第03講基本不等式(精講+精練基礎(chǔ)）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：利用基本不等式求最值角度一：湊配法角度二：“1”的代入法角度三：二次與二次（一次）商式（換元法）角度四：條件等式求最值高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式求參數(shù)值或取值范圍高頻考點(diǎn)三：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題高頻考點(diǎn)四：基本不等式等號(hào)不成立，優(yōu)先對(duì)鉤函數(shù)第四部分：高考真題感悟第六部分：第03講基本不等式（精練基礎(chǔ)）第一部分：知第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）①如果，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．②其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．2、兩個(gè)重要的不等式①（）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．②（）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．3、利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，積有最大值；4、常用技巧利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)））、代（1的代入）、解（整體解）.①湊：湊項(xiàng)，例：；湊系數(shù)，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代入：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整體解：例：已知,是正數(shù)，且，求的最小值.解析：，即，解得.第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．（2022·浙江·金華市曙光學(xué)校高二階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最大值（

）A． B． C． D．【答案】B因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：B2．（2022·甘肅武威·高二期末（理））已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D因?yàn)?，，所以（?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），即的最小值為4.故選：D.3．（2022·陜西渭南·高二期末（文））已知，則的最小值是（

）A．3 B．8 C．12 D．20【答案】A因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：A4．（2022·廣東深圳·高一期末）已知，則的最大值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【詳解】時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）則，即的最大值為0.故選：C5．（2022·云南·高二期末）用一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，則該菜園面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A設(shè)矩形的長(zhǎng)為m，由題意，寬為，所以該菜園的面積為，則由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以該菜園面積的最大值為.故選：A第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：利用基本不等式求最值角度一：湊配法例題1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C解：，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，故選：．例題2．（2022·河南南陽(yáng)·高一期末）函數(shù)取最小值時(shí)的值為（

）A．6 B．2 C． D．【答案】B因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立.故選：B例題3．（2022·海南華僑中學(xué)高一期末）函數(shù)，的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值為.故選：D.題型歸類練1．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則的最小值是(

)A．5 B．4 C．8 D．6【答案】A∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值是5．故選：A．2．（2022·湖南·邵陽(yáng)市第二中學(xué)高二期中）函數(shù)的最小值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C解：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取“=”），所以最小值為1，故選：C.3．（2022·山西晉中·高一期末）已知，則函數(shù)的最小值為（

）．A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B由于，則，故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)，因此的最小值為6．故選：B角度二：“1”的代入法例題1．（2022·江西省銅鼓中學(xué)高一開學(xué)考試）已知，，，則的最小值為（

）A． B．12 C． D．6【答案】A【詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.例題2．（2022·河南·濮陽(yáng)一高高一階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．16 D．20【答案】C由已知條件得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：.例題3．（2022·貴州遵義·高二期末（文））已知，，且，則的最小值為______.【答案】4基本不等式即可求解.【詳解】∵，即，∴又∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為4.故答案為：題型歸類練1．（2022·山東日照·二模）已知第一象限的點(diǎn)在直線上，則的最小值是___________.【答案】##解：因?yàn)榈谝幌笙薜狞c(diǎn)在直線上，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故答案為：.2．（2022·廣東·化州市第三中學(xué)高二階段練習(xí)）若，，且，則的最小值為________．【答案】4由題設(shè)，知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：4.3．（2022·云南德宏·高一期末）若x，y∈(0,＋∞)，且x＋4y＝1，則的最小值為________.【答案】9∵x，y∈(0,＋∞)且x＋4y＝1∴當(dāng)且僅當(dāng)有時(shí)取等號(hào)∴的最小值為9故答案為：9角度三：二次與二次（一次）商式例題1．（2022·甘肅武威·高二期末（文））函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蔬x：C．例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【詳解】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即有最小值2.故選：D.例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】D【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng),即等號(hào)成立.故選：D.題型歸類練1．（2022·江西南昌·高一期末）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為___________．【答案】因?yàn)?，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.故答案為：.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：A3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值是________．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，函數(shù)的最小值為.故答案為：.角度四：條件等式求最值例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B因?yàn)椋?，且，所以，所以，所以，即?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值．故選：B.例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6【答案】B由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).故選：B.題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a、b滿足，則ab的最大值為____________【答案】因?yàn)檎龜?shù)a、b滿足，故可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取得最大值.故答案為：2．（2022·安徽·霍邱縣第一中學(xué)高一開學(xué)考試）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______．【答案】18由可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故答案為：3．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末（理））若，且，則的最小值是____________.【答案】由，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立，∴最小值為.故答案為：高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式求參數(shù)值或取值范圍例題1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B當(dāng)時(shí)，由可得，則，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故選：B.例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】C因?yàn)樗裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)楹愠闪?，所以，解得．故選：C.例題3．（2021·江西·高三階段練習(xí)（理））已知、，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D因?yàn)椤?，由已知可得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D．題型歸類練1．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）設(shè)，若關(guān)于的不等式對(duì)恒成立，則的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】C因?yàn)橛桑?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).則，可得，所以的最小值是9故選：C2．（2022·上海·二模）已知對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是_________.【答案】不存在由已知可得，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，故實(shí)數(shù)的最大值不存在.故答案為：不存在.3．（2022·山西晉中·二模（理））若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，只需滿足，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：4．（2021·四川·仁壽一中高一期中）對(duì)任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】對(duì)任意的，不等式恒成立等價(jià)于對(duì)任意的，不等式恒成立；而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故，所以的取值范圍是，故答案為：.高頻考點(diǎn)三：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題例題1．（2022·北京海淀·高一期末）已知某產(chǎn)品的總成本C（單位：元）與年產(chǎn)量Q（單位：件）之間的關(guān)系為.設(shè)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為Q時(shí)的平均成本為（單位：元/件），則的最小值是（

