高一數(shù)學學科素養(yǎng)測評一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確選項填涂在答題卡相應的位置上.1.已知，則（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】先求解一元二次不等式得出集合，再應用并集定義計算求解.【詳解】，；所以.故選：B.2.已知是第三象限角，那么是（）A.第二象限角 B.第四象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角【答案】D【解析】【分析】由已知有，，再求出的范圍，即可得.【詳解】由，，則，，為奇數(shù)時，在第四象限，為偶數(shù)時，在第二象限，所以在第二或第四象限.故選：D3.若函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點對稱，則實數(shù)a的值為（）A.2 B.1 C.0 D.–1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，計算解得參數(shù)的值.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱，所以，即，化簡得，解得，故選：B.4.，用表示中的最小者，記為；若，則的最大值為A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】畫出函數(shù)圖象，即可求解.【詳解】由，可得：，畫出函數(shù)的圖象，如下圖，由圖象可知當時，取得最大值2，故選：C5.設，則是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由題知，進而移項配方得，故，再根據(jù)充要條件判斷即可.【詳解】，所以，是的充要條件.故選：C6.若，則的最小值為（）A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】應用四元基本不等式求目標式的最小值，注意取值條件.【詳解】由，當且僅當，即時取等號，故的最小值為4.故選：D7.已知則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，利用對數(shù)公式整理成，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)法得到在上是單調(diào)遞減函數(shù)，由，得到，即，從而得到.【詳解】，，，設，則，設，，，，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，，，，，，，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，，，，.故選：A.8.已知函數(shù)，若恒成立，則的最小值為（）A.4 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】首先分析隱含的條件，同號或至少有一個為0，結(jié)合這兩個函數(shù)的圖象及零點分類討論即可得到，從而求解.【詳解】因為，所以的定義域為.恒成立，即對于定義域內(nèi)的任意，同號或至少有一個為0.函數(shù)均為增函數(shù)，且有唯一的零點，有唯一的零點.當時，當時，，，則，不符合題意；當時，若，，，則，不符合題意；當時，當時，同號或同時為0，恒成立，符合題意.綜上，.所以，當且僅當，即時，等號成立.故選：B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分，每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的定義域為，且是偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱，當時，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減 B.當時，C.直線是函數(shù)圖象一條對稱軸 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)是偶函數(shù)，可以判斷選項C；根據(jù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱，結(jié)合選項C可得到的一個周期，從而判斷選項D；當時，通過，與已知的解析式建立聯(lián)系，可判斷選項B；當時，通過，與B中的解析式建立聯(lián)系，可判斷選項A.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，即，亦即，所以直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故C正確.因為的圖象關(guān)于坐標原點對稱，所以是奇函數(shù)，所以，又，所以，所以，即的一個周期為4，所以，故D錯誤.當時，；當時，，又，的一個周期為4，所以，故B正確.當時，，所以，由復合函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，故A錯誤.故選：BC.10.若，且則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由已知等式兩端同乘化簡得到，再結(jié)合基本不等式逐項判斷即可.【詳解】由兩端同乘可得：，即，又，所以，對于A，由，令，得，解得，所以，當且僅當時取等號，A正確，對于B，，當且僅當時取等號，B正確，對于C，由，當且僅當時取等號，可得，當且僅當時取等號，C錯誤；對于D，，當且僅當時取等號，D正確，故選：ABD11.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的美稱.函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過x的最大整數(shù).如:，函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)B.不等式的解集為C.若，則或D.函數(shù)有2025個零點【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷A，結(jié)合高斯函數(shù)解不等式判斷B，換元解方程判斷C，利用零點的定義結(jié)合題干判斷D.【詳解】，又，不滿足偶函數(shù)的定義，不是偶函數(shù)，故A錯誤，令，原不等式化為，解得，又，，即不等式的解集為，故B正確，令，則，由于是整數(shù)，也是整數(shù)，設，則，，，，解不等式，解得；解不等式，解得，故的取值范圍為，，或，此時或，故C正確，，則，則，為整數(shù)，設，則，解不等式，解得；解不等式，解得，的解集為，的取值為，共個，即函數(shù)有2025個零點，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.已知且，則________【答案】或【解析】【分析】先利用立方和公式對分子進行因式分解，然后化簡等式，最后通過解方程求出的值.【詳解】因為，所以，所以，設，則可化為，即，解得或.因為，所以或.故答案為：或13.物體在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是θ?℃，空氣的溫度是θ?℃，tmin后物體的溫度θ℃滿足關(guān)系式：其中k是正常數(shù).現(xiàn)有90℃的物體放在10℃的空氣中冷卻，3min后物體的溫度為50℃，則此物體的溫度降為20℃還需________min.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)第一次溫度的變化過程，計算得到，再根據(jù)第二次的溫度變化，計算得到最終的結(jié)果.【詳解】由題意得：，當，時，，代入得：，解得：；設物體的溫度從90℃降為20℃，所需時間為，即此時，，，代入得：，，解得：min；所以，此物體的溫度降為20℃還需min.故答案為：.14.已知正實數(shù)滿足則的最小值為_______.