【第25講：數(shù)列的綜合應(yīng)用】【新高考課程標(biāo)準(zhǔn)要求】1.理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用。2.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。3.會(huì)用數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系解決實(shí)際問題。此外，還涉及對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，要求學(xué)生具備邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)，能解決數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合的問題，如根據(jù)數(shù)列遞推式或通項(xiàng)公式確定基本量并求和，利用數(shù)列單調(diào)性或函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)列中的不等關(guān)系、恒成立問題，運(yùn)用放縮法證明數(shù)列不等式等?！局R(shí)梳理】模塊1：數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系（基礎(chǔ)核心）數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或其有限子集）的特殊函數(shù)，其性質(zhì)可通過函數(shù)視角分析：數(shù)列類型通項(xiàng)公式與函數(shù)關(guān)聯(lián)前n項(xiàng)和公式與函數(shù)關(guān)聯(lián)等差數(shù)列（時(shí)，為關(guān)于的一次函數(shù)，斜率=公差）（時(shí)，為關(guān)于的二次函數(shù)，圖象過原點(diǎn)）等比數(shù)列（時(shí)，與指數(shù)函數(shù)同構(gòu)，其中）無直接函數(shù)對(duì)應(yīng)，需結(jié)合等比數(shù)列求和公式分類討論（時(shí)為一次函數(shù)，時(shí)為指數(shù)型函數(shù)）模塊2：數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合（跨模塊重點(diǎn)）核心思路：將數(shù)列的“離散變量”轉(zhuǎn)化為函數(shù)的“連續(xù)變量”（且），通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，反推數(shù)列規(guī)律。1.用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列單調(diào)性 步驟： ①設(shè)數(shù)列通項(xiàng)，構(gòu)造對(duì)應(yīng)可導(dǎo)函數(shù)（）； ②求導(dǎo)得，判斷時(shí)的符號(hào)； ③若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減。 示例：判斷的單調(diào)性 構(gòu)造，求導(dǎo)得； 當(dāng)時(shí)，，故在時(shí)單調(diào)遞減。2.用導(dǎo)數(shù)求數(shù)列的最值 步驟： ①構(gòu)造函數(shù)對(duì)應(yīng)，求并找極值點(diǎn)； ②分析在附近的單調(diào)性，確定為極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)； ③因?yàn)檎麛?shù)，對(duì)比附近的整數(shù)對(duì)應(yīng)的，確定數(shù)列最值。 示例：求的最小值 構(gòu)造，求導(dǎo)得； 令，得極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，故在處取最小值； 數(shù)列最小值為。3.用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列不等式 步驟： ①若需證（或），設(shè)、，構(gòu)造函數(shù)； ②求，證明時(shí)（或）； ③令（），即可推出數(shù)列不等式成立。 示例：證明時(shí) 構(gòu)造（），求導(dǎo)得； 故在上單調(diào)遞增，； 令，得，不等式成立。模塊3：數(shù)列與不等式的放縮（解題技巧專項(xiàng)）放縮原則：目標(biāo)導(dǎo)向——放縮后需能通過“求和”“單調(diào)性”等方法簡(jiǎn)化問題，避免過度放縮。1.基本不等式放縮 適用場(chǎng)景：含平方、乘積的數(shù)列不等式。 核心工具：均值不等式、二次函數(shù)最值。 示例：證明 因，故： 。2.裂項(xiàng)放縮 適用場(chǎng)景：分式、根式型數(shù)列，需通過裂項(xiàng)相消求和。 常見形式： 數(shù)列項(xiàng)類型裂項(xiàng)公式放縮方向分式型（）放大（便于求和抵消）分式型等價(jià)裂項(xiàng)（無放縮）根式型（）放大（便于求和抵消） 示例：證明 當(dāng)時(shí)，，故： 。3.指數(shù)/對(duì)數(shù)放縮 適用場(chǎng)景：含指數(shù)、對(duì)數(shù)的數(shù)列不等式。 核心工具： 指數(shù)不等式：（，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）； 對(duì)數(shù)不等式：（，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）。 示例：證明（） 因時(shí)（當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立），令，則； 故，即。4.單調(diào)性放縮 適用場(chǎng)景：已知數(shù)列單調(diào)性，需簡(jiǎn)化不等式。 核心邏輯： 若單調(diào)遞增，則（）； 若單調(diào)遞減，則（）。 示例：已知（單調(diào)遞增），證明 因單調(diào)遞增，故（）； 則。模塊4：數(shù)列的求和方法（解題基礎(chǔ)工具）|求和方法|適用數(shù)列類型|核心步驟/公式||----------|--------------|----------------||公式法|等差數(shù)列、等比數(shù)列|等差數(shù)列：；<br>等比數(shù)列：||裂項(xiàng)相消法|分式型（如）、根式型（如）|①將數(shù)列項(xiàng)拆分為“兩項(xiàng)差”形式；<br>②求和時(shí)相鄰項(xiàng)抵消，剩余首尾項(xiàng)。||錯(cuò)位相減法|“等差數(shù)列×等比數(shù)列”型（如）|①寫出；<br>②兩邊乘等比數(shù)列公比，得；<br>③兩式相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。||分組求和法|可拆分為“等差+等比”“等差+常數(shù)”等多個(gè)可求和子數(shù)列|①將數(shù)列拆分為（、可求和）；<br>②分別求和，再相加。| 示例（分組求和）：求的前項(xiàng)和 。二、常見模型結(jié)論模型1：等差模型（均勻變化問題） 核心特征：后項(xiàng)-前項(xiàng)=固定常數(shù)（公差），即（，為常數(shù)）。 關(guān)鍵公式： 通項(xiàng)：； 前項(xiàng)和：。 應(yīng)用場(chǎng)景：每月固定加薪、設(shè)備勻速折舊、均勻增減的產(chǎn)量問題。 示例：某設(shè)備初始價(jià)值10萬元，每年折舊0.5萬元，第年價(jià)值為（構(gòu)成等差數(shù)列）。模型2：等比模型（比例變化問題） 核心特征：后項(xiàng)/前項(xiàng)=固定常數(shù)（公比），即（，）。 關(guān)鍵公式： 通項(xiàng)：； 前項(xiàng)和：。 應(yīng)用場(chǎng)景：復(fù)利計(jì)息、細(xì)胞分裂、增長(zhǎng)率/衰減率問題（如人口增長(zhǎng)、病毒傳播）。 示例：本金元，年利率，按復(fù)利計(jì)算，第年本息和為（構(gòu)成等比數(shù)列）。模型3：混合模型（等差+等比，復(fù)合變化問題） 核心特征：數(shù)列同時(shí)含“固定量增長(zhǎng)”（等差）和“固定比例增長(zhǎng)”（等比），遞推關(guān)系為（，為常數(shù)）。 