【第26講：平面向量的概念及其線性運(yùn)算】【新高考課程標(biāo)準(zhǔn)要求】1.理解向量的概念與表示：了解平面向量的實(shí)際背景，如力、速度、位移等，理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等的含義，明確向量的大小和方向是其基本要素。同時(shí)，要理解向量的幾何表示，即可以用有向線段來(lái)表示向量，掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量（共線向量）、相等向量、相反向量等概念。2.掌握向量的線性運(yùn)算：掌握向量的加、減運(yùn)算，需熟練運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法和減法運(yùn)算，并理解其幾何意義。例如，通過(guò)三角形法則可以直觀地看出向量相加時(shí)“首尾相連，首指向尾”的特點(diǎn)。掌握向量的數(shù)乘運(yùn)算，理解實(shí)數(shù)與向量數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)則，即，以及數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如當(dāng)時(shí)，與方向相同等。同時(shí)，要理解兩個(gè)向量共線的含義，掌握向量共線定理，即向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得。3.了解線性運(yùn)算性質(zhì)：了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義，如向量加法的交換律和結(jié)合律，數(shù)乘運(yùn)算的分配律等，能夠運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的推理和計(jì)算，體會(huì)向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別，感受向量運(yùn)算的獨(dú)特性?！局R(shí)梳理】平面向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量，用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度就是向量的模，如向量的模記作。2.零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作，其方向是任意的。3.單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量。對(duì)于非零向量，其單位向量為。4.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，記作。規(guī)定與任一向量平行。5.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，若與相等，記作。6.相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量，向量的相反向量記作。平面向量的線性運(yùn)算1.向量的加法 定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算。規(guī)定。 三角形法則：已知非零向量，，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，則，即“首尾相接，首尾連”。 平行四邊形法則：已知兩個(gè)不共線向量，，作，，以，為鄰邊作平行四邊形，則以為起點(diǎn)的對(duì)角線向量就是。 運(yùn)算律：交換律；結(jié)合律。2.向量的減法 定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即。 三角形法則：已知向量，，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，則，即“共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量”。3.向量的數(shù)乘 定義：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作。其長(zhǎng)度；當(dāng)時(shí)，與方向相同，當(dāng)時(shí)，與方向相反，當(dāng)時(shí)，。 運(yùn)算律：；；。4.共線向量定理：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得。常用結(jié)論1.中點(diǎn)公式的向量形式：若為線段的中點(diǎn)，為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則。2.三點(diǎn)共線等價(jià)形式：若（，為實(shí)數(shù)），且，，三點(diǎn)共線，則。反之，若，則，，三點(diǎn)共線。3.向量三角不等式：已知非零向量，，則，當(dāng)且僅當(dāng)與同向或反向共線時(shí)，部分等號(hào)成立?！菊n前自測(cè)】1．（2025·河南·三模）若點(diǎn)A在點(diǎn)O的正北方向，點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏西方向，且，則向量表示（

