押題12第15-17題數列（八大題型）1．（2023·全國·高考真題）設等差數列的公差為，且．令，記分別為數列的前項和．(1)若，求的通項公式；(2)若為等差數列，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據等差數列的通項公式建立方程求解即可；（2）由為等差數列得出或，再由等差數列的性質可得，分類討論即可得解.【解析】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）為等差數列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數列性質知，，即，，即，解得或（舍去）當時，，解得，與矛盾，無解；當時，，解得.綜上，.2．（2023·全國·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設等差數列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結論求出，，再分奇偶結合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出，，再分奇偶借助等差數列前n項和公式求出，并與作差比較作答.【解析】（1）設等差數列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當為偶數時，，，當時，，因此，當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，.方法2：由（1）知，，，當為偶數時，，當時，，因此，當為奇數時，若，則，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，.3．（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數列的通項公式求得，得到，利用和與項的關系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（2）由（1）的結論，利用裂項求和法得到，進而證得.【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；（2）∴4．（2022·全國·高考真題）已知為等差數列，是公比為2的等比數列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）設數列的公差為，根據題意列出方程組即可證出；（2）根據題意化簡可得，即可解出．【解析】（1）設數列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數為．5．（2021·全國·高考真題）記是公差不為0的等差數列的前n項和，若．（1）求數列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結合題意求得數列的公差即可確定數列的通項公式；(2)首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【解析】(1)由等差數列的性質可得：，則：，設等差數列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數列的通項公式為：.(2)由數列的通項公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數，故的最小值為.【點睛】等差數列基本量的求解是等差數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等差數列的有關公式并能靈活運用.6．（2021·全國·高考真題）已知數列滿足，（1）記，寫出，，并求數列的通項公式；（2）求的前20項和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由題意結合遞推關系式確定數列的特征，然后求和其通項公式即可；(2)方法二：分組求和，結合等差數列前項和公式即可求得數列的前20項和.【解析】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：顯然為偶數，則，所以，即，且，所以是以2為首項，3為公差的等差數列，于是．[方法二]：奇偶分類討論由題意知，所以．由（為奇數）及（為偶數）可知，數列從第一項起，若為奇數，則其后一項減去該項的差為1，若為偶數，則其后一項減去該項的差為2．所以，則．[方法三]：累加法由題意知數列滿足．所以，，則．所以，數列的通項公式．（2）[方法一]：奇偶分類討論．[方法二]：分組求和由題意知數列滿足，所以．所以數列的奇數項是以1為首項，3為公差的等差數列；同理，由知數列的偶數項是以2為首項，3為公差的等差數列．從而數列的前20項和為：．【整體點評】(1)方法一：由題意討論的性質為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關系式確定數列的性質；方法三：寫出數列的通項公式，然后累加求數列的通項公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項公式分奇偶的情況求解前項和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見的數列求和的一種方法，結合等差數列前項和公式和分組的方法進行求和是一種不錯的選擇.押題12數列高考模擬題型分布表題型序號題型內容題號題型1定義法求解數列1-3題型2錯位相減、裂項相消法4-8題型3數列的其他求和方法9-12題型4分段數列13-15題型5證明不等式16-17題型6最值問題18-19題型7取值范圍問題20-21題型8數列與函數或集合22-23題型1：定義法求解數列1．