通項(xiàng)求解：構(gòu)造等比數(shù)列轉(zhuǎn)化—— 設(shè)，解得； 則為等比數(shù)列，進(jìn)而求通項(xiàng)。 應(yīng)用場(chǎng)景：含固定獎(jiǎng)金的年薪增長(zhǎng)、含固定投入的資產(chǎn)增值。 示例：萬元（初始年薪），（年薪=上一年×1.1+固定獎(jiǎng)金2萬），構(gòu)造得，故。模型4：生長(zhǎng)模型（分期付款/資源動(dòng)態(tài)問題） 核心特征：每期量=上期量×(1+比例)+固定量，典型場(chǎng)景為分期付款。 關(guān)鍵公式（分期付款）： 設(shè)貸款總額，年利率，分期等額還款，每期還款，則： ，化簡(jiǎn)得： 。 應(yīng)用場(chǎng)景：房貸、車貸分期還款、樹木生長(zhǎng)與砍伐、資源消耗與補(bǔ)充。 示例：貸款100萬元，年利率4.9%，分30年（360期）等額本息還款，每期還款萬元。模型5：遞推模型（遞推關(guān)系求解問題）遞推類型遞推公式求解方法應(yīng)用場(chǎng)景一階線性遞推（）構(gòu)造等比數(shù)列（同混合模型），或通解公式：線性增長(zhǎng)的遞推問題（如產(chǎn)值增長(zhǎng)）斐波那契型遞推（）特征方程法，通項(xiàng)：遞推計(jì)數(shù)（如兔子繁殖、臺(tái)階走法）分式遞推（）取倒數(shù)或構(gòu)造等差數(shù)列（如，取倒數(shù)得）分式形式的遞推問題（如濃度混合）【課前自測(cè)】【真題重現(xiàn)】一、單選題1．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關(guān)系判斷中各項(xiàng)的大小，即可求解.【詳解】[方法一]:常規(guī)解法因?yàn)?，所以，，得到，同理，可得，又因?yàn)?，故，；以此類推，可得，，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，得，故C錯(cuò)誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設(shè)則故D正確.2．（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D3．（2005·遼寧·高考真題）一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，根據(jù)點(diǎn)與直線之間的位置關(guān)系，的圖象在上方．根據(jù)選項(xiàng)即可得到正確的答案．【詳解】一給定函數(shù)的圖象在下列四個(gè)選項(xiàng)中，并且對(duì)任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足．得，所以在上都成立，即，，所以函數(shù)圖象都在的上方．故A符合，其他均不符合.故選：A4．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立【答案】B【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.法2：構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得的正負(fù)情況，再利用數(shù)學(xué)歸納法判斷得各選項(xiàng)所在區(qū)間，從而判斷的單調(diào)性；對(duì)于A，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立；對(duì)于B，證明所在區(qū)間同時(shí)證得后續(xù)結(jié)論；對(duì)于C，記，取推得不恒成立；對(duì)于D，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立.【詳解】法1：因?yàn)椋剩瑢?duì)于A，若，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立，由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結(jié)合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對(duì)部分成立，故A不成立.對(duì)于B，若可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為減數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個(gè)數(shù)有限，矛盾，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為增數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個(gè)數(shù)有限矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.法2：因?yàn)?，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對(duì)于A，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，即，因?yàn)樵谏?，所以，則為遞減數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，所以，又當(dāng)時(shí)，，即，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，所以，綜上：，因?yàn)樵谏?，所以，所以為遞增數(shù)列，此時(shí)，取，滿足題意，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，則，注意到當(dāng)時(shí)，，，猜想當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與時(shí)，與滿足，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因?yàn)樵谏?，所以，則為遞減數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，因?yàn)樵谏?，所以，所以為遞增數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項(xiàng)給出與通項(xiàng)性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項(xiàng)所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.5．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知數(shù)列、、的通項(xiàng)公式分別為，、，.若對(duì)任意的，、、的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．1個(gè) D．無數(shù)個(gè)【答案】B【分析】由可知范圍，再由三角形三邊關(guān)系可得的不等關(guān)系，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)解不等式可得.【詳解】由題意，不妨設(shè)，三點(diǎn)均在第一象限內(nèi)，由可知，，故點(diǎn)恒在線段上，則有.即對(duì)任意的，恒成立，令，構(gòu)造函數(shù)，則，由單調(diào)遞增，又，存在，使，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故至多個(gè)零點(diǎn)，又由，可知存在個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，且.①若，即時(shí)，此時(shí)或.則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得；②若，即時(shí)，此時(shí).則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得或；綜上可知，正整數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè).故選：B.6．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過遞推關(guān)系式確定除去，其他項(xiàng)都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.

