊,則32>22+b2,且3<2+b,故1<b<5;②若b為最大邊,則b2>22+32,且b<2+3,故13<b<5,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,若△ABC為銳角三角形,則b2<22+32,且32<22+b2,所以5<b<13,故D正確.故選AD.19.解：(1)證明:因?yàn)?asinC=3bsinA,所以由正弦定理得2ac=3ba,所以c=32因?yàn)閏osA=13,所以b2+c2-a所以a=c,所以△ABC為等腰三角形.(2)由(1)知a=c=32b,因?yàn)镈是邊BC的中點(diǎn),所以BD=DC=12BC=所以在△ABC和△ABD中,由余弦定理的推論得cosB=a2+c將AD=34,a=c=32b代入,得b=42由cosA=13,A∈(0,π),得sinA=1-co則S△ABC=12bcsinA=12×32b2sinA=34×32×20.解：(1)選①:∵3b∴由正弦定理得3sin即3sinBsinA=sinA(1+cosB),∵0<A<π2∴3sinB=1+cosB,整理得sinB-π6∵0<B<π2,∴-π6<B-π6<π3,∴B-π6選②:∵asinB-3bcosBcosC=3ccos2B,∴由正弦定理得sinAsinB=3sinBcosBcosC+3sinCcos2B,即sinAsinB=3cosB(sinBcosC+sinCcosB)=3cosBsin(B+C),∴sinAsinB=3cosBsinA,∵A∈0,∴sinB=3cosB,∴tanB=3,又B∈0,π2選③:∵1+tanBtanC∴cosBsinC+sinBcosC又A+B+C=π,∴sinAcosB易知sinA>0,sinC>0,∴cosB=12又B∈0,π2(2)由(1)得B=π3,在銳角△ABC中,有解得π6<A<π∴sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+sinAcosπ3+cosAsinπ3=32sinA+32cosA=又π3<A+π6<2π3,∴故sinA+sinC的取值范圍為32(3)當(dāng)sinA+sinC取得最大值時(shí),A+π6=π2,解得A=在△ACD中,令∠ACD=θ,∠ADC=α,AB=AC=BC=a,a∈(1,3),易知θ∈0,則asinα=S△BCD=