此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號考場號座位號此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號考場號座位號數(shù)學(xué)（二）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A．空集 B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，即，又，所以，因此．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴．3．已知向量，，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)與的夾角為，∵，∴，∴，∵，∴．4．若的展開式中常數(shù)項為，則實數(shù)（）A． B． C． D．【答案】C【解析】展開式的通項公式，故當(dāng)時，為常數(shù)項，此時，故．5．正三角形的邊長為，將它沿高折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，則四面體外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可知四面體的三條側(cè)棱、，底面是等腰，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的上下底面三角形的中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，三棱柱中，底面，，，∴，∴的外接圓的半徑為，由題意可得：球心到底面的距離為，∴球的半徑為，外接球的表面積為．6．設(shè)命題，，則為（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】全稱命題的否定是特稱命題．7．已知為函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，過作直線，分別與圓相切于，兩點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線得距離的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，∴以為直徑的圓的方程為，即，又∵為圓與圓的公共弦，∴兩圓作差可得直線的方程為，∴點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時取等號，∴原點(diǎn)到直線的距離的最大值為．8．已知定義在上的函數(shù)滿足，為偶函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，∴的周期為，又∵為偶函數(shù)，∴，，∵，，∴，又在內(nèi)單調(diào)遞減，∴，∴．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．即空氣質(zhì)量指數(shù)，越小，表明空氣質(zhì)量越好，當(dāng)不大于時稱空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”，如圖是某市月日到日的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，則下列敘述不正確的是（）A．這天的的中位數(shù)是 B．天中超過天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”C．從月日到日，空氣質(zhì)量越來越好 D．這天的的平均值為【答案】ABD【解析】這天的指數(shù)值的中位數(shù)是，故A不正確；這天中，空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”的有，，，，，共天，故B不正確；從日到日，空氣質(zhì)量越來越好，故C正確；這天的指數(shù)值的平均值約為，故D不正確．10．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下列判斷中正確的是（）A．平面平面B．平面C．異面直線與所成角的取值范圍是D．三棱錐的體積不變【答案】ABD【解析】A中，連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)，有面，平面，從而可以證明平面平面，正確；B中，連接，容易證明平面面，從而由線面平行的定義可得平面，正確；C中，當(dāng)與線段的兩端點(diǎn)重合時，與所成角取最小值，當(dāng)與線段的中點(diǎn)重合時，與所成角取最大值，故與所成角的范圍是，錯誤；D中，，到面的距離不變，且三角形的面積不變，∴三棱錐的體積不變，正確．11．設(shè)，是拋物線上的兩個不同的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與的斜率之積為，則下列說法錯誤的是（）A． B．以為直徑的圓的面積大于C．直線過拋物線的焦點(diǎn) D．到直線的距離不大于【答案】ABC【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)，，由斜率之積為，可得，即，∴的直線方程為；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，可得，此時設(shè)，，則，，∴，即，∴直線方程為，則直線過定點(diǎn)，則到直線的距離不大于．12．已知函數(shù)的圖象如圖所示，令，則下列關(guān)于函數(shù)的說法中正確的是（）A．函數(shù)圖象的對稱軸方程為B．函數(shù)的最大值為C．函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線與直線平行D．方程的兩個不同的解分別為，，則最小值為【答案】ABD【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象知，，，∴，，根據(jù)五點(diǎn)法畫圖知，當(dāng)時，，∴，∴，∴，∴，令，，解得，，∴函數(shù)的對稱軸方程為，，A正確；當(dāng)，時，函數(shù)取得最大值，B正確；，假設(shè)函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線與直線平行，則，解得，顯然不成立，所以假設(shè)錯誤，即C錯誤；方程，則，∴，∴或，；∴方程的兩個不同的解分別為，時，的最小值為，D正確．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)申報所不同的高校的自主招生，要求每名同學(xué)只能申報一所學(xué)校，每所學(xué)校必須有同學(xué)申報，甲、乙或甲、丙均不能申報同一所學(xué)校，則不同的申報方案有種．【答案】【解析】根據(jù)題意，必定有兩個人報一所學(xué)校，有種可能：甲丁、丙丁、乙丁、乙丙，將這些分別看作一個整體，再排列組合，所以總共有．14．已知角滿足，則．【答案】【解析】由題意得．15．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，其關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓上，則離心率，．【答案】，【解析】設(shè)，由題意可得，由①②可得，，代入③可得，即，可得，解得，所以，，，所以，所以是等腰直角三角形，所以．16．已知球的體積為，則球的內(nèi)接圓錐的體積的最大值為_________．【答案】【解析】設(shè)球的半徑為，則有，整理得，即，設(shè)該球的內(nèi)接圓錐的底面圓的半徑為，高為，則有，而該圓錐的體積，利用均值不等式可得當(dāng)時，即時取得最大值，且最大值為．四、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在數(shù)列中，，，設(shè)，．（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前項和為，若，求使恒成立的的取值范圍．【答案】（1）證明見解析，；（2）．【解析】（1）由條件知，，所以，，所以，又，所以，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，故數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）知，，則，①，②由①②，得，∴，∵，∴恒成立，等價于對任意恒成立．∵，∴．18．（12分）如圖，在中，，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）若，求；（2）若，求的大小．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由可知，，，所以，因為，所以，所以，所以．（2）因為，所以，所以．19．（12分）如圖，四棱錐中，底面，底面為直角梯形，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若截面與底面所成銳二面角為，求的長度．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，∵是的中點(diǎn)，∴且，∵底面為直角梯形，，，∴，，∴且，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）如圖，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，取平面的法向量，，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨設(shè)，則，，即，∴，解得，即．20．（12分）某小學(xué)舉辦“父母養(yǎng)育我，我報父母恩”的活動，對六個年級（一年級到六年級的年級代碼分別為，，…，）的學(xué)生給父母洗腳的百分比進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計，繪制得到下面的散點(diǎn)圖．（1）由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）建立關(guān)于的回歸方程，并據(jù)此預(yù)計該校學(xué)生升入中學(xué)的第一年（年紀(jì)代碼為）給父母洗腳的百分比．附注：參考數(shù)據(jù)：，，．參考公式：相關(guān)系數(shù)，若，則與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為：，．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）因為，所以，所以，因為，所以，所以，由于與的相關(guān)系數(shù)約為，說明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2），因為，所以，所以回歸方程為．將，代入回歸方程可得，所以預(yù)計該校學(xué)生升入中學(xué)的第一年給父母洗腳的百分比為．21．（12分）已知點(diǎn)是離心率為的橢圓（）上的一點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且、、三點(diǎn)不重合．（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，的斜率之和為定值；（3）面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由？【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在，最大值為．【解析】（1）∵點(diǎn)是離心率為的橢圓（）上的一點(diǎn)，∴，解得，，，∴橢圓的方程為．（2）設(shè)，，直線、的斜率分別為、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，∴，解得，①，②，則，（*）將①、②式代入*式整理得，∴直線，的斜率之和為定值．（3），設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∵，∴當(dāng)時，的面積最大，最大值為．22．（12分）已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)．（1）求的取值范圍；（2）設(shè)，（）是的兩個極值點(diǎn)，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由，，得，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)等價于在上有兩個變號零點(diǎn)，等價于在上