7．（2020·全國(guó)II卷·高考真題）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)新定義，逐一檢驗(yàn)即可【詳解】由知，序列的周期為m，由已知，，對(duì)于選項(xiàng)A，，不滿足；對(duì)于選項(xiàng)B，，不滿足；對(duì)于選項(xiàng)D，，不滿足；故選：C【點(diǎn)晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.二、多選題8．（2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，，而，則，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，，，所以，，因此，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.題型題型分類知識(shí)講解與?？碱}型【考點(diǎn)一：數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用】【例題】1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱ICME－7）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列，設(shè)，其前項(xiàng)和為，則（

）A．63 B．8 C．7 D．64【答案】C【分析】根據(jù)圖形得是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列求出，再利用裂項(xiàng)相消求和可得答案.【詳解】根據(jù)圖形，因?yàn)?，都是直角三角形，，是?為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，，且滿足上式，.由題意得，，.，.故選：C.【針對(duì)訓(xùn)練】2．（25-26高二上·全國(guó)·期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中有一道兩鼠穿墻問題，今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．問：幾何日相逢？各穿幾何？翻譯過來就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大、小鼠第一天都穿一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠減半，則幾天后兩鼠相遇？各自穿墻多少天？這個(gè)問題體現(xiàn)了古代對(duì)數(shù)列問題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為1200尺，則打穿需要（

）A．10天 B．11天 C．12天 D．13天【答案】B【分析】大鼠和小鼠每天穿墻尺寸都構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列求和公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可求得結(jié)果．【詳解】設(shè)大鼠和小鼠每天穿墻尺數(shù)分別構(gòu)成數(shù)列，，它們都是等比數(shù)列，其中，的公比為，的公比為，設(shè)經(jīng)過天，大鼠和小鼠穿墻尺數(shù)的和為，則（分組求和法的應(yīng)用），因?yàn)榕c在上均單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此需要11天才能打穿．故選：B3．（24-25高二下·河南南陽·階段練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了新的垛積公式.所討論的高階等差數(shù)列與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)或高次差數(shù)成等差數(shù)列.如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新的數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.已知一個(gè)二階等差數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1，5，12，22，35，則該數(shù)列的第45項(xiàng)為（

）A．3015 B．3025 C．3022 D．3122【答案】A【分析】先根據(jù)題意得遞推公式，再由遞推公式結(jié)合累加法和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)槎A等差數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1，5，12，22，35，所以，所以，則該數(shù)列的第45項(xiàng)為.故選：A.4．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)給出一個(gè)數(shù)列，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列．如果函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)1，2，數(shù)列為的牛頓數(shù)列．設(shè)，已知，的前項(xiàng)和為，則等于（

）A．2025 B．2026 C． D．【答案】D【分析】先由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)求得和的解析式，進(jìn)而求得數(shù)列的遞推公式，從而得到數(shù)列的前n項(xiàng)和，即可求得的值．【詳解】有兩個(gè)零點(diǎn)1，2，則，解之得，則，則，則，則，由，可得，即，又，則數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，前n項(xiàng)和，則.故選：D．【解題策略】數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用解題策略一、數(shù)列相關(guān)的數(shù)學(xué)文化案例梳理數(shù)學(xué)文化題常以“古今數(shù)學(xué)典籍”“經(jīng)典數(shù)學(xué)模型”“實(shí)際生活場(chǎng)景”為載體，核心仍是等差、等比、遞推等數(shù)列模型。以下為高頻關(guān)聯(lián)案例：文化/場(chǎng)景類型典型案例核心數(shù)列模型關(guān)鍵特征提煉中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍1.《張丘建算經(jīng)》“女子織布”：每日織布量比前一日少固定量（“第一日織5尺，第二日織4尺，第三日織3尺……”）2.《九章算術(shù)》“衰分問題”：按比例遞減分配（“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共出百錢，欲令高爵出少，以次漸多”）等差數(shù)列等比/等差混合找“固定增量/減量”（等差）、“固定比例”（等比），注意古代單位換算（如“尺”“錢”）經(jīng)典數(shù)學(xué)模型1.斐波那契數(shù)列（兔子繁殖）：一對(duì)兔子每月生一對(duì)，新生兔子下月開始繁殖（“第1月1對(duì)，第2月1對(duì)，第3月2對(duì)，第4月3對(duì)……”）2.畢達(dá)哥拉斯“三角形數(shù)”：1,3,6,10,...（第n項(xiàng)為）遞推數(shù)列（斐波那契型）等差數(shù)列求和斐波那契型遞推：；三角形數(shù)：前n個(gè)正整數(shù)和（等差求和）現(xiàn)代實(shí)際場(chǎng)景1.復(fù)利計(jì)息（銀行存款）：本金固定，年利率固定，每年本息和按比例增長(zhǎng)2.分期付款（房貸/車貸）：貸款總額固定，每期還款額相同，剩余本金按利率計(jì)息3.人口增長(zhǎng)/資源衰減：年增長(zhǎng)率固定，人口數(shù)量逐年按比例變化等比數(shù)列生長(zhǎng)模型（等差+等比）等比數(shù)列復(fù)利：（P為本金，r為年利率）；分期付款：需用等比數(shù)列求和推導(dǎo)還款公式二、通用解題策略（四步走）無論題干是“文化典籍”還是“實(shí)際應(yīng)用”，核心是剝離背景，抽象數(shù)列模型，再用數(shù)列公式求解，具體步驟如下：步驟1：審題——提取“數(shù)學(xué)關(guān)鍵信息”，排除文化/場(chǎng)景干擾 重點(diǎn)找3類信息： 1.