第第頁(yè)第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(精講）第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、平面向量的基本定理1.1定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.1.2基底：不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.（1）不共線的兩個(gè)向量可作為一組基底，即不能作為基底；（2）基底一旦確定，分解方式唯一；（3）用基底兩種表示，即，則，進(jìn)而求參數(shù).2、平面向量的正交分解不共線的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算3.1平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系中，分別取與軸，軸方向相同的兩個(gè)不共線的單位向量作為基底，存在唯一一組有序?qū)崝?shù)對(duì)使,則有序數(shù)對(duì)，叫做的坐標(biāo)，記作.3.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）向量加減：若，則；（2）數(shù)乘向量：若，則；（3）向量數(shù)量積：若，則；（4）任一向量：設(shè)，則.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示若，則的充要條件為高頻考點(diǎn)一：平面向量基本定理的應(yīng)用例題1．在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，若，則（

）A．B．1C．D．2【答案】C【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，解得，所?故選：C.例題2．如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線與，兩邊分別交于，兩點(diǎn)，且，，，都為實(shí)數(shù)．(1)試用基底和來(lái)表示，其中表示式中，系數(shù)中字母只含有，；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)?因?yàn)?，，所以?）又因?yàn)槿c(diǎn)共線，由（1）可得，因?yàn)樵诰€段上，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即即時(shí)取得等號(hào).所以的最小值為.練透核心考點(diǎn)1．在中，D為中點(diǎn)，連接，若，則的值為（

）A．B．C．D．1【答案】C【詳解】因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，所以，又，因此有，則.故選：C2．中，點(diǎn)M為邊AC上的點(diǎn)，且，若，則的值是（

）A．B．1C．D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，則，所以，且，則，所以.故選:D高頻考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示例題1．已知，，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，，因，從而有，解得，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A例題2．如圖，在平行四邊形中，，，，，相交于點(diǎn)，為中點(diǎn).設(shè)向量，(1)用，表示(2)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使得點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【詳解】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，BD，AC相交于點(diǎn)O，所以，因?yàn)镸為BO中點(diǎn)，（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，由，，，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，所以，，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為練透核心考點(diǎn)1．已知，點(diǎn)C在內(nèi)，且.設(shè)，則等于（

）A．B．3C．D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，所?又因?yàn)辄c(diǎn)C在內(nèi)，且，建立如圖所示的坐標(biāo)系：則,,又因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.2．已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，，，且三點(diǎn)共線.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)已知，，，若四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)；【詳解】（1）三點(diǎn)共線，，即，，解得：.（2）；四邊形為平行四邊形，，設(shè)，則，，，即.高頻考點(diǎn)三：平面向量共線的坐標(biāo)表示角度1：由坐標(biāo)判斷是否共線例題1．已知向量，，，則“”是“∥”的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由題意得＝（2，2＋m），由，得－1×（2＋m）＝2×2，所以m＝－6.當(dāng)m＝－6時(shí)，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得，則“m＝－6”是“”的充要條件.故選：A.例題2．已知點(diǎn)，，則與平行的單位向量的坐標(biāo)為（

）A．B．C．和D．和和和【答案】C【詳解】由題,,由題意可判斷,D選項(xiàng)中和不與平行,A、B選項(xiàng)向量不全,故選：C練透核心考點(diǎn)1．已知向量，，，則“”是“”的（

）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，充分性成立；，則當(dāng)時(shí)，，解得：，必要性成立；綜上所述：“”是“”的充要條件.故選：A.2．下列各組的兩個(gè)向量，平行的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】D【詳解】對(duì)A，，，因?yàn)?，故錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)?，故錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?，故錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)?，故正確.故選：D.角度2：由向量平行求參數(shù)例題1．已知向量，且，則的值為（

）A．4B．-4C．1D．-1【答案】B【詳解】，故，則，解得.故選：B例題2．已知.(1)當(dāng)為何值時(shí)，與共線；(2)若，且，，三點(diǎn)共線，求的值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)?，則，由解得，所以當(dāng)時(shí)，與共線.（2）因?yàn)?，則，又A，B，C三點(diǎn)共線，即有，因此，解得，所以.練透核心考點(diǎn)1．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】由題設(shè)，又，所以，可得.故選：C2．已知向量．(1)若向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若向量，且與向量平行，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又與垂直，所以，即，解得，所以.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，又與向量平行，所以，即，解得，所以.角度3：由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題例題1．已知向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則_________．【答案】6【詳解】因，，則，又，且A，B，D三點(diǎn)共線，即，因此，解得，所以.故答案為：6例題2．設(shè)向量，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若，，三點(diǎn)共線，則的最小值為（

）A．4B．6C．8D．9【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，所以，，又因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，共線，即，得，又因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9.故選：D.練透核心考點(diǎn)1．向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則的值為（

）A．或B．或C．或-11D．或【答案】A【詳解】由，，，得，，又，，三點(diǎn)共線，則，即，解得或，故選：A.2．在平面直角坐標(biāo)系中，，，，若三點(diǎn)共線，則正數(shù)______．【答案】11【詳解】由題意可得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，進(jìn)而解之得或因?yàn)?，所以，故答案為：?2講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(分層精練）1．若，，則等于（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由，，則．故選：A．2．已知，，若與共線，則（

）A．B．4C．9D．【答案】A【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，解得.故選：A.3．已知向量，，若，則（

）A．－1B．6C．－6D．2【答案】B【詳解】向量，，則，由，得，解得.故選：B4．已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)m的值是（

）A．－10B．－8C．10D．8【答案】A【詳解】；，故選：A.5．已知，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則的坐標(biāo)是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，，即,所以．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故選：D.6．已知，，且與平行，則等于（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，所以，，若與平行，則，得x＝2.故選：C.7．已知向量，則與共線且反向的單位向量為（

）A．B．C．或D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以可設(shè)與共線且反向的單位向量，又解得，或（舍去），故.故選：B8.如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，且線段EF交AC于點(diǎn)P．若，，則（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】∵E為AD邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，∴，，設(shè)，∵E，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線，∴，解得，于是．故選：B.9．已知向量，，，且，則_____.【答案】【詳解】，由可知解得故．故答案為：10．已知，，，且，，則的最小值是_____.【答案】2【詳