）A．從點(diǎn)O出發(fā)，朝北偏西方向移動(dòng)B．從點(diǎn)O出發(fā)，朝北偏西方向移動(dòng)C．從點(diǎn)O出發(fā)，朝北偏西方向移動(dòng)2kmD．從點(diǎn)O出發(fā)，朝北偏西方向移動(dòng)2km【答案】C【分析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正方向，正北方向?yàn)閥軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出題中所給信息，再利用向量加法的平行四邊形法則求出即可.【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正方向，正北方向?yàn)閥軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，依題意可得，設(shè)，因?yàn)?，所以四邊形OACB為菱形，則，則為正三角形，所以，故向量表示從點(diǎn)O出發(fā)，朝北偏西方向移動(dòng)2km.故選：C2．（23-24高一下·廣東江門·階段練習(xí)）設(shè)是非零向量，則是成立的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】結(jié)合共線向量，單位向量，以及充分，必要條件的概念判斷即可.【詳解】對(duì)于非零向量，由可知向量共線，但不一定是，所以充分性不成立；由，可知向量共線同向，則，所以必要性成立，所以設(shè)是非零向量，則是成立的必要不充分條件，故選：C.3．（24-25高一下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知為不共線向量，，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線【答案】A【分析】由已知得，依次判斷各項(xiàng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所得向量是否共線，即可判斷.【詳解】由題設(shè)，，，，與有公共端點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，A對(duì)；，，不存在，使，所以與不共線，即三點(diǎn)不共線，B錯(cuò)；，，不存在，使，所以與不共線，即三點(diǎn)不共線，C錯(cuò)；，，不存在，使，所以與不共線，即三點(diǎn)不共線，D錯(cuò)；故選：A4．（2025·云南臨滄·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于非零向量，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則，不是共線向量【答案】C【分析】由向量的模長(zhǎng)，共線，相等的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，向量不能比較大小，故A錯(cuò)；對(duì)于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B錯(cuò)；對(duì)于C，若，由向量相等的條件可得，故C正確；對(duì)于D，不相等的向量也可能是共線向量，故D錯(cuò).故選：C．5．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相似三角形的性質(zhì)以及向量的加法運(yùn)算來(lái)表示即可.【詳解】因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃?，，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，即，，根據(jù)向量的加法法則，，故選：B.6．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且對(duì)任意的，恒成立，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】由向量關(guān)系得到幾何中的垂直關(guān)系，再把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問(wèn)題即可求解.【詳解】如圖，設(shè)，則恒成立，等價(jià)于恒成立，從而有，故．設(shè)，，則．作點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)F，連接由題可知，，,則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)．故選：D.7．（2025·湖南·三模）在中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，若，，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量的線性運(yùn)算得，結(jié)合平面向量基本定理即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕蔬x：D．8．（2025·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，點(diǎn)E、F分別是邊的中點(diǎn)，分別與交于R、T兩點(diǎn)，，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：設(shè)，得到，根據(jù)B，T，F(xiàn)三點(diǎn)共線，得到方程，可得答案；方法二：根據(jù)，可得.【詳解】方法一：設(shè)，且B，T，F(xiàn)三點(diǎn)共線，，解得；方法二：，所以，同理，，故，所以.故選：B.題型題型分類知識(shí)講解與?？碱}型【考點(diǎn)一：平面向量的基本概念】【例題】1．（2025高三·天津·專題練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．B．，是單位向量，則C．若，則D．兩個(gè)相同的向量的模相等【答案】C【分析】由向量的模、單位向量、相等向量等概念對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，是單位向量，則，故B正確；對(duì)于C，若，有方向不能比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩個(gè)相同的向量長(zhǎng)度相等，方向相同，故D正確.故選：C.2．（24-25高一下·湖南岳陽(yáng)·期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則 B．零向量沒(méi)有方向C．相等向量的長(zhǎng)度相等 D．共線向量是在同一條直線上的向量【答案】C【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概空可判斷AC的真假；根據(jù)零向量的概念可判斷B的真假，根據(jù)共線向量的概念可判斷D的真假.【詳解】對(duì)A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：零向量的方向是任意的，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：根據(jù)相等向量的概念，C正確；對(duì)D：共線向量是指方向相同或相反的向量，故D錯(cuò)誤.故選：C【針對(duì)訓(xùn)練】3．（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知非零向量，使得成立的充分非必要條件是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】由共線向量的模的特點(diǎn)得到答案.【詳解】使得成立的充分條件是和反向且，對(duì)于A，和是同向，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，和可能同向，可能反向，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由，得，則和反向且，所以C正確，對(duì)于D，由可得和的方向不能確定，所以D錯(cuò)誤.故選：C．4．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下關(guān)于平面向量的說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若則C．若是共線的單位向量.同D．若，則不是共線向量【答案】A【分析】對(duì)A，由相等向量的定義判斷；對(duì)B，舉反例時(shí)，可判斷；對(duì)C，由共線向量的定義判斷；對(duì)D，由相等向量和共線向量的定義判斷.【詳解】對(duì)于A，若，則，故正確；對(duì)于B，若，則不一定成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若是共線的單位向量，則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則是共線向量，故D錯(cuò)誤.故選：A.多選題5．（24-25高一下·江蘇鹽城·期末）下列選項(xiàng)中，正確的是（