項(xiàng)的定義：明確表示什么（如“第n日織布量”“第n年人口數(shù)”“第n期還款后剩余本金”）； 2.遞推關(guān)系/變化規(guī)律：判斷是“固定增量/減量”（等差，）、“固定比例”（等比，），還是“遞推式”（如）； 3.已知條件：確定首項(xiàng)（如“第一日織5尺”“本金10萬元”）、項(xiàng)數(shù)n（如“10年”“24期還款”）、目標(biāo)量（求或前n項(xiàng)和）。 示例（《張丘建算經(jīng)》女子織布）： 題干：“今有女子善織，日自減，五日織五尺。問日織幾何？” 提取信息：=第n日織布量（遞減，等差模型），，，尺，求。步驟2：建?！ヅ鋽?shù)列類型，確定核心公式根據(jù)步驟1提取的規(guī)律，對(duì)應(yīng)此前梳理的數(shù)列模型，確定用何種公式：模型類型核心公式（已知，求或）等差數(shù)列；等比數(shù)列斐波那契型遞推（需已知，逐項(xiàng)遞推或用特征方程求通項(xiàng)）分期付款（生長(zhǎng)模型）每期還款額（A為貸款總額，r為每期利率，n為期數(shù)） 示例（復(fù)利計(jì)息）： 本金P=10萬元，年利率r=3%，按復(fù)利計(jì)算，求5年后本息和（）。 建模：等比數(shù)列，，，。步驟3：求解——代入數(shù)據(jù)計(jì)算，注意單位與細(xì)節(jié) 計(jì)算時(shí)需注意： 1.單位統(tǒng)一：如年利率轉(zhuǎn)月利率（例：年利率4.9%，月利率為）、古代單位換算（如1尺=10寸，無需深入復(fù)雜換算，題干通常給出簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)）； 2.公式適用條件：等比數(shù)列求和需先判斷還是（如“每年存款1萬元，年利率0”，則為等差模型，）； 3.遞推數(shù)列簡(jiǎn)化：若遞推式復(fù)雜（如），先構(gòu)造等比數(shù)列（設(shè)，求k），再用等比公式求解。 示例（斐波那契兔子繁殖）： 求第10個(gè)月兔子對(duì)數(shù)。已知，，，逐項(xiàng)遞推： ，，，，，，，（第10個(gè)月55對(duì)）。步驟4：驗(yàn)證——結(jié)合實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果合理性數(shù)列實(shí)際應(yīng)用中，結(jié)果需符合“現(xiàn)實(shí)邏輯”，常見驗(yàn)證點(diǎn)：1.項(xiàng)數(shù)n：必須為正整數(shù)（如“第0.5期還款”無意義）；2.數(shù)值合理性：如人口數(shù)、錢數(shù)、物品數(shù)量需為非負(fù)數(shù)（若計(jì)算出“負(fù)數(shù)織布量”，則需檢查公差符號(hào)是否正確）；3.范圍匹配：如“分期付款總額”應(yīng)略大于貸款本金（含利息），若結(jié)果遠(yuǎn)小于本金，需檢查利率換算或公式是否用反。 示例（分期付款）： 貸款100萬元，年利率4.9%，分30年（360期）還款，計(jì)算每期還款額約0.53萬元（30年總還款約190.8萬元），符合“總還款>本金”的邏輯，結(jié)果合理。三、易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)1.文化題“背景干擾”：如古代典籍中的“衰分”“少廣”等術(shù)語，無需糾結(jié)字面意思，重點(diǎn)找“變化規(guī)律”（如“遞減”“按比例”）；2.實(shí)際應(yīng)用“單位換算”：年利率/月利率、年增長(zhǎng)率/季度增長(zhǎng)率需統(tǒng)一（例：“年利率6%，按月計(jì)息”，月利率為0.5%）；3.遞推模型“首項(xiàng)定義”：斐波那契數(shù)列中，若題干“第1月0對(duì)，第2月1對(duì)”，則遞推式仍為，但首項(xiàng)需重新對(duì)應(yīng)；4.結(jié)果“實(shí)際意義”：若求“最少需要n期還款”，n需取整數(shù)（如計(jì)算得n=23.4，需取24期）。【考點(diǎn)二：新定義數(shù)列問題】【例題】5．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)，均有，則稱數(shù)列為“天梯數(shù)列”．在數(shù)列中，，，若數(shù)列為“天梯數(shù)列”，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件可先推出為等比數(shù)列，由天梯數(shù)列的定義，等比數(shù)列的求和公式，列出關(guān)系式得出關(guān)于等比數(shù)列公比的不等式即可求解.【詳解】由整理可得，即，則數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，，由為“天梯數(shù)列”可知，則．由得，整理得，則．由題得，，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，值域?yàn)?，因此，解得，故的取值范圍，即的取值范圍為．故選：D【針對(duì)訓(xùn)練】6．（2025·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)，恒有成立，則稱數(shù)列為有界數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)中，滿足數(shù)列為有界數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)有界的概念，求出每個(gè)選項(xiàng)的前項(xiàng)和為，再判斷是否存在實(shí)數(shù)，使恒成立即可.【詳解】對(duì)于A，，此時(shí)為等差數(shù)列，則，無界，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，此時(shí)為等比數(shù)列，則，無界，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，所以恒成立，即有界，故C正確；對(duì)于D，，則，則，故當(dāng)時(shí)，明顯無界，故D錯(cuò)誤；故選：C.7．（2025·上海普陀·二模）設(shè)，，、，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，數(shù)列是由個(gè)大于的整數(shù)組成的有窮數(shù)列，若，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“數(shù)列”.對(duì)于數(shù)列有如下兩個(gè)命題：①若，則數(shù)列不是數(shù)列的“數(shù)列”；②若，則數(shù)列的“數(shù)列”至少有5個(gè).則下列結(jié)論中正確的是（

）A．①為真②為真 B．①為真②為假 C．①為假②為真 D．①為假②為假【答案】A【分析】先根據(jù)與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合“數(shù)列”的概念判斷①②的真假即可.【詳解】對(duì)數(shù)列：①②①－②得：，所以是以3為公比的等比數(shù)列，令，對(duì)①：若，.因?yàn)?，且為整?shù)，，其余.以為例，.若，則，這與矛盾.所以不能恒成立.故①為真.對(duì)②：以為例：設(shè)，令，則方程的解有，，，，5個(gè)滿足.即時(shí)，數(shù)列的“數(shù)列”有5個(gè).當(dāng)時(shí)，，令，則方程滿足的解的個(gè)數(shù)更多.即時(shí)，數(shù)列的“數(shù)列”多于5個(gè).……依次類推：當(dāng)數(shù)列至少5個(gè)，故②為真.故選：A二、多選題8．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若存在常數(shù)，對(duì)任意，恒有，則稱為數(shù)列.則下列說法正確的是（

