【第一講：集合】總覽總覽題型梳理【知識點(diǎn)清單】1．描述法表示集合【知識點(diǎn)的認(rèn)識】一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所組成的集合表示為{x|P（x）}，這種表示集合的方法稱為描述法．【解題方法點(diǎn)撥】明確描述對象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述條件：描述條件要準(zhǔn)確、簡潔，通常用文字或符號來表示集合中的元素特征．統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)：確保描述的方法能夠唯一確定一個(gè)集合，避免模糊或歧義的描述．2．元素與集合關(guān)系的判斷【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的．即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個(gè)給定的集合，他的任何兩個(gè)元素都是不同的．這個(gè)特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān)．這個(gè)特性通常被用來判斷兩個(gè)集合的關(guān)系．3．判斷元素與集合的屬于關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．【解題方法點(diǎn)撥】明確集合定義：了解集合的定義及其包含的元素范圍．驗(yàn)證條件：檢查元素是否滿足集合的定義條件．符號表示：用∈表示元素屬于某集合，用?表示元素不屬于某集合．4．判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系．4．有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．5．集合的包含關(guān)系的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B，讀作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系．4．有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．6．求集合的交集【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．7．集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．題型題型分類知識講解與常考題型【題型1：元素與集合之間的關(guān)系】例題精選例題精選【例題1】（2025·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測）已知集合，且，則等于（

）A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系列式求解，再代入檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)榧希?，則或，所以或；當(dāng)時(shí)，不合題意舍；當(dāng)時(shí)，符合題意；故選：B.【例題2】（2025·河南·一模）已知集合，若且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列出不等式組即可求出結(jié)果.【詳解】由題可知且解得.故選：C.【例題3】（2024·廣東河源·模擬預(yù)測）已知集合，，若且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由元素與集合的關(guān)系列出不等式組，解之即得.【詳解】因?yàn)榍?，所以，解?故選：A．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知集合，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)描述法表示的集合元素特征，對選項(xiàng)逐一判斷即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以所以，故A錯(cuò)誤，B正確；所以，故C錯(cuò)誤；所以，故D錯(cuò)誤；故選：B．【相似題2】（2024·山東濟(jì)南·二模）已知集合的元素之和為1，則實(shí)數(shù)a所有取值的集合為（

）A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}【答案】D【分析】根據(jù)集合中元素和為1，確定一元二次方程的根，即可得出的取值集合.【詳解】因?yàn)榧系脑刂蜑?，所以一元二次方程有等根時(shí)，可得，即，當(dāng)方程有兩不相等實(shí)根時(shí)，，即，綜上，實(shí)數(shù)a所有取值的集合為.故選：D【相似題3】（23-24高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）集合，若且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合的從屬關(guān)系列出限制條件可得答案.【詳解】因?yàn)榍遥郧?，解?故選：B.【題型2：集合間的基本關(guān)系】例題精選例題精選【例題1】（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡集合B，再利用集合之間的包含關(guān)系即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，，故，故選：B【例題2】（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測）滿足的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】A【分析】用列舉法寫出滿足條件的集合，即可得答案.【詳解】解：由題意可得，共3個(gè).故選：A【例題3】已知集合，，，則、、的關(guān)系滿足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將集合中的元素進(jìn)行通分，即可根據(jù)分子的形式進(jìn)行比較，集合子集定義即可求解.【詳解】,故,由于，故，由于為任意整數(shù)，故，因此,,故，故，所以，故選：B．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知集合，若，則a的值可以是（

）A． B． C．1 D．4【答案】D【分析】先求出集合，再利用求得的范圍，判斷即得.【詳解】由可得，由可得，依題意，，故得.故選：D.【相似題2】（2024·山西·三模）設(shè)集合是4與6的公倍數(shù)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知：，則是的真子集，對比選項(xiàng)分析即可.【詳解】由題意可知：，顯然24的倍數(shù)均為12的倍數(shù)，但12的倍數(shù)不一定是24的倍數(shù)，例如12，所以是的真子集，對比選項(xiàng)可知B正確，ACD錯(cuò)誤.故選：B.【相似題3】多選題（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知集合，，集合滿足，則（

