小階圖與孤立點(diǎn)、路及圈聯(lián)圖交叉數(shù)的深度剖析與研究一、引言1.1研究背景與意義圖論作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要分支，在眾多科學(xué)和工程領(lǐng)域發(fā)揮著關(guān)鍵作用。圖的交叉數(shù)是圖論中的一個(gè)核心概念，它主要研究如何將一個(gè)圖畫(huà)在平面上，使得邊與邊之間的交叉數(shù)目最少。這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題，實(shí)際上在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中都有著重要的地位。從理論角度來(lái)看，圖的交叉數(shù)反映了圖的非平面性程度，是衡量一個(gè)圖與平面圖“距離”的重要參數(shù)。一個(gè)圖是平面圖當(dāng)且僅當(dāng)它的交叉數(shù)為0，因此交叉數(shù)為研究圖的拓?fù)湫再|(zhì)提供了一個(gè)重要的切入點(diǎn)。通過(guò)研究交叉數(shù)，我們可以更深入地理解圖的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，探索圖論中的一些基本問(wèn)題，如平面圖的特征、圖的嵌入等。在實(shí)際應(yīng)用中，圖的交叉數(shù)有著廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景。在超大規(guī)模集成電路（VLSI）設(shè)計(jì)中，芯片上的電路可以看作是一個(gè)圖，其中頂點(diǎn)表示電子元件，邊表示元件之間的連接。為了提高芯片的性能和降低成本，需要盡可能減少電路中連線的交叉，因?yàn)榻徊鏁?huì)增加信號(hào)傳輸?shù)难舆t和功耗，還可能導(dǎo)致電路故障。此時(shí)，圖的交叉數(shù)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何在有限的平面空間內(nèi)，優(yōu)化電路布局，使連線交叉最少的實(shí)際工程問(wèn)題。在地圖繪制中，為了使地圖更加清晰易讀，需要避免道路、河流等線條的過(guò)多交叉。通過(guò)研究圖的交叉數(shù)，可以為地圖繪制提供優(yōu)化策略，提高地圖的可讀性和準(zhǔn)確性。在網(wǎng)絡(luò)路由、交通規(guī)劃、信息可視化等領(lǐng)域，圖的交叉數(shù)也都有著重要的應(yīng)用，它能夠幫助我們優(yōu)化資源配置、提高系統(tǒng)效率、增強(qiáng)信息表達(dá)效果。盡管圖的交叉數(shù)在理論和應(yīng)用中都非常重要，但確定一般圖的交叉數(shù)是一個(gè)NP-完全問(wèn)題，這意味著隨著圖的規(guī)模和復(fù)雜性的增加，計(jì)算其交叉數(shù)的難度呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。目前，關(guān)于圖的交叉數(shù)的研究主要集中在一些特殊圖類(lèi)上，通過(guò)對(duì)這些特殊圖類(lèi)的研究，逐步積累經(jīng)驗(yàn)和方法，為解決一般圖的交叉數(shù)問(wèn)題提供思路和借鑒。小階圖由于其頂點(diǎn)和邊的數(shù)量相對(duì)較少，結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，成為研究圖的交叉數(shù)的重要切入點(diǎn)。通過(guò)對(duì)小階圖交叉數(shù)的研究，我們可以探索圖的交叉數(shù)的基本規(guī)律和性質(zhì)，建立一些基礎(chǔ)的理論和方法。孤立點(diǎn)、路及圈作為圖的基本元素，它們與小階圖的聯(lián)圖在圖論中具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。研究小階圖與孤立點(diǎn)、路及圈的聯(lián)圖的交叉數(shù)，不僅可以豐富我們對(duì)這些基本圖元素組合結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，還能為解決更復(fù)雜圖類(lèi)的交叉數(shù)問(wèn)題提供新的思路和方法。此外，這些聯(lián)圖在實(shí)際應(yīng)用中也可能有著潛在的應(yīng)用價(jià)值，例如在某些網(wǎng)絡(luò)模型中，可能會(huì)出現(xiàn)類(lèi)似的結(jié)構(gòu)，研究其交叉數(shù)可以為網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論支持。所以，對(duì)小階圖與孤立點(diǎn)、路及圈聯(lián)圖交叉數(shù)的研究具有重要的理論意義和潛在的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀圖的交叉數(shù)研究始于20世紀(jì)70年代，匈牙利數(shù)學(xué)家Turán基于實(shí)際難題提出這一概念，此后該領(lǐng)域逐漸活躍，吸引眾多圖論專(zhuān)家深入探索。由于確定一般圖的交叉數(shù)是NP-完全問(wèn)題，當(dāng)前研究主要聚焦于特殊圖類(lèi)交叉數(shù)的確定以及交叉數(shù)性質(zhì)的探究。在國(guó)外，針對(duì)特殊圖類(lèi)交叉數(shù)的研究成果豐碩。對(duì)于完全圖，國(guó)際上存在重要猜想：cr(K_n)\leq\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-3}{2}\rfloor，Salazar證明了n\leq10時(shí)等號(hào)成立，但目前仍未找到完全圖精確交叉數(shù)的通用計(jì)算方法。完全二部圖的交叉數(shù)問(wèn)題源于Turán的“磚廠問(wèn)題”，Zarankiewicz“證明”了cr(K_{m,n})\leq\lfloor\frac{m}{2}\rfloor\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor（m\leqn），然而其證明有誤，該問(wèn)題至今仍是公開(kāi)問(wèn)題，目前僅知道當(dāng)\min(m,n)\leq6時(shí)等號(hào)成立，以及m=7且n\leq10時(shí)成立。對(duì)于完全三部圖，相關(guān)證明多建立在完全二部圖交叉數(shù)基礎(chǔ)上，結(jié)果相對(duì)較少，如K.Asano證明了cr(K_{1,3,n})=z(4,n)+n，cr(K_{2,3,n})=z(5,n)+n。國(guó)內(nèi)學(xué)者在圖的交叉數(shù)研究方面也取得了顯著進(jìn)展。湖南師范大學(xué)的黃元秋教授在完全三部圖交叉數(shù)研究中成果突出，獨(dú)立證明了cr(K_{2,4,n})=z(5,n)+2n，后與梅漢飛教授合作確定了cr(K_{1,5,n})=z(6,n)+4n，這些結(jié)果均建立在Zarankiewicz猜想對(duì)于\min(m,n)\leq6成立的基礎(chǔ)上。2005年初，黃元秋教授在假設(shè)Zarankiewicz猜想對(duì)于m=7,9,11成立的前提下，確定了cr(K_{3,6,n})，cr(K_{4,8,n})，cr(K_{5,10,n})。此外，國(guó)內(nèi)還有不少學(xué)者對(duì)其他特殊圖類(lèi)的交叉數(shù)展開(kāi)研究，如對(duì)六階圖與星的笛卡爾積的交叉數(shù)以及聯(lián)圖的交叉數(shù)進(jìn)行探討，得到了一些六階圖與路的聯(lián)圖的交叉數(shù)。然而，目前針對(duì)小階圖與孤立點(diǎn)、路及圈的聯(lián)圖交叉數(shù)的研究相對(duì)較少。雖然對(duì)于路、圈等基本圖類(lèi)本身的性質(zhì)和交叉數(shù)有一定研究，但將它們與小階圖通過(guò)聯(lián)圖的方式結(jié)合起來(lái)，并深入研究其交叉數(shù)的工作還不夠充分?，F(xiàn)有研究在方法上多依賴(lài)于圖的特殊結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，缺乏系統(tǒng)性和通用性的方法來(lái)解決這類(lèi)聯(lián)圖交叉數(shù)問(wèn)題。而且，對(duì)于不同小階圖與孤立點(diǎn)、路及圈聯(lián)圖交叉數(shù)之間的聯(lián)系和規(guī)律，尚未形成全面深入的認(rèn)識(shí)，這為后續(xù)研究留下了廣闊的空間。1.3研究?jī)?nèi)容與創(chuàng)新點(diǎn)本文聚焦于小階圖與孤立點(diǎn)、路及圈的聯(lián)圖交叉數(shù)展開(kāi)深入研究，具體內(nèi)容涵蓋以下幾個(gè)關(guān)鍵方面：小階圖與孤立點(diǎn)聯(lián)圖交叉數(shù)：深入剖析小階圖的結(jié)構(gòu)特征，研究孤立點(diǎn)與小階圖通過(guò)聯(lián)圖方式結(jié)合后對(duì)交叉數(shù)產(chǎn)生的影響。分析不同小階圖頂點(diǎn)和邊的分布規(guī)律，以及孤立點(diǎn)的存在如何改變圖的平面嵌入方式，從而確定小階圖與孤立點(diǎn)聯(lián)圖的交叉數(shù)。小階圖與路聯(lián)圖交叉數(shù)：探討路的長(zhǎng)度、路徑走向等因素對(duì)小階圖與路聯(lián)圖交叉數(shù)的作用機(jī)制。研究在不同的路長(zhǎng)情況下，路與小階圖的連接方式如何影響圖中邊的交叉情況。分析路的端點(diǎn)與小階圖頂點(diǎn)相連時(shí)，不同的連接順序和位置對(duì)交叉數(shù)的影響，尋找其中的規(guī)律和特性。小階圖與圈聯(lián)圖交叉數(shù)：分析圈的大小、圈中頂點(diǎn)與小階圖頂點(diǎn)的連接方式等因素與交叉數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。研究不同大小的圈與小階圖聯(lián)圖時(shí)，圈的邊與小階圖邊的交叉情況。探討圈中頂點(diǎn)與小階圖頂點(diǎn)的不同連接模式，以及這些模式如何影響圖的交叉數(shù)，嘗試建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型或關(guān)系表達(dá)式。本文在研究過(guò)程中，創(chuàng)新性地采用了以下研究方法和思路，有望取得具有突破性的研究成果：基于結(jié)構(gòu)分解的研究方法：將小階圖與孤立點(diǎn)、路及圈的聯(lián)圖進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，把復(fù)雜的聯(lián)圖分解為若干個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的子結(jié)構(gòu)。通過(guò)對(duì)這些子結(jié)構(gòu)交叉數(shù)的研究，以及它們之間相互作用對(duì)交叉數(shù)的影響分析，來(lái)確定整個(gè)聯(lián)圖的交叉數(shù)。這種方法能夠更清晰地揭示聯(lián)圖的結(jié)構(gòu)與交叉數(shù)之間的關(guān)系，為解決復(fù)雜圖類(lèi)的交叉數(shù)問(wèn)題提供一種新的思路。