）A．若為等差數(shù)列，則為數(shù)列B．若是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則為數(shù)列C．若為一數(shù)列，則也為數(shù)列D．若為一數(shù)列，則也為數(shù)列【答案】BD【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)列的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A，若為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，當(dāng)時(shí)，，所以不存在滿足題意的正數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，，則，因，則當(dāng)時(shí)，，故，故B正確；對(duì)于C，若，則數(shù)列是數(shù)列，此時(shí)，但不是常數(shù)，即數(shù)列不是數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若數(shù)列是數(shù)列，即存在常數(shù)，對(duì)任意有，即，則，則數(shù)列是數(shù)列，故D正確.故選：BD【解題策略】新定義數(shù)列問題解題策略新定義數(shù)列是高考高頻題型，核心是通過題干給出的“新規(guī)則、新性質(zhì)、新運(yùn)算”定義數(shù)列，考查對(duì)新信息的理解、轉(zhuǎn)化與數(shù)列知識(shí)的遷移應(yīng)用能力。解題關(guān)鍵在于精準(zhǔn)拆解定義，將新問題轉(zhuǎn)化為等差、等比、遞推等熟悉的數(shù)列模型，具體策略如下：一、新定義數(shù)列的核心類型梳理先明確常見的新定義方向，快速建立“定義—模型”的關(guān)聯(lián)意識(shí)：定義類型典型定義示例核心轉(zhuǎn)化方向運(yùn)算型定義1.“前n項(xiàng)積數(shù)列”：定義（）2.“差數(shù)列”：定義3.“取整數(shù)列”：定義（表示不大于的最大整數(shù)）1.利用“項(xiàng)與積的關(guān)系”（，，）2.轉(zhuǎn)化為“累加法求”（）3.結(jié)合的范圍確定（如，則）關(guān)聯(lián)型定義1.“與函數(shù)關(guān)聯(lián)的數(shù)列”：（如，即）2.“與集合關(guān)聯(lián)的數(shù)列”：數(shù)列的項(xiàng)是集合中從小到大排列的元素3.“雙數(shù)列定義”：已知，定義1.轉(zhuǎn)化為“遞推數(shù)列”（如上述線性遞推，構(gòu)造等比數(shù)列求解）2.利用集合元素的“互異性、有序性”確定（如，則）3.建立雙數(shù)列的遞推關(guān)系（如已知求，或已知反推）二、通用解題策略（四步走）步驟1：精讀定義——拆解“新規(guī)則”，明確核心要素新定義數(shù)列的“難點(diǎn)”在“定義”，需逐句拆解，提取3個(gè)核心要素：1.定義對(duì)象：明確新數(shù)列的構(gòu)成方式（如“由的差構(gòu)成”“由函數(shù)迭代生成”）；2.限制條件：注意定義中的“隱含要求”（如周期數(shù)列需“正整數(shù)”“對(duì)任意成立”，前項(xiàng)積數(shù)列需“”）；3.量化關(guān)系：將定義轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)表達(dá)式”（這是關(guān)鍵！），例如： 若定義“”（分式遞推），直接寫出遞推式； 若定義“為‘優(yōu)數(shù)列’，當(dāng)且僅當(dāng)”，轉(zhuǎn)化為不等式（即差數(shù)列單調(diào)遞增）。 示例：定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和都等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。 拆解量化關(guān)系：（為常數(shù)，），即（遞推式）。步驟2：初步驗(yàn)證——用“特殊項(xiàng)”找規(guī)律，預(yù)判模型新定義往往抽象，可通過計(jì)算前3-5項(xiàng)（特殊項(xiàng)），觀察規(guī)律，初步判斷數(shù)列類型（等差、等比、周期、遞推等），降低后續(xù)求解難度：1.計(jì)算特殊項(xiàng)：根據(jù)定義，代入首項(xiàng)（或已知條件），依次求；2.觀察規(guī)律：看是否滿足“差為常數(shù)”（等差）、“比為常數(shù)”（等比）、“周期重復(fù)”（周期數(shù)列）、“遞推式可簡(jiǎn)化”（如線性遞推）。 示例：定義數(shù)列，，（），求。 計(jì)算特殊項(xiàng)：，（無意義？需注意定義隱含條件——，修正），則，，，發(fā)現(xiàn)周期。步驟3：轉(zhuǎn)化模型——將新定義問題“翻譯”為熟悉問題根據(jù)步驟2的規(guī)律預(yù)判，將新定義問題轉(zhuǎn)化為已掌握的數(shù)列模型（等差、等比、遞推等），常用轉(zhuǎn)化方法：新定義類型轉(zhuǎn)化方法示例（續(xù)上）周期型定義確定最小正周期，則（），將目標(biāo)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為周期內(nèi)的項(xiàng)求解上例周期，，余數(shù)0，故運(yùn)算型定義（如前n項(xiàng)積）利用“項(xiàng)與運(yùn)算結(jié)果的關(guān)系”（如），轉(zhuǎn)化為求的通項(xiàng)或和定義，則，時(shí)，故為常數(shù)列（等比，公比1）性質(zhì)型定義（如遞增、優(yōu)數(shù)列）轉(zhuǎn)化為不等式或差數(shù)列性質(zhì)（如遞增數(shù)列，優(yōu)數(shù)列差數(shù)列單調(diào)遞增）定義“優(yōu)數(shù)列”滿足，若是優(yōu)數(shù)列，求范圍：差數(shù)列，需單調(diào)遞增，即，故步驟4：求解驗(yàn)證——按熟悉模型計(jì)算，檢驗(yàn)是否符合定義1.按模型求解：用等差、等比、遞推數(shù)列的公式（通項(xiàng)、前n項(xiàng)和）計(jì)算目標(biāo)量（如、、參數(shù)范圍等）；2.回歸定義驗(yàn)證：因新定義可能有隱含限制（如分母不為0、項(xiàng)的范圍），需檢驗(yàn)結(jié)果是否符合原定義，避免因轉(zhuǎn)化偏差出錯(cuò)。 示例：定義“等積數(shù)列”（每一項(xiàng)與前一項(xiàng)積為常數(shù)），，，求。 求解：由定義得，前10項(xiàng)為（周期），； 驗(yàn)證：每相鄰兩項(xiàng)積為，符合“等積數(shù)列”定義，結(jié)果正確。三、易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)1.定義理解偏差：忽略“隱含條件”（如周期數(shù)列需“對(duì)任意成立”，而非僅前幾項(xiàng)；前項(xiàng)積數(shù)列需），導(dǎo)致后續(xù)計(jì)算出錯(cuò)；2.特殊項(xiàng)計(jì)算失誤：求前幾項(xiàng)時(shí)因計(jì)算錯(cuò)誤（如分式遞推、負(fù)號(hào)處理），誤判數(shù)列規(guī)律（如錯(cuò)判周期）；3.轉(zhuǎn)化不徹底：將新定義轉(zhuǎn)化為遞推式后，未進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為等差/等比模型（如線性遞推，未構(gòu)造等比數(shù)列，直接硬算導(dǎo)致復(fù)雜）；4.忽略定義域：與函數(shù)關(guān)聯(lián)的新定義數(shù)列（如），未考慮函數(shù)的定義域（如分母不為0、根號(hào)下非負(fù)），導(dǎo)致項(xiàng)無意義；5.周期項(xiàng)對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤：周期數(shù)列中，目標(biāo)項(xiàng)與周期內(nèi)項(xiàng)的對(duì)應(yīng)（如，，，而非）。四、核心思想提煉新定義數(shù)列的本質(zhì)是“舊知識(shí)的新包裝”，解題時(shí)需秉持“拆解定義—找規(guī)律—轉(zhuǎn)模型—驗(yàn)結(jié)果”的邏輯，避免被“新術(shù)語”嚇住，始終圍繞“數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和、性質(zhì)（單調(diào)性、周期性）”三大核心展開，將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉的等差、等比、遞推數(shù)列問題，即可高效突破?！究键c(diǎn)三：數(shù)列不等式的證明】【角度1：求和后放縮】【例題】1．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴【針對(duì)訓(xùn)練】2．（2008·江西·高考真題）等差數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列中，，且．(1)求與；(2)證明：．