）A．， B．集合可以為C．集合的個(gè)數(shù)為7 D．集合的個(gè)數(shù)為8【答案】AC【分析】根據(jù)題意可確定C的元素情況，由此一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】由題意得，，又.所以，，故A正確；當(dāng)時(shí)，不滿足，B錯(cuò)誤，集合的個(gè)數(shù)等價(jià)于集合的非空子集的個(gè)數(shù)，所以集合的個(gè)數(shù)為，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：AC.【題型3：集合的運(yùn)算】例題精選例題精選【例題1】（2025·四川廣安·模擬預(yù)測）已知集合，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義求解.【詳解】解方程得或，所以集合，集合，因此.故選：C.【例題2】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算【分析】根據(jù)并集的含義進(jìn)行運(yùn)算即可得答案.【詳解】∵，由并集的含義得.故選：B.【例題3】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知全集，集合，，則（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】先求出集合的補(bǔ)集，再利用并集運(yùn)算求解即可.【詳解】由題可得或，則或．故選：A.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2025·天津和平·三模）設(shè)全集，集合，，（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】根據(jù)集合并集的定義以及補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】由，可得，，故，故選：B【相似題2】（2025·重慶·模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）.A． B．C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算【分析】集合A，B可化為分母相同的元素，其中分子分別為除3余2整數(shù)，除2余1整數(shù)，據(jù)此可得出交集.【詳解】集合，,所以，故選：C【相似題3】多選題（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，則（

）A．的取值有個(gè) B．C． D．所有子集的個(gè)數(shù)為【答案】BCD【知識點(diǎn)】判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)、判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系、交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】利用集合的包含關(guān)系結(jié)合集合元素的互異性可求出的值，可判斷A選項(xiàng)；利用交集的定義可判斷B選項(xiàng)；利用并集的定義可判斷C選項(xiàng)；利用集合的運(yùn)算結(jié)合子集個(gè)數(shù)公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，且，則或，且，，解得，故的取值只有個(gè)，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，，，所以，故B正確；對于C選項(xiàng)，，，故C正確；對于D選項(xiàng)，，所以，，則，其的子集的個(gè)數(shù)為，故D正確．故選：BCD.【題型4：集合中的參數(shù)問題】例題精選例題精選【例題1】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的基本關(guān)系分類討論計(jì)算求參即可.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，，滿足，即；當(dāng)，即時(shí)，，滿足，即；當(dāng)，即時(shí)，由，得，，即；綜上，．故選：C．【例題2】（2024·全國·二模）已知集合，集合，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)交集的結(jié)果，代入不等式，即可求解.【詳解】由條件可知，解得：.故選：C【例題3】（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)真子集的定義，推斷出集合含有4個(gè)元素，即不等式的解集中有且僅有4個(gè)整數(shù)解，由此進(jìn)行分類討論，列式算出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】若集合有15個(gè)真子集，則中含有4個(gè)元素，結(jié)合，可知，即，且區(qū)間,中含有4個(gè)整數(shù)，①當(dāng)時(shí)，,的區(qū)間長度，此時(shí),中不可能含有4個(gè)整數(shù)；②當(dāng)時(shí)，,,，其中含有4、5、6、7共4個(gè)整數(shù)，符合題意；③當(dāng)時(shí)，,的區(qū)間長度大于3，若,的區(qū)間長度，即．若是整數(shù)，則區(qū)間,中含有4個(gè)整數(shù)，根據(jù)，可知，，此時(shí),,，其中含有5、6、7、8共4個(gè)整數(shù)，符合題意．若不是整數(shù)，則區(qū)間,中含有5、6、7、8這4個(gè)整數(shù)，則必須且，解得；若時(shí)，,,，其中含有5、6、7、8、9共5個(gè)整數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，,的區(qū)間長度，此時(shí),中只能含有6、7、8、9這4個(gè)整數(shù)，故，即，結(jié)合可得．綜上所述，或或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是,,．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由真子集的個(gè)數(shù)可得，且區(qū)間,中含有4個(gè)整數(shù)，結(jié)合區(qū)間長度，即可對討論求解.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（20-21高一上·浙江嘉興·階段練習(xí)）若集合，，則能使成立的所有a組成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】考慮和兩種情況，得到，解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，即，時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，滿足，解得；綜上所述：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，忽略空集的情況是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.【相似題2】（2024·江蘇常州·三模）集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【答案】【分析】結(jié)合B是否為空集進(jìn)行分類討論可求的范圍．【詳解】由，且，當(dāng)時(shí)，，則，即，當(dāng)時(shí)，若，則，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【相似題3】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)集合.若且，則.【答案】6【分析】根據(jù)集合間的關(guān)系可知，可得，再由求得，即可得解.【詳解】因?yàn)榧?，若，則且，可得，解得，即有，又，所以，所以.故答案為：6【題型5：韋恩圖的應(yīng)用】例題精選例題精選【例題1】（2025·山東棗莊·二模）已知全集為，集合是的兩個(gè)子集，若，則下列運(yùn)算結(jié)果為的子集的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)Venn圖，集合間的關(guān)系及集合的運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】作出Venn圖，如圖，對于A，，故A錯(cuò)誤；對于B，與集合交集是空集，若，則不是的子集，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C正確；對于D，與集合交集是空集，若，則不是的子集，故D錯(cuò)誤；故選：C.【例題2】（24-25高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）若集合、、滿足：，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出韋恩圖，結(jié)合韋恩圖與集合運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】如下圖所示：由韋恩圖可知，，，，，故選：C.【例題3】（2025·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知全集，集合，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用韋恩圖法即可判斷.【詳解】如圖，對于A：，所以A錯(cuò)誤；對于B：，所以B錯(cuò)誤；對于D：，所以D錯(cuò)誤，對于C：由圖觀察顯然，故C正確．故選：C相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）如圖所示，集合是全集的三個(gè)真子集，則圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由韋恩圖寫出陰影部分的對應(yīng)集合即可.【詳解】由韋恩圖知：陰影部分表示對應(yīng)元素不屬于集合，但屬于集合，所以陰影部分所表示的集合是.故選：C.【相似題2】（23-24高一上·湖南長沙·期末）已知全集為U，集合M，N滿足，則下列運(yùn)算結(jié)果為U的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，結(jié)合交并補(bǔ)的運(yùn)算即可判斷選項(xiàng)【詳解】如圖，因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確.故選：D【相似題3】多選題（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）已知集合均為的子集，若，則（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)題意，畫出韋恩圖，結(jié)合韋恩圖和選項(xiàng)，逐一判斷，即可得到答案.【詳解】因?yàn)榧暇鶠榈淖蛹?，且，畫出韋恩圖，如圖所示：結(jié)合圖像：由，所以A正確；由，所以B錯(cuò)誤；由，所以C錯(cuò)誤；由，所以D正確.故選：AD.【題型6：集合中的新定義問題】例題精選例題精選【例題1】（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測）如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合.若集合，集合，則集合（

