遂寧中學(xué)～學(xué)年度上期半期考試數(shù)學(xué)試題考試時間：分鐘滿分：分注意事項：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某檢測箱中有1021國家衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率公式即可求解.【詳解】箱中有10袋食品，其中有2袋符合國家衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)，質(zhì)檢員從中任取1袋食品進(jìn)行檢測，則它符合國家衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)的概率為.故選：B.2.甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則甲、乙至少有一人中靶的概率為（）A.0.02B.0.26C.0.72D.0.98【答案】D【解析】【分析】先求出甲乙兩名運(yùn)動員都沒有中靶的概率，進(jìn)而可得至少有一人中靶的概率．【詳解】甲乙兩名運(yùn)動員都沒有中靶的概率為：，則至少有一人中靶的概率為：，第1頁/共19頁故選：D．3.向量，，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.B.1C.2D.【答案】D【解析】【分析】利用向量共線列式求解.【詳解】向量，，由，得，所以.故選：D4.如果直線與圓相切，則的值（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由題，圓心到直線的距離等于半徑，列出方程求解即可．【詳解】由題，圓心到直線的距離等于半徑，即，故選：B．5.坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為與直線的距離為（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式和平行線間距離公式即可求解.【詳解】化一般方程得，第2頁/共19頁故選：D6.在直三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的基底，結(jié)合幾何圖形表示出.【詳解】在直三棱柱中，.故選：A7.若直線經(jīng)過圓）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析】由直線過圓心得到，再結(jié)合乘“1”法即可求解.【詳解】由，可得圓心坐標(biāo)，因為直線過圓心，所以，即，第3頁/共19頁所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即）取等號，所以的最小值為，故選：B8.中，是在線段與平面所成的角為，則的取值范圍是（A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先設(shè)棱長為1，，建立如圖坐標(biāo)系，根據(jù)計算點(diǎn)P坐標(biāo)和向量的一個法向量【詳解】如圖，設(shè)正方體棱長為1，，則，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，故，，又，則，所以．第4頁/共19頁所以是平面的一個法向量，所以．所以當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)或1時，取得最小值．所以．故選：A．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.高二（1）班計劃從這五名班干部中選兩人代表班級參加一次活動，則樣本空間中樣本點(diǎn)的個數(shù)為15B.擲一枚骰子，設(shè)事件出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于5，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為6C.如果事件與事件互斥，那么D.隨機(jī)事件發(fā)生的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值.【答案】BCD第5頁/共19頁【解析】【分析】通過列舉可判斷A，B，由互斥事件和事件概率公式可判斷C，由頻率和概率概念可判斷D.【詳解】對于A：通過列舉可得共10個，故錯誤；對于B：事件出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于5={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為5或6}，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2或4或6}，所以出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為6，正確；對于C：由互斥事件和事件計算公式可得：正確，對于D，由概率與頻率的概念可判斷正確.故選：BCD10.已知正方體的棱長為1，則（）A.直線與直線所成角為B.平面C.點(diǎn)到平面的距離為D.直線與平面所成角的余弦值為【答案】BD【解析】AD判斷B；利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離判斷C.【詳解】正方體的棱長為1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：第6頁/共19頁對于A，，即，而上，則，A錯誤；對于B，，，則，而平面，因此平面，正確；對于C，由平面，即是平面的法向量，，因此點(diǎn)到平面的距離為，C錯誤；對于，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的余弦值，D正確.故選：BD已知圓，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，直線，則（）A.直線與圓相交所得弦長是B.的最大值是C.圓上恰有個點(diǎn)到直線的距離等于D.過點(diǎn)向圓引切線，為切點(diǎn)，則最小值為【答案】CD第7頁/共19頁【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離判斷弦長及圓上的點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)的幾何意義可得最值，再根據(jù)切線長的計算公式可得最值.【詳解】如圖所示，由已知圓，則圓心，半徑，A選項：圓心到直線的距離，則弦長為，A錯；B選項：可表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，易知當(dāng)直線與圓相切時，斜率取得最值，設(shè)斜率，則直線，即，則，解得，所以，其最大值為，B錯；C選項：，，所以圓上恰有個點(diǎn)到直線的距離等于，正確；D選項：由圓可知圓心，半徑，由切線長可知，所以當(dāng)取得最小值時，取最小值，第8頁/共19頁又，即的最小值為，所以的最小值為，D選項正確；故選：CD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：常見的非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義：（1）：表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率；（2）：表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離；（3）：表示點(diǎn)到直線的距離的倍.