）A．30 B．60 C．900 D．180【答案】B解：某產(chǎn)品的總成本C（單位：元）與年產(chǎn)量Q（單位：件）之間的關(guān)系為當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.的最小值是.故選：B例題2．（2022·新疆吐魯番·高一期末）（1）用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長(zhǎng)度是多少？（2）用一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)，最短籬笆的長(zhǎng)度為；（2）當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)，最大面積是.設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長(zhǎng)分別為、，籬笆的長(zhǎng)度為.（1）由已知得，由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆的長(zhǎng)度為；（2）由已知得，則，矩形菜園的面積為.由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是.題型歸類練1．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高一開學(xué)考試）當(dāng)前新冠肺炎疫情防控形勢(shì)依然嚴(yán)峻，要求每個(gè)公民對(duì)疫情防控都不能放松．科學(xué)使用防護(hù)用品是減少公眾交叉感染、有效降低傳播風(fēng)險(xiǎn)、防止疫情擴(kuò)散蔓延、確保群眾身體健康的有效途徑．某疫情防護(hù)用品生產(chǎn)廠家年投入固定成本萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件，需另投入成本（萬(wàn)元）．當(dāng)年產(chǎn)量不足萬(wàn)件時(shí)，；當(dāng)年產(chǎn)量不小于萬(wàn)件時(shí)，．通過(guò)市場(chǎng)分析，若每萬(wàn)件售價(jià)為400萬(wàn)元時(shí)，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的防護(hù)用品能全部售完．(利潤(rùn)=銷售收入－總成本)(1)求出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的解析式；(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，該廠在這一防護(hù)用品生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？并求出利潤(rùn)的最大值．【答案】(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為90萬(wàn)件時(shí)，該廠在這一防護(hù)商品生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大為1050萬(wàn)元(1)當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，綜上：(2)當(dāng)且時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，取最大值（萬(wàn)元）當(dāng)且時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．∴當(dāng)時(shí)，取最大值（萬(wàn)元）∵，綜上所述，當(dāng)年產(chǎn)量為90萬(wàn)件時(shí)，該廠在這一防護(hù)商品生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大為1050萬(wàn)元.2．（2022·遼寧遼陽(yáng)·高一期末）某工廠分批生產(chǎn)某產(chǎn)品，生產(chǎn)每批產(chǎn)品的費(fèi)用包括前期的準(zhǔn)備費(fèi)用?生產(chǎn)過(guò)程中的成本費(fèi)用以及生產(chǎn)完成后產(chǎn)品的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用.已知生產(chǎn)每批產(chǎn)品前期的準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，成本費(fèi)用與產(chǎn)品數(shù)量成正比，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用與產(chǎn)品數(shù)量的平方成正比.記生產(chǎn)件產(chǎn)品的總費(fèi)用為y元.當(dāng)時(shí)，成本費(fèi)用為3000元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為450元.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)試問(wèn)當(dāng)每批產(chǎn)品生產(chǎn)多少件時(shí)平均費(fèi)用最少？平均費(fèi)用最少是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)每批產(chǎn)品生產(chǎn)80件時(shí)，平均費(fèi)用最少，且平均費(fèi)用最少為70元(1)設(shè)成本費(fèi)用為，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為元，則，，當(dāng)時(shí)，，，可得，，故.(2)平均費(fèi)用，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故當(dāng)每批產(chǎn)品生產(chǎn)80件時(shí)，平均費(fèi)用最少，且平均費(fèi)用最少為70元.高頻考點(diǎn)四：基本不等式等號(hào)不成立，優(yōu)先對(duì)鉤函數(shù)例題1．（全國(guó)市級(jí)聯(lián)考）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．（1）用函數(shù)單調(diào)性定義來(lái)證明上的單調(diào)性；（2）已知，，求函數(shù)的值域；【答案】（1）見解析；（2）；（3）.試題解析：（1）證明：設(shè)-=-=--，