）A．若兩個(gè)相等的非零向量的起點(diǎn)相同，側(cè)它們的終點(diǎn)可能不同B．若向量，則C．若向量，滿足，則或D．若非零向量與共線，則，，三點(diǎn)共線【答案】BD【分析】根據(jù)相等向量的定義即可判斷選項(xiàng)A；若向量，則根據(jù)向量的運(yùn)算法則可得，即可判斷選項(xiàng)B；由向量的定義即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)共線向量的定義即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由相等向量定義可得：若兩個(gè)相等的非零向量的起點(diǎn)相同，其終點(diǎn)一定相同，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若向量，則，所以，故選項(xiàng)B正確；由向量的定義可得向量，滿足時(shí)，向量，可能共線也可能不共線，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若非零向量與共線，則，，三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.【解題策略】1.緊扣核心定義，雙向驗(yàn)證“大小”與“方向”向量的本質(zhì)是“既有大小又有方向的量”，解題時(shí)需同時(shí)驗(yàn)證這兩個(gè)要素，避免單一維度判斷： 判斷相等向量：需同時(shí)滿足“長(zhǎng)度相等”和“方向相同”，二者缺一不可。 判斷平行（共線）向量：需滿足“方向相同或相反”，且明確“非零向量”前提（零向量與任一向量平行，但非零向量平行需方向關(guān)系）。 判斷單位向量/零向量：?jiǎn)挝幌蛄績(jī)H要求“長(zhǎng)度為1”，方向不唯一；零向量?jī)H要求“長(zhǎng)度為0”，方向任意，需特別注意其特殊性。2.利用幾何意義，簡(jiǎn)化抽象關(guān)系向量可通過(guò)有向線段直觀表示，其線性運(yùn)算的幾何法則是解題關(guān)鍵： 加法：遵循“三角形法則”（首尾相連，和向量起點(diǎn)接首、終點(diǎn)接尾）或“平行四邊形法則”（共起點(diǎn)，和向量為對(duì)角線）。 減法：遵循“三角形法則”（共起點(diǎn)，差向量從減數(shù)終點(diǎn)指向被減數(shù)終點(diǎn)）。通過(guò)幾何意義可快速分析向量間的位置、長(zhǎng)度關(guān)系，避免純代數(shù)運(yùn)算的繁瑣。3.抓住特殊向量（零向量），規(guī)避易錯(cuò)點(diǎn)零向量是概念題的高頻易錯(cuò)點(diǎn)，需牢記其特性： 零向量方向任意，故“零向量與任意向量平行”，但不滿足平行關(guān)系的傳遞性（如且，無(wú)法推出）。 涉及“向量共線”“向量垂直”等命題時(shí)，需先考慮是否為零向量，排除特殊情況后再判斷一般情況。4.借助共線向量定理，解決共線問(wèn)題共線向量定理是判斷向量共線、三點(diǎn)共線的核心工具： 若，則的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使得。 三點(diǎn)共線的充要條件：存在實(shí)數(shù)，滿足且，可通過(guò)設(shè)參數(shù)、列等式求解。5.明確向量與數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別避免混淆向量與數(shù)量的性質(zhì)： 數(shù)量?jī)H含大小，可比較大小；向量含大小和方向，不能直接比較大小，僅能比較其模（與）的大小。 向量的運(yùn)算（如加法、數(shù)乘）需遵循向量法則，而非單純的數(shù)值運(yùn)算?！究键c(diǎn)二：平面向量的線性運(yùn)算】【例題】1．（2025·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】法一，在中分別利用向量加法的三角形法則表示，，再根據(jù)平面向量共線定理及向量相等轉(zhuǎn)化即可表示出；法二，在中利用向量加法的三角形法則表示，再根據(jù)平面向量共線定理及向量相等轉(zhuǎn)化即可表示出.【詳解】在平行四邊形中，有.已知，，法一：.法二：.故選：D2．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).記，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】法一：由平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合三角形法則求解即可；法二，特殊化三角形為直角三角形，借助向量坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】如圖，由點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，得，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，得，所以.