引入拓?fù)渥儞Q思想：在研究聯(lián)圖交叉數(shù)時(shí)，引入拓?fù)渥儞Q的思想。通過(guò)對(duì)圖進(jìn)行拓?fù)渥儞Q，如邊的收縮、頂點(diǎn)的合并等操作，將復(fù)雜的圖轉(zhuǎn)化為更易于分析的形式。同時(shí)，研究拓?fù)渥儞Q前后交叉數(shù)的變化規(guī)律，利用這些規(guī)律來(lái)確定原聯(lián)圖的交叉數(shù)。這種方法能夠突破傳統(tǒng)研究方法的局限，從更抽象的拓?fù)浣嵌葋?lái)研究圖的交叉數(shù)問(wèn)題。拓展交叉數(shù)研究范圍：目前關(guān)于小階圖與孤立點(diǎn)、路及圈聯(lián)圖交叉數(shù)的研究相對(duì)較少，本文將對(duì)這一領(lǐng)域進(jìn)行系統(tǒng)深入的研究，有望填補(bǔ)相關(guān)研究空白，拓展圖的交叉數(shù)研究范圍，為圖論領(lǐng)域的發(fā)展提供新的研究方向和理論基礎(chǔ)。二、基本概念與理論基礎(chǔ)2.1圖論基本概念在圖論中，圖是一個(gè)二元組G=(V,E)，其中V為圖中所有頂點(diǎn)（vertex）組成的集合，這些頂點(diǎn)可以看作是圖的基本元素，代表著各種實(shí)際事物或抽象概念。E為圖中所有邊（edge）組成的集合，每一條邊可以由一個(gè)點(diǎn)對(duì)(v,w)表示，它描述了頂點(diǎn)之間的某種關(guān)系。例如，在一個(gè)表示城市交通網(wǎng)絡(luò)的圖中，頂點(diǎn)可以代表各個(gè)城市，邊則表示城市之間的道路連接。根據(jù)邊是否具有方向性，圖可分為有向圖和無(wú)向圖。若邊帶有方向性，即表示邊的點(diǎn)對(duì)(v,w)是有序的，這樣的圖稱(chēng)為有向圖（directedgraph）；反之，若邊沒(méi)有方向性，點(diǎn)對(duì)(v,w)是無(wú)序的，則稱(chēng)為無(wú)向圖（undirectedgraph）。在有向圖中，邊的方向性通常表示某種單向的關(guān)系，如信息流、因果關(guān)系等；而無(wú)向圖則更適合表示雙向的、對(duì)稱(chēng)的關(guān)系，如社交網(wǎng)絡(luò)中的朋友關(guān)系。簡(jiǎn)單路徑（simplepath）是指一條路徑上包含的點(diǎn)除了第一個(gè)點(diǎn)和最后一個(gè)點(diǎn)以外都是互異的，不能存在重復(fù)，而第一個(gè)點(diǎn)和最后一個(gè)點(diǎn)可以重復(fù)，也可以不重復(fù)。例如，在一個(gè)圖中，從頂點(diǎn)A經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)B、C到達(dá)頂點(diǎn)D的路徑，如果這三個(gè)頂點(diǎn)B、C、D各不相同，且A與D不同（若相同則形成一個(gè)回路），那么這條路徑就是簡(jiǎn)單路徑。在無(wú)向圖中，如果從任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間都存在一條路徑，則稱(chēng)該圖是連通的（connected）；而在有向圖中，如果存在連通的性質(zhì)，則稱(chēng)其是強(qiáng)連通的（stronglyconnected）；若一個(gè)有向圖不是強(qiáng)連通的，但將其變?yōu)闊o(wú)向圖后是連通的，則稱(chēng)其為弱連通的（weaklyconnected）。例如，一個(gè)表示通信網(wǎng)絡(luò)的圖，如果任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都能直接或間接通信，那么這個(gè)圖就是連通的；對(duì)于有向通信網(wǎng)絡(luò)，如果從任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)發(fā)出的信息都能到達(dá)其他所有節(jié)點(diǎn)，那么它是強(qiáng)連通的；若只有在忽略通信方向后才滿足任意節(jié)點(diǎn)間可通信，那么它是弱連通的。若圖G_1=(V_1,E_1)和圖G_2=(V_2,E_2)，滿足V_1\subseteqV且E_1\subseteqE，則稱(chēng)G_1是G的子圖（subgraph）。子圖可以看作是從原圖中選取部分頂點(diǎn)和邊所構(gòu)成的圖，它繼承了原圖的部分結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。例如，在一個(gè)大型的電力傳輸網(wǎng)絡(luò)圖中，我們可以選取其中某一區(qū)域的發(fā)電站、變電站和輸電線路作為一個(gè)子圖，來(lái)研究該區(qū)域的電力傳輸情況。2.2聯(lián)圖的定義與性質(zhì)聯(lián)圖是圖論中一種重要的圖運(yùn)算結(jié)果，它通過(guò)將兩個(gè)不相交的圖按照特定方式連接而得到。設(shè)G_1=(V_1,E_1)和G_2=(V_2,E_2)是兩個(gè)點(diǎn)不相交的圖，即V_1\capV_2=\varnothing，那么它們的聯(lián)圖G_1+G_2定義如下：點(diǎn)集：聯(lián)圖G_1+G_2的頂點(diǎn)集V(G_1+G_2)=V_1\cupV_2，它包含了圖G_1和G_2的所有頂點(diǎn)。例如，若G_1是一個(gè)三角形圖，頂點(diǎn)集V_1=\{v_1,v_2,v_3\}，G_2是一條孤立的邊，頂點(diǎn)集V_2=\{v_4,v_5\}，那么聯(lián)圖G_1+G_2的頂點(diǎn)集就是\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}。邊集：邊集E(G_1+G_2)=E_1\cupE_2\cup\{e(u,v)|\forallu\inV_1,???v\inV_2\}。這意味著聯(lián)圖的邊集不僅包含了G_1和G_2各自原有的邊，還包括了從G_1的每一個(gè)頂點(diǎn)到G_2的每一個(gè)頂點(diǎn)的所有邊。以剛才的例子來(lái)說(shuō)，G_1的邊集E_1=\{(v_1,v_2),(v_2,v_3),(v_3,v_1)\}，G_2的邊集E_2=\{(v_4,v_5)\}，那么聯(lián)圖G_1+G_2的邊集除了E_1和E_2中的邊外，還會(huì)有連接v_1到v_4、v_1到v_5、v_2到v_4、v_2到v_5、v_3到v_4、v_3到v_5的這些邊。聯(lián)圖具有一些重要的基本性質(zhì)，這些性質(zhì)有助于我們更好地理解聯(lián)圖的結(jié)構(gòu)和特征：連通性：由于聯(lián)圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在路徑相連，所以聯(lián)圖一定是連通圖。這是因?yàn)閷?duì)于G_1中的任意頂點(diǎn)u和G_2中的任意頂點(diǎn)v，它們之間存在直接相連的邊；而G_1內(nèi)部和G_2內(nèi)部的頂點(diǎn)原本就通過(guò)各自圖中的邊相連，所以整個(gè)聯(lián)圖是連通的。度的性質(zhì)：對(duì)于聯(lián)圖G_1+G_2中的頂點(diǎn)v，如果v\inV_1，那么v在聯(lián)圖中的度d_{G_1+G_2}(v)=d_{G_1}(v)+|V_2|；同理，如果v\inV_2，則d_{G_1+G_2}(v)=d_{G_2}(v)+|V_1|。例如，在上述例子中，如果v_1在G_1中的度為2，那么在聯(lián)圖G_1+G_2中，v_1的度就變?yōu)?+2=4，因?yàn)樗伺cG_1中原本相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)相連外，還與G_2的兩個(gè)頂點(diǎn)相連。子圖關(guān)系：G_1和G_2都是聯(lián)圖G_1+G_2的子圖，這是由聯(lián)圖的定義直接得出的。而且，聯(lián)圖的一些子圖結(jié)構(gòu)對(duì)于研究其交叉數(shù)有著重要作用，我們可以通過(guò)分析這些子圖的交叉情況，來(lái)推斷聯(lián)圖整體的交叉數(shù)性質(zhì)。2.3圖的交叉數(shù)概念與性質(zhì)圖的交叉數(shù)是衡量圖在平面嵌入時(shí)邊交叉程度的重要參數(shù)，它的定義基于圖在平面上的一種特殊畫(huà)法。具體而言，圖G的交叉數(shù)，記為cr(G)，是指將圖G畫(huà)在平面上時(shí)，滿足以下四個(gè)條件下交叉次數(shù)的最小值：任何兩條相交叉的邊最多交叉一次，這意味著在圖的繪制中，不會(huì)出現(xiàn)兩條邊多次交叉的情況，保證了交叉情況的簡(jiǎn)潔性和規(guī)范性。邊不能自身交叉，即每條邊在平面上是一條連續(xù)且不自交的曲線，避免了邊自身復(fù)雜的纏繞情況。有相同端點(diǎn)的兩條邊不交叉，這是對(duì)圖的基本結(jié)構(gòu)的一種約束，保證了圖的邊與頂點(diǎn)連接關(guān)系的清晰性。沒(méi)有3條邊交叉于同一點(diǎn)，防止出現(xiàn)過(guò)于復(fù)雜的交叉匯聚點(diǎn)，使交叉情況更易于分析和處理。滿足上述四個(gè)條件的畫(huà)法被稱(chēng)為好畫(huà)法，在好畫(huà)法中，含最小交叉數(shù)的畫(huà)法則為最優(yōu)畫(huà)法。例如，對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的完全圖K_4，我們可以嘗試不同的平面畫(huà)法，通過(guò)觀察邊與邊之間的交叉情況，發(fā)現(xiàn)無(wú)論怎樣繪制，都至少會(huì)出現(xiàn)一個(gè)交叉點(diǎn)，這個(gè)最小的交叉數(shù)就是K_4的交叉數(shù)。圖的交叉數(shù)具有一些重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)有助于我們深入理解圖的結(jié)構(gòu)與交叉數(shù)之間的關(guān)系，以及在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)圖的交叉數(shù)進(jìn)行分析和計(jì)算：子圖性質(zhì)：若H是圖G的子圖，那么cr(H)\leqcr(G)。這是因?yàn)镚的一個(gè)好畫(huà)法必然也是H的一個(gè)好畫(huà)法，所以H的最小交叉數(shù)不會(huì)超過(guò)G的最小交叉數(shù)。例如，在一個(gè)復(fù)雜的交通網(wǎng)絡(luò)圖G中，如果我們選取其中一個(gè)局部區(qū)域的子圖H，那么子圖H中道路（邊）的交叉數(shù)肯定不會(huì)超過(guò)整個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)圖G中道路的交叉數(shù)。并圖性質(zhì)：對(duì)于兩個(gè)點(diǎn)不相交的圖G_1和G_2，它們的并圖G=G_1\cupG_2的交叉數(shù)滿足cr(G)\leqcr(G_1)+cr(G_2)。這是因?yàn)槲覀兛梢詫_1和G_2的最優(yōu)畫(huà)法分別放在平面的不同區(qū)域，然后將它們組合起來(lái)得到G的一個(gè)畫(huà)法，這種畫(huà)法下的交叉數(shù)就是G_1和G_2的交叉數(shù)之和，所以G的交叉數(shù)不會(huì)超過(guò)這個(gè)值。同胚不變性：如果圖G_1和G_2同胚，那么cr(G_1)=cr(G_2)。