2025年自考《數(shù)字信號(hào)處理》練習(xí)題練習(xí)題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.已知序列x[n]=δ[n-2]+3δ[n+1]，其離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）X(e^jω)的表達(dá)式為（）A.e^(-j2ω)+3e^(jω)B.e^(j2ω)+3e^(-jω)C.e^(-jω)+3e^(j2ω)D.e^(jω)+3e^(-j2ω)2.下列系統(tǒng)中，屬于線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)的是（）A.y[n]=x[n]x[n-1]B.y[n]=2x[n]+3x[n+2]C.y[n]=x[n]+nx[n-1]D.y[n]=cos(x[n])3.序列x[n]=(1/3)^nu[n]的Z變換X(z)及其收斂域?yàn)椋ǎ〢.1/(1-(1/3)z^(-1))，|z|>1/3B.1/(1-3z^(-1))，|z|>3C.1/(1-(1/3)z)，|z|<1/3D.1/(1-3z)，|z|<34.若x[n]的DFT為X[k]（長(zhǎng)度N），則x[n]循環(huán)移位m位后的DFT為（）A.X[k]e^(-j2πmk/N)B.X[k]e^(j2πmk/N)C.X[k]e^(-j2πmN/k)D.X[k]e^(j2πmN/k)5.某數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)=(1-0.5z^(-1))/(1-0.8z^(-1))，其頻率響應(yīng)H(e^jω)的幅度特性為（）A.低通B.高通C.帶通D.帶阻6.用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器時(shí)，模擬角頻率Ω與數(shù)字角頻率ω的映射關(guān)系為（）A.Ω=(2/T)tan(ω/2)B.Ω=(T/2)tan(ω/2)C.Ω=(2/T)cot(ω/2)D.Ω=(T/2)cot(ω/2)7.已知x[n]是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，其FFT的計(jì)算復(fù)雜度為（）A.O(NlogN)B.O(N^2)C.O(N)D.O(N^3)8.理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)h[n]是（）A.有限長(zhǎng)序列B.無限長(zhǎng)非因果序列C.無限長(zhǎng)因果序列D.有限長(zhǎng)非因果序列9.若采樣頻率為10kHz，為避免混疊，信號(hào)最高頻率應(yīng)不超過（）A.5kHzB.10kHzC.15kHzD.20kHz10.下列窗函數(shù)中，主瓣寬度最窄的是（）A.矩形窗B.漢寧窗C.海明窗D.布萊克曼窗二、填空題（每題2分，共20分）1.離散時(shí)間信號(hào)x[n]=cos(0.2πn+π/3)的周期為______。2.線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其單位脈沖響應(yīng)h[n]滿足______。3.序列x[n]=u[n]-u[n-5]的Z變換為______（表達(dá)式）。4.離散傅里葉變換（DFT）是對(duì)______的等間隔采樣。5.數(shù)字濾波器按單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度可分為______和______兩類。6.快速傅里葉變換（FFT）的基本思想是利用______和______減少計(jì)算量。7.若x[n]的DTFT為X(e^jω)，則x[n-2]的DTFT為______。8.用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，窗函數(shù)的主瓣寬度影響濾波器的______，旁瓣衰減影響濾波器的______。9.模擬信號(hào)經(jīng)采樣后，其頻譜會(huì)以______為周期進(jìn)行周期延拓。10.系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)______（填“穩(wěn)定”或“不穩(wěn)定”）。三、簡(jiǎn)答題（每題6分，共30分）1.簡(jiǎn)述離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）與離散傅里葉變換（DFT）的區(qū)別與聯(lián)系。2.說明線性時(shí)不變系統(tǒng)因果性的定義及判斷方法。3.簡(jiǎn)述雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的主要步驟。4.為什么FIR濾波器容易實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格線性相位？5.解釋采樣定理的內(nèi)容，并說明混疊失真產(chǎn)生的原因。四、計(jì)算題（共30分）1.（8分）已知序列x[n]=(1/2)^nu[n]+2^nu[-n-1]，求其Z變換X(z)并確定收斂域。2.（10分）某LTI系統(tǒng)的差分方程為y[n]-0.6y[n-1]=x[n]+0.5x[n-1]，（1）求系統(tǒng)函數(shù)H(z)；（2）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（3）求頻率響應(yīng)H(e^jω)的表達(dá)式，并定性畫出其幅度特性曲線。3.（12分）用矩形窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波器，要求通帶截止頻率ω_p=0.3π，阻帶截止頻率ω_s=0.5π，阻帶衰減不小于20dB。已知矩形窗的主瓣寬度為4π/N，旁瓣峰值衰減約為13dB。（1）確定濾波器的階數(shù)N；（2）寫出理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)h_d[n]；（3）寫出實(shí)際濾波器的單位脈沖響應(yīng)h[n]。答案一、單項(xiàng)選擇題1.A2.B3.A4.A5.A6.A7.A8.B9.A10.A二、填空題1.102.