故選：B法二：將特殊化，假設(shè)為以角為直角的等腰直角三角形，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，則，，根據(jù)題意，得，，所以.故選：B.【針對(duì)訓(xùn)練】3．（23-24高一下·河南開(kāi)封·期末）如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，與對(duì)角線相交于點(diǎn)，記，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖形特征及向量線性關(guān)系計(jì)算判斷.【詳解】由題意得，∽，所以，所以，所以.故選：A.4．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由及即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn),所以，又，所以，所以，故選：C5．（2024·四川·一模）如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由點(diǎn)為中點(diǎn)得：，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?故選：C二、填空題6．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，已知，且，則．【答案】4【分析】根據(jù)向量加減法的運(yùn)算法則，拆解向量，化簡(jiǎn)求值.【詳解】因?yàn)?，則帶入，得，整理得．又，所以，解得．故答案為:4.【解題策略】1.熟練運(yùn)用線性運(yùn)算的核心法則解題前需牢記運(yùn)算的基本規(guī)則，避免基礎(chǔ)錯(cuò)誤： 加法法則： 三角形法則：首尾相連，和向量=首向量起點(diǎn)→尾向量終點(diǎn)（）。 平行四邊形法則：共起點(diǎn)，和向量=以兩向量為鄰邊的平行四邊形對(duì)角線（，為平行四邊形）。 減法法則：共起點(diǎn)，差向量=被減向量終點(diǎn)→減向量終點(diǎn)（）。 數(shù)乘法則： 長(zhǎng)度：； 方向：時(shí)與同向，時(shí)與反向，時(shí)為零向量。2.優(yōu)先“基底化”：用已知向量表示未知向量根據(jù)平面向量基本定理（同一平面內(nèi)不共線的兩向量可作為基底，表示任意向量），解題時(shí)優(yōu)先選擇“已知條件多、位置特殊”的向量作為基底（如三角形的鄰邊、平行四邊形的邊），將未知向量轉(zhuǎn)化為基底的線性組合： 步驟：①確定基底（如、）；②將目標(biāo)向量（如）拆分為與基底相關(guān)的向量；③利用運(yùn)算法則合并，整理成的形式。 關(guān)鍵：拆分時(shí)緊扣圖形中的線段關(guān)系（如中點(diǎn)、三等分點(diǎn)、平行關(guān)系），通過(guò)“加/減”銜接向量。3.善用幾何意義：簡(jiǎn)化抽象運(yùn)算線性運(yùn)算的幾何意義是“將代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為直觀圖形關(guān)系”，尤其適用于含幾何圖形（三角形、平行四邊形、多邊形）的題目： 遇“中點(diǎn)”“中線”：利用“中點(diǎn)向量公式”（如為中點(diǎn)，則），快速建立向量關(guān)系。 遇“平行”“共線”：結(jié)合數(shù)乘的方向性質(zhì)（如且，則）。 遇“多邊形”：利用“向量多邊形法則”（如四邊形中，），簡(jiǎn)化多向量求和。4.巧用“共線向量定理”：解決參數(shù)與共線問(wèn)題共線向量定理是線性運(yùn)算中“關(guān)聯(lián)向量與參數(shù)”的核心工具，適用于求參數(shù)、判斷三點(diǎn)共線： 定理應(yīng)用：若，則?存在唯一，使。 三點(diǎn)共線：若共線，且，則（反之亦成立）。解題時(shí)可設(shè)參數(shù)，通過(guò)向量相等列方程求解。5.注重“運(yùn)算律”：簡(jiǎn)化復(fù)雜表達(dá)式向量線性運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律，合理運(yùn)用可簡(jiǎn)化計(jì)算： 交換律：； 結(jié)合律：； 分配律：，。 示例：計(jì)算，可先展開(kāi)分配律，再合并同類向量（結(jié)果為）。6.警惕“零向量”與“方向”陷阱 零向量：數(shù)乘中若，需考慮或兩種情況；共線問(wèn)題中，零向量與任一向量共線，需先排除零向量再判斷非零向量的共線關(guān)系。 方向：數(shù)乘的方向是易錯(cuò)點(diǎn)，需明確的正負(fù)對(duì)向量方向的影響，避免因方向判斷錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)果符號(hào)出錯(cuò)?！究键c(diǎn)三：共線定理及其應(yīng)用】【例題】1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，，，則（

