第四章

數(shù)列

對數(shù)列的研究源于現(xiàn)實生產(chǎn)、生活的需要.人們常用這樣的一列數(shù)有序地表達一類事物，或者記錄一個過程.例如，一棵樹在某一時刻的高度是2m，如果在每年同一時刻都記錄下這棵樹的高度，并按先后順序排列起來，就得到一列數(shù).通過對記錄下來的這列數(shù)分析，可以研究樹的生長規(guī)律.本章我們將學習數(shù)列的概念和表示方法，并研究兩類特殊的數(shù)列----等差數(shù)列和等比數(shù)列，探索它們的取值規(guī)律，建立它們的通項公式、

前n項和公式，并應用它們解決一些問題.

我們將把數(shù)列看成一類特殊的函數(shù)，并用函數(shù)的思想方法研究數(shù)列.章前導讀數(shù)列特殊的數(shù)列概念表示方法等差數(shù)列等比數(shù)列數(shù)學歸納法基本原理簡單應用通項公式前n項和公式章前導讀第四章

數(shù)列4.1

數(shù)列的概念

在現(xiàn)實生活和數(shù)學學習中，我們經(jīng)常需要根據(jù)問題的意義，通過對一些數(shù)據(jù)按特定順序排列的方法來刻畫研究對象.例如：1.王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身高，將這些身高數(shù)據(jù)(單位:cm)依次排成一列數(shù):75,87,96,103,110,116,120,128,

138,145,153,158,160,162,163,165,168

①問題1：

它們之間能否交換位置？它們之間不能交換位置.所以，①是具有確定順序的一列數(shù).記王芳第i歲時的身高為hi，那么h2=？

h15=？hi中的

i

反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時的確定位置，新知探究2.在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版上，有一列依次表示一個月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數(shù):5,10,

20,40,80,96,

112,128,144,160,176,

192,

208,224,240②問題2：

si它們之間能否交換位置？具有確定的順序嗎？注：把滿月分成240份，則從初一到十五每天月亮的可見部分可用一個代表份數(shù)的數(shù)來表示.同樣它們之間也不能交換位置.所以，②也是具有確定順序的一列數(shù).記第i天月亮可見部分的數(shù)為si，那么哪一天的月亮可見部分的數(shù)為208？si中的i反映了月亮可見部分的數(shù)按日期從1到15的順序排列時的確定位置，新知探究

問題3：

你能仿照上面的敘述，說明③也是具有確定順序的一列數(shù)嗎？它們之間也不能交換位置，也是具有確定順序的一列數(shù).

新知探究①

75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，

158，160，162，163，165，168.②

5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，

208，224，240.一列數(shù)順序問題4：上述例子的共同特征是什么？

新知探究

把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.首項第2項第n項數(shù)列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…(n∈N*).簡記作{an}.

思考1：

{an}與an的意思一樣嗎？

{an}表示一個數(shù)列：a1，a2，a3，…，an，….；

an

表示數(shù)列{an}中的第n項.新知探究數(shù)列的概念…思考2：1，3，5，7是一個數(shù)列，7，5，3，1也是一個數(shù)列，這兩個數(shù)列是不是同一個數(shù)列？不是思考3：數(shù)列與集合有什么區(qū)別？集合：無序性、互異性、確定性，數(shù)列：有序性、可重復性、確定性.新知探究數(shù)列的概念數(shù)列與函數(shù)的關系由于數(shù)列{an}中的每一項an與它的序號n有下面的對應關系:序號項數(shù)列本質(zhì)上是特殊的函數(shù)①

數(shù)列是以序號為自變量,以對應的項為函數(shù)值的函數(shù),即

數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)an＝f(n)新知探究和函數(shù)一樣，數(shù)列也可以用圖像、表格、解析式表示75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.列表法圖像法解析法數(shù)列的圖象是由一些孤立的點構(gòu)成的.新知探究數(shù)列與函數(shù)的關系1、以項數(shù)來分類：（1）有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列（2）無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列數(shù)列的分類新知探究2、以各項的大小關系來分類：（1）遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列；

（2）遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列；

（3）常數(shù)列：各項都相等的數(shù)列；（4）擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，

有些項小于它的前一項的數(shù)列.對任意n∈N*，總有an+1>an(或an+1-an>0)對任意n∈N*，總有an+1<an

(或an+1-an<0)數(shù)列的分類新知探究

如果數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式，簡稱通項.

例如：

數(shù)列“1，4，9，16，…”的通項公式是______.數(shù)列的通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式．a(chǎn)n=n2

數(shù)列“2，4，6，8，…”的通項公式是______.an=2n新知探究數(shù)列的通項公式

如果數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式，簡稱通項.

