考點(diǎn)十一空間幾何（選填題15種考向）考向一空間幾何體的體積【例1-1】（2025·云南昆明·一模）一個內(nèi)角為且斜邊長為2的直角三角形，繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【例1-2】（2025·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）如圖，在梯形中，，，，，為線段的中點(diǎn)，先將梯形挖去一個以為直徑的半圓，再將所得平面圖形以線段的垂直平分線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的體積為（

）

A． B． C． D．【例1-3】．（2025高三·全國·專題練習(xí)）一個圓錐被平行于底面的平面所截，上下兩個幾何體的側(cè)面積之比為，則上下兩個幾何體的體積之比為（

）A． B． C． D．【例1-4】（2025·貴州黔東南·一模）已知第一個正四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，側(cè)棱長為4cm，第二個正四棱臺的上底面、下底面邊長與第一個相同，但高為第一個正四棱臺的3倍，則第二個正四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【例1-5】（2025·天津南開·一模）如圖，在平行六面體中，是線段上的一點(diǎn)，且，則三棱錐的體積與平行六面體的體積之比為（

）A． B． C． D．考向二空間幾何體的表面積【例2-1】（2025·四川自貢·二模）已知圓錐的母線長是底面半徑的2倍，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值為（

）A． B． C． D．2【例2-2】（2025·黑龍江·一模）已知圓錐的軸截面是一個斜邊長為的等腰直角三角形，則圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【例2-3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知正三棱臺的上底面積為，下底面積為，高為2，則該三棱臺的表面積為（

）A． B． C． D．18【例2-4】（2025·陜西西安·二模）已知正四棱錐的底面邊長為6，體積為48，則該四棱錐的側(cè)面積為.考向三外接球【例3-1】（2025·陜西商洛·三模）已知正三棱錐的底面邊長為，側(cè)面積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【例3-2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知棱長為的正四面體與一個球相交，球與正四面體的每個面所在平面的交線都為一個面積為的圓，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．

【例3-3】（24-25高三下·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知三棱錐的每個頂點(diǎn)都在球的球面上，底面為正三角形，底面，，且與底面所成的角為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【例3-4】（2025·四川德陽·二模）在三棱錐中，平面平面為等腰三角形，且，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【例3-5】（2025·遼寧·二模）在正四棱臺中，，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點(diǎn)，將該正四棱臺截取四個三棱錐，，，后得到多面體，則該多面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【例3-6】（2025·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知正四棱臺的高，且，則此正四棱臺的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【例3-7】（2025·吉林·三模）棱長為2的正方體中，棱的中點(diǎn)為，棱的中點(diǎn)為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．考向四內(nèi)切球【例4-1】（2025·遼寧·一模）圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，一個球與該圓臺的兩個底面和側(cè)面均相切，則這個球的表面積為（

）A． B． C． D．【例4-2】（2025·黑龍江吉林·模擬預(yù)測）已知圓臺的母線與下底面所成角的正弦值為，則此圓臺的表面積與其內(nèi)切球（與圓臺的上下底面及每條母線都相切的球）的表面積之比為（

）A． B． C． D．【例4-3】（24-25高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知高為4的圓臺存在內(nèi)切球，其下底半徑為上底半徑的4倍，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．【例4-4】（2025·河南開封·二模）已知正方體的內(nèi)切球的體積為，則該正方體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．考向五空間幾何體體積、表面積最值【例5-1】（2025·江蘇·一模）已知一圓柱內(nèi)接于半徑為1的球，當(dāng)該圓柱的體積最大時，其高為（

）A． B． C． D．【例5-2】（2025·廣東湛江·一模）一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為3，圓心角為的扇形，在該圓錐內(nèi)有一個體積為V的球，則該球的體積V的最大值是（

）．A． B． C． D．【例5-3】（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，P為上的動點(diǎn)，則三棱錐的外接球表面積的最小值是（

）A． B． C． D．【例5-4】（2025·湖南·二模）已知某正三棱柱外接球的表面積為，則該正三棱柱體積的最大值為（

）A．1 B． C． D．4【例5-5】（2025·山西臨汾·二模）在三棱錐中，，且二面角的大小為，則當(dāng)該三棱錐的外接球體積最小時，（

）A． B．3 C． D．【例5-6】（2025·四川廣安·二模）三棱錐中，平面，為以為直徑的半圓圓周上的動點(diǎn)（不同于、的點(diǎn)）.若，，則該三棱錐體積的最大值為（

