2025年考研數學線性代數模擬題考試時間：180分鐘?總分：150分?年級/班級：2025屆考研數學考生

2025年考研數學線性代數模擬題

一、選擇題

1.設向量組α1,α2,α3線性無關，向量β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1，則向量組β1,β2,β3的秩為

A.1

B.2

C.3

D.無法確定

2.設A是n階可逆矩陣，則下列說法正確的是

A.A的伴隨矩陣A*也可逆

B.A的特征值必為非零實數

C.A的轉置矩陣A^T也可逆

D.A的所有特征值必為正數

3.設A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則下列說法正確的是

A.AB是n階方陣

B.AB=BA

C.(AB)^T=A^TB^T

D.若AB=Im，則B可逆

4.設A是n階矩陣，且A^3=A，則下列說法正確的是

A.A必為可逆矩陣

B.A的特征值只能是0或1

C.A的秩必為n

D.A必為零矩陣

5.設A是n階矩陣，且A的特征值都是1，則下列說法正確的是

A.A必為可逆矩陣

B.A必為單位矩陣

C.A的秩小于n

D.A必為零矩陣

6.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則行列式det(A)等于

A.λ1λ2λ3...λn

B.λ1+λ2+...+λn

C.λ1^2+λ2^2+...+λn^2

D.λ1λ2...λn+λ1λ3...λn+...+λ2λ3...λn

7.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則A^k的特征值為

A.λ1^k,λ2^k,...,λn^k

B.λ1+λ2+...+λn

C.λ1^2+λ2^2+...+λn^2

D.λ1λ2...λn

8.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則A的伴隨矩陣A*的特征值為

A.λ1^(-1),λ2^(-1),...,λn^(-1)

B.λ1λ2...λn

C.λ1+λ2+...+λn

D.λ1^2+λ2^2+...+λn^2

9.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則A的轉置矩陣A^T的特征值為

A.λ1,λ2,...,λn

B.λ1^(-1),λ2^(-1),...,λn^(-1)

C.λ1+λ2+...+λn

D.λ1λ2...λn

10.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則A的逆矩陣A^(-1)的特征值為

A.λ1^(-1),λ2^(-1),...,λn^(-1)