）A．、、三點(diǎn)共線 B．、、三點(diǎn)共線C．、、三點(diǎn)共線 D．、、三點(diǎn)共線【答案】C【分析】根據(jù)向量共線則判斷即可.【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)?，，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?，，則，故、、三點(diǎn)共線，故C正確；對(duì)D，因?yàn)?，，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤.故選：C2．（2025·湖南邵陽(yáng)·三模）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，．若，則的值為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，即可求解.【詳解】，所以，即，即,即.故選：D3．（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，為線段上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用基底表示，再設(shè)，即可構(gòu)造關(guān)于的方程組.【詳解】因，則，故，因三點(diǎn)共線，故設(shè)，則，因，則，解得．故選：D．【針對(duì)訓(xùn)練】4．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，已知，則角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三點(diǎn)共線、輔助角公式可得，結(jié)合的范圍即可求解.【詳解】因?yàn)樵谥?，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，已知，所以，即，而，所以，解得.故選：A.5．（24-25高一下·湖北十堰·期中）如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，.設(shè)，，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用向量基本定理得到，由共線定理的推論得到方程，求出.【詳解】，因?yàn)?，，所以，又三點(diǎn)共線，所以，即.故選：C6．（24-25高一下·湖北武漢·期中）如圖，在中，，P是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件得到，由共線定理的推論得到方程，求出答案.【詳解】，故，，故，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故，解得.故選：C7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面上點(diǎn)，，滿足，且，點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．1或【答案】A【分析】由題設(shè)三個(gè)條件依次得到，推得點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，再得點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，通過(guò)建系將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成由點(diǎn)向圓做切線，求原點(diǎn)到該切線的最短距離問(wèn)題.【詳解】由題意，得，所以．因?yàn)?，所以．又，即，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系．易知，，則點(diǎn)的軌跡方程為．由，得點(diǎn)，，三點(diǎn)共線．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，設(shè)其方程為，即．由點(diǎn)到該切線的距離為，可得，解得或．由圖知，當(dāng)時(shí)，最小，切線的方程為，此時(shí)的最小值即為點(diǎn)到切線的距離，即．故選：A．【解題策略】一、明確共線定理的核心內(nèi)容解題前需精準(zhǔn)掌握定理的“充要條件”，避免條件遺漏： 定理表述：若向量，則向量與共線（平行）的充要條件是：存在唯一實(shí)數(shù)，使得。 關(guān)鍵條件： 1.必須強(qiáng)調(diào)（若，則需為，且不唯一，定理不成立）； 2.的唯一性：若且，則，可用于列方程求參數(shù)。二、核心應(yīng)用場(chǎng)景與解題策略1.判定三點(diǎn)共線（最高頻應(yīng)用） 轉(zhuǎn)化邏輯：三點(diǎn)共線?向量與共線（或與共線）。 解題步驟： 1.選取三點(diǎn)中的兩個(gè)向量（如和），確保其中一個(gè)非零； 2.根據(jù)共線定理設(shè)關(guān)系：（為實(shí)數(shù)）； 3.若向量用坐標(biāo)表示，可列橫、縱坐標(biāo)相等的方程，求解；若用基底表示，可通過(guò)基底系數(shù)相等列方程。 重要推論：若為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，共線?存在實(shí)數(shù)，使得，且（反之亦成立）。解題時(shí)可直接利用“”快速建立參數(shù)關(guān)系，簡(jiǎn)化計(jì)算。2.求參數(shù)值（含坐標(biāo)與基底兩種情況） 情況1：向量用坐標(biāo)表示 策略：設(shè)（），，則?（此為坐標(biāo)形式的共線條件，由推導(dǎo)得出：，，消去即得）。直接代入坐標(biāo)列方程，求解參數(shù)（如向量坐標(biāo)中的未知量）。 情況2：向量用基底表示 策略：設(shè)基底為（不共線），若，，則?存在，使得且（基底系數(shù)成比例）。通過(guò)系數(shù)比例關(guān)系列方程，求解參數(shù)（如中的未知量）。3.證明線線平行（幾何證明題） 轉(zhuǎn)化邏輯：要證兩條直線平行（不重合），可證直線上的“方向向量”共線。 解題步驟： 1.分別在兩條直線上取非零方向向量（如直線的方向向量，直線的方向向量）； 2.證明存在實(shí)數(shù)，使得（即與共線）； 3.補(bǔ)充說(shuō)明兩條直線不重合（可通過(guò)直線上一點(diǎn)不在另一條直線上證明），即可得。三、避坑關(guān)鍵：警惕易出錯(cuò)點(diǎn)1.忽略“非零向量”條件：應(yīng)用定理時(shí)，必須先明確所設(shè)的“基準(zhǔn)向量”（如）非零，否則可能出現(xiàn)不唯一或邏輯矛盾（例如，若，，則不存在使）。2.混淆“共線”與“重合”：向量共線僅表示方向相同或相反，對(duì)應(yīng)直線可能平行或重合。若題目要求“直線平行”，需額外證明兩直線不重合；若僅需“三點(diǎn)共線”，則無(wú)需排除重合（三點(diǎn)共線本身包含重合情況）。3.誤用“”的前提：推論“且”的前提是“為任意點(diǎn)，共線”，若與共線，該推論仍成立，但需確保向量表達(dá)式正確，避免因點(diǎn)的位置錯(cuò)誤導(dǎo)致系數(shù)計(jì)算偏差。課后針對(duì)訓(xùn)練課后針對(duì)訓(xùn)練一、單選題1．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列四個(gè)命題中為真命題的是（