【答案】(1);(2)證明見詳解.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及等比數(shù)列的通項(xiàng)列出方程組，解出公差和公比，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出等差數(shù)列求和公式求得，再利用裂項(xiàng)相消法求和，從而證得結(jié)果．【詳解】（1）設(shè)公差為，公比為，則，解得或（舍去），則；（2）由（1）得，則，則，則.3．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)遞增的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.設(shè)，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，，兩式相減可得，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的公差為，結(jié)合已知條件可得：，所以，利用裂項(xiàng)相消及不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，兩式相減可得，即，則，由，可得，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)椴粷M足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，且，所以，即，整理得，解得或，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.可得綜上可得，對(duì)于任意，都有.【角度2：放縮后求和】【例題】4．（24-25高二下·遼寧·期末）已知數(shù)列中，，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）將左右兩邊取倒數(shù)，得到，將其變形為，即可根據(jù)等差數(shù)列的定義，證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）（i）由（1）得到及的解析式，進(jìn)而得到的解析式，通過討論的取值范圍，即可得到的取值范圍；（ii）先得到的解析式，進(jìn)而得到其前項(xiàng)和的解析式，通過放縮，將其轉(zhuǎn)化成求一個(gè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，通過討論的范圍，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，又，所以，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；（2）（i）由（1）可知，所以，，因?yàn)?，因?yàn)?，，所以，所以，所以，的取值范圍；（ii）因?yàn)?，又因?yàn)椋栽O(shè).當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，成立；且隨著值增大，逐漸減小，逐漸增大，因?yàn)椋裕?，?【針對(duì)訓(xùn)練】5．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）求證：；（2）已知，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）解法1將放大為后再求和，證明和小于3即可；解法2將放大為后再求和，證明和小于3即可；（2）先將通項(xiàng)放大為，再利用裂項(xiàng)相消求和法求和即可證明.【詳解】（1）解法1：，．解法2：，．（2）．6．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知在正項(xiàng)數(shù)列中，，其前項(xiàng)和滿足．(1)求與；(2)令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)于任意的，都有．【答案】(1)；．(2)證明見解析【分析】（1）應(yīng)用十字相乘法分解因式計(jì)算得出，再應(yīng)用計(jì)算求解；（2）應(yīng)用放縮法結(jié)合裂項(xiàng)相消法證明即可.【詳解】（1）由，得．由于是正項(xiàng)數(shù)列，，所以．當(dāng)時(shí)，，所以，．又，，則，，所以，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，合適上式，所以，．（2）由于，由（1）得，則當(dāng)，，，時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，．又時(shí)，，所以，對(duì)于任意的，都有．7．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知對(duì)于任意的，數(shù)列都滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：時(shí)，.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)即可求解；（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可證明.【詳解】（1）由題設(shè)有①，當(dāng)時(shí)，②，①－②得，所以.又當(dāng)時(shí)，由得，不符合上式，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，.【角度3：構(gòu)造函數(shù)放縮】【例題】8．（24-25高二下·貴州銅仁·期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：，．【答案】(1)極大值1，無極小值(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)判斷其單調(diào)性即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造，再分類討論研究其單調(diào)性即可；（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，令，則有，再寫出個(gè)式子，將其相加化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時(shí)有極大值；無極小值．（2）若在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，，①當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，令，解得，若，則，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則恒有，符合題意；若，則，則，得；，得，從而可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．注意到當(dāng)時(shí)，，此與相矛盾，不符合題意．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，令，則有，所以，，，，將上面式子相加，可得，即是，故，．【針對(duì)訓(xùn)練】9．（24-25高二下·云南·期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，函數(shù)．(1)求的公差；(2)若恒成立，求的值；(3)設(shè)，求證：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）取和可得，，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列定義求解即可；（2）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解即可；（3）由（1）可得，由（2）得，進(jìn)而求證即可.【詳解】（1）由，，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去）；當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以；（2）由，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，設(shè)，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，由恒成立，且，則；（3）由（1）知，由（2）知，當(dāng)時(shí)，，即，，令，則，由，則，，則，即，．