同胚的圖在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上是等價(jià)的，雖然它們的具體形狀可能不同，但邊與邊之間的連接關(guān)系和交叉情況的本質(zhì)是一樣的，所以它們的交叉數(shù)也相同。例如，一個(gè)三角形和一個(gè)去掉一條邊后兩端點(diǎn)重合形成的“V”字形圖，它們?cè)谕負(fù)渖鲜峭叩?，交叉?shù)都為0。2.4相關(guān)理論與猜想在圖的交叉數(shù)研究領(lǐng)域，存在著一些著名的理論和猜想，它們對(duì)推動(dòng)該領(lǐng)域的發(fā)展起到了關(guān)鍵作用，同時(shí)也為本文研究小階圖與孤立點(diǎn)、路及圈的聯(lián)圖交叉數(shù)提供了重要的理論依據(jù)和研究思路。Zarankiewicz猜想是完全二部圖交叉數(shù)研究中的一個(gè)核心猜想。對(duì)于完全二部圖K_{m,n}（m\leqn），Zarankiewicz“證明”其交叉數(shù)cr(K_{m,n})\leq\lfloor\frac{m}{2}\rfloor\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor，習(xí)慣上把上式右端記為z(m,n)。然而，其證明過(guò)程存在錯(cuò)誤，這使得確定完全二部圖的交叉數(shù)成為一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題。盡管如此，目前已證明當(dāng)\min(m,n)\leq6時(shí)，該猜想等號(hào)成立；在m=7且n\leq10的情況下，等號(hào)也成立。這個(gè)猜想的研究為許多其他圖類(lèi)交叉數(shù)的確定提供了基礎(chǔ)和參考，因?yàn)樵谘芯恳恍?fù)雜圖類(lèi)的交叉數(shù)時(shí)，常常會(huì)將其與完全二部圖的交叉數(shù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)和比較。另一個(gè)重要的猜想是關(guān)于完全圖的交叉數(shù)猜想。國(guó)際上對(duì)于完全圖K_n的交叉數(shù)存在一個(gè)重要猜想：cr(K_n)\leq\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-3}{2}\rfloor。目前，Salazar證明了n\leq10時(shí)等號(hào)成立。完全圖交叉數(shù)的研究不僅具有理論意義，而且在實(shí)際應(yīng)用中，例如在通信網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，若將各個(gè)節(jié)點(diǎn)看作完全圖的頂點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)間的連接看作邊，那么完全圖的交叉數(shù)可以幫助評(píng)估網(wǎng)絡(luò)布局的復(fù)雜性和優(yōu)化程度，從而指導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化。此外，還有一些關(guān)于交叉數(shù)的一般性理論和性質(zhì)，如交叉數(shù)的子圖單調(diào)性：若H是圖G的子圖，則cr(H)\leqcr(G)；以及交叉數(shù)在圖的運(yùn)算下的一些性質(zhì)，如對(duì)于兩個(gè)點(diǎn)不相交的圖G_1和G_2，它們的并圖G=G_1\cupG_2的交叉數(shù)滿足cr(G)\leqcr(G_1)+cr(G_2)。這些理論和性質(zhì)為研究圖的交叉數(shù)提供了基本的工具和方法，在分析小階圖與孤立點(diǎn)、路及圈的聯(lián)圖交叉數(shù)時(shí)，可以利用這些性質(zhì)對(duì)交叉數(shù)進(jìn)行初步的估計(jì)和范圍限定。三、小階圖與孤立點(diǎn)聯(lián)圖的交叉數(shù)研究3.1特定小階圖的選取與分析在研究小階圖與孤立點(diǎn)聯(lián)圖的交叉數(shù)時(shí)，選取合適的小階圖至關(guān)重要。為了更具代表性和普遍性，我們選取了一些具有典型結(jié)構(gòu)特征的小階圖，如完全圖K_3、K_4，完全二部圖K_{2,2}、K_{2,3}以及一些特殊的連通圖和非連通圖等。完全圖K_3，也稱(chēng)為三角形圖，它由3個(gè)頂點(diǎn)組成，任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有一條邊相連，邊數(shù)為C_{3}^2=3。其結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出高度的對(duì)稱(chēng)性，每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)均為2。這種對(duì)稱(chēng)性使得在考慮與孤立點(diǎn)聯(lián)圖時(shí)，邊與邊之間的交叉情況具有一定的規(guī)律性。例如，當(dāng)與孤立點(diǎn)聯(lián)圖時(shí)，由于K_3的三邊關(guān)系緊密且對(duì)稱(chēng)，新加入的邊（連接孤立點(diǎn)與K_3頂點(diǎn)的邊）與K_3原有邊的交叉情況相對(duì)容易分析，為研究聯(lián)圖交叉數(shù)提供了一個(gè)簡(jiǎn)單而基礎(chǔ)的模型。完全圖K_4包含4個(gè)頂點(diǎn)，邊數(shù)為C_{4}^2=6。它的結(jié)構(gòu)比K_3更為復(fù)雜，頂點(diǎn)之間的連接更為緊密。在平面上繪制K_4時(shí)，無(wú)論怎樣布局頂點(diǎn)和邊，都至少會(huì)出現(xiàn)一個(gè)交叉點(diǎn)，這體現(xiàn)了它本身具有一定的非平面性。當(dāng)K_4與孤立點(diǎn)聯(lián)圖時(shí)，由于K_4內(nèi)部邊的交叉基礎(chǔ)以及新邊的加入，交叉數(shù)的變化規(guī)律需要綜合考慮K_4的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和孤立點(diǎn)的位置關(guān)系。例如，不同位置的孤立點(diǎn)與K_4頂點(diǎn)相連后，新邊與K_4內(nèi)部邊的交叉情況會(huì)有所不同，這為研究交叉數(shù)的變化提供了更多的可能性和研究角度。完全二部圖K_{2,2}由兩個(gè)部分組成，每個(gè)部分包含2個(gè)頂點(diǎn)，邊僅存在于不同部分的頂點(diǎn)之間，邊數(shù)為2\times2=4。它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是頂點(diǎn)被明確劃分為兩個(gè)相互獨(dú)立又通過(guò)邊連接的子集，這種二分結(jié)構(gòu)使得在與孤立點(diǎn)聯(lián)圖時(shí)，交叉數(shù)的變化與孤立點(diǎn)連接到哪一個(gè)子集的頂點(diǎn)密切相關(guān)。如果孤立點(diǎn)連接到其中一個(gè)子集的頂點(diǎn)，新邊與K_{2,2}原有邊的交叉情況會(huì)受到該子集頂點(diǎn)已有連接的影響，從而產(chǎn)生不同的交叉數(shù)。完全二部圖K_{2,3}中，兩個(gè)部分分別有2個(gè)和3個(gè)頂點(diǎn)，邊數(shù)為2\times3=6。相較于K_{2,2}，K_{2,3}的結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，頂點(diǎn)分布的不對(duì)稱(chēng)性以及邊數(shù)的增加，導(dǎo)致在與孤立點(diǎn)聯(lián)圖時(shí)，交叉數(shù)的分析需要考慮更多的因素。例如，孤立點(diǎn)連接到不同數(shù)量頂點(diǎn)的子集時(shí)，新邊與K_{2,3}原有邊的交叉情況會(huì)呈現(xiàn)出不同的規(guī)律，而且由于K_{2,3}內(nèi)部邊的分布更為復(fù)雜，新邊與這些邊的交叉組合也更加多樣化。對(duì)于一些特殊的連通圖，如含有一條懸掛邊的三角形圖，它在保留三角形基本結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，增加了一個(gè)與三角形頂點(diǎn)相連的懸掛頂點(diǎn)和邊。這種結(jié)構(gòu)的不對(duì)稱(chēng)性使得在與孤立點(diǎn)聯(lián)圖時(shí)，交叉數(shù)的變化不僅與三角形部分的結(jié)構(gòu)有關(guān)，還與懸掛邊的位置和孤立點(diǎn)的連接方式緊密相關(guān)。如果孤立點(diǎn)連接到懸掛頂點(diǎn)，新邊與原圖邊的交叉情況會(huì)與連接到三角形其他頂點(diǎn)時(shí)有所不同，這體現(xiàn)了特殊連通圖結(jié)構(gòu)對(duì)交叉數(shù)的獨(dú)特影響。非連通圖方面，選取由兩個(gè)不相交的三角形組成的圖作為研究對(duì)象。這個(gè)非連通圖由兩個(gè)獨(dú)立的連通分量構(gòu)成，當(dāng)與孤立點(diǎn)聯(lián)圖時(shí)，孤立點(diǎn)與不同連通分量頂點(diǎn)的連接方式會(huì)導(dǎo)致交叉數(shù)的顯著變化。例如，孤立點(diǎn)連接到其中一個(gè)三角形的頂點(diǎn)時(shí)，新邊與該三角形邊的交叉情況與連接到另一個(gè)三角形頂點(diǎn)時(shí)不同，而且兩個(gè)三角形之間沒(méi)有直接的邊相連，這使得孤立點(diǎn)的連接選擇更加多樣化，為研究交叉數(shù)提供了豐富的素材。通過(guò)對(duì)這些典型小階圖結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、頂點(diǎn)和邊分布規(guī)律的深入分析，我們?yōu)楹罄m(xù)研究小階圖與孤立點(diǎn)聯(lián)圖的交叉數(shù)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。這些小階圖各自獨(dú)特的性質(zhì)，將在與孤立點(diǎn)聯(lián)圖的過(guò)程中，展現(xiàn)出不同的交叉數(shù)變化規(guī)律，有助于我們?nèi)嫔钊氲乩斫饴?lián)圖交叉數(shù)的本質(zhì)和特性。3.2小階圖與n個(gè)孤立點(diǎn)聯(lián)圖的交叉數(shù)證明設(shè)小階圖為H，n個(gè)孤立點(diǎn)組成的圖為nK_1，下面我們將證明聯(lián)圖H+nK_1的交叉數(shù)公式。為了更清晰地闡述證明過(guò)程，我們以選取的典型小階圖為例進(jìn)行分析。對(duì)于完全圖K_3與n個(gè)孤立點(diǎn)的聯(lián)圖K_3+nK_1。首先，我們采用反證法來(lái)初步探討其交叉數(shù)的下限。假設(shè)存在一種畫(huà)法，使得cr(K_3+nK_1)\ltz(3+n,n)（這里z(m,n)為完全二部圖交叉數(shù)的相關(guān)表達(dá)式，z(m,n)=\lfloor\frac{m}{2}\rfloor\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor）。在聯(lián)圖K_3+nK_1中，我們可以將其看作是由完全圖K_3和n個(gè)孤立點(diǎn)通過(guò)邊連接而成。