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為________________.【答案】【解析】【分析】聯(lián)立兩直線方程，求解即得.【詳解】聯(lián)立方程得：，解得：，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：13.如圖，二面角的棱上有兩個點(diǎn)，線段與分別在這個二面角兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱.若二面角的平面角為，且，則________________.【答案】【解析】【分析】由圖可得，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出的長.第9頁/共19頁又二面角的平面角為，則，所以，所以.故答案為：14.若實(shí)數(shù)、滿足，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【詳解】令，此時，，且題設(shè)等式化為.于是，滿足方程.的軌跡是以為圓心、為半徑的圓在與弧并集.故.從而，.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知點(diǎn)，求解滿足下列條件的直線或圓的方程.（1）經(jīng)過點(diǎn)，且在軸上的截距為的直線的一般式方程；（2）以點(diǎn)為圓心，且與軸相切的圓的一般方程.第10頁/共19頁（2）【解析】，代入，即可求解；（2）確定圓的半徑，得到標(biāo)準(zhǔn)方程，再轉(zhuǎn)換即可.【小問1詳解】由題意，設(shè)直線的方程為，由直線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為，其一般式方程為【小問2詳解】由題意，所求圓的半徑為，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，化為一般方程為16.甲、乙二人獨(dú)立破譯同一密碼，甲破譯密碼的概率為，乙破譯密碼的概率為.記事件A：甲破譯密碼，事件B：乙破譯密碼.（1）求甲、乙二人都破譯密碼的概率；（2）求恰有一人破譯密碼的概率；（3）小明同學(xué)解答“求密碼被破譯的概率”的過程如下：解：“密碼被破譯”也就是“甲、乙二人中至少有一人破譯密碼”，所以隨機(jī)事件“密碼被破譯”可以表示為，所以.請指出小明同學(xué)錯誤的原因？并給出正確解答過程．【答案】（1）0.562）0.383）0.94.第11頁/共19頁【解析】1）由相互獨(dú)立事件概率乘法公式即可求解；（2）恰有一人破譯密碼有兩種情況：甲破譯且乙沒有破譯和甲沒有破譯且乙破譯，由互斥事件概率加法公式及相互獨(dú)立事件概率乘法公式即可求解；（3）小明同學(xué)解答“求密碼被破譯的概率”的過程中，和不是互斥事件，，由此能求出密碼被破譯的概率．1）由題意可知，，且事件A，B相互獨(dú)立，事件“甲、乙二人都破譯密碼”可表示為，所以；（2）事件“恰有一人破譯密碼”可表示為，且，互斥所以（3）小明同學(xué)解答“求密碼被破譯的概率”的過程中，和不是互斥事件，，小明求解時沒有減掉甲、乙同時破譯的概率，正確解法為：．17.如圖，在長方體中，，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn).（1）證明，并求點(diǎn)到直線的距離；（2）求點(diǎn)到平面的距離和三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析，第12頁/共19頁（2），【解析】1）建系，通過，可得，再由點(diǎn)到直線距離公式求解點(diǎn)到直線的距離；（2）由點(diǎn)到面的距離公式求解，再由等體積法求體積.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.由上可知，，，故，故.，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，又，，，，則點(diǎn)到直線的距離為.【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，由（1）可知，，，則即,令，則，所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，第13頁/共19頁則點(diǎn)到平面的距離為.又，即三棱錐的體積為18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面為棱上的動點(diǎn).（1）當(dāng)為棱中點(diǎn)時，證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）取的中點(diǎn)，連接，，求證，即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面法向量，代入夾角公式即可.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，第14頁/共19頁因為為的中點(diǎn)，所以，因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以又平面平面，所以平面.【小問2詳解】因為平面，在平面內(nèi)，所以，即兩兩垂直，故可以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則因為，所以，所以.設(shè)平面的法向量為，則，取，得，所以因為平面，所以平面.所以為平面的一個法向量.設(shè)平面與平面的夾角為，第15頁/共19頁則.所以平面與平面夾角的余弦值為.19.已知過點(diǎn)且斜率為的直線被圓截得的弦長為.（1）求過點(diǎn)的圓的切線方程；（2，，.為圓上任意一點(diǎn)，（為常數(shù)）.①求常數(shù)的值；②“曼哈頓距離”也叫“出租車距離”19世紀(jì)德國猶太人數(shù)學(xué)家赫爾曼·來表示兩個點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對軸距總和，即在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，若，，則，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”為作直線與圓交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，又已知點(diǎn)，能成立，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）①；②【解析】1）由圓的弦長公式可求得圓的方程，再分別討論過點(diǎn)的圓的切線斜率不存在和存在兩種情況，利用直線和圓的位置關(guān)系計算得到切線方程；第16頁/共19頁圓，設(shè)，從而，由，在圓上，解關(guān)于的方程“曼哈頓距離”的定義表示并計算得到兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”，最后由滿足的不等式求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由題意，過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，又圓到該直線的距離為，所以該直線被圓截得的弦長為，解得，所以圓的方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)過點(diǎn)的圓的切線斜率不存在時，切線方程為；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即.由，解得，則切線方程為.所以過點(diǎn)的圓的切線方程為或.【小問2