湖南長沙市2026屆高二上數學期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．有一組樣本數據、、、，由這組數據得到新樣本數據、、、，其中，為非零常數，則（）A.兩組樣本數據的樣本平均數相同 B.兩組樣本數據的樣本標準差相同C.兩組樣本數據的樣本中位數相同 D.兩組樣本數據的樣本眾數相同2．雙曲線的漸近線方程為A. B.C. D.3．下列說法中正確的是（）A.存在只有4個面的棱柱 B.棱柱的側面都是四邊形C.正三棱錐的所有棱長都相等 D.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形4．設變量，滿足約束條件則的最小值為（）A.3 B.－3C.2 D.－25．函數的圖像在點處的切線方程為（）A. B.C. D.6．拋物線的焦點到直線的距離（）A. B.C.1 D.27．數學家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的三個頂點分別為，，，則的歐拉線方程是（）A. B.C. D.8．已知在空間直角坐標系（O為坐標原點）中，點關于x軸的對稱點為點B，則z軸與平面OAB所成的線面角為（）A. B.C. D.9．已知橢圓及以下3個函數：①；②；③，其中函數圖象能等分該橢圓面積的函數個數有（）A.0個 B.1個C.2個 D.3個10．已知數列滿足，則（）A. B.C. D.11．曲線與曲線的（）A.實軸長相等 B.虛軸長相等C.焦距相等 D.漸進線相同12．若關于x的方程有解，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓錐的高為1，底面半徑為，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為____________14．如圖所示，高爾頓釘板是一個關于概率的模型，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間．小球每次下落時，將隨機的向兩邊等概率的落下．當有大量的小球都落下時，最終在釘板下面不同位置收集到小球．現有5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率是______15．將連續(xù)的正整數填入n行n列的方陣中，使得每行、每列、每條對角線上的數之和相等，可得到n階幻方.記n階幻方每條對角線上的數之和為，如圖：，那么的值為___________.16．已知直線與直線垂直，則實數的值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點，直線，圓.（1）若連接點與圓心的直線與直線垂直，求實數的值；（2）若直線與圓相交于兩點，且弦的長為，求實數的值18．（12分）如圖，一個湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）.規(guī)劃在公路上選兩個點、，并修建兩段直線型道路、.規(guī)劃要求，線段、上的所有點到點的距離均不小于圓的半徑.已知點到直線的距離分別為和（為垂足），測得，，（單位：百米）.（1）若道路與橋垂直，求道路的長；（2）在規(guī)劃要求下，點能否選在處？并說明理由.19．（12分）為了解某城中村居民收入情況，小明利用周末時間對該地在崗居民月收入進行了抽樣調查，并將調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：根據直方圖估算：（1）在該地隨機調查一位在崗居民，該居民收入在區(qū)間內的概率；（2）該地區(qū)在崗居民月收入的平均數和中位數；20．（12分）已知圓C1圓心為坐標原點，且與直線相切（1）求圓C1的標準方程；（2）若直線l過點M（1，2），直線l被圓C1所截得的弦長為，求直線l的方程21．（12分）已知空間內不重合的四點A，B，C，D的坐標分別為，，，，且（1）求k，t的值；（2）求點B到直線CD的距離22．（10分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用平均數公式可判斷A選項；利用標準差公式可判斷B選項；利用中位數的定義可判斷C選項；利用眾數的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，設數據、、、的平均數為，數據、、、的平均數為，則，A錯；對于B選項，設數據、、、的標準差為，數據、、、的標準差為，，B對；對于C選項，設數據、、、中位數為，數據、、、的中位數為，不妨設，則，若為奇數，則，；若為偶數，則，.綜上，，C錯；對于D選項，設數據、、、的眾數為，則數據、、、的眾數為，D錯.故選：B.2、A【解析】根據雙曲線的漸近線方程知，，故選A.3、B【解析】對于A、B：由棱柱的定義直接判斷；對于C：由正三棱錐的側棱長和底面邊長不一定相等，即可判斷；對于D：由球的表面不能展開成平面圖形即可判斷【詳解】對于A：棱柱最少有5個面，則A錯誤；對于B：棱柱的所有側面都是平行四邊形，則B正確；對于C：正三棱錐的側棱長和底面邊長不一定相等，則C錯誤；對于D：球的表面不能展開成平面圖形，則D錯誤故選：B4、D【解析】轉化為，則最小即直線在軸上的截距最大，作出不等式組表示的可行域，數形結合即得解【詳解】轉化為，則最小即直線在軸上的截距最大作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線，平移該直線，當直線經過時，在軸上的截距最大，最小，此時，故選：D5、B【解析】求得函數的導數，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點睛】本題考查利用導數求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題6、B【解析】由拋物線可得焦點坐標，結合點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由拋物線可得焦點坐標為，根據點到直線的距離公式，可得，即拋物線的焦點到直線的距離為.故選：B.7、B【解析】根據的三個頂點坐標，先求解出重心的坐標，然后再根據三個點坐標求解任意兩條垂直平分線的方程，聯立方程，即可算出外心的坐標，最后根據重心和外心的坐標使用點斜式寫出直線方程.【詳解】由題意可得的重心為．因為，，所以線段的垂直平分線的方程為．