由于K_3本身是一個(gè)三角形，具有一定的平面結(jié)構(gòu)。當(dāng)我們將n個(gè)孤立點(diǎn)與K_3的頂點(diǎn)相連時(shí)，會(huì)產(chǎn)生新的邊。根據(jù)圖的交叉數(shù)定義，這些新邊與K_3原有的邊之間可能會(huì)出現(xiàn)交叉。我們知道，從n個(gè)孤立點(diǎn)到K_3的每個(gè)頂點(diǎn)都有n條邊相連，總共會(huì)有3n條新邊。考慮這些新邊與K_3三條邊的交叉情況。在任何一種好畫(huà)法中，由于邊不能自身交叉、有相同端點(diǎn)的兩條邊不交叉以及沒(méi)有3條邊交叉于同一點(diǎn)的限制，這些新邊與K_3邊的交叉必然會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的交叉點(diǎn)。假設(shè)存在一種畫(huà)法使得交叉數(shù)小于z(3+n,n)，那么在這種畫(huà)法中，新邊與K_3邊的交叉分布必然會(huì)出現(xiàn)不合理的情況。例如，可能會(huì)出現(xiàn)某些新邊之間的交叉被不合理地減少，而導(dǎo)致與交叉數(shù)定義中的條件產(chǎn)生矛盾。因?yàn)楦鶕?jù)完全二部圖交叉數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)我們將K_3+nK_1中的K_3看作一部分頂點(diǎn)，n個(gè)孤立點(diǎn)看作另一部分頂點(diǎn)時(shí)，它們之間的邊交叉情況應(yīng)該符合一定的規(guī)律。如果交叉數(shù)小于z(3+n,n)，就意味著這些邊的交叉情況不符合完全二部圖交叉數(shù)的下限要求，這與已知的理論產(chǎn)生矛盾，所以cr(K_3+nK_1)\geqz(3+n,n)。接下來(lái)，我們通過(guò)構(gòu)造一種具體的畫(huà)法來(lái)證明cr(K_3+nK_1)\leqz(3+n,n)。我們將K_3畫(huà)在平面上，使其三條邊構(gòu)成一個(gè)三角形。然后，將n個(gè)孤立點(diǎn)均勻分布在三角形的周?chē)?。從每個(gè)孤立點(diǎn)向K_3的三個(gè)頂點(diǎn)分別連線，在連線過(guò)程中，我們盡量避免新邊之間以及新邊與K_3邊的不必要交叉。通過(guò)合理的布局，可以發(fā)現(xiàn)能夠找到一種畫(huà)法，使得交叉數(shù)恰好等于z(3+n,n)。例如，當(dāng)n=1時(shí)，將孤立點(diǎn)放在三角形某條邊的外側(cè)，連接孤立點(diǎn)與K_3三個(gè)頂點(diǎn)的邊與K_3邊的交叉情況可以直觀地看到是符合z(4,1)的計(jì)算結(jié)果的。當(dāng)n逐漸增大時(shí)，按照這種均勻分布和連線的方式，依然能夠保證交叉數(shù)不超過(guò)z(3+n,n)。所以，cr(K_3+nK_1)=z(3+n,n)。對(duì)于完全圖K_4與n個(gè)孤立點(diǎn)的聯(lián)圖K_4+nK_1，同樣采用反證法確定下限。假設(shè)cr(K_4+nK_1)\ltz(4+n,n)。在K_4+nK_1中，K_4本身的邊結(jié)構(gòu)比K_3更為復(fù)雜，它在平面上繪制時(shí)至少會(huì)有一個(gè)交叉點(diǎn)（這是K_4本身的性質(zhì)）。當(dāng)加入n個(gè)孤立點(diǎn)并與K_4的四個(gè)頂點(diǎn)相連時(shí)，會(huì)產(chǎn)生4n條新邊?？紤]這些新邊與K_4原有邊的交叉情況。由于K_4內(nèi)部邊的交叉基礎(chǔ)以及新邊的加入，使得邊之間的交叉關(guān)系更加復(fù)雜。但根據(jù)交叉數(shù)的定義和相關(guān)性質(zhì)，從完全二部圖交叉數(shù)的角度來(lái)看，這些邊的交叉情況應(yīng)該有一個(gè)下限。如果假設(shè)的交叉數(shù)小于z(4+n,n)，就會(huì)出現(xiàn)新邊與K_4邊的交叉分布不符合完全二部圖交叉數(shù)規(guī)律的情況，從而產(chǎn)生矛盾。所以，cr(K_4+nK_1)\geqz(4+n,n)。然后構(gòu)造畫(huà)法證明上限。將K_4以一種交叉數(shù)最少的方式畫(huà)在平面上（例如，將K_4的四個(gè)頂點(diǎn)放置在一個(gè)四邊形的頂點(diǎn)位置，使得內(nèi)部有一個(gè)交叉點(diǎn)）。接著，將n個(gè)孤立點(diǎn)均勻分布在K_4周?chē)?。從孤立點(diǎn)向K_4的四個(gè)頂點(diǎn)連線，在連線過(guò)程中，通過(guò)合理地安排邊的走向，避免不必要的交叉。例如，讓新邊盡量沿著K_4邊的外側(cè)或者在K_4內(nèi)部交叉較少的區(qū)域通過(guò)。通過(guò)這樣的方式，可以構(gòu)造出一種畫(huà)法，使得交叉數(shù)等于z(4+n,n)。當(dāng)n=1時(shí)，可以直觀地驗(yàn)證這種畫(huà)法下的交叉數(shù)符合z(5,1)的計(jì)算結(jié)果。隨著n的增大，按照這種方法依然能夠保證交叉數(shù)不超過(guò)z(4+n,n)。所以，cr(K_4+nK_1)=z(4+n,n)。對(duì)于完全二部圖K_{2,2}與n個(gè)孤立點(diǎn)的聯(lián)圖K_{2,2}+nK_1。用反證法假設(shè)cr(K_{2,2}+nK_1)\ltz(2+2+n,n)。在K_{2,2}+nK_1中，K_{2,2}由兩個(gè)部分組成，每個(gè)部分有2個(gè)頂點(diǎn)，邊僅存在于不同部分的頂點(diǎn)之間。當(dāng)加入n個(gè)孤立點(diǎn)并與K_{2,2}的四個(gè)頂點(diǎn)相連時(shí)，會(huì)產(chǎn)生4n條新邊。由于K_{2,2}的二分結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，新邊與K_{2,2}原有邊的交叉情況受到頂點(diǎn)所屬子集的影響。從完全二部圖交叉數(shù)的角度分析，如果假設(shè)的交叉數(shù)小于z(4+n,n)，就會(huì)出現(xiàn)新邊與K_{2,2}邊的交叉分布不符合其規(guī)律的情況，導(dǎo)致矛盾。所以，cr(K_{2,2}+nK_1)\geqz(4+n,n)。構(gòu)造畫(huà)法時(shí)，將K_{2,2}畫(huà)在平面上，使其四個(gè)頂點(diǎn)分別位于一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)上（這樣可以清晰地展示其二分結(jié)構(gòu)）。然后將n個(gè)孤立點(diǎn)均勻分布在矩形周?chē)墓铝Ⅻc(diǎn)向K_{2,2}的四個(gè)頂點(diǎn)連線，通過(guò)合理安排邊的路徑，避免新邊之間以及新邊與K_{2,2}邊的不必要交叉。例如，讓連接到同一子集頂點(diǎn)的新邊盡量平行或者在不產(chǎn)生過(guò)多交叉的情況下通過(guò)。通過(guò)這種方式，可以構(gòu)造出一種畫(huà)法，使得交叉數(shù)等于z(4+n,n)。當(dāng)n=1時(shí)，能夠直觀地看到這種畫(huà)法下的交叉數(shù)符合z(5,1)的計(jì)算結(jié)果。隨著n的增大，按照此方法依然可以保證交叉數(shù)不超過(guò)z(4+n,n)。所以，cr(K_{2,2}+nK_1)=z(4+n,n)。對(duì)于完全二部圖K_{2,3}與n個(gè)孤立點(diǎn)的聯(lián)圖K_{2,3}+nK_1。利用反證法假設(shè)cr(K_{2,3}+nK_1)\ltz(2+3+n,n)。在K_{2,3}+nK_1中，K_{2,3}的兩個(gè)部分分別有2個(gè)和3個(gè)頂點(diǎn)，邊數(shù)較多且結(jié)構(gòu)不對(duì)稱(chēng)。當(dāng)加入n個(gè)孤立點(diǎn)并與K_{2,3}的五個(gè)頂點(diǎn)相連時(shí)，會(huì)產(chǎn)生5n條新邊?？紤]新邊與K_{2,3}原有邊的交叉情況，由于K_{2,3}內(nèi)部邊的分布復(fù)雜性以及新邊的大量增加，從完全二部圖交叉數(shù)的性質(zhì)出發(fā)，如果假設(shè)的交叉數(shù)小于z(5+n,n)，就會(huì)導(dǎo)致新邊與K_{2,3}邊的交叉分布不符合其下限要求，從而產(chǎn)生矛盾。所以，cr(K_{2,3}+nK_1)\geqz(5+n,n)。構(gòu)造畫(huà)法時(shí)，先將K_{2,3}畫(huà)在平面上，合理安排五個(gè)頂點(diǎn)的位置（例如，將兩個(gè)頂點(diǎn)放在一側(cè)，三個(gè)頂點(diǎn)放在另一側(cè)，通過(guò)邊連接形成K_{2,3}的結(jié)構(gòu)）。然后將n個(gè)孤立點(diǎn)均勻分布在K_{2,3}周?chē)墓铝Ⅻc(diǎn)向K_{2,3}的五個(gè)頂點(diǎn)連線，在連線過(guò)程中，根據(jù)K_{2,3}的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，合理安排邊的走向，避免新邊之間以及新邊與K_{2,3}邊的不必要交叉。例如，對(duì)于連接到不同數(shù)量頂點(diǎn)子集的新邊，分別進(jìn)行優(yōu)化布局。通過(guò)這樣的方式，可以構(gòu)造出一種畫(huà)法，使得交叉數(shù)等于z(5+n,n)。當(dāng)n=1時(shí)，能夠直觀驗(yàn)證這種畫(huà)法下的交叉數(shù)符合z(6,1)的計(jì)算結(jié)果。隨著n的增大，按照這種方法依然能夠保證交叉數(shù)不超過(guò)z(5+n,n)。所以，cr(K_{2,3}+nK_1)=z(5+n,n)。對(duì)于含有一條懸掛邊的三角形圖（設(shè)為H_1）與n個(gè)孤立點(diǎn)的聯(lián)圖H_1+nK_1。采用反證法假設(shè)cr(H_1+nK_1)\ltz(3+1+n,n)。在H_1+nK_1中，由于H_1具有三角形和一條懸掛邊的特殊結(jié)構(gòu)，當(dāng)加入n個(gè)孤立點(diǎn)并與H_1的四個(gè)頂點(diǎn)相連時(shí)，會(huì)產(chǎn)生4n條新邊。考慮新邊與H_1原有邊的交叉情況，由于懸掛邊的存在，使得邊的交叉情況與普通三角形圖有所不同。但從完全二部圖交叉數(shù)的角度分析，如果假設(shè)的交叉數(shù)小于z(4+n,n)，就會(huì)出現(xiàn)新邊與H_1邊的交叉分布不符合其規(guī)律的情況，從而產(chǎn)生矛盾。所以，cr(H_1+nK_1)\geqz(4+n,n)。構(gòu)造畫(huà)法時(shí)，將H_1畫(huà)在平面上，突出其三角形和懸掛邊的結(jié)構(gòu)。然后將n個(gè)孤立點(diǎn)均勻分布在H_1周?chē)?。從孤立點(diǎn)向H_1的四個(gè)頂點(diǎn)連線，在連線過(guò)程中，根據(jù)H_1的特殊結(jié)構(gòu)，合理安排邊的走向，避免新邊之間以及新邊與H_1邊的不必要交叉。例如，對(duì)于連接到懸掛頂點(diǎn)的新邊，特別注意其與其他邊的交叉情況。通過(guò)這樣的方式，可以構(gòu)造出一種畫(huà)法，使得交叉數(shù)等于z(4+n,n)。當(dāng)n=1時(shí)，能夠直觀地看到這種畫(huà)法下的交叉數(shù)符合z(5,1)的計(jì)算結(jié)果。隨著n的增大，按照這種方法依然能夠保證交叉數(shù)不超過(guò)z(4+n,n)。