）A．已知是空間中任意五點(diǎn)，則B．若向量，滿足，則C．若分別表示兩個(gè)空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量可以是共面向量D．若，則四點(diǎn)共面2．（24-25高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．若，則與方向相同或相反B．若，則C．“”是，共線”的充要條件D．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等3．（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，點(diǎn)E是邊上的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)D），則（

）A． B．C． D．4．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，點(diǎn)D滿足，設(shè)，則（

）A．1 B． C． D．25．（2025·湖北宜昌·二模）已知均為單位向量.若，則與夾角的大小是（

）A． B． C． D．6．（24-25高一下·安徽阜陽(yáng)·期中）如圖，已知，用，表示，則等于（

）A． B． C． D．7．（2025·甘肅甘南·三模）中，若，，，則向量可用，表示為（

）A． B．C． D．8．（2025·江蘇南通·三模）已知，為平面內(nèi)一組基底，，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則a的值為（

）A．2 B． C．0 D．19．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線、于點(diǎn)、.設(shè)，，則的值為（

）A． B． C． D．10．（24-25高一上·遼寧大連·期末）如圖，已知分別是邊上的點(diǎn)，且滿足，，與交于，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．211．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，是BN上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．1二、填空題12．（24-25高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）中，為邊的中點(diǎn)，為中線上的一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且，則的最小值為.13．（21-22高三上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知非零向量，不共線，若，，，且A，C，D三點(diǎn)共線，則．14．（2023·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，，則.三、解答題15．（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，求與的面積之比．16．（24-25高一下·廣東云浮·期末）如圖，在平行四邊形中，，設(shè).(1)用表示；(2)證明：三點(diǎn)共線.參考答案題號(hào)12345678910答案CDBACACAACA題號(hào)11答案A1．CD【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算，即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)已知可推得，即可判斷B項(xiàng)；根據(jù)空間向量可以平移，即可判斷C項(xiàng)；只有“，不共線”，四點(diǎn)才共面，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，注意前者是零向量，后者是實(shí)數(shù)0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，注意向量相等時(shí)，向量所在直線互相平行或重合，因此當(dāng)時(shí)，，四點(diǎn)可能在一條直線上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，空間中的任意兩個(gè)非零向量都可以平移到同一起點(diǎn)，則這兩個(gè)向量可以是共面向量,故C正確；對(duì)于D，若“，不共線”，有四點(diǎn)共面，若“，共線”，則四點(diǎn)在同一直線上，則有四點(diǎn)共面，故D正確．故選：CD.2．B【分析】根據(jù)向量共線的定義可判定A；由向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算可判定B；由向量共線的性質(zhì)可判定C；由向量相等的定義可判定D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)或時(shí)，有，但與方向相同或相反不一定成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，則，即，故B正確；對(duì)于C，由，可得，共線，若，，則，但不存在實(shí)數(shù)，使得，故“”是，共線”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩個(gè)單位向量互相平行，它們的方向可能相同也可能相反，則這兩個(gè)單位向量不一定相等，故D錯(cuò)誤．故選：B.3．A【分析】由題意得，利用向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意有，所以，故選：A.4．C【分析】由平面向量基本定理結(jié)合，可得，再由，即可求出的值.【詳解】由，可得，則則故，所以故選：C.5．A【分析】由可知用有向線段表示則可以構(gòu)成封閉的三角形，再根據(jù)三個(gè)向量均為單位向量可知該三角形為等邊三角形，由此即可求出與夾角的大小.【詳解】如圖所示，

△為邊長(zhǎng)為1的正三角形，則與夾角即為.故選：A.6．C