因為，，所以直線的斜率，線段的中點坐標為，則線段的垂直平分線的方程為．聯立，解得，則的外心坐標為，故的歐拉線方程是，即故選：B.8、B【解析】根據點關于坐標軸對稱的性質，結合空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】因為點關于x軸的對稱點為，所以，設平面OAB的一個法向量為，則得所以，令，得，所以又z軸的一個方向向量為，設z軸與平面OAB所成的線面角為，則，所以所求的線面角為，故選：B9、C【解析】由橢圓的幾何性質可得橢圓的圖像關于原點對稱，因為函數,函數為奇函數,其圖像關于原點對稱，則①②滿足題意,對于函數在軸右側時，，只有時，，即函數在軸右側的圖像顯然不能等分橢圓在軸右側的圖像的面積,又函數為偶函數,其圖像關于軸對稱，則函數在軸左側的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側的圖像的面積,即函數的圖像不能等分該橢圓面積，得解.【詳解】解：因為橢圓的圖像關于原點對稱，對于①，函數為奇函數，其圖像關于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于②，函數為奇函數，其圖像關于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于③，對于函數在軸右側時，，只有時，，即函數在軸右側的圖像（如圖）顯然不能等分橢圓在軸右側的圖像的面積,又函數為偶函數,其圖像關于軸對稱，則函數在軸左側的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側的圖像的面積,即函數的圖像不能等分該橢圓面積，即函數圖象能等分該橢圓面積的函數個數有2個，故選C.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質、函數的奇偶性及函數的對稱性，重點考查了函數的性質，屬基礎題.10、D【解析】根據給定條件求出數列的通項公式，再利用裂項相消法即可計算作答.【詳解】因，則，所以，所以.故選：D11、D【解析】將曲線化為標準方程后即可求解.【詳解】化為標準方程為，由于，則兩曲線實軸長、虛軸長、焦距均不相等，而漸近線方程同為.故選：12、C【解析】將方程有解，轉化為方程有解求解.【詳解】解：因為方程有解，所以方程有解，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以實數a的取值范圍為，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值【詳解】如圖，是圓錐軸截面，是一條母線，設軸截面頂角為，因為圓錐的高為1，底面半徑為，所以，，所以，，設圓錐母線長為，則，截面的面積為，因為，所以時，故答案為：214、【解析】先研究一個小球從正上方落下的情況，從而可求出一個小球從正上方落下落到2號位置的概率，進而可求出5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率【詳解】如圖所示，先研究一個小球從正上方落下的情況，11，12，13，14指小球第2層到第3層的線路圖，以此類推，小球所有的路線情況如下：01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34，01-12-23-33，01-12-23-34，01-12-24-35，01-12-24-36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-13-23-33，共16種情況，其中落入2號位置的有4種，所以每個球落入2號位置的概率為，所以5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率為，故答案為：15、34【解析】根據每行數字之和相等，四行數字之和剛好等于1到16之和可得.【詳解】4階幻方中，4行數字之和，得.故答案為：3416、【解析】由直線垂直的充要條件列式計算即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線垂直，所以，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3（2）實數的值為和【解析】（1）由直線垂直，斜率乘積為可得值；（2）求出加以到直線的距離，由勾股定理求弦長，從而可得參數值【小問1詳解】圓，，，，，，【小問2詳解】圓半徑為，設圓心到直線的距離為，則又由點到直線距離公式得：化簡得：，解得：或所以實數的值為和.18、（1）15（百米）（2）點選在處不滿足規(guī)劃要求，理由見解析【解析】（1）建立適當的坐標系，得圓及直線的方程，進而得解.（2）不妨點選在處，求方程并求其與圓的交點，在線段上取點不符合條件，得結論.【小問1詳解】如圖，過作，垂足為.以為坐標原點，直線為軸，建立平面直角坐標系.因為為圓的直徑，，所以圓的方程為.因為，，所以，故直線的方程為，則點，的縱坐標分別為3，從而，，直線的斜率為.因為，所以直線的斜率為，直線的方程為.令，得，，所以.因此道路的長為15（百米）.【小問2詳解】若點選在處，連結，可求出點，又，所以線段.由解得或，故不妨取，得到在線段上的點，因為，所以線段上存在點到點的距離小于圓的半徑5.因此點選在處不滿足規(guī)劃要求.19、（1）（2）平均數為；中位數為.【解析】（1）直接根據概率和為1計算得到答案.（2）根據平均數和中位數的定義直接計算得到答案.【小問1詳解】該居民收入在區(qū)間內的概率為：【小問2詳解】居民月收入的平均數為：.第一組概率為，第二組概率為，第三組概率為，設居民月收入的中位數為，則，解得.20、（1）（2）或【解析】（1）由圓心到直線的距離求得半徑，可得圓C1的標準方程；（2）當直線的斜率不存在時，求得直線l被圓C1所截得的弦長為，符合題意；當直線l的斜率存在時，設出直線方程，由已知弦長可得圓心到直線的距離，再由點到直線的距離公式列式求k，則直線方程可求【小問1詳解】∵原點O到直線的距離為，∴圓C1的標準方程為；【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，直線方程為x＝1，代入，得，即直線l被圓C1所截得的弦長為，符合題意；當直線l的斜率存在時，設直線方程為，即∵直線l被圓C1所截得的弦長為，圓的半徑為2，則圓心到直線