故函數(shù)（2），

設(shè)則

則，．

由已知性質(zhì)得，當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減；所以減區(qū)間為；

當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；所以增區(qū)間為；

，得的值域?yàn)?/p>

例題2．方程在區(qū)間內(nèi)有解求的取值范圍；【答案】【解析】根據(jù)題意得時(shí)，無(wú)解;在內(nèi)有解，即:在上的取值范圍，設(shè)，當(dāng)時(shí)，在為單調(diào)遞減，在為單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，，故；題型歸類練1．已知函數(shù)，求時(shí)，求的最小值；【答案】【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上的最小值為；2．（浙江省金華市東陽(yáng)中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期10月階段考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).若函數(shù)，求的最值；【答案】（1）最小值為4，最大值為5；（1）當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以是單調(diào)遞減函數(shù)，是單調(diào)遞增函數(shù)，，，，的最小值為4，最大值為5.3．（【新東方】新東方高二數(shù)學(xué)試卷296）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù),若函數(shù)的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)b的值；【答案】（1）；（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)的值域不是，故不成立，則.∵函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).∴函數(shù)的值域?yàn)椤吆瘮?shù)的值域?yàn)椤?，?第四部分：高考真題感悟第四部分：高考真題感悟1．（2012·浙江·高考真題（文））若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是A． B． C．5 D．6【答案】C由已知可得，則，所以的最小值，應(yīng)選答案C．2．（2021·全國(guó)·高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】C對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．3．（2017·山東·高考真題（文））若直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】8解：因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，因?yàn)樗?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8故答案為：84．（2021·江蘇·高考真題）某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本萬(wàn)元與年產(chǎn)量噸之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最小為60噸，最大為110噸.（1）年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每噸產(chǎn)品的平均出廠價(jià)為24萬(wàn)元，且產(chǎn)品能全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)?并求最大利潤(rùn).【答案】（1）年產(chǎn)量為100噸時(shí)，平均成本最低為16萬(wàn)元；（2）年產(chǎn)量為110噸時(shí)，最大利潤(rùn)為860萬(wàn)元.（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取“=”，符合題意；∴年產(chǎn)量為100噸時(shí)，平均成本最低為16萬(wàn)元.（2）又，∴當(dāng)時(shí)，.答：年產(chǎn)量為110噸時(shí)，最大利潤(rùn)為860萬(wàn)元.第五部分：第五部分：第03講基本不等式（精練基礎(chǔ)）一、單選題1．（2022·甘肅武威·高二期末（文））函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蔬x：C．2．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足，且.則下列四個(gè)數(shù)中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】B由題知：，且，所以，，故排除D.因?yàn)?，故排除A.因?yàn)椋逝懦鼵.故選：B3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)a>0，則的最小值為（

）A． B．2C．4 D．5【答案】D，，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為5.故選：D.4．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小順序是（

）A．P＞Q＞M B．M＞P＞QC．Q＞M＞P D．M＞Q＞P【答案】B依題意，根據(jù)基本不等式可知，，，所以.所以，即.故選：B5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知，，若，則的最小值為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，即最小值為4.故選：A.6．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2【答案】D∵x>0，y>0且，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝4，y＝2時(shí)取等號(hào)，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得.故選：D7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則有（

）A．最小值2 B．最大值2 C．最小值 D．最大值【答案】D又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．∴．當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝0時(shí)等號(hào)成立．所以有最大值-2，無(wú)最小值.故選：D8．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知，且，若有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值為9，因?yàn)橛薪?，所以，即，解得或，故選：A二、填空題9．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則的最小值為____________．【答案】解：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：10．（2022·湖南·金海學(xué)校高一期中）若，則的最小值為_____.【答案】由題，，，當(dāng)即時(shí)，不等式等號(hào)成立.故答案為：11．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，有一張單欄的豎向張貼的海報(bào)，它的印刷面積為72dm2(圖中陰影部分)，上下空白各寬2dm，左右空白各寬1dm，則四周空白部分面積的最小值是________dm2.【答案】56設(shè)陰影部分的高為xdm，則寬為dm，四周空白部分的面積是ydm2.由題意，得當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝12dm時(shí)等號(hào)成立.故答案為：12．（2022·湖北黃岡·高一期中）蘄春縣內(nèi)有一路段A長(zhǎng)325米，在某時(shí)間內(nèi)的車流量y（千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度v（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為，交通部門利用大數(shù)據(jù)，采用“信號(hào)燈不再固定長(zhǎng)短，交通更加智能化”策略，紅燈設(shè)置時(shí)間T（秒）＝路段長(zhǎng)×，那么在車流量最大時(shí)，路段A的紅燈設(shè)置時(shí)間為___________秒.【答案】87.75##不妨設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.千米/小時(shí)米/秒此時(shí)紅燈設(shè)置時(shí)間為