（2024·新疆烏魯木齊·一模）設等比數列的前項和為，已知，．(1)求的通項公式；(2)設，求的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意列式求，進而可得通項公式；（2）根據題意分析可知數列是以首項為，公比為的等比數列，結合等比數列求和分析求解.【解析】（1）設等比數列的公比為q，由題意可得，則，即，解得，所以.（2）因為，則，且，即數列是以首項為，公比為的等比數列，所以．2．（2024·陜西渭南·一模）已知等差數列滿足：，，其前項和為.(1)求及；(2)若數列是首項為1，公比為3的等比數列，求數列的前項和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由等比中項求出，進而求出等差數列的首項與公差，再用公式法寫出其通項公式和前n項和.（2）先求等比數列的前n項和，數列的前n項和即為.【解析】（1）是等差數列，，數列的公差，首項，，.，為所求.（2）令，由題意有；數列是以1為首項，3為公比的等比數列其前n項和，，數列的前n項和故為所求.3．（23-24高三上·江蘇·期末）設數列的前n項和為，.(1)求數列的通項公式；(2)數列滿足，求的前50項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據的關系，結合等比數列的性質即可求解，（2）根據等比數列的求和公式即可求解.【解析】（1）由，得（），兩式相減得：（），即（），當時，，得，所以（），故是首項為，公比為的等比數列.從而.（2）由（1）得.所以題型2：錯位相減、裂項相消法4．（2024·四川成都·二模）已知數列的前項和為.(1)求數列的通項公式；(2)記，求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據作差即可得解；（2）由（1）可得，利用裂項相消法計算可得.【解析】（1）數列的前項和為，當時，當時，所以，又當時，也成立，數列的通項公式為.（2）由（1）可得，設數列的前項和為，則.5．（2024·四川瀘州·二模）已知數列的前項和．(1)求數列的通項公式；(2)在，與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，若，求數列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據，作差得到，從而得到是以為首項，為公比的等比數列，即可求出其通項公式；（2）由（1）可得，從而得到，利用裂項相消法求和即可.【解析】（1）因為，當時，解得，當時，所以，即，所以，即數列是以為首項，為公比的等比數列，所以.（2）因為，，所以，所以，則，所以.6．（2024·廣東佛山·模擬預測）已知數列滿足，且．(1)求數列的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）得到為常數列，結合得到，求出通項公式；（2），設的前項和為，錯位相減法求和得到.【解析】（1），故為常數列，其中，故，故，即；（2），設的前項和為，則①，②，兩式①-②得，，故.7．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知數列滿足.(1)證明數列為等差數列，并求；(2)求數列的前項和.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據題意構造等差數列，結合等差數列的概念證明并求解通項公式即可；（2）利用錯位相減法求和即可.【解析】（1）因為，所以，所以為定值，所以是首項為，公差為3的等差數列，所以，所以（2）由（1）知，，所以，所以，所以，所以8．（2023·四川南充·一模）已知數列是首項為2的等比數列,且是和的等差中項．(1)求的通項公式；(2)若數列的公比,設數列滿足,求的前2023項和．【答案】(1)見詳解(2)【分析】(1)設數列的公比為,根據題意得求得公比,即可得通項公式.(2)根據題意得代入并化簡,再用裂項相消法求前2023項和即可.【解析】（1）設數列的公比為,則是和的等差中項,即解得或或（舍去）當時,當時,（2）,由(1)知故的前2023項和為題型3：數列的其他求和方法9．（23-24高二上·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）已知數列中，，，．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用累乘法即可得解；（2）利用裂項相消法即可得解.【解析】（1）因為，，所以，當時，滿足上式，所以；（2）因為，所以，所以.10．（2023·海南·模擬預測）已知數列和滿足：，，（為常數，且）．(1)證明：數列是等比數列；(2)若當和時，數列的前n項和取得最大值，求的表達式．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）根據題意消元可得，，即可根據定義證出；（2）由（1）知，從而得出，根據鄰項變號法可知，，進而求出，得到的表達式，求出．【解析】（1）因為，即，所以，而，所以，即，即數列是以為首項，2為公比的等比數列．（2）由（1）知，所以．因為當和時，數列的前n項和取得最大值，所以，即，解得．所以．經檢驗，當時，，當時，，所以先增后減，在和時取得最大值，符合題意．此時．11．（2024·海南?？凇つM預測）已知函數是高斯函數，其中表示不超過的最大整數，如，.若數列滿足，且，記.(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）計算出，將兩式和做差，得出關于的隔項關系式，根據累加求和，求得通項即可；（2）由于……，給出“當時，，……”等結論，分組計算數列的前項和即可.