2/42026年高考第一次模擬考試高三數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．復數(shù)，z的共軛復數(shù)為，則（

）A． B．2 C． D．3．若，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的個球，其中有個紅色球（標號為和），個綠色球（標號為和），從袋中不放回地依次隨機摸出個球．設(shè)事件“第一次摸到紅球”，“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，“兩球顏色相同”，“兩球顏色不同”，則下列說法不正確的是（）A． B．C． D．5．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則a的值為（

）A．3 B． C． D．6．聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復合音.若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最小值為17．已知，，，則（

）A． B． C． D．8．在三棱錐中，兩兩相互垂直，，側(cè)面與底面的夾角為，當三棱錐的體積最小時，三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某學校數(shù)學教研室統(tǒng)計數(shù)學教師的專業(yè)素養(yǎng)指標，教師年齡分布如下表，則（

）年齡28293032364045人數(shù)1335431A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是31.7B．這組數(shù)據(jù)的極差是17C．這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是36D．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)相同10．記為等差數(shù)列的前n項和，則（

）A．，，成等差數(shù)列 B．C． D．，，成等差數(shù)列11．如圖，已知正方體的棱長為2，點是側(cè)面上的一個動點（含邊界），且分別是棱的中點，則（

）

A．平面截該正方體所得的截面圖形是正五邊形B．平面平面C．若，則的最小值為D．若，則點的軌跡長度為第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知直線與曲線相切，則實數(shù)．13．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為2，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差的和為.14．如圖，點D在的邊BC上，，則線段AC的長為．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù).(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)證明:當時，在上有且僅有一個零點.16．（15分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為棱的中點．

(1)求直線與所成角的余弦值；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點到直線的距離．17．（15分）對聯(lián)，又稱對偶、對子、楹聯(lián)等，是以兩組形式相對、內(nèi)容相關(guān)的語句為表現(xiàn)形式的應用性文學樣式，具有上下聯(lián)字數(shù)相等、平仄相對、對仗工整等文學特點.從甲、乙、丙、丁4副不同的對聯(lián)（上聯(lián)和下聯(lián)共8聯(lián)）中隨機取出4聯(lián)（上聯(lián)或下聯(lián)）.(1)求這4聯(lián)可以湊成甲對聯(lián)的概率；(2)記這4聯(lián)可以湊成X副對聯(lián)，求X的數(shù)學期望18．（17分）已知橢圓C的兩個焦點，，過點且與坐標軸不平行的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，的周長等于16.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若過點的直線與橢圓C交于兩點A，B，設(shè)直線，的斜率分別為，.求證：為定值.19．（17分）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），．（1）當時，試確定使得需要多少步雹程；（2）若，求m所有可能的取值集合M．

2026年高考第一次模擬考試數(shù)學·全解全析（考試時間：120分鐘，分值：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，，而，所以.故選：B.2．復數(shù)，z的共軛復數(shù)為，則（

）A． B．2 C． D．【答案】B【詳解】因，則，.故選：B3．若，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由，得，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A4．一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的個球，其中有個紅色球（標號為和），個綠色球（標號為和），從袋中不放回地依次隨機摸出個球．設(shè)事件“第一次摸到紅球”，“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，“兩球顏色相同”，“兩球顏色不同”，則下列說法不正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由事件“第一次摸到紅球”，“兩次都摸到紅球”，則，A選項錯誤；事件“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，兩事件為互斥事件，則，且，B選項正確，C選項正確；由“兩球顏色相同”，“兩球顏色不同”，根據(jù)對立事件定義可知，D選項正確；故選：A.5．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則a的值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【詳解】由雙曲線可知該雙曲線的一條漸近線為，由圓可知該圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，因為漸近線被圓所截得的弦長為，且，所以，故選：C6．聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復合音.若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最小值為1【答案】C【詳解】對于A，的定義域為，它關(guān)于原點對稱，而，，所以是偶函數(shù)，故A正確；對于B，因為，故為的一個周期，設(shè)為的最小正周期，則，則，令，則，即，所以，化簡得，故或.令，則，若，則，故，矛盾，故，而，故，故的最小正周期為，故B正確；對于C，當時，，此時，而在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C錯誤；對于D，因為為偶函數(shù)且最小正周期為，故在上的最小值即為在上的最小值.由C分析中的的單調(diào)性可得在上的最小值為，而，故在上的最小值為，所以的最小值為1，故D正確故選：C.7．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，，，，，.故選：A.8．在三棱錐中，兩兩相互垂直，，側(cè)面與底面的夾角為，當三棱錐的體積最小時，三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】不妨設(shè)，作交于點，如圖所示，因為兩兩相互垂直，所以，，又平面，，所以平面，因為平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，則為側(cè)面與底面的夾角，即.在中，，因為，所以，即.又，所以（當且僅當時取等號）.（當且僅當時取等號）.當三棱錐體積最小時，，設(shè)外接球的半徑為，則，解得.所以外接球的表面積．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某學校數(shù)學教研室統(tǒng)計數(shù)學教師的專業(yè)素養(yǎng)指標，教師年齡分布如下表，則（