絕對(duì)可和（即Σ|h[n]|<∞）3.(1-z^(-5))/(1-z^(-1))（|z|>0）4.離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）5.無限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（IIR）、有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（FIR）6.旋轉(zhuǎn)因子的周期性、對(duì)稱性7.X(e^jω)e^(-j2ω)8.過渡帶寬度、阻帶衰減9.采樣頻率（或2π/T，T為采樣周期）10.穩(wěn)定三、簡(jiǎn)答題1.區(qū)別：DTFT是連續(xù)頻率ω的函數(shù)，適用于無限長(zhǎng)或有限長(zhǎng)序列，結(jié)果為連續(xù)譜；DFT是離散頻率k的函數(shù)，僅適用于有限長(zhǎng)序列，結(jié)果為離散譜（N點(diǎn)等間隔采樣）。聯(lián)系：DFT是DTFT在ω=2πk/N（k=0,1,…,N-1）處的等間隔采樣，有限長(zhǎng)序列的DFT可通過補(bǔ)零延長(zhǎng)后近似其DTFT。2.因果性定義：系統(tǒng)在n時(shí)刻的輸出僅取決于n時(shí)刻及之前的輸入，即n<0時(shí)，h[n]=0（單位脈沖響應(yīng)因果）。判斷方法：觀察系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[n]，若n<0時(shí)h[n]=0，則系統(tǒng)因果；或通過系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域判斷，若收斂域包含|z|>R（R為最大極點(diǎn)模值），則系統(tǒng)因果。3.主要步驟：（1）確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)（通帶/阻帶截止頻率、衰減等）；（2）將數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換為模擬頻率（利用雙線性變換Ω=(2/T)tan(ω/2)，通常取T=2簡(jiǎn)化為Ω=tan(ω/2)）；（3）設(shè)計(jì)滿足模擬指標(biāo)的模擬濾波器原型（如巴特沃斯、切比雪夫）；（4）用雙線性變換將模擬系統(tǒng)函數(shù)H_a(s)轉(zhuǎn)換為數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)H(z)（s=(1-z^(-1))/(1+z^(-1))）；（5）驗(yàn)證數(shù)字濾波器是否滿足指標(biāo)，若不滿足則調(diào)整參數(shù)重新設(shè)計(jì)。4.FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h[n]為有限長(zhǎng)序列，若滿足h[n]=h[N-1-n]（偶對(duì)稱）或h[n]=-h[N-1-n]（奇對(duì)稱），則其頻率響應(yīng)的相位為線性函數(shù)（θ(ω)=-ω(N-1)/2或θ(ω)=-ω(N-1)/2+π/2），因此容易實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格線性相位；而IIR濾波器的極點(diǎn)可能破壞相位線性，需額外相位校正。5.采樣定理：對(duì)最高頻率為f_m的模擬信號(hào)，當(dāng)采樣頻率f_s≥2f_m（奈奎斯特頻率）時(shí)，可通過理想低通濾波器無失真恢復(fù)原信號(hào)?；殳B失真產(chǎn)生原因：采樣頻率f_s<2f_m時(shí)，信號(hào)頻譜的周期延拓部分重疊，導(dǎo)致高頻成分“混疊”到低頻，無法通過低通濾波器分離，造成失真。四、計(jì)算題1.解：x[n]=(1/2)^nu[n]+2^nu[-n-1]=x1[n]+x2[n]x1[n]=(1/2)^nu[n]的Z變換為X1(z)=1/(1-(1/2)z^(-1))，收斂域|z|>1/2；x2[n]=2^nu[-n-1]=-(2^n)u[n]在n<0時(shí)的值，其Z變換為X2(z)=-Σ_{n=-∞}^{-1}(2^n)z^(-n)=-Σ_{m=1}^∞(2^{-m})z^m=-(2^{-1}z)/(1-2^{-1}z)=-z/(2-z)=1/(1-2z^{-1})，收斂域|z|<2（因|2^{-1}z|<1即|z|<2）；因此X(z)=X1(z)+X2(z)=1/(1-(1/2)z^(-1))+1/(1-2z^(-1))，收斂域?yàn)閨z|>1/2與|z|<2的交集，即1/2<|z|<2。2.解：（1）對(duì)差分方程取Z變換，得Y(z)(1-0.6z^(-1))=X(z)(1+0.5z^(-1))，故H(z)=Y(z)/X(z)=(1+0.5z^(-1))/(1-0.6z^(-1))=(z+0.5)/(z-0.6)；（2）H(z)的極點(diǎn)為z=0.6，模值0.6<1（單位圓內(nèi)），故系統(tǒng)穩(wěn)定；（3）頻率響應(yīng)H(e^jω)=(1+0.5e^(-jω))/(1-0.6e^(-jω))，幅度特性|H(e^jω)|=|1+0.5e^(-jω)|/|1-0.6e^(-jω)|。分子幅度為√[(1+0.5cosω)^2+(0.5sinω)^2]=√(1+cosω+0.25)=√(1.25+cosω)；分母幅度為√[(1-0.6cosω)^2+(0.6sinω)^2]=√(1-1.2cosω+0.36)=√(1.36-1.2cosω)。當(dāng)ω=0時(shí)，|H(e^j0)|=(1+0.5)/(1-0.6)=1.5/0.4=3.75；當(dāng)ω=π時(shí)，|H(e^jπ)|=(1-0.5)/(1+0.6)=0.5/1.6≈0.3125，故幅度特性為低通。3.解：（1）矩形窗的主瓣寬度為4π/N，過渡帶寬度Δω=ω_s-ω_p=0.5π-0.3π=0.2π。主瓣寬度需小于等于過渡帶寬度，即4π/N≤0.2π，得N≥20。又阻帶衰減要求不小于20dB，矩形窗旁瓣衰減約13dB，不滿足（需≥20dB），但題目限定用矩形窗，可能假設(shè)指標(biāo)放寬或取N=20（實(shí)際應(yīng)選其他窗，但按題設(shè)條件）；（2）理想低通濾波器的頻率