B.λ1λ2...λn

C.λ1+λ2+...+λn

D.λ1^2+λ2^2+...+λn^2

二、填空題

1.設向量組α1,α2,α3線性無關，向量β=2α1+α2-α3，則向量β在向量組α1,α2,α3上的坐標為

2.設A是3×3矩陣，且A的特征值為1,2,3，則A的行列式det(A)等于

3.設A是3×3矩陣，且A的特征值為1,2,3，則A的跡tr(A)等于

4.設A是3×3矩陣，且A的特征值為1,2,3，則A^(-1)的特征值為

5.設A是3×3矩陣，且A的特征值為1,2,3，則A的伴隨矩陣A*的特征值為

6.設A是3×3矩陣，且A的特征值為1,2,3，則A的轉置矩陣A^T的特征值為

7.設A是3×3矩陣，且A的特征值為1,2,3，則A的逆矩陣A^(-1)的特征值為

8.設A是3×3矩陣，且A的特征值為1,2,3，則A的跡tr(A)等于

9.設A是3×3矩陣，且A的特征值為1,2,3，則A的行列式det(A)等于

10.設A是3×3矩陣，且A的特征值為1,2,3，則A的伴隨矩陣A*的特征值為

三、多選題

1.設向量組α1,α2,α3線性無關，則下列向量組中線性無關的是

A.α1+α2,α2+α3,α3+α1

B.α1-α2,α2-α3,α3-α1

C.α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1

D.α1+α2+α3,α1-α2+α3,α1+α2-α3

2.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則下列說法正確的是

A.A的特征值必為非零實數

B.A的特征值必為正數

C.A的特征值之和等于A的跡

D.A的特征值之積等于A的行列式

3.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則下列說法正確的是

A.A的特征值只能是0或1

B.A的特征值之和等于A的跡

C.A的特征值之積等于A的行列式

D.A的特征值必為非零實數

4.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則下列說法正確的是

A.A的特征值之和等于A的跡

B.A的特征值之積等于A的行列式

C.A的特征值只能是0或1

D.A的特征值必為正數

5.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則下列說法正確的是

A.A的特征值之和等于A的跡

B.A的特征值之積等于A的行列式

C.A的特征值只能是0或1

D.A的特征值必為正數

四、判斷題

1.設向量組α1,α2,α3線性無關，則向量組α1+α2,α2+α3,α3+α1也線性無關。

2.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則A的伴隨矩陣A*的特征值為λ1^(-1),λ2^(-1),...,λn^(-1)。

3.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則A的轉置矩陣A^T的特征值為λ1,λ2,...,λn。

4.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則A的逆矩陣A^(-1)的特征值為λ1^(-1),λ2^(-1),...,λn^(-1)。

5.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則A的行列式det(A)等于λ1λ2...λn。

6.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則A的跡tr(A)等于λ1+λ2+...+λn。

7.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則A^k的特征值為λ1^k,λ2^k,...,λn^k。

8.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則A的伴隨矩陣A*的特征值為λ1λ2...λn。

9.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則A的轉置矩陣A^T的特征值為λ1^(-1),λ2^(-1),...,λn^(-1)。

10.設A是n階矩陣，且A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則A的逆矩陣A^(-1)的特征值為λ1λ2...λn。

五、問答題

1.已知向量組α1,α2,α3線性無關，向量β=2α1+α2-α3，求向量β在向量組α1,α2,α3上的坐標。

2.設A是3×3矩陣，且A的特征值為1,2,3，求A的行列式det(A)和跡tr(A)。

3.設A是3×3矩陣，且A的特征值為1,2,3，求A的逆矩陣A^(-1)的特征值。

試卷答案

一、選擇題

1.C

解析：向量組β1,β2,β3可以表示為α1,α2,α3的線性組合，且這三個組合向量（β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1）可以互相表示，因此它們線性相關。具體來說，β1+β2+β3=3(α1+α2+α3)，而β1-β2+β3=α1+α2+α3，說明β1,β2,β3之間存在線性關系，因此秩小于3。實際上，β1,β2,β3可以表示為兩個向量的線性組合，因此秩為2。

2.C

解析：A的伴隨矩陣A*的行列式為det(A*)=det(A)^(n-1)，因此當A可逆時，A*也可逆。A的特征值不一定為非零實數，可以是復數。A的轉置矩陣A^T的逆矩陣與A的逆矩陣相同，即A^T可逆當且僅當A可逆。A的特征值可以是任意實數，不一定為正數。

3.C

解析：AB是m×n矩陣，(AB)^T是n×m矩陣，A^T是n×m矩陣，B^T是m×n矩陣，因此(AB)^T=A^TB^T。AB=BA不一定成立，因為矩陣乘法不滿足交換律。AB是n階方陣當且僅當m=n。若AB=Im，則A和B都是可逆矩陣。

4.B

解析：A^3=A意味著A(A^2-I)=0，即A(A-I)(A+I)=0。根據矩陣的性質，A的特征值只能是0,1或-1。因此A的特征值只能是0或1。

5.A

解析：A的特征值都是1，說明A是單位矩陣E的倍數。單位矩陣E的特征值都是1，因此A可逆當且僅當A不是零矩陣。A的秩等于其非零特征值的個數，因此A的秩小于n當且僅當A不是單位矩陣。A不一定是零矩陣，因為A可以是單位矩陣的倍數。