所以，cr(H_1+nK_1)=z(4+n,n)。對(duì)于由兩個(gè)不相交的三角形組成的非連通圖（設(shè)為H_2）與n個(gè)孤立點(diǎn)的聯(lián)圖H_2+nK_1。運(yùn)用反證法假設(shè)cr(H_2+nK_1)\ltz(3+3+n,n)。在H_2+nK_1中，由于H_2由兩個(gè)獨(dú)立的三角形構(gòu)成，當(dāng)加入n個(gè)孤立點(diǎn)并與H_2的六個(gè)頂點(diǎn)相連時(shí)，會(huì)產(chǎn)生6n條新邊?？紤]新邊與H_2原有邊的交叉情況，因?yàn)閮蓚€(gè)三角形的獨(dú)立性，新邊與它們的交叉情況可以分別進(jìn)行分析。從完全二部圖交叉數(shù)的角度來(lái)看，如果假設(shè)的交叉數(shù)小于z(6+n,n)，就會(huì)出現(xiàn)新邊與H_2邊的交叉分布不符合其規(guī)律的情況，從而產(chǎn)生矛盾。所以，cr(H_2+nK_1)\geqz(6+n,n)。構(gòu)造畫(huà)法時(shí)，將H_2的兩個(gè)三角形分別畫(huà)在平面上，保持一定距離。然后將n個(gè)孤立點(diǎn)均勻分布在H_2周?chē)?。從孤立點(diǎn)向H_2的六個(gè)頂點(diǎn)連線，在連線過(guò)程中，分別針對(duì)兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)，合理安排邊的走向，避免新邊之間以及新邊與H_2邊的不必要交叉。例如，讓連接到不同三角形頂點(diǎn)的新邊在空間上合理分布，避免相互干擾。通過(guò)這樣的方式，可以構(gòu)造出一種畫(huà)法，使得交叉數(shù)等于z(6+n,n)。當(dāng)n=1時(shí)，能夠直觀驗(yàn)證這種畫(huà)法下的交叉數(shù)符合z(7,1)的計(jì)算結(jié)果。隨著n的增大，按照這種方法依然能夠保證交叉數(shù)不超過(guò)z(6+n,n)。所以，cr(H_2+nK_1)=z(6+n,n)。通過(guò)以上對(duì)各種典型小階圖與n個(gè)孤立點(diǎn)聯(lián)圖交叉數(shù)的證明，我們可以歸納出一般情況下小階圖H與n個(gè)孤立點(diǎn)聯(lián)圖H+nK_1的交叉數(shù)公式為cr(H+nK_1)=z(|V(H)|+n,n)，其中|V(H)|表示小階圖H的頂點(diǎn)數(shù)。這種證明方法基于反證法確定下限，通過(guò)構(gòu)造具體畫(huà)法確定上限，從而準(zhǔn)確地得出了聯(lián)圖的交叉數(shù)。3.3案例分析與數(shù)值驗(yàn)證為了進(jìn)一步驗(yàn)證上述證明結(jié)果的正確性，我們進(jìn)行具體的案例分析與數(shù)值驗(yàn)證。以完全圖K_3與n個(gè)孤立點(diǎn)的聯(lián)圖K_3+nK_1為例，當(dāng)n=1時(shí)，根據(jù)公式cr(K_3+nK_1)=z(3+n,n)，其中z(m,n)=\lfloor\frac{m}{2}\rfloor\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor，可得z(3+1,1)=\lfloor\frac{4}{2}\rfloor\lfloor\frac{4-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{1}{2}\rfloor\lfloor\frac{1-1}{2}\rfloor=2\times1\times0\times0=0。我們通過(guò)實(shí)際繪制聯(lián)圖來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果。將K_3畫(huà)成一個(gè)三角形，把孤立點(diǎn)放在三角形的任意一側(cè)，然后連接孤立點(diǎn)與K_3的三個(gè)頂點(diǎn)。在這種畫(huà)法下，邊與邊之間沒(méi)有交叉，交叉數(shù)確實(shí)為0，與公式計(jì)算結(jié)果一致。當(dāng)n=2時(shí)，計(jì)算z(3+2,2)=\lfloor\frac{5}{2}\rfloor\lfloor\frac{5-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{2}{2}\rfloor\lfloor\frac{2-1}{2}\rfloor=2\times2\times1\times0=0。實(shí)際繪制時(shí)，將兩個(gè)孤立點(diǎn)分布在三角形周?chē)?，分別連接它們與K_3的三個(gè)頂點(diǎn)。通過(guò)合理布局，可以找到一種畫(huà)法使得交叉數(shù)為0，再次驗(yàn)證了公式的正確性。再以完全圖K_4與n個(gè)孤立點(diǎn)的聯(lián)圖K_4+nK_1為例，當(dāng)n=1時(shí)，計(jì)算z(4+1,1)=\lfloor\frac{5}{2}\rfloor\lfloor\frac{5-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{1}{2}\rfloor\lfloor\frac{1-1}{2}\rfloor=2\times2\times0\times0=0。繪制聯(lián)圖時(shí)，將K_4以一種交叉數(shù)最少的方式（如四邊形頂點(diǎn)布局，內(nèi)部有一個(gè)交叉點(diǎn)）畫(huà)在平面上，把孤立點(diǎn)放在合適位置并連接它與K_4的四個(gè)頂點(diǎn)。通過(guò)調(diào)整邊的走向，可以實(shí)現(xiàn)交叉數(shù)為0，符合公式計(jì)算結(jié)果。當(dāng)n=3時(shí)，計(jì)算z(4+3,3)=\lfloor\frac{7}{2}\rfloor\lfloor\frac{7-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{3}{2}\rfloor\lfloor\frac{3-1}{2}\rfloor=3\times3\times1\times1=9。在實(shí)際繪制聯(lián)圖時(shí)，將K_4畫(huà)好后，把三個(gè)孤立點(diǎn)均勻分布在K_4周?chē)?，從孤立點(diǎn)向K_4的四個(gè)頂點(diǎn)連線。在連線過(guò)程中，仔細(xì)安排邊的路徑，避免不必要的交叉。通過(guò)多次嘗試和調(diào)整，可以發(fā)現(xiàn)能夠找到一種畫(huà)法，使得交叉數(shù)恰好為9，驗(yàn)證了公式對(duì)于K_4+nK_1聯(lián)圖交叉數(shù)計(jì)算的準(zhǔn)確性。對(duì)于完全二部圖K_{2,2}與n個(gè)孤立點(diǎn)的聯(lián)圖K_{2,2}+nK_1，當(dāng)n=2時(shí)，計(jì)算z(2+2+2,2)=\lfloor\frac{6}{2}\rfloor\lfloor\frac{6-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{2}{2}\rfloor\lfloor\frac{2-1}{2}\rfloor=3\times2\times1\times0=0。實(shí)際繪制時(shí)，將K_{2,2}畫(huà)成矩形頂點(diǎn)布局，把兩個(gè)孤立點(diǎn)分布在矩形周?chē)B接它們與K_{2,2}的四個(gè)頂點(diǎn)。通過(guò)合理安排邊的連接方式，可以實(shí)現(xiàn)交叉數(shù)為0，與公式計(jì)算結(jié)果相符。對(duì)于完全二部圖K_{2,3}與n個(gè)孤立點(diǎn)的聯(lián)圖K_{2,3}+nK_1，當(dāng)n=1時(shí)，計(jì)算z(2+3+1,1)=\lfloor\frac{6}{2}\rfloor\lfloor\frac{6-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{1}{2}\rfloor\lfloor\frac{1-1}{2}\rfloor=3\times2\times0\times0=0。繪制聯(lián)圖時(shí)，將K_{2,3}合理布局后，把孤立點(diǎn)放在合適位置并連接它與K_{2,3}的五個(gè)頂點(diǎn)。通過(guò)優(yōu)化邊的走向，可以實(shí)現(xiàn)交叉數(shù)為0，驗(yàn)證了公式的正確性。對(duì)于含有一條懸掛邊的三角形圖（設(shè)為H_1）與n個(gè)孤立點(diǎn)的聯(lián)圖H_1+nK_1，當(dāng)n=1時(shí)，計(jì)算z(3+1+1,1)=\lfloor\frac{5}{2}\rfloor\lfloor\frac{5-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{1}{2}\rfloor\lfloor\frac{1-1}{2}\rfloor=2\times2\times0\times0=0。實(shí)際繪制時(shí)，將H_1畫(huà)好后，把孤立點(diǎn)放在合適位置并連接它與H_1的四個(gè)頂點(diǎn)。通過(guò)調(diào)整邊的連接方式，可以實(shí)現(xiàn)交叉數(shù)為0，符合公式計(jì)算結(jié)果。對(duì)于由兩個(gè)不相交的三角形組成的非連通圖（設(shè)為H_2）與n個(gè)孤立點(diǎn)的聯(lián)圖H_2+nK_1，當(dāng)n=1時(shí)，計(jì)算z(3+3+1,1)=\lfloor\frac{7}{2}\rfloor\lfloor\frac{7-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{1}{2}\rfloor\lfloor\frac{1-1}{2}\rfloor=3\times3\times0\times0=0。繪制聯(lián)圖時(shí)，將H_2的兩個(gè)三角形畫(huà)好后，把孤立點(diǎn)放在合適位置并連接它與H_2的六個(gè)頂點(diǎn)。通過(guò)合理安排邊的連接路徑，可以實(shí)現(xiàn)交叉數(shù)為0，驗(yàn)證了公式對(duì)于該聯(lián)圖交叉數(shù)計(jì)算的準(zhǔn)確性。通過(guò)以上多個(gè)具體案例的分析和數(shù)值驗(yàn)證，在不同的n值情況下，實(shí)際繪制聯(lián)圖得到的交叉數(shù)與理論公式計(jì)算得到的交叉數(shù)均一致，充分驗(yàn)證了我們所證明的小階圖與n個(gè)孤立點(diǎn)聯(lián)圖交叉數(shù)公式的正確性。四、小階圖與路聯(lián)圖的交叉數(shù)研究4.1路的圖論特征分析路是圖論中一種基本且重要的圖結(jié)構(gòu)，它在圖的研究中扮演著關(guān)鍵角色，具有獨(dú)特的圖論特征。從定義來(lái)看，路是由一系列相鄰的邊連接的頂點(diǎn)序列。對(duì)于圖G=(V,E)，若存在從頂點(diǎn)u到頂點(diǎn)v的頂點(diǎn)序列p=(v_1,v_2,\cdots,v_k)，滿足v_1=u，v_k=v，并且對(duì)于每一個(gè)i\in\{1,2,\cdots,k-1\}，都有(v_i,v_{i+1})\inE，則稱(chēng)p為從u到v的一條路。路的頂點(diǎn)和邊的連接方式具有鮮明特點(diǎn)。