【答案】【解析】【分析】利用雙變量同構(gòu)函數(shù)思想，構(gòu)造函數(shù)，從而把問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)單調(diào)性可得，最后利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】因為正實數(shù)，，所以兩邊同除以得：整理得：，構(gòu)造，由于則原不等式等價于，因為，所以，即是上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，則，取等號條件是，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（1）若函數(shù)的定義域為，求的取值范圍；（2）若函數(shù)求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用二次不等式恒成立來求參數(shù)范圍，再結(jié)合分類討論，可求解問題；(2)利用復合型二次函數(shù)求值域即可.【小問1詳解】由因為定義域為，所以滿足或，解得，故的取值范圍為；【小問2詳解】當根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：，又由，所以當時，有最大值，當時，有最小值，故函數(shù)的值域為.16.基本再生數(shù)與世代間隔T是流行病學衡量某疾病傳染性強弱的基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．一地區(qū)去年冬季突發(fā)某傳染性肺炎疫情，經(jīng)統(tǒng)計可用指數(shù)模型：描述疫情初始階段累計感染病例數(shù)隨時間t（單位：天）的變化規(guī)律，其中表示時累計感染病例數(shù)．指數(shù)增長率r與和T近似滿足，已知．（參考數(shù)值:）（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，請估計在疫情初始階段，累計病例數(shù)增加1倍需要的時間大約是多少天?（結(jié)果保留整數(shù)）（2）疫情之后，人們防護意識增強，日常醫(yī)用防護用品需求增大，某服裝廠決定進入該領域，現(xiàn)有A、B兩種醫(yī)用產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與市場預測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標表示投資金額，縱坐標表示利潤，單位均為萬元）．該廠擬投入萬元用于A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這萬元資金，才能使該廠利潤最大?最大利潤是多少?【答案】（1）2（2）對產(chǎn)品投資4萬元，對產(chǎn)品投資萬元時利潤最大；【解析】【分析】（1）利用已知函數(shù)模型結(jié)合已知條件，運用指數(shù)、對數(shù)運算法則計算求解；（2）先分析利潤、投資比例系數(shù)，列出利潤函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【小問1詳解】，，，累計病例數(shù)增加1倍，即，，即，，大約需要2天．【小問2詳解】設對產(chǎn)品投資萬元，則對產(chǎn)品投資萬元，總利潤為萬元，由圖①可知，產(chǎn)品的利潤與投資成正比，當投資為2萬元時，利潤為1萬元，比例系數(shù)為，故產(chǎn)品利潤為，由圖②可知，產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，當投資為4萬元時，利潤為4萬元，比例系數(shù)為，即產(chǎn)品的利潤為，總利潤函數(shù)為：，令，則，原函數(shù)轉(zhuǎn)化為：，函數(shù)圖象開口向下，最大值在頂點處，頂點橫坐標為，，即對產(chǎn)品投資4萬元，對產(chǎn)品投資萬元，最大利潤為萬元．17已知函數(shù)（1）若函數(shù)在單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）按照和討論求解，當時，求出的對稱軸為，由在單調(diào)遞增，得到，從而得到的取值范圍，（2）按照和討論求解，當時，按照和討論求解，當時，由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，得到，從而實數(shù)a的取值范圍.【小問1詳解】，當時，，滿足函數(shù)在單調(diào)遞增，則符合題意；當時，的對稱軸為，在單調(diào)遞增，，，，綜上可知，若函數(shù)在單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為；【小問2詳解】，當時，，，，故符合題意；當時，，當時，即，解得，此時的解為，，故符合題意；當時，即，解得，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則，解得或，當時，的解為或，符合題意；當時，的解為或，符合題意；綜上可知，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍為或.18.設函數(shù)滿足:①對任意實數(shù)x，y都有；②對任意，都有；③不恒為0，且當時，.（1）求，的值;（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并給出你的證明；（3）定義“若存在非零常數(shù)T，使得對函數(shù)定義域中的任意一個x，均有，則稱為以T為周期的周期函數(shù)”.試證明：函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，并求出的值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析，【解析】【分析】（1）利用賦值法，建立方程，求得根，根據(jù)題干中的條件，驗根，可得答案；（2）利用賦值法，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，可得答案；（3）利用賦值法，根據(jù)周期性的定義，利用方程思想，可得答案.【小問1詳解】由條件①，，則，化簡可得，解得或，當時，由條件①，令，則，解得，與條件③中不恒為零相矛盾，應舍去，故，由條件①，令，則，由條件②，令，則，代入上式可得，解得，當時，由條件①，令，則，化簡可得，解得，與條件③中當時，相矛盾，應舍去，故.小問2詳解】由條件①，，則，化簡可得，可得，所以函數(shù)為偶函數(shù).【小問3詳解】由條件①，令，則，由條件②，可得，即，因為，所以為函數(shù)的周期，由條件①，令，則，化簡可得，解得，由條件①，令，則，由上式，令，則，所以，可得，由條件①，令，則，化簡可得，分解因式可得，由，則解得，可得，由，則.19.函數(shù)的定義域為，若區(qū)間，函數(shù)在上的值域是，則稱為函數(shù)的“跟隨區(qū)間”，特別地，當時，稱是函數(shù)的“保值區(qū)間”.（1）求函數(shù)“跟隨區(qū)間”；（2）證明：函數(shù)不存在“保值區(qū)間”；（3）定義域為的函數(shù)滿足：①為奇函數(shù)；②當時，若函數(shù)在上存在“保值區(qū)間”，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）由得，進而根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增得，再結(jié)合即可求得答案；（2）假設函數(shù)存在“保值區(qū)間”，則必有或，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列方程，得到方程組無解即可證明；（3）先根據(jù)函數(shù)的對稱性得，，進而得及與時的圖象，再分，，三種情況討論求解即可.【小問1詳解】解：設函數(shù)的“跟隨區(qū)間”為，則的值域為因為，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即是一元二次方程的兩個實數(shù)根，解得或，又因為，所以，.所以函數(shù)的“跟隨區(qū)間”為.【小問2詳解】證明：函數(shù)的定義域為假設函數(shù)存在“保值區(qū)間”（），則必有或，因為在和上均為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，兩式作差得：，即因為，所以，即，將代入得，此方程無解，所以函數(shù)不存在“保值區(qū)間”.【小問3詳解】解：因為為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，即當時，，所以當時，，，所