）A．B．C．或D．或【答案】D【分析】根據(jù)給定的韋恩圖，結(jié)合集合的運(yùn)算求解.【詳解】集合，集合，則，由韋恩圖得或.故選：D【例題2】（2025·北京·模擬預(yù)測）集合的所有三個(gè)元素的子集記為記為集合中的最大元素，則（

）A．10 B．40 C．45 D．50【答案】C【分析】由題列舉出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可.【詳解】由題知：，，，，，，，則故選：C【例題3】多選題（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）對于集合、，定義運(yùn)算：且，.若，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題中定義以及集合運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，根據(jù)題中信息可得，A對；對于B選項(xiàng)，根據(jù)題意可得，故，B對；對于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，，D對.故選：ABD.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知集合，若集合，且M中的所有元素之和為奇數(shù)，稱M為A的奇子集，則A的所有“奇子集元素之和”的總和為.【答案】【分析】設(shè)為的奇子集，中的所有元素之和為偶數(shù)，可稱為偶子集，分析得的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等；計(jì)算奇子集元素之和時(shí)，含元素的和是，即可求得奇子集的元素之和.【詳解】設(shè)為的奇子集，則若，令，若，令為把中的去掉后剩下的元素形成的集合，則中的所有元素之和為偶數(shù)，可稱為偶子集，顯然每個(gè)奇子集，均恰有一個(gè)偶子集與之對應(yīng)，每個(gè)偶子集，均恰有一個(gè)奇子集與之對應(yīng)，故的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等；對任一，含的子集共有個(gè)，用上面的對應(yīng)方法可知，在時(shí)，這個(gè)子集中有一半為奇子集，在時(shí)，由于，將上邊的3換成5，同樣可得其中有一半為奇子集，于是在計(jì)算奇子集元素之和時(shí)，含元素的和是，奇子集容量之和是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解新定義題型的步驟：（1）理解“新定義”，明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.（3）類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.【相似題2】（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知集合，，、是的非空子集.記集合除以的余數(shù).若正整數(shù)滿足：存在非空集合、，使得兩兩的交集為空集，且，則稱為“好的”.(1)設(shè)，，當(dāng)時(shí)，求，并直接判斷是否為“好的”；(2)證明：是“好的”，是“好的”；(3)求所有“好的”正整數(shù).【答案】(1)，是“好的”(2)證明見解析(3)除、、外的正整數(shù)【分析】（1）根據(jù)題中定義可求出集合，并由此作出判斷；（2）當(dāng)時(shí)，取集合，；當(dāng)時(shí)，取集合，，結(jié)合題中定義驗(yàn)證可得出結(jié)論；（3）先證明出：若正整數(shù)是“好的”，則也是“好的”，再證：為奇數(shù)是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由題中定義可得，且，故是“好的”.（2）時(shí)，取，，則的值為、、、，除以8的余數(shù)為4，7，5，0.所以，此時(shí)，合乎題意；時(shí)，取，，的值分別為4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余數(shù)為4，7，12，15，5，8，13，0.所以，則，滿足條件.故是“好的”，是“好的”.（3）①首先證明：若正整數(shù)是“好的”，則也是“好的”.（*）事實(shí)上，若正整數(shù)是“好的”，設(shè)，，，此時(shí)集合、滿足時(shí)條件.時(shí)，考慮，，則也滿足條件，（*）得證.②再證：為奇數(shù)是“好的”.（**）事實(shí)上，取，，則滿足條件，（**）得證.由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整數(shù)均為“好的”.③再證：不是“好的”.對集合，記為中元素個(gè)數(shù)，由條件，.若，則，矛盾.若或，則，則，矛盾.于是不是“好的”.同理易知，2不是“好的”.所以，所求為除1，2，4外的正整數(shù).【相似題3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，若對任意的，，有或，則稱集合為完美集合．(1)分別判斷集合與是否為完美集合；(2)當(dāng)時(shí)，若，求完美集合；(3)若集合為完美集合，記，求證：．【答案】(1)集合為完美集合，不是完美集合；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)完美集的定義直接判斷即可；（2）根據(jù)完美集的定義及依次確定，即可得答案；（3）根據(jù)完美集定義先確定，結(jié)合得到，又，把各項(xiàng)累加即可證結(jié)論.【詳解】（1）集合，當(dāng)時(shí)，，又，，所以集合為完美集合．集合，因?yàn)椋圆皇峭昝兰希?）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，故，即，所以．?）因?yàn)?，故，所以，則．因?yàn)?，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，全部相加得，即，所以，又，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，根據(jù)完美集定義確定，并得到，為關(guān)鍵.課后針對訓(xùn)練課后針對訓(xùn)練一、單選題1．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)全集,集合，（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·浙江溫州·期中）設(shè)集合，若，則（

