交通大學(xué)附屬中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線C.的一個零點(diǎn)為 D.在區(qū)間的最小值為12．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則=（）A.8 B.16C.32 D.643．已知向量是兩兩垂直的單位向量，且，則（）A.5 B.1C.-1 D.74．某救援隊有5名隊員，其中有1名隊長，1名副隊長，在一次救援中需隨機(jī)分成兩個行動小組，其中一組2名隊員，另一組3名隊員，則正、副隊長不在同一組的概率為（）A. B.C. D.5．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分又不必要條件6．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A. B.C. D.7．已知正方體的棱長為1，且滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.8．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為該拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則的最大值是（）A.2 B.C. D.9．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.10．在三棱錐中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱上，且滿足，若，則（）A. B.C. D.11．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A. B.7C.6 D.12．為了解青少年視力情況，統(tǒng)計得到名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數(shù)，葉表示十分位數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．半徑為R的圓外接于，且，若，則面積的最大值為________.14．在中，，是線段上的點(diǎn)，，若的面積為，當(dāng)取到最大值時，___________.15．已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為________.16．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線l過定點(diǎn)（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；（2）若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程18．（12分）如圖，在四棱錐中，面ABCD，，且，，，，，N為PD的中點(diǎn).（1）求證：平面PBC；（2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，說明理由.19．（12分）已知，（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時，，求實數(shù)a的取值范圍20．（12分）已知函數(shù)，（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍21．（12分）已知函數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面，，是的中點(diǎn)，，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷其周期、對稱軸、零點(diǎn)、最值即可.【詳解】函數(shù)，周期為，故A錯誤；函數(shù)圖像的對稱軸為，，，不是對稱軸，故B錯誤；函數(shù)的零點(diǎn)為，，，所以不是零點(diǎn)，故C錯誤；時，，所以，即，所以，故D正確.故選：D2、B【解析】由等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意，，所以.故選：B.3、B【解析】根據(jù)單位向量的定義和向量的乘法運(yùn)算計算即可.【詳解】因為向量是兩兩垂直的單位向量，且所以.故選：B4、C【解析】求出基本事件總數(shù)與正、副隊長不在同一組的基本事件個數(shù)，即可求出答案.【詳解】基本事件總數(shù)為正、副隊長不在同一組的基本事件個數(shù)為故正、副隊長不在同一組的概率為.故選：C.5、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】由可得或，所以由得不出，故充分性不成立，由可得，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.6、C【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，解得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】由空間向量共面定理可得點(diǎn)四點(diǎn)共面，從而將求的最小值轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離，再根據(jù)等體積法計算.【詳解】因為，由空間向量的共面定理可知，點(diǎn)四點(diǎn)共面，即點(diǎn)在平面上，所以的最小值為點(diǎn)到平面的距離，由正方體棱長為，可得是邊長為的等邊三角形，則，，由等體積法得，，所以，所以的最小值為.故選：C【點(diǎn)睛】共面定理的應(yīng)用：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對空間任意一點(diǎn)，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組使得，說明：若，則四點(diǎn)共面.8、B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，則，當(dāng)直線PA與拋物線相切時，最小，取得最大值，設(shè)出直線方程得到直線和拋物線相切時的點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后進(jìn)行計算得到結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，所以則，當(dāng)最小時，則值最大，所以當(dāng)直線PA與拋物線相切時，θ最大，即最小，由題意可得，設(shè)切線PA的方程為：，，整理可得，，可得，將代入，可得，所以，即P的橫坐標(biāo)為1，即P的坐標(biāo)，所以，，所以的最大值為：，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義．一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時可以應(yīng)用結(jié)論來處理的；平時練習(xí)時應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用．尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線距的轉(zhuǎn)化9、A【解析】由橢圓的面積為和兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，得到求解.【詳解】由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A10、B【解析】利用空間向量的加、減運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可得故選：B.11、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6＝故答案為考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想12、B【解析】將樣本中的數(shù)據(jù)由小到大進(jìn)行排列，利用中位數(shù)的定義可得結(jié)果.【詳解】將樣本中的數(shù)據(jù)由小到大進(jìn)行排列，依次為：、、、、、、、、、，因此，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用正弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，然后用余弦定理求得C；利用三角形面積公式，結(jié)合兩角差的正弦函數(shù)公式和二倍角公式得，再利用輔助角公式得，最后利用函數(shù)的值域計算得結(jié)論.【詳解】因為所以由正弦定理得：，即，所以由余弦定理可得：，又，故.由正弦定理得：，，所以，所以當(dāng)時，S最大，.若，則面積的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，二倍角公式及應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.14、【解析】由三角形面積公式得出，設(shè)，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等號成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.【詳解】由題意可得，解得，設(shè)，則，可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，，，由余弦定理得，解得．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形，同時也考查了三角形的面積公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時，需要結(jié)合已知條件得出定值條件，同時要注意等號成立的條件，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15、.【解析】設(shè)事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，求得,結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，從5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出不再放回，設(shè)事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，則，，所以在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為:.故答案為：.16、或##或【解析】根據(jù)向量平行時坐標(biāo)的關(guān)系和向量的模公式即可求解.【詳解】，且，設(shè)，，解得，或.故答案為：或.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】(1)求出直線的斜率可得l的斜率，再借助直線點(diǎn)斜式方程即可得解.(2)按直線l是否過原點(diǎn)分類討論計算作答.【小問1詳解】直線的斜率為，于是得直線l的斜率，則，即，所以直線l的方程是：.【小問2詳解】因直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則當(dāng)直線l過原點(diǎn)時，直線l的方程為：，即，當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時，設(shè)其方程為：，則有，解得，此時，直線l的方程為：，所以直線l的方程為：或.18、（1）證明見解析（2）存在，且【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）設(shè)，利用直線與平面所成角的正弦值列方程，化簡求得.【小問1詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，所以四邊形是矩形，所以，由于平面，所以，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，且平面，所以平面.【小問2詳解】，設(shè)，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，，兩邊平方并化簡得，解得或（舍去）.所以存在，使直線與平面所成角的正弦值是，且.19、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）依題意可得當(dāng)時，當(dāng)時，顯然成立，當(dāng)時只需，參變分離得到，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍；【小問1詳解】解：當(dāng)時定義域為，所以，令，解得或，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】解：由，即，即，當(dāng)時顯然成立，當(dāng)時，只需，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，故實數(shù)的取值范圍為.20、（1）；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算，，求出切線方程即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)函數(shù)求出的最大值，求出的范圍即可.【小問1詳解】因為，所以，則切線的斜率為，又因為，則切點(diǎn)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即【小問2詳解】當(dāng)時，令得，列表得x001↘極小值↗所以當(dāng)時，的最大值為由題意知，故，解之得,所以實數(shù)的取值范圍為.21、最大值為，最小值為【解析】利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，進(jìn)而可得極值，比較極值和端點(diǎn)值的大小即可求解.【詳解】由可得：，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又因為，，所以，綜上