6.A

解析：根據行列式的性質，A的行列式等于其特征值的乘積，即det(A)=λ1λ2...λn。

7.A

解析：根據矩陣的特征值性質，A^k的特征值等于A的特征值的k次方，即λ1^k,λ2^k,...,λn^k。

8.A

解析：根據伴隨矩陣的性質，A*的特征值等于A的特征值的代數余子式的和，即λ1^(-1),λ2^(-1),...,λn^(-1)。

9.B

解析：根據轉置矩陣的性質，A^T的特征值與A的特征值相同，即λ1,λ2,...,λn。

10.A

解析：根據逆矩陣的性質，A^(-1)的特征值等于A的特征值的倒數，即λ1^(-1),λ2^(-1),...,λn^(-1)。

二、填空題

1.(2,1,-1)

解析：向量β=2α1+α2-α3，因此β在向量組α1,α2,α3上的坐標為(2,1,-1)。

2.6

解析：根據行列式的性質，A的行列式等于其特征值的乘積，即det(A)=λ1λ2λ3=1×2×3=6。

3.6

解析：根據跡的性質，A的跡等于其特征值的和，即tr(A)=λ1+λ2+λ3=1+2+3=6。

4.(1/6,1/3,1/2)

解析：根據逆矩陣的性質，A^(-1)的特征值等于A的特征值的倒數，即λ1^(-1),λ2^(-1),λ3^(-1)=1/6,1/3,1/2。

5.(6,3,2)

解析：根據伴隨矩陣的性質，A*的特征值等于A的特征值的代數余子式的和，即λ1λ2λ3,λ1λ3λ2,λ2λ3λ1=6,3,2。

6.(1,2,3)

解析：根據轉置矩陣的性質，A^T的特征值與A的特征值相同，即λ1,λ2,λ3=1,2,3。

7.(1/6,1/3,1/2)

解析：根據逆矩陣的性質，A^(-1)的特征值等于A的特征值的倒數，即λ1^(-1),λ2^(-1),λ3^(-1)=1/6,1/3,1/2。

8.6

解析：根據跡的性質，A的跡等于其特征值的和，即tr(A)=λ1+λ2+λ3=1+2+3=6。

9.6

解析：根據行列式的性質，A的行列式等于其特征值的乘積，即det(A)=λ1λ2λ3=1×2×3=6。

10.(6,3,2)

解析：根據伴隨矩陣的性質，A*的特征值等于A的特征值的代數余子式的和，即λ1λ2λ3,λ1λ3λ2,λ2λ3λ1=6,3,2。

三、多選題

1.A,C

解析：向量組α1+α2,α2+α3,α3+α1可以互相表示，因此線性相關。向量組α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1可以互相表示，因此線性相關。向量組α1+α2+α3,α1-α2+α3,α1+α2-α3可以互相表示，因此線性相關。

2.C,D

解析：A的特征值之和等于A的跡，即λ1+λ2+...+λn=tr(A)。A的特征值之積等于A的行列式，即λ1λ2...λn=det(A)。

3.B,C

解析：A的特征值之和等于A的跡，即λ1+λ2+...+λn=tr(A)。A的特征值之積等于A的行列式，即λ1λ2...λn=det(A)。

4.A,B

解析：A的特征值之和等于A的跡，即λ1+λ2+...+λn=tr(A)。A的特征值之積等于A的行列式，即λ1λ2...λn=det(A)。

5.A,B

解析：A的特征值之和等于A的跡，即λ1+λ2+...+λn=tr(A)。A的特征值之積等于A的行列式，即λ1λ2...λn=det(A)。

四、判斷題

1.錯誤

解析：向量組α1+α2,α2+α3,α3+α1可以互相表示，因此線性相關。

2.正確

解析：根據伴隨矩陣的性質，A*的特征值等于A的特征值的代數余子式的和，即λ1^(-1),λ2^(-1),...,λn^(-1)。

3.正確

解析：根據轉置矩陣的性質，A^T的特征值與A的特征值相同，即λ1,λ2,...,λn。

4.正確

解析：根據逆矩陣的性質，A^(-1)的特征值等于A的特征值的倒數，即λ1^(-1),λ2^(-1),...,λn^(-1)。

5.正確

解析：根據行列式的性質，A的行列式等于其特征值的乘積，即det(A)=λ1λ2...