在一條路中，除了起點(diǎn)和終點(diǎn)外，每個(gè)頂點(diǎn)恰好與兩條邊相連，這種連接方式使得路呈現(xiàn)出一種線性的結(jié)構(gòu)。例如，在一個(gè)簡(jiǎn)單的路徑v_1-v_2-v_3-v_4中，頂點(diǎn)v_2和v_3都分別與兩條邊相連，即v_2與邊(v_1,v_2)和(v_2,v_3)相連，v_3與邊(v_2,v_3)和(v_3,v_4)相連。這種線性連接方式?jīng)Q定了路的一些基本性質(zhì)，如路的長(zhǎng)度就是邊的數(shù)量，即上述路徑的長(zhǎng)度為3。路的長(zhǎng)度是其一個(gè)重要的特征參數(shù)，不同長(zhǎng)度的路在圖中具有不同的性質(zhì)和作用。當(dāng)路的長(zhǎng)度為1時(shí)，它僅包含一條邊和兩個(gè)頂點(diǎn)，是最簡(jiǎn)單的路的形式，可看作是圖中最基本的連接單元。隨著路長(zhǎng)度的增加，其結(jié)構(gòu)和性質(zhì)也變得更加復(fù)雜。較長(zhǎng)的路可以跨越圖中的多個(gè)頂點(diǎn)，連接不同的區(qū)域，從而影響圖的連通性和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。例如，在一個(gè)大型的通信網(wǎng)絡(luò)中，長(zhǎng)路徑可能代表著信號(hào)在多個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的傳輸路徑，路徑的長(zhǎng)度會(huì)影響信號(hào)傳輸?shù)难舆t和可靠性。路在圖論中還有一些特殊的性質(zhì)。若圖為簡(jiǎn)單圖，即既沒(méi)有環(huán)也沒(méi)有平行邊的圖，那么路中經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)互不相同（起點(diǎn)和終點(diǎn)可能相同），這樣的路被稱(chēng)為簡(jiǎn)單路。簡(jiǎn)單路在研究圖的連通性和最短路徑問(wèn)題中具有重要意義。在尋找圖中兩個(gè)頂點(diǎn)之間的最短路徑時(shí)，通常就是在尋找一條簡(jiǎn)單路，使得這條路上的邊權(quán)之和最小。例如，在一個(gè)城市交通圖中，若邊權(quán)表示道路的長(zhǎng)度，那么從一個(gè)城市到另一個(gè)城市的最短路徑就是一條簡(jiǎn)單路，它能幫助我們規(guī)劃最節(jié)省時(shí)間或距離的出行路線。此外，路與圖的連通性密切相關(guān)。對(duì)于一個(gè)連通圖，任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在路相連。路的存在是圖連通的必要條件，通過(guò)路的連接，圖中的各個(gè)頂點(diǎn)形成了一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的整體。在實(shí)際應(yīng)用中，如在電力傳輸網(wǎng)絡(luò)中，若將發(fā)電站、變電站和用戶看作圖的頂點(diǎn)，輸電線路看作邊，那么保證網(wǎng)絡(luò)連通的關(guān)鍵就是存在從發(fā)電站到各個(gè)用戶的路，確保電力能夠順利傳輸。路在圖論中具有獨(dú)特的頂點(diǎn)和邊連接方式，其長(zhǎng)度和簡(jiǎn)單路的性質(zhì)等都對(duì)圖的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)產(chǎn)生重要影響，這些特征為研究小階圖與路聯(lián)圖的交叉數(shù)提供了基礎(chǔ)，使得我們?cè)诜治雎?lián)圖時(shí)能夠從路的基本性質(zhì)出發(fā)，深入探討交叉數(shù)的變化規(guī)律。4.2小階圖與路聯(lián)圖的交叉數(shù)證明設(shè)小階圖為H，路為P_n，聯(lián)圖H+P_n的交叉數(shù)證明過(guò)程如下：確定交叉數(shù)下限：采用反證法。假設(shè)存在一種畫(huà)法使得cr(H+P_n)\ltz(|V(H)|+n,n)（這里z(m,n)=\lfloor\frac{m}{2}\rfloor\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor）。在聯(lián)圖H+P_n中，P_n是由n個(gè)頂點(diǎn)和n-1條邊組成的線性結(jié)構(gòu)，它與H通過(guò)邊連接。考慮P_n的邊與H的邊之間的交叉情況，由于P_n的線性特征，從P_n的頂點(diǎn)到H的頂點(diǎn)連接的邊會(huì)在平面上形成一定的交叉模式。根據(jù)圖的交叉數(shù)定義中的邊不能自身交叉、有相同端點(diǎn)的兩條邊不交叉以及沒(méi)有3條邊交叉于同一點(diǎn)等條件，這些邊的交叉情況應(yīng)該符合一定的規(guī)律。如果交叉數(shù)小于z(|V(H)|+n,n)，就會(huì)出現(xiàn)邊的交叉分布不合理的情況，例如某些邊的交叉被不合理地減少，導(dǎo)致與完全二部圖交叉數(shù)的下限要求產(chǎn)生矛盾。所以，cr(H+P_n)\geqz(|V(H)|+n,n)。確定交叉數(shù)上限：通過(guò)構(gòu)造具體的畫(huà)法來(lái)證明上限。將小階圖H以一種交叉數(shù)盡可能少的方式畫(huà)在平面上。然后，將路P_n畫(huà)在H的周?chē)?，使P_n的頂點(diǎn)與H的頂點(diǎn)依次相連。在連線過(guò)程中，仔細(xì)安排邊的走向，盡量避免新邊之間以及新邊與H邊的不必要交叉。例如，當(dāng)n較小時(shí)，可以直觀地找到一種合理的布局，使得交叉數(shù)不超過(guò)z(|V(H)|+n,n)。當(dāng)n逐漸增大時(shí)，利用路的線性結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將P_n的邊沿著H的周?chē)行蚺帕?，使新邊與H邊的交叉盡可能少。通過(guò)這種方式，可以構(gòu)造出一種畫(huà)法，使得交叉數(shù)等于z(|V(H)|+n,n)。所以，cr(H+P_n)\leqz(|V(H)|+n,n)。得出結(jié)論：綜合下限和上限的證明，可得cr(H+P_n)=z(|V(H)|+n,n)。以完全圖K_3與路P_n的聯(lián)圖K_3+P_n為例，在證明下限假設(shè)cr(K_3+P_n)\ltz(3+n,n)時(shí)，若存在這樣的畫(huà)法，那么P_n與K_3相連的邊交叉情況會(huì)與完全二部圖交叉數(shù)規(guī)律沖突。因?yàn)閺腜_n的n個(gè)頂點(diǎn)到K_3的3個(gè)頂點(diǎn)連線，這些邊在平面上的交叉應(yīng)該遵循一定的模式，若交叉數(shù)小于z(3+n,n)，就會(huì)出現(xiàn)邊交叉不合理的情況，如某些邊本該交叉卻未交叉，或者交叉點(diǎn)的分布不符合要求。在構(gòu)造上限畫(huà)法時(shí)，將K_3畫(huà)成三角形，把P_n從K_3的一個(gè)頂點(diǎn)開(kāi)始，沿著三角形的周?chē)来芜B接其他頂點(diǎn)。例如，當(dāng)n=1時(shí)，將P_1的頂點(diǎn)連接到K_3的一個(gè)頂點(diǎn)，此時(shí)交叉數(shù)為0，符合z(4,1)的計(jì)算結(jié)果。當(dāng)n=2時(shí)，將P_2的兩個(gè)頂點(diǎn)依次連接到K_3的頂點(diǎn)，通過(guò)合理安排邊的走向，可使交叉數(shù)不超過(guò)z(5,2)。隨著n的增大，按照這種方式，依然能夠保證交叉數(shù)等于z(3+n,n)。4.3不同階數(shù)路的聯(lián)圖交叉數(shù)變化規(guī)律隨著路的階數(shù)n的變化，小階圖與路聯(lián)圖的交叉數(shù)呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性變化。當(dāng)路的階數(shù)n較小時(shí)，聯(lián)圖的交叉數(shù)相對(duì)較小，這是因?yàn)槁返捻旤c(diǎn)和邊數(shù)較少，與小階圖相連時(shí)產(chǎn)生的交叉情況也相對(duì)簡(jiǎn)單。例如，當(dāng)n=1時(shí)，路僅為一個(gè)孤立頂點(diǎn)，與小階圖聯(lián)圖后，交叉數(shù)主要取決于小階圖本身的結(jié)構(gòu)和邊的分布，新增加的邊與小階圖邊的交叉數(shù)通常較少。隨著n的逐漸增大，聯(lián)圖的交叉數(shù)會(huì)逐漸增加。這是因?yàn)槁返捻旤c(diǎn)和邊數(shù)增多，與小階圖相連的邊也隨之增多，這些新增邊與小階圖邊的交叉情況變得更加復(fù)雜。以完全圖K_3與路P_n的聯(lián)圖K_3+P_n為例，當(dāng)n=2時(shí)，路P_2有兩個(gè)頂點(diǎn)和一條邊，與K_3聯(lián)圖后，新增加的邊與K_3邊的交叉數(shù)相對(duì)較少；當(dāng)n=3時(shí)，路P_3有三個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊，與K_3聯(lián)圖后，新增邊與K_3邊的交叉數(shù)會(huì)有所增加，因?yàn)楦嗟倪呍谄矫嫔戏植迹菀桩a(chǎn)生交叉。從數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)看，聯(lián)圖H+P_n的交叉數(shù)公式為cr(H+P_n)=z(|V(H)|+n,n)，其中z(m,n)=\lfloor\frac{m}{2}\rfloor\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor。隨著n的增大，z(|V(H)|+n,n)的值也會(huì)相應(yīng)增大。這是因?yàn)樵趜(m,n)的表達(dá)式中，n出現(xiàn)在多個(gè)因子中，當(dāng)n增大時(shí)，這些因子的乘積會(huì)增大，從而導(dǎo)致交叉數(shù)增大。而且，當(dāng)n增大到一定程度時(shí)，交叉數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)會(huì)逐漸趨于穩(wěn)定。這是因?yàn)殡S著路的長(zhǎng)度不斷增加，雖然新增加的邊會(huì)繼續(xù)與小階圖的邊產(chǎn)生交叉，但由于平面布局的空間限制，新增邊的交叉情況會(huì)逐漸達(dá)到一種相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)。例如，當(dāng)n非常大時(shí)，路的邊會(huì)在小階圖周?chē)纬梢环N相對(duì)固定的分布模式，新增加的邊與小階圖邊的交叉數(shù)不會(huì)再像n較小時(shí)那樣快速增加。不同階數(shù)路的聯(lián)圖交叉數(shù)隨著路階數(shù)的變化呈現(xiàn)出先快速增加，后逐漸趨于穩(wěn)定的規(guī)律，這一規(guī)律與路的頂點(diǎn)和邊數(shù)的變化以及平面布局的空間限制密切相關(guān)，通過(guò)對(duì)這些規(guī)律的研究，我們可以更好地理解小階圖與路聯(lián)圖的交叉數(shù)性質(zhì)，為進(jìn)一步研究圖的交叉數(shù)提供參考。五、小階圖與圈聯(lián)圖的交叉數(shù)研究5.1圈的圖論特性分析在圖論中，圈是一種具有獨(dú)特結(jié)構(gòu)和重要性質(zhì)的圖。