）年齡28293032364045人數(shù)1335431A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是31.7B．這組數(shù)據(jù)的極差是17C．這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是36D．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)相同【答案】BCD【詳解】對于A，由題意可知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A錯誤；對于B，該組數(shù)據(jù)最大值為，最小值為，極差為，故B正確；對于C，易知，該組數(shù)據(jù)從小到大排列后，第15和16個數(shù)據(jù)都位于36歲年齡組，所以C正確；對于D，該組數(shù)據(jù)從小到大排列后，第10和11個數(shù)據(jù)為32歲，所以中位數(shù)為32歲，眾數(shù)也是32歲，故D正確.故選：BCD10．記為等差數(shù)列的前n項和，則（

）A．，，成等差數(shù)列 B．C． D．，，成等差數(shù)列【答案】AD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，.對于A，由，，則，所以，，成等差數(shù)列，故A正確；對于B，，而，且的值不確定，則與不一定相等，故B錯誤；對于C，，而，且的值不確定，則與不一定相等，故C錯誤；對于D，由，，，所以，即，則，，成等差數(shù)列，故D正確.故選：AD．11．如圖，已知正方體的棱長為2，點是側(cè)面上的一個動點（含邊界），且分別是棱的中點，則（

）

A．平面截該正方體所得的截面圖形是正五邊形B．平面平面C．若，則的最小值為D．若，則點的軌跡長度為【答案】BD【詳解】對A：作出過的截面如下圖：

延長和的延長線交于點，延長和交于點，因為為中點，所以為中點，同理為中點.則，即為的中位線，連接，則過點，連接，則四邊形為過點的截面，所以平面截該正方體所得的截面是四邊形，故A錯誤；對B：連接，，如下圖：

因為為正方體，分別為，中點，所以.又，，平面，所以平面.所以平面，又平面，所以平面平面.故B正確；對C：當時，（），所以點在線段上，所以，時取等號；，時取等號.所以，故C錯誤；對D：因為，所以，所以點軌跡是以為圓心，1為半徑的圓周的.所以點軌跡長度為：，故D正確.故選：BD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知直線與曲線相切，則實數(shù)．【答案】【詳解】設(shè)直線與曲線的切點為，對曲線求導，則曲線在切點的斜率為，而切點同時在直線上，代入得：，將代入上式：得到，化簡得，解得，所以故答案為：.13．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為2，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差的和為.【答案】19【詳解】因為數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為2，所以的平均數(shù)為，方差為，所以平均數(shù)與方差的和為19.故答案為：19.14．如圖，點D在的邊BC上，，則線段AC的長為．

【答案】【詳解】作交于，作交于，作交于，如圖所示：

因為，所以，所以,因為，設(shè)，則，在直角三角形中，，即，解得（舍去），所以，.設(shè)，則，在直角三角形中，，即，所以，所以，設(shè)，則，則，得，所以,在直角三角形中，,在直角三角形中，,故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù).(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)證明:當時，在上有且僅有一個零點.15．（13分）【解析】（1）當時，，所以，所以當時，，當時，，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（2）易知，，，當時，；當時，；當時，.所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以；又，所以在上有零點．又因為在上單調(diào)遞增，所以在上有且僅有一個零點.16．（15分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為棱的中點．

(1)求直線與所成角的余弦值；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點到直線的距離．16．（15分）【解析】（1）如圖，建立空間直角坐標系，則.故，，則直線與所成角的余弦值為：；（2）由（1），設(shè)平面法向量為，則，則可取，又，則直線與平面所成角的正弦值為：；（3）由（1），，又，則到直線的距離為：.

17．（15分）對聯(lián)，又稱對偶、對子、楹聯(lián)等，是以兩組形式相對、內(nèi)容相關(guān)的語句為表現(xiàn)形式的應用性文學樣式，具有上下聯(lián)字數(shù)相等、平仄相對、對仗工整等文學特點.從甲、乙、丙、丁4副不同的對聯(lián)（上聯(lián)和下聯(lián)共8聯(lián)）中隨機取出4聯(lián)（上聯(lián)或下聯(lián)）.(1)求這4聯(lián)可以湊成甲對聯(lián)的概率；(2)記這4聯(lián)可以湊成X副對聯(lián)，求X的數(shù)學期望17．（15分）【解析】（1）8聯(lián)中隨機取出4聯(lián)，有種取法，取出的4聯(lián)含有甲對聯(lián)，剩余的2聯(lián)在其它6聯(lián)中選取，有種取法，所以這4聯(lián)可以湊成甲對聯(lián)的概率為.（2）的所有取值可能為0，1，2.，，.的分布列為X012P.18．（17分）已知橢圓C的兩個焦點，，過點且與坐標軸不平行的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，的周長等于16.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若過點的直線與橢圓C交于兩點A，B，設(shè)直線，的斜率分別為，.求證：為定值.18．（17分）【解析】（1）由題意可得橢圓焦點在x軸上，且，解得，所以橢圓的方程為.（2）由題意可知直線斜率存在，當直線斜率為0時，顯然，所以；當直線斜率不為0時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，消去x可得，則，設(shè)，則，所以，因為，所以.綜上，為定值0.19．（17分）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將