10．（24-25高二下·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）恒成立求參數(shù)的取值范圍，分類討論利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性求解即可；（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，，故，由放縮法證明即可.【詳解】（1）函數(shù)，且，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故恒成立，此時(shí)單調(diào)遞增，所以成立；②當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，故，不滿足題意；綜上可知：．即的取值范圍為．（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，，故，令，所以，所以，所以．【解題策略】數(shù)列不等式的證明解題策略數(shù)列不等式證明是高考數(shù)列綜合題的核心題型，常以“證明”“證明（為常數(shù)）”“證明”等形式呈現(xiàn)，核心是結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)、前項(xiàng)和性質(zhì)，靈活運(yùn)用不等式證明技巧。以下按“方法分類—適用場(chǎng)景—操作步驟—示例”的邏輯，梳理四大核心解題策略，并補(bǔ)充常見放縮公式：一、放縮法（最常用，適用于“求和型不等式”）適用場(chǎng)景需證明數(shù)列前項(xiàng)和與常數(shù)或函數(shù)的不等關(guān)系（如、），且直接求和困難（如分式、根式數(shù)列），需通過“放大或縮小數(shù)列項(xiàng)”，使放縮后的數(shù)列可求和（如裂項(xiàng)相消、等比求和）。核心思路“目標(biāo)導(dǎo)向放縮”：根據(jù)求和后的目標(biāo)形式（如常數(shù)、分式），確定放縮方向（放大或縮小），確保放縮后數(shù)列的和能化簡(jiǎn)，且放縮幅度合理（不過度）。常見放縮公式匯總以下為高頻場(chǎng)景的通用放縮式，需熟練掌握并靈活變形：放縮類型核心公式（，）變形與說明分式型放縮1.（等價(jià)裂項(xiàng)，無放縮）2.（放大）3.（縮?。?.（放大）或（縮?。?.適用于類求和，放大后可裂項(xiàng)相消；2.若需證明和“小于常數(shù)”，用放大式；需證明“大于函數(shù)”，用縮小式；3.分母含平方或根號(hào)時(shí)，優(yōu)先向“相鄰整數(shù)乘積”轉(zhuǎn)化對(duì)數(shù)型放縮1.（）2.（）3.（即）1.常與數(shù)列通項(xiàng)結(jié)合（如），通過放縮轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式數(shù)列；2.利用“”（）推導(dǎo)，令或即可得對(duì)應(yīng)公式根式型放縮1.（等價(jià)有理化）2.（放大）3.（縮?。?.適用于類求和，放縮后可抵消相鄰項(xiàng)；2.推導(dǎo)關(guān)鍵：分子分母同乘“根式差”（如），利用平方差公式有理化多項(xiàng)式放縮1.（）2.（）3.（）1.適用于含階乘、多項(xiàng)式的數(shù)列（如）；2.利用“多項(xiàng)式單調(diào)性”放縮，如放大為，縮小為常見放縮類型及操作步驟1.分式型數(shù)列放縮（高頻） 適用數(shù)列：（為常數(shù)）、、等。 放縮技巧：利用“分母越大，分?jǐn)?shù)值越小；分母越小，分?jǐn)?shù)值越大”，結(jié)合上述分式放縮公式，將分母轉(zhuǎn)化為可裂項(xiàng)的形式。 示例1：證明（） 步驟1：確定放縮方向——需證明和小于2，故選擇放大式（）。 步驟2：分段求和——時(shí)，左邊；時(shí)，左邊。 步驟3：結(jié)論——綜上，不等式成立。 示例2：證明 步驟1：確定放縮方向——需證明和大于，故選擇縮小式。 步驟2：求和——左邊？不，需更精細(xì)縮小，改用（見易錯(cuò)點(diǎn)“放縮過度”補(bǔ)充），求和得，因（交叉驗(yàn)證：，成立），故左邊。2.指數(shù)型數(shù)列放縮 適用數(shù)列：、等含指數(shù)項(xiàng)的數(shù)列。 放縮技巧：結(jié)合指數(shù)放縮公式，將指數(shù)項(xiàng)簡(jiǎn)化為可等比求和的形式。 示例：證明 步驟1：選擇放縮式——由（），得。 步驟2：求和——左邊。3.根式型數(shù)列放縮 適用數(shù)列：、等。 放縮技巧：利用根式放縮公式，通過有理化轉(zhuǎn)化為“相鄰根式差”。 示例：證明 步驟1：選擇放縮式——由（分子分母同乘）。 步驟2：求和——左邊。4.對(duì)數(shù)型數(shù)列放縮（新增） 適用數(shù)列：、等含對(duì)數(shù)項(xiàng)的數(shù)列。 放縮技巧：結(jié)合對(duì)數(shù)放縮公式，將對(duì)數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為分式或多項(xiàng)式。 示例：證明 步驟1：選擇放縮式——由（令，代入，得）。 步驟2：求和——左邊二、單調(diào)性法（適用于“通項(xiàng)型不等式”或“和的最值型不等式”）適用場(chǎng)景1.證明（或），且可構(gòu)造函數(shù)，通過證明單調(diào)遞增（遞減），進(jìn)而得（或）；2.證明（或），且的單調(diào)性可判斷（如單調(diào)遞增，則）。操作步驟1.構(gòu)造數(shù)列：設(shè)（或），目標(biāo)證明（或）；2.判斷單調(diào)性：計(jì)算，判斷其符號(hào)（正：?jiǎn)握{(diào)遞增；負(fù)：?jiǎn)握{(diào)遞減）；3.求最值：若單調(diào)遞增，則，只需證明；若單調(diào)遞減，則，只需證明。示例證明：當(dāng)時(shí)，。 步驟1：構(gòu)造； 步驟2：判斷的單調(diào)性——計(jì)算； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，，故在時(shí)單調(diào)遞增； 步驟3：求最小值——，，時(shí)，故，即。三、數(shù)學(xué)歸納法（適用于“與正整數(shù)n相關(guān)的遞推型不等式”）適用場(chǎng)景題干含遞推關(guān)系（如），且不等式形式與直接相關(guān)（如、），尤其適合無法直接放縮或判斷單調(diào)性的復(fù)雜遞推數(shù)列。操作步驟（以證明為例）1.基例驗(yàn)證（n=1時(shí)）：代入，證明（若從2開始，驗(yàn)證）；2.歸納假設(shè)（n=k時(shí)）：假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)，不等式成立，即；3.歸納遞推（n=k+1時(shí)）：利用遞推關(guān)系和歸納假設(shè)，證明（關(guān)鍵：將用表示，再結(jié)合推導(dǎo)）；4.結(jié)論：由1、2、3可知，對(duì)任意，不等式成立。示例已知，，證明：對(duì)任意，。 步驟1：基例驗(yàn)證——時(shí)，，，故，成立； 步驟2：歸納假設(shè)——假設(shè)時(shí)，； 步驟3：歸納遞推——，由假設(shè)，則，故： 因（當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，單獨(dú)驗(yàn)證：，，成立），故，即時(shí)成立； 步驟4：結(jié)論——綜上，不等式對(duì)任意成立。四、導(dǎo)數(shù)輔助法（適用于“數(shù)列與函數(shù)結(jié)合的不等式”）適用場(chǎng)景數(shù)列通項(xiàng)可表示為函數(shù)在正整數(shù)處的取值（即），且需證明（或），可通過證明函數(shù)（），進(jìn)而推導(dǎo)數(shù)列不等式。操作步驟1.構(gòu)造函數(shù)：設(shè)（），目標(biāo)證明（）；2.求導(dǎo)分析單調(diào)性：計(jì)算，判斷在上的單調(diào)性（若，則單調(diào)遞增）；3.求函數(shù)最小值：若單調(diào)遞增，則，只需證明；4.轉(zhuǎn)化為數(shù)列：因且，故，即，數(shù)列不等式成立。示例證明：對(duì)任意，。 步驟1：構(gòu)造函數(shù)——設(shè)（，因時(shí)，，擴(kuò)展到更方便）； 步驟2：求導(dǎo)分析——，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增； 步驟3：求最小值——，即（）； 步驟4：轉(zhuǎn)化為數(shù)列——令（），則，即。