）A． B． C． D．3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若全集是實(shí)數(shù)集，集合，，則如圖陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．4．（2025·黑龍江吉林·模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．5．（2025·福建福州·模擬預(yù)測）已知集合，則（

）A． B． C． D．6．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）下列集合中表示空集的是（

）A． B．C． D．7．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若集合，則（

）A． B． C． D．8．（2023·山東青島·三模）已知全集，集合A，B滿足，則下列關(guān)系一定正確的是（

）A． B． C． D．9．（2023·福建漳州·模擬預(yù)測）已知是全集，集合，滿足，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．10．（2023·福建龍巖·二模）若全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（

）

A． B． C． D．11．（2023·福建·模擬預(yù)測）已知集合，，全集，則以下集合（

）是空集A． B． C． D．12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，若中有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．13．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知集合，，若，則（

）A．-3 B．-1 C．1 D．314．（2025·福建泉州·一模）（

）A． B． C． D．15．（2021·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知為全集的兩個(gè)不相等的非空子集，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．二、多選題16．（24-25高一上·貴州黔西·階段練習(xí)）下列四個(gè)命題：其中正確的命題為（

）A．已知集合，集合，則B．集合中有兩個(gè)元素C．已知集合，且，則的取值構(gòu)成的集合為D．記，，則17．（2025·江西·模擬預(yù)測）已知集合，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則可以取3三、填空題18．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知集合，若，則的最小值為．參考答案題號12345678910答案AAADCDDCCD題號11121314151617答案DACADBDAC1．A【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集，，所以，．故選：A．2．A【分析】由可得方程有一個(gè)根是1，且2一定不是它的根，從而代入，解得，再解得，滿足，從而可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以方程有一個(gè)根是1，且2一定不是它的根，則，解得，當(dāng)時(shí)，方程的根是1和，所以，滿足，即.故選：A.3．A【分析】根據(jù)韋恩圖，先求，再由集合去掉中的元素即可.【詳解】∵全集是實(shí)數(shù)集，集合，∴，∴故圖中陰影部分所表示的集合為集合去掉中的元素,即.故選：A.4．D【分析】先計(jì)算出集合，逐一驗(yàn)證即可.【詳解】由，所以，故A錯(cuò)誤，，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.5．C【分析】由交集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)榧?，則．故選：C．6．D【分析】根據(jù)空集的定義，逐項(xiàng)判別，可得答