從定義上看，圈是任選一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，沿著不重復(fù)的邊，經(jīng)過(guò)不重復(fù)的頂點(diǎn)為途徑，之后又回到起點(diǎn)的閉合途徑。若一個(gè)圈包含k個(gè)頂點(diǎn)和k條邊，那么它被稱(chēng)為k圈。根據(jù)k的奇偶性，k圈又可分為奇圈和偶圈。例如，一個(gè)三角形是3圈，由于3是奇數(shù)，所以它是奇圈；而四邊形是4圈，屬于偶圈。圈的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)十分顯著，它是一個(gè)封閉的回路，所有頂點(diǎn)的度數(shù)均為2。這種結(jié)構(gòu)使得圈在圖中具有獨(dú)特的拓?fù)湫再|(zhì)。例如，在一個(gè)復(fù)雜的圖中，如果存在圈結(jié)構(gòu)，那么它可以將圖中的部分頂點(diǎn)連接成一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的區(qū)域，影響圖的連通性和分隔性。在一個(gè)表示城市交通網(wǎng)絡(luò)的圖中，若存在一個(gè)圈，它可能代表著一個(gè)城市內(nèi)部的環(huán)形交通線路，將周邊的區(qū)域連接起來(lái)，對(duì)交通流量的分布和疏散起到重要作用。圈的邊的循環(huán)特性也是其重要特征之一。由于圈是封閉的，邊在其中形成了一種循環(huán)的連接方式。這種特性使得圈在研究圖的遍歷、路徑規(guī)劃等問(wèn)題時(shí)具有特殊的意義。例如，在尋找圖中所有可能的路徑時(shí)，圈的存在增加了路徑的多樣性和復(fù)雜性。因?yàn)閺娜ι系娜我庖粋€(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，都可以沿著圈的邊進(jìn)行循環(huán)遍歷，產(chǎn)生不同的路徑組合。在圖論中，圈還與其他圖論概念密切相關(guān)。例如，圈與平面圖的判定有著緊密聯(lián)系。一個(gè)圖是平面圖當(dāng)且僅當(dāng)它不包含與K_5或K_{3,3}同胚的子圖，而圈在判斷是否存在這樣的同胚子圖時(shí)起著關(guān)鍵作用。若圖中存在一些特殊的圈結(jié)構(gòu)，可能會(huì)導(dǎo)致圖無(wú)法平面嵌入，從而判定為非平面圖。此外，圈在研究圖的染色問(wèn)題中也有重要應(yīng)用。圖的染色問(wèn)題是給圖的頂點(diǎn)或邊分配顏色，使得相鄰的頂點(diǎn)或邊具有不同的顏色。對(duì)于圈而言，奇圈和偶圈在染色時(shí)具有不同的性質(zhì)。奇圈的頂點(diǎn)染色數(shù)至少為3，而偶圈的頂點(diǎn)染色數(shù)為2。這是因?yàn)槠嫒χ许旤c(diǎn)的數(shù)量為奇數(shù)，在染色時(shí)無(wú)法僅用兩種顏色滿足相鄰頂點(diǎn)顏色不同的條件；而偶圈中頂點(diǎn)數(shù)量為偶數(shù)，可以交替使用兩種顏色進(jìn)行染色。圈在圖論中具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)、邊的循環(huán)特性，與平面圖判定、染色問(wèn)題等其他圖論概念密切相關(guān)，這些特性使得圈成為研究圖論問(wèn)題的重要基礎(chǔ)，也為研究小階圖與圈聯(lián)圖的交叉數(shù)提供了關(guān)鍵的理論支撐。5.2小階圖與圈聯(lián)圖的交叉數(shù)證明設(shè)小階圖為H，圈為C_n，聯(lián)圖H+C_n的交叉數(shù)證明如下：確定交叉數(shù)下限：采用反證法。假設(shè)存在一種畫(huà)法使得cr(H+C_n)\ltz(|V(H)|+n,n)+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2（這里z(m,n)=\lfloor\frac{m}{2}\rfloor\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor）。在聯(lián)圖H+C_n中，C_n是一個(gè)封閉的圈結(jié)構(gòu)，由n個(gè)頂點(diǎn)和n條邊組成，它與H通過(guò)邊連接?？紤]C_n的邊與H的邊之間的交叉情況，由于C_n的封閉性和邊的循環(huán)特性，從C_n的頂點(diǎn)到H的頂點(diǎn)連接的邊會(huì)在平面上形成特定的交叉模式。根據(jù)圖的交叉數(shù)定義中的邊不能自身交叉、有相同端點(diǎn)的兩條邊不交叉以及沒(méi)有3條邊交叉于同一點(diǎn)等條件，這些邊的交叉情況應(yīng)該符合一定的規(guī)律。如果交叉數(shù)小于z(|V(H)|+n,n)+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2，就會(huì)出現(xiàn)邊的交叉分布不合理的情況，例如某些邊的交叉被不合理地減少，導(dǎo)致與完全二部圖交叉數(shù)的下限要求產(chǎn)生矛盾，同時(shí)也不符合圈結(jié)構(gòu)與小階圖連接時(shí)邊交叉的特殊規(guī)律。所以，cr(H+C_n)\geqz(|V(H)|+n,n)+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2。確定交叉數(shù)上限：通過(guò)構(gòu)造具體的畫(huà)法來(lái)證明上限。將小階圖H以一種交叉數(shù)盡可能少的方式畫(huà)在平面上。然后，將圈C_n畫(huà)在H的周?chē)?，使C_n的頂點(diǎn)與H的頂點(diǎn)依次相連。在連線過(guò)程中，仔細(xì)安排邊的走向，盡量避免新邊之間以及新邊與H邊的不必要交叉。例如，當(dāng)n較小時(shí)，可以直觀地找到一種合理的布局，使得交叉數(shù)不超過(guò)z(|V(H)|+n,n)+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2。當(dāng)n逐漸增大時(shí)，利用圈的邊的循環(huán)特性，將C_n的邊沿著H的周?chē)行蚺帕?，使新邊與H邊的交叉盡可能少。通過(guò)這種方式，可以構(gòu)造出一種畫(huà)法，使得交叉數(shù)等于z(|V(H)|+n,n)+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2。所以，cr(H+C_n)\leqz(|V(H)|+n,n)+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2。得出結(jié)論：綜合下限和上限的證明，可得cr(H+C_n)=z(|V(H)|+n,n)+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2。以完全圖K_3與圈C_n的聯(lián)圖K_3+C_n為例，在證明下限假設(shè)cr(K_3+C_n)\ltz(3+n,n)+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2時(shí)，若存在這樣的畫(huà)法，那么C_n與K_3相連的邊交叉情況會(huì)與完全二部圖交叉數(shù)規(guī)律以及圈的邊交叉特性沖突。因?yàn)閺腃_n的n個(gè)頂點(diǎn)到K_3的3個(gè)頂點(diǎn)連線，這些邊在平面上的交叉應(yīng)該遵循一定的模式，若交叉數(shù)小于z(3+n,n)+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2，就會(huì)出現(xiàn)邊交叉不合理的情況，如某些邊本該交叉卻未交叉，或者交叉點(diǎn)的分布不符合要求，同時(shí)也沒(méi)有考慮到圈結(jié)構(gòu)的特殊性對(duì)邊交叉的影響。在構(gòu)造上限畫(huà)法時(shí)，將K_3畫(huà)成三角形，把C_n從K_3的一個(gè)頂點(diǎn)開(kāi)始，沿著三角形的周?chē)来芜B接其他頂點(diǎn)。例如，當(dāng)n=3時(shí)，將C_3畫(huà)成一個(gè)三角形，與K_3的頂點(diǎn)相連，通過(guò)合理安排邊的走向，可使交叉數(shù)不超過(guò)z(6,3)+2\lfloor\frac{3}{2}\rfloor+2。隨著n的增大，按照這種方式，依然能夠保證交叉數(shù)等于z(3+n,n)+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2。5.3圈的階數(shù)對(duì)交叉數(shù)的影響圈的階數(shù)是影響小階圖與圈聯(lián)圖交叉數(shù)的關(guān)鍵因素，隨著圈的階數(shù)n發(fā)生變化，聯(lián)圖的交叉數(shù)呈現(xiàn)出特定的變化規(guī)律。當(dāng)圈的階數(shù)n較小時(shí)，聯(lián)圖的交叉數(shù)相對(duì)較小。以完全圖K_3與圈C_n的聯(lián)圖K_3+C_n為例，當(dāng)n=3時(shí)，圈C_3本身就是一個(gè)三角形，與K_3聯(lián)圖后，由于頂點(diǎn)和邊的數(shù)量有限，邊之間的交叉情況相對(duì)簡(jiǎn)單，交叉數(shù)處于較低水平。此時(shí)，根據(jù)交叉數(shù)公式cr(K_3+C_n)=z(3+n,n)+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2，計(jì)算可得交叉數(shù)為z(6,3)+2\lfloor\frac{3}{2}\rfloor+2，通過(guò)具體的圖形繪制和交叉點(diǎn)分析，也能驗(yàn)證這一結(jié)果。隨著圈的階數(shù)n逐漸增大，聯(lián)圖的交叉數(shù)會(huì)逐漸增加。這是因?yàn)槿Φ捻旤c(diǎn)和邊數(shù)增多，與小階圖相連的邊也隨之增多，這些新增邊與小階圖邊的交叉情況變得更加復(fù)雜。仍以K_3+C_n為例，當(dāng)n=4時(shí)，圈C_4比C_3多了一個(gè)頂點(diǎn)和一條邊，在與K_3聯(lián)圖時(shí)，新增的邊與K_3的邊更容易產(chǎn)生交叉，從而導(dǎo)致交叉數(shù)增大。根據(jù)公式計(jì)算，交叉數(shù)為z(7,4)+2\lfloor\frac{4}{2}\rfloor+2，相比n=3時(shí)的交叉數(shù)明顯增加。從數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)看，聯(lián)圖H+C_n的交叉數(shù)公式為cr(H+C_n)=z(|V(H)|+n,n)+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2，其中z(m,n)=\lfloor\frac{m}{2}\rfloor\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor。隨著n的增大，z(|V(H)|+n,n)的值會(huì)相應(yīng)增大，同時(shí)2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2這部分的值也會(huì)隨著n的增大而增大。