—2026學(xué)年第一學(xué)期大一高等數(shù)學(xué)期末考試試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：100分一、選擇題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）函數(shù)f(x)=ln(2?x)x?1??的定義域?yàn)椋ǎ〢.[1,2)B.(1,2)C.[1,2]D.(1,2]極限x→0lim?2xsin3x?的值為（）A.32?B.23?C.1D.0設(shè)函數(shù)y=x3?3x2+1，則其單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.(?∞,0)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(?∞,0)∪(2,+∞)不定積分∫x21?dx的結(jié)果為（）A.?x1?+CB.x1?+CC.?ln∣x∣+CD.ln∣x∣+C定積分∫01?e2xdx的值為（）A.e2?1B.21?(e2?1)C.21?(e?1)D.e?1二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）已知x→1lim?x?1x2+ax+b?=2，則a=，b=。設(shè)y=lnsinx，則y′=______。曲線y=x2?2x+3在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為______。函數(shù)f(x)=x3?3x+1在區(qū)間[?2,2]上的最大值為______。反常積分∫1+∞?x21?dx=______。三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題8分，共48分）計(jì)算極限x→∞lim?(1+x2?)3x。設(shè)y=xx（x>0），求y′。計(jì)算不定積分∫xcosxdx。計(jì)算定積分∫0π?xsinxdx。求由曲線y=x2與y=x?所圍成的平面圖形的面積。求函數(shù)f(x)=x4?2x2+3的極值與凹凸區(qū)間。四、證明題（本大題共1小題，共12分）證明：當(dāng)x>0時(shí)，ln(1+x)<x。答案詳解一、選擇題（每小題4分，共20分）答案：B解析：要使函數(shù)有意義，需滿足????x?1≥02?x>0ln(2?x)=0?，即????x≥1x<22?x=1?，解得1<x<2。答案：B解析：x→0lim?2xsin3x?=x→0lim?3xsin3x??23?=23?。答案：B解析：y′=3x2?6x=3x(x?2)，令y′<0，解得0<x<2。答案：A解析：∫x21?dx=∫x?2dx=?1x?1?+C=?x1?+C。答案：B解析：∫01?e2xdx=21?e2x?01?=21?(e2?1)。二、填空題（每小題4分，共20分）答案：，解析：由題意知x=1是分子x2+ax+b的零點(diǎn)，故1+a+b=0；又由洛必達(dá)法則，x→1lim?12x+a?=2，得2+a=2，即a=0，代入得b=?1。答案：cotx解析：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，y′=sinx1??(sinx)′=sinxcosx?=cotx。答案：y=2解析：y′=2x?2，在點(diǎn)(1,2)處切線斜率k=y′?x=1?=0，故切線方程為y?2=0?(x?1)，即y=2。答案：3解析：f′(x)=3x2?3=3(x+1)(x?1)，令f′(x)=0得駐點(diǎn)x=±1；計(jì)算f(?2)=?1，f(?1)=3，f(1)=?1，f(2)=3，故最大值為3。答案：1解析：∫1+∞?x21?dx=b→+∞lim?∫1b?x?2dx=b→+∞lim?(?x1??1b?)=b→+∞lim?(1?b1?)=1。三、計(jì)算題（每小題8分，共48分）解：x→∞lim?(1+x2?)3x?=x→∞lim?[(1+x2?)2x?]6=e6?解：兩邊取自然對(duì)數(shù)，lny=xlnx兩邊對(duì)x求導(dǎo)，y1?y′=lnx+1故y′=y(lnx+1)=xx(lnx+1)解：用分部積分法，設(shè)，則，∫xcosxdx?=xsinx?∫sinxdx=xsinx+cosx+C?解：分部積分法，設(shè)，則，∫0π?xsinxdx?=?xcosx?0π?+∫0π?cosxdx=?(πcosπ?0)+sinx?0π?=π+0=π?解：先求交點(diǎn)，聯(lián)立{y=x2y=x??，解得x=0或x=1面積S=∫01?(x??x2)dxS?=(32?x23??31?x3)?01?=32??31?=31??解：（1）求極值：f′(x)=4x3?4x=4x(x2?1)=4x(x?1)(x+1)令f′(x)=0，得駐點(diǎn)x=?1,0,1當(dāng)x<?1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)?1<x<0時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0故f(x)在x=?1處取極小值f(?1)=2；在x=0處取極大值f(0)=3；在x=1處取極小值f(1)=2（2）求凹凸區(qū)間：f′′(x)=12x2?4=4(3x2?1)令f′′(x)=0，得x=±33??當(dāng)x<?33??或x>33??時(shí)，f′′(x)>0，曲線是凹的；當(dāng)?33??<x<33??時(shí)，f′′(x)<0，曲線是凸的凹區(qū)間為(?∞,?33??)∪(33??,+∞)，凸區(qū)間為(?33??,33??)四、證明題（共12分）證明：構(gòu)造函數(shù)f(t)=ln(1+t)?t，t>0求導(dǎo)得f′(t)=1+t1??1