注意：①通項公式的主要作用是“知序號可求項”

如：數(shù)列{n2}的第11項是_______

②一些數(shù)列的通項公式不是唯一的；如：數(shù)列-1，1，-1，1，…

③不是每一個數(shù)列都能寫出它的通項公式.如：1，24，8，3，19121新知探究數(shù)列的通項公式例1

根據(jù)下列數(shù)列的通項公式，寫出數(shù)列的前5項，并畫出它們的圖象．典例精研例1

根據(jù)下列數(shù)列的通項公式，寫出數(shù)列的前5項，并畫出它們的圖象．n12345an1361015追問：你能判斷（1）中數(shù)列的單調(diào)性嗎？遞增數(shù)列解：典例精研n12345an10-101解：例1

根據(jù)下列數(shù)列的通項公式，寫出數(shù)列的前5項，并畫出它們的圖象．典例精研求函數(shù)值例2

根據(jù)下列數(shù)列的前4項，寫出數(shù)列的一個通項公式：典例精研例2

根據(jù)下列數(shù)列的前4項，寫出數(shù)列的一個通項公式：解：(1)這個數(shù)列的前4項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負,所以它的一個通項公式是(2)這個數(shù)列的奇數(shù)項是2，偶數(shù)項是0,所以它的一個通項公式是典例精研變式

根據(jù)下列數(shù)列的前5項，寫出數(shù)列的一個通項公式:變式訓練常見數(shù)列通項公式：（1）正整數(shù)列：1，2，3,4,……（2）奇數(shù)列：1，3，5，7，……

或：3，5，7，……（3）偶數(shù)列：2，4，6，……（4）平方數(shù)列：1，4，9，16，……（5）符號數(shù)列：-1，1，-1，1，……

或：1，-1，1，-1，……總結(jié)提升

常見數(shù)列通項公式：總結(jié)提升例3

如果數(shù)列{an}的通項公式為an=n2+2n，那么120是不是這個數(shù)列的項？如果是，是第幾項？令n2+2n=120解這個關于n的方程，得

n=10或n=－12（舍）所以，120是這個數(shù)列的項，是第10項．解：典例精研

思考：通項公式的作用有哪些？1.

通項公式能夠很清楚的表示數(shù)列中序號和項的關系;2.

由通項公式可以求出數(shù)列中的每一項；3.

檢驗某數(shù)是否是該數(shù)列中的一項.總結(jié)提升例4

圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形．在圖中4個大三角形中，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，寫出這個數(shù)列的一個通項公式．典例精研例4

圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形．在圖中4個大三角形中，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，寫出這個數(shù)列的一個通項公式．解：13927

典例精研13927×3×3×3a1=1a2=3a1a3=3a2a4=3a3從第二項起，后一項是前一項的3倍3an-1，n≥21，n=1an=猜想像an=3an-1

(n≥2)這樣的式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.典例精研如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.

知道了首項和遞推公式，就能依次求出數(shù)列的每一項了.思考

通項公式與遞推公式有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？項與序號之間的關系:項與項之間的關系：

區(qū)

別1，3，9，27，…遞推公式通項公式聯(lián)系兩者都能確定一個數(shù)列.新知探究數(shù)列的遞推公式例5

已知數(shù)列{an}的首項為a1

=1，遞推公式為

寫出這個數(shù)列的前5項．典例精研例5

已知數(shù)列{an}的首項為a1

=1，遞推公式為

寫出這個數(shù)列的前5項．典例精研變式

已知數(shù)列{an}的首項為a1

=2，遞推公式為

寫出這個數(shù)列的前5項．追問

求a2025

．考慮周期性變式訓練

我們把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即如果數(shù)列{an}的前n項和

Sn

與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的前n項和公式．在對數(shù)列的研究中，求數(shù)列某些項的和是主要問題之一.Sn=a1+a2+...+an．新知探究數(shù)列的前n項和公式思考：數(shù)列的前n項和公式與通項公式有何聯(lián)系？=當n≥2時，當n=1時，★

Sn與an的關系式：新知探究思考：已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=n2+n，

你能求出{an}的通項公式嗎？當n=1時，a1=2×1=2，a1滿足上式.當n=1時，當n≥2時，綜上所述，{an}的通項公式是an

=2n

.解：分段求解檢驗結(jié)果能否統(tǒng)一形式由Sn求an新知探究練習

已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=2n2－n＋1，求an.當n=1時，4×1-3=1≠a1，a1不符上式.當n=1時，當n≥2時，綜上所述，{an}的通項公式是

.解：新知探究分段求解檢驗結(jié)果能