五、方法選擇與易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)1.方法選擇技巧不等式類型優(yōu)先方法輔助判斷依據(jù)前n項(xiàng)和與常數(shù)的不等關(guān)系（如）放縮法數(shù)列項(xiàng)為分式、根式、指數(shù)型，直接求和困難，結(jié)合“常見放縮公式”快速匹配放縮式通項(xiàng)與常數(shù)/函數(shù)的不等關(guān)系（如）單調(diào)性法/導(dǎo)數(shù)法可構(gòu)造，且易計(jì)算；或可擴(kuò)展為連續(xù)函數(shù)遞推型數(shù)列的不等式（如）數(shù)學(xué)歸納法題干含遞推關(guān)系，且放縮、單調(diào)性法難以直接應(yīng)用含對(duì)數(shù)/指數(shù)的數(shù)列不等式（如）放縮法+導(dǎo)數(shù)法先通過放縮公式將對(duì)數(shù)/指數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)法證明輔助不等式（如）2.易錯(cuò)點(diǎn)提醒 放縮過度：如證明，若用（），求和得，無法證小于1.5，需改用更精細(xì)的放縮式，求和得，仍需進(jìn)一步調(diào)整（如）； 放縮方向錯(cuò)誤：證明時(shí)用放大式，或證明時(shí)用縮小式，導(dǎo)致無法達(dá)到目標(biāo)（如證明，若誤用縮小式，求和得，無法與比較）； 數(shù)學(xué)歸納法遞推不嚴(yán)謹(jǐn)：假設(shè)時(shí)成立，遞推時(shí)未使用遞推關(guān)系，直接代入結(jié)論（如證明，遞推時(shí)直接寫，未結(jié)合和推導(dǎo)）； 導(dǎo)數(shù)法忽略定義域：將擴(kuò)展為時(shí)，未保證（如證明的單調(diào)性，構(gòu)造，需注意，但數(shù)列中，故分析時(shí)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)）。課后針對(duì)訓(xùn)練課后針對(duì)訓(xùn)練一、單選題1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·江西贛州·階段練習(xí)）某電動(dòng)汽車剛上市，就引起了小胡的關(guān)注，小胡2024年5月1日向銀行貸款元用來購買該電動(dòng)汽車，銀行貸款的月利率是，并按復(fù)利計(jì)息.若每月月底還銀行相同金額的貸款，到2025年4月底全部還清（即用12個(gè)月等額還款），則小胡每個(gè)月月底需要還款（

）A．元 B．元 C．元 D．元3．（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）某農(nóng)村合作社引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計(jì)劃該公司從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．3937萬元 B．3837萬元 C．3737萬元 D．3637萬元4．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，對(duì)于任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，定義，稱新數(shù)列為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列；定義，稱新數(shù)列為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列．若（為常數(shù)，），則稱數(shù)列是二階等差數(shù)列．已知是二階等差數(shù)列，，，，則（

）A．2528 B．5056 C．3578 D．7156二、多選題6．（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足：存在，使得對(duì)任意成立，則稱是“受限數(shù)列”，的最小值稱為的“受限上界”.記的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（

）A．若，則是受限數(shù)列B．若等差數(shù)列滿足，，則是受限數(shù)列C．若，則是受限數(shù)列，其受限上界為3D．若，都是受限數(shù)列，則也是受限數(shù)列7．（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，又稱為函數(shù)，例如，（10與1，3，7，9均互質(zhì)）則（

）A．B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增C．若p為質(zhì)數(shù)，則數(shù)列為等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列的前4項(xiàng)和等于8．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）帕多瓦數(shù)列是與斐波那契數(shù)列相似的又一著名數(shù)列，在數(shù)學(xué)上，帕多瓦數(shù)列被以下遞推的方法定義：數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足：，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．是偶數(shù) D．9．（24-25高二下·廣東深圳·期末）對(duì)于正整數(shù)是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目（若兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)是1，則稱這兩個(gè)正整數(shù)互質(zhì)）.函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如（10與1，3，7，9均互質(zhì)），則（

）A． B．若p為質(zhì)數(shù)，則數(shù)列為等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前5項(xiàng)和等于 D．，使得三、解答題10．（24-25高二下·廣西桂林·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)伯努利不等式是由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利提出的，是分析不等式中最常見的一種不等式．伯努利不等式的一般形式為：若且為正整數(shù)時(shí)，，當(dāng)日僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立．（i）證明：數(shù)列為遞增數(shù)列；（ii）證明：時(shí)，．11．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，為等比數(shù)列，．(1)求實(shí)數(shù)和數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意，都有．12．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，數(shù)列滿足，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立？若存在，求的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由參考答案題號(hào)123456789答案DCAACBDACDBDABD1．D【分析】根據(jù)的關(guān)系得，從而，利用作差法求得的單調(diào)性、最值即可求解.【詳解】，，，當(dāng)時(shí)，，．又且，，得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，，故選：D．2．C【分析】設(shè)小胡每月月底還款錢數(shù)為元，根據(jù)等額本息還款法可得每次還款后欠銀行貸款，即第12次還款后欠銀行貸款為，進(jìn)而由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，從而可得.【詳解】設(shè)小胡每月月底還款錢數(shù)為元，根據(jù)等額本息還款法可得：第1次還款后欠銀行貸款為，第2次還