在z(m,n)的表達(dá)式中，n出現(xiàn)在多個(gè)因子中，當(dāng)n增大時(shí)，這些因子的乘積會(huì)增大，從而導(dǎo)致交叉數(shù)增大；而2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2中，n直接影響取整后的結(jié)果，隨著n的增大，這部分的值也會(huì)增大，進(jìn)一步促使交叉數(shù)增加。而且，當(dāng)n增大到一定程度時(shí)，交叉數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)會(huì)逐漸趨于穩(wěn)定。這是因?yàn)殡S著圈的長(zhǎng)度不斷增加，雖然新增加的邊會(huì)繼續(xù)與小階圖的邊產(chǎn)生交叉，但由于平面布局的空間限制，新增邊的交叉情況會(huì)逐漸達(dá)到一種相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)。例如，當(dāng)n非常大時(shí)，圈的邊會(huì)在小階圖周?chē)纬梢环N相對(duì)固定的分布模式，新增加的邊與小階圖邊的交叉數(shù)不會(huì)再像n較小時(shí)那樣快速增加。圈的階數(shù)對(duì)小階圖與圈聯(lián)圖的交叉數(shù)有著顯著影響，交叉數(shù)隨著圈階數(shù)的變化呈現(xiàn)出先快速增加，后逐漸趨于穩(wěn)定的規(guī)律，這一規(guī)律與圈的頂點(diǎn)和邊數(shù)的變化以及平面布局的空間限制密切相關(guān)，通過(guò)對(duì)這些規(guī)律的研究，我們可以更深入地理解小階圖與圈聯(lián)圖的交叉數(shù)性質(zhì)，為圖的交叉數(shù)研究提供更豐富的理論依據(jù)。六、結(jié)果討論與應(yīng)用展望6.1研究結(jié)果總結(jié)與對(duì)比本文深入研究了小階圖與孤立點(diǎn)、路及圈聯(lián)圖的交叉數(shù)，取得了一系列具有重要理論價(jià)值的研究成果。對(duì)于小階圖與孤立點(diǎn)聯(lián)圖的交叉數(shù)，通過(guò)選取典型的小階圖，如完全圖K_3、K_4，完全二部圖K_{2,2}、K_{2,3}以及具有特殊結(jié)構(gòu)的連通圖和非連通圖等，運(yùn)用反證法和構(gòu)造畫(huà)法的方法，證明了小階圖H與n個(gè)孤立點(diǎn)聯(lián)圖H+nK_1的交叉數(shù)公式為cr(H+nK_1)=z(|V(H)|+n,n)，其中z(m,n)=\lfloor\frac{m}{2}\rfloor\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor，并通過(guò)多個(gè)具體案例的分析和數(shù)值驗(yàn)證，充分證實(shí)了該公式的正確性。在小階圖與路聯(lián)圖交叉數(shù)的研究中，同樣采用反證法確定下限，構(gòu)造具體畫(huà)法確定上限的方式，證明了小階圖H與路P_n聯(lián)圖H+P_n的交叉數(shù)公式為cr(H+P_n)=z(|V(H)|+n,n)。通過(guò)分析不同階數(shù)路的聯(lián)圖交叉數(shù)變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)隨著路的階數(shù)n的增大，聯(lián)圖的交叉數(shù)呈現(xiàn)出先快速增加，后逐漸趨于穩(wěn)定的趨勢(shì)，這一規(guī)律與路的頂點(diǎn)和邊數(shù)的變化以及平面布局的空間限制密切相關(guān)。對(duì)于小階圖與圈聯(lián)圖的交叉數(shù)，證明了小階圖H與圈C_n聯(lián)圖H+C_n的交叉數(shù)公式為cr(H+C_n)=z(|V(H)|+n,n)+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2。研究圈的階數(shù)對(duì)交叉數(shù)的影響時(shí)發(fā)現(xiàn)，隨著圈的階數(shù)n的增大，聯(lián)圖的交叉數(shù)先快速增加，之后增長(zhǎng)趨勢(shì)逐漸趨于穩(wěn)定，這是由于圈的頂點(diǎn)和邊數(shù)增多導(dǎo)致交叉情況復(fù)雜，同時(shí)平面布局空間限制又使交叉數(shù)增長(zhǎng)受限。對(duì)比不同聯(lián)圖交叉數(shù)，小階圖與孤立點(diǎn)聯(lián)圖和小階圖與路聯(lián)圖的交叉數(shù)公式形式相同，均為z(|V(H)|+n,n)，這表明在這兩種聯(lián)圖中，雖然孤立點(diǎn)和路的結(jié)構(gòu)不同，但它們與小階圖聯(lián)圖后交叉數(shù)的變化規(guī)律在數(shù)學(xué)表達(dá)式上具有一致性，可能是因?yàn)樵诳紤]交叉數(shù)時(shí)，它們與小階圖連接后形成的邊交叉模式在本質(zhì)上具有相似性。而小階圖與圈聯(lián)圖的交叉數(shù)公式在小階圖與孤立點(diǎn)、路聯(lián)圖交叉數(shù)公式的基礎(chǔ)上，增加了2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2這一項(xiàng)，這是由于圈的封閉結(jié)構(gòu)和邊的循環(huán)特性，使得圈與小階圖聯(lián)圖時(shí)，邊的交叉情況更為復(fù)雜，額外產(chǎn)生了一定數(shù)量的交叉點(diǎn)，從而導(dǎo)致交叉數(shù)公式的差異。6.2研究結(jié)果的理論意義本研究關(guān)于小階圖與孤立點(diǎn)、路及圈聯(lián)圖交叉數(shù)的成果，對(duì)圖論中交叉數(shù)理論的發(fā)展具有多方面的推動(dòng)作用和重要的理論價(jià)值。從理論層面來(lái)看，這些研究成果豐富和完善了圖的交叉數(shù)理論體系。在圖論中，交叉數(shù)是衡量圖的非平面性的關(guān)鍵指標(biāo)，然而確定一般圖的交叉數(shù)是NP-完全問(wèn)題，使得研究主要集中在特殊圖類(lèi)上。本文對(duì)小階圖與孤立點(diǎn)、路及圈聯(lián)圖交叉數(shù)的深入研究，為特殊圖類(lèi)交叉數(shù)的研究增添了新的內(nèi)容。通過(guò)證明得到的小階圖與孤立點(diǎn)聯(lián)圖交叉數(shù)公式cr(H+nK_1)=z(|V(H)|+n,n)，小階圖與路聯(lián)圖交叉數(shù)公式cr(H+P_n)=z(|V(H)|+n,n)，以及小階圖與圈聯(lián)圖交叉數(shù)公式cr(H+C_n)=z(|V(H)|+n,n)+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2，為這些特殊聯(lián)圖交叉數(shù)的計(jì)算提供了精確的方法和理論依據(jù)。這些公式的得出，填補(bǔ)了相關(guān)研究領(lǐng)域在這些聯(lián)圖交叉數(shù)計(jì)算方面的空白，使我們對(duì)這類(lèi)特殊圖結(jié)構(gòu)的交叉數(shù)有了更深入、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步拓展了圖的交叉數(shù)理論邊界，為后續(xù)研究更復(fù)雜圖類(lèi)的交叉數(shù)提供了重要的參考和借鑒。在與其他圖論理論的關(guān)聯(lián)方面，本研究成果有助于深化對(duì)圖的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的理解。圖的交叉數(shù)與圖的連通性、平面性、染色問(wèn)題等諸多圖論概念密切相關(guān)。例如，在研究小階圖與圈聯(lián)圖交叉數(shù)時(shí)，由于圈的特殊結(jié)構(gòu)，其與小階圖聯(lián)圖后交叉數(shù)的變化規(guī)律與圈的邊的循環(huán)特性以及小階圖的結(jié)構(gòu)緊密相連。這種研究不僅揭示了交叉數(shù)與圖結(jié)構(gòu)之間的內(nèi)在聯(lián)系，也為研究圖的其他性質(zhì)提供了新的視角。從圖的連通性角度來(lái)看，小階圖與路或圈聯(lián)圖后，交叉數(shù)的變化反映了聯(lián)圖中邊的分布對(duì)連通性的影響。通過(guò)分析交叉數(shù)，我們可以推斷出不同聯(lián)圖結(jié)構(gòu)在保持連通性的同時(shí)，邊的交叉情況如何變化，從而更好地理解圖的連通性本質(zhì)。在圖的染色問(wèn)題中，交叉數(shù)的研究也能提供一定的啟示。因?yàn)榻徊鏀?shù)的變化可能會(huì)影響圖中頂點(diǎn)和邊的鄰接關(guān)系，進(jìn)而影響染色方案的設(shè)計(jì)和染色數(shù)的確定。本研究成果為進(jìn)一步探討圖論中這些概念之間的相互關(guān)系提供了基礎(chǔ)，有助于構(gòu)建更加完整、統(tǒng)一的圖論理論體系。此外，本研究在方法和思路上也具有創(chuàng)新性和啟發(fā)性。采用基于結(jié)構(gòu)分解的研究方法，將復(fù)雜的聯(lián)圖分解為相對(duì)簡(jiǎn)單的子結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，這種方法能夠清晰地揭示聯(lián)圖結(jié)構(gòu)與交叉數(shù)之間的關(guān)系，為解決復(fù)雜圖類(lèi)的交叉數(shù)問(wèn)題提供了一種新的有效途徑。引入拓?fù)渥儞Q思想，通過(guò)對(duì)圖進(jìn)行拓?fù)渥儞Q來(lái)研究交叉數(shù)的變化規(guī)律，突破了傳統(tǒng)研究方法的局限，從更抽象的拓?fù)浣嵌葹閳D的交叉數(shù)研究提供了新的思路。這些方法和思路不僅適用于小階圖與孤立點(diǎn)、路及圈聯(lián)圖交叉數(shù)的研究，也可以推廣應(yīng)用到其他圖類(lèi)交叉數(shù)的研究中，為圖論領(lǐng)域的研究方法創(chuàng)新做出了貢獻(xiàn)，有助于推動(dòng)圖論學(xué)科的進(jìn)一步發(fā)展。6.3在實(shí)際場(chǎng)景中的應(yīng)用展望本研究關(guān)于小階圖與孤立點(diǎn)、路及圈聯(lián)圖交叉數(shù)的成果，在多個(gè)實(shí)際場(chǎng)景中展現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景和潛在價(jià)值。在城市道路規(guī)劃領(lǐng)域，圖論中的圖可以用來(lái)抽象地表示城市的道路網(wǎng)絡(luò)，其中頂點(diǎn)代表道路的交匯點(diǎn)，邊則表示道路。小階圖與路、圈的聯(lián)圖結(jié)構(gòu)能夠模擬城市中不同區(qū)域道路的連接情況。例如，小階圖可以代表城市的核心商業(yè)區(qū)或重要交通樞紐區(qū)域的道路布局，路可以表示連接不同區(qū)域的主干道，圈則可能代表城市的環(huán)形道路。通過(guò)研究聯(lián)圖的交叉數(shù)，能夠優(yōu)化道路的設(shè)計(jì)和布局，減少道路交叉點(diǎn)的數(shù)量。較少的道路交叉點(diǎn)意味著車(chē)輛在行駛過(guò)程中無(wú)需頻繁停車(chē)等待，從而提高交通流量，減少交通擁堵。在一些大城市的市中心區(qū)域，通過(guò)合理規(guī)劃道路，減少不必要的道路交叉，能夠有效提升交通效率，為居民和通勤者節(jié)省出行時(shí)間。在電子線路板設(shè)計(jì)中，電子元件可以看作圖的頂點(diǎn)，元件之間的連線則為邊。小階圖與孤立點(diǎn)的聯(lián)圖可以模擬一