【解析】（1）因為，，所以，因為，所以，將兩式相減，得：，所以數列的奇數項，偶數項分別單獨構成等差數列.當為奇數時，，，……，且，則，當為偶數時，則，所以.（2）設的前項和為，當時，，當時，，當時，，當時，，所以.12．（23-24高三上·河南·期中）已知等差數列的公差為整數，，設其前n項和為，且是公差為的等差數列．(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據等差數列的性質即可求解公差，進而可求解，（2）分情況，即可根據等差數列求和公式求解.【解析】（1）設的公差為d，依題意得，所以，即，化簡得，解得或（舍去），故，（2）依題意，．當時，，故；當時，，故．故題型4：分段數列13．（23-24高三上·全國·階段練習）已知數列的前項和為，，等比數列的公比為，．(1)求數列的通項公式；(2)令，求數列的前10項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）當時求出，可得通項與，由求數列的通項公式；（2）利用分組求和法求數列的前10項和.【解析】（1）當時，，，，等比數列的公比為，則有，由，可得．當時，．經檢驗，當時，滿足上式，所以．（2），設的前10項和為，．14．（2023·江蘇南通·模擬預測）已知等差數列的首項為1，公差為2．正項數列的前項和為，且．(1)求數列和數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）直接得到的通項公式，由作差得到，從而求出的通項公式；（2）由（1）可得，利用分組求和法計算可得.【解析】（1）依題意可得，∵①，當時，②，，，，∵，∴，且在①式中令或（舍去），∴，綜上可得，．（2）由（1）可得，∴．15．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知數列滿足，．(1)記，證明數列是等比數列，并求的通項公式；(2)求的前項和，并證明．【答案】(1)證明見解析；.(2)；證明見解析.【分析】（1）結合遞推公式利用等比數列的概念即可證明并求得通項公式；（2）利用遞推公式將用得前項和來表示，即，進而利用等比數列的前項和公式即可求解；令，并用可得單調性，從而即可證明.【解析】（1）證明：由題意可知，，所以數列是首項，公比為6的等比數列.于是.（2）由題意可知，，所以.又，令，，所以數列單調遞增，故，即.題型5：證明不等式16．（23-24高三上·寧夏石嘴山·開學考試）已知數列是公差不為零的等差數列，其前項和為，若成等比數列，且.(1)求數列的通項公式；(2)記，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據等差數列通項公式和求和公式基本量計算得到方程組，求出首項和公差，得到通項公式；（2）裂項相消法求和，證明出結論.【解析】（1）因為成等比數列，且，所以，由，解得，所以.（2）由，得，由，有，所以，得.17．（2024·四川·模擬預測）已知為等差數列，公差，且、、成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)記，數列的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據等差數列的通項公式及等比中項的性質求出，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂項相消法求和即可得證.【解析】（1）依題意，，又、、成等比數列，所以，即，解得，所以.（2）由（1）可得，所以.題型6：最值問題18．（2024·山東濟南·一模）已知數列的前n項和為，且，令.(1)求證：為等比數列；(2)求使取得最大值時的n的值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）結合已知，由時化簡得，再由及等比數列的定義證明即可；（2）先求得，利用作商法判斷數列的單調性即可求得最值.【解析】（1）由，可得時，即，，又因為，所以，，綜上，，，所以為首項和公比均為的等比數列.（2）由（1）可得，所以，時，，令，可得，（或令，可得），可知，綜上，或時，的取得最大值.19．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知等差數列滿足，．(1)求；(2)若，數列的前n項和為，求最小時對應的n的值．【答案】(1)；(2)4或6.【分析】（1）通過基本量計算求解可得；（2）分，，討論數列的符號即可求解.【解析】（1）設等差數列的公差為d，由，得，解得，，所以．（2）由（1）得，，當時，又，，所以，因為時，所以數列的前4項或前6項之和最小，即最小時n的值為4或6．題型7：取值范圍問題20．（2024·湖北·二模）已知各項均不為0的數列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)若對于任意成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意，得到時，，兩式相減得到，得到及均為公差為4的等差數列，結合等差數列的通項公式，進而得到數列的通項公式；（2）由（1）求得，證得為恒成立，設，求得數列的單調性和最大值，即可求解.【解析】（1）解：因為數列的前項和為，且，即，當時，可得，兩式相減得，因為，故，所以及均為公差為4的等差數列：當時，由及，解得，所以，，所以數列的通項公式為.（2）解：由（1）知，可得，因為對于任意成立，所以恒成立，設，則，當，即時，當，即時，所以，故，所以，即實數的取值范圍為.21．（2024·四川南充·二模）在數列中，是其前項和，且．(1)求數列的通項公式；(2)若，恒成立，求的取值范圍．【答案】