第頁(yè)第07講函數(shù)與方程(精講）第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于一般函數(shù)，我們把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．注意函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).2、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．3、零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的根.注：上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).4、二分法對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值．5、高頻考點(diǎn)技巧①若連續(xù)不斷的函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)；③函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)；④函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，其中為常數(shù).高頻考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷例題1．用二分法求方程的近似解，以下區(qū)間可以作為初始區(qū)間的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，顯然函數(shù)圖象是連續(xù)的，則有，，，，，所以，，，，故區(qū)間可以作為初始區(qū)間，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.例題2．函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，，，所以，根?jù)零點(diǎn)的存在性定理可得出零點(diǎn)所在的區(qū)間是，故選：C．練透核心考點(diǎn)1．已知函數(shù)在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由于在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因此在上是增函數(shù)，又，，因此函數(shù)有唯一零點(diǎn)且在區(qū)間上，故選：B．2．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，，則，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是，故選：.高頻考點(diǎn)二：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷例題1．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由可得，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.練透核心考點(diǎn)1．若函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】由，則可作出函數(shù)的圖象如下：由方程，得或，所以方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為3．故選：A．2．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）．A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】C【詳解】分別做出函數(shù)和函數(shù)的圖像，如上圖所示，由圖像可知，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.故選:C高頻考點(diǎn)三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求函數(shù)解析式中的參數(shù)例題1．若方程，且有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，如圖所示，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，滿足題意當(dāng)時(shí)，如圖所示由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意,綜上所示，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：D．例題2．已知函數(shù)，函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是_______．【答案】【詳解】，，畫(huà)出的圖像，化簡(jiǎn)，，故的必過(guò)點(diǎn)，恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即為有三個(gè)不同的實(shí)根，作出和的圖像，直線與曲線相切時(shí)，有，由，可得，解得或，又由，得，故（舍去），當(dāng)與曲線相切時(shí)，兩圖像恰有三個(gè)交點(diǎn)，令，此時(shí)，解得，結(jié)合圖像可得，或故答案為：練透核心考點(diǎn)1．已知函數(shù)若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】或【詳解】又，得，得；由，得，得或，因?yàn)榍∮?個(gè)零點(diǎn)，所以若和是函數(shù)的零點(diǎn)，則不是函數(shù)的零點(diǎn)，則；若和是函數(shù)的零點(diǎn)，則不是函數(shù)的零點(diǎn)，則，若和是函數(shù)的零點(diǎn)，不是函數(shù)的零點(diǎn)，則不存在這樣的.綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.故答案為：或.2．若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【詳解】解：設(shè)，則函數(shù)存在零點(diǎn)等價(jià)于圖像有交點(diǎn)，如圖：

函數(shù)的圖像恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)其和函數(shù)的圖像相切時(shí)，，所以的圖像有交點(diǎn)時(shí)，故答案為：高頻考點(diǎn)四：比較零點(diǎn)大小關(guān)系例題1．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則（

）．A．B．C．D．【答案】C【詳解】函數(shù)，，的零點(diǎn)，即為與，，的交點(diǎn)，作出與，，的圖象，如圖所示，可知故選：C練透核心考點(diǎn)1．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為、、，則、、的大小順序?yàn)椋?/p>

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，所以，，由可得，因此?故選：A.2．已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列不等式中成立的是A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，作出函數(shù)y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的圖象如圖：∵函數(shù)f（x）＝ex+x﹣2的零點(diǎn)為a，函數(shù)g（x）＝lnx+x﹣2的零點(diǎn)為b，∴y＝ex與y＝2﹣x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，y＝lnx與y＝2﹣x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為b，由圖象知a＜1＜b，故選A．高頻考點(diǎn)五：求零點(diǎn)和例題1．已知函數(shù)，則的所有零點(diǎn)之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】時(shí)，由得，時(shí)，由得或，所以四個(gè)零點(diǎn)和為．故選：D．例題2．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________；若三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根分別為，則的取值范圍是__________.【答案】

【詳解】作出函數(shù)的圖象及直線，如圖，觀察圖象知，曲線與直線有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，，而曲線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的解，所以方程恰有3個(gè)不等實(shí)根，實(shí)數(shù)的取值范圍是；如圖，三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且，由對(duì)稱性可知，，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，即的取值范圍是.故答案為：；練透核心考點(diǎn)1．函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【詳解】令，得，圖象關(guān)于對(duì)稱，在上遞減.，令，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以圖象關(guān)于對(duì)稱，，在上遞增，所以與有兩個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為.故選：B2．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，，，則______．【答案】【詳解】作出函數(shù)的圖像如圖所示，由于方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，則有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)為，畫(huà)出直線，，與函數(shù)交于5個(gè)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，，，，，設(shè)，且，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則，所以.故答案為：高頻考點(diǎn)六：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)例題1．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)在上遞增，則函數(shù)在上存在零點(diǎn)，需，解得.故選：B.例題2．已知函數(shù)的零點(diǎn)為，且，則__________.【答案】2【詳解】易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，根?jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理可得：函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是，所以．故答案為：2練透核心考點(diǎn)1．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，零點(diǎn)為-1，不符合要求；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，，利用零點(diǎn)存在性定理和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)得，解得.故選：D.2．若關(guān)于的方程在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【詳解】方程在上有解，等價(jià)于函數(shù)與在有交點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，解?故答案為：第07講函數(shù)與方程(精練（分層練習(xí)）1．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在上單調(diào)遞增，，所以的零點(diǎn)在區(qū)間.故選：B2．）函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程有2個(gè)不同的根，，解得或；故選：D.3．方程的解所在的一個(gè)區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，則單調(diào)遞增，由，，∴方程的解所在一個(gè)區(qū)間是．故選：C．4．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由可得，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.5．已知函數(shù)，則的所有零點(diǎn)之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】時(shí)，由得，時(shí)，由得或，所以四個(gè)零點(diǎn)和為．故選：D．6.已知函數(shù)，若方程f（x）＝m（m∈R）恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解a，b，c（a＜b＜c），則（a＋b）c的取值范圍是_____________．【答案】【詳解】依題意，函數(shù)的圖象如圖所示：方程f（x）＝m（m∈R）恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解a，b，c（a＜b＜c），可得a＋b＝－2，f（0）＝1＝f（1），，則，故答案為：．7.已知對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn).(1)求的解析式；(2)關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)且，其圖象過(guò)點(diǎn)，即，故.