）A．4 B． C．2 D．考向六線面、面面平行【例6-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，當(dāng)平面時，（

）

A． B． C． D．【例6-2】（2024江蘇南通）在空間四邊形中，分別為邊上的點(diǎn)，且，又分別為的中點(diǎn)，則（）A．平面，且四邊形是矩形B．平面，且四邊形是梯形C．平面，且四邊形是菱形D．平面，且四邊形是平行四邊形【例6-3】（2025·浙江溫州·二模）（多選）在四棱錐中，分別是上的點(diǎn)，，則下列條件可以確定平面的是（

）A． B．C．平面 D．平面考向七線面、面面垂直【例7-1】（24-25高三上·湖北·期中）（多選）下列四棱錐的所有棱長都相等，，，，，是四棱錐的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則直線不與平面垂直的是（

）A．

B．

C．

D．

【例7-2】（2025·貴州貴陽·模擬預(yù)測）（多選）如圖所示，在正方體中，給出以下判斷，其中正確的有（

）A．平面 B．平面C．與是異面直線 D．平面【例7-3】（2025·寧夏吳忠·一模）（多選）在正方體中，點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，則（

）A．B．C．平面D．與平面所成的角為【例7-4】（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選）如圖，四棱錐是所有棱長均為2的正四棱錐，三棱錐是正四面體，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．四點(diǎn)共面 B．平面C． D．平面平面考向八空間幾何體命題的判斷【例8-1】（2025·上海·模擬預(yù)測）已知、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）.A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【例8-2】（2025·北京豐臺·一模）已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則【例8-3】（2025·天津·一模）已知m，n是兩條直線，是一個平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【例8-4】（2025·甘肅蘭州·一模）已知是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，以下判斷正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【例8-5】（2025·天津河北·二模）若，為空間兩條不同的直線，，為空間兩個不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則考向九線線角【例9-1】（2025·安徽合肥·二模）已知為圓錐的底面直徑，為底面圓心，正三角形內(nèi)接于，若，圓錐的側(cè)面積為，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【例9-2】（2025·山東棗莊·二模）已知三棱柱的各條棱長相等，且，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【例9-3】（2025·遼寧遼陽·一模）如圖，三棱柱的所有棱長都為，且，、、分別為、、的中點(diǎn)，則異面直線和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【例9-4】（2025·廣西南寧·二模）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，與分別為該圓柱的上、下底面的一條直徑，若從點(diǎn)出發(fā)繞圓柱的側(cè)面到點(diǎn)的最小距離為，則直線與直線所成的角為（

）A． B． C． D．考向十線面角【例10-1】（2024·陜西寶雞·二模）如圖，在四棱臺中，底面為平行四邊形，側(cè)棱平面，，，若四棱臺的體積為．則直線與平面所成角的正切值是（

）A． B． C． D．【例10-2】．（2024·廣東·二模）已知四棱錐的體積為4，底面是邊長為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【例10-3】．（2024·廣西柳州·一模）已知正四棱臺的體積為，，，則與底面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．4考向十一二面角【例11-1】（2025·北京順義·一模）六氟化硫是一種無機(jī)化合物，常溫常壓下為無色無味無毒不燃的穩(wěn)定氣體.化學(xué)式為，在其分子結(jié)構(gòu)中，硫原子位于中心，六個氟原子均勻分布在其周圍，形成一個八面體的結(jié)構(gòu).如圖所示，該分子結(jié)構(gòu)可看作正八面體，記為，各棱長均相等，則平面與平面夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．【例11-2】．（2025·四川南充·二模）已知正三棱錐底面邊長為2，其內(nèi)切球的表面積為，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．考向十二空間距離【例12-1】（2025·河南安陽·一模）如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，，，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【例12-2】（2025·北京門頭溝·一模）某紀(jì)念塔的一部分建筑結(jié)構(gòu)可抽象為三棱錐，，底面是等腰直角三角形，，頂點(diǎn)到底面的距離為3，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【例12-3】（2025·全國·模擬預(yù)測）（多選）設(shè)長方體的中心為，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于（

）A．點(diǎn)到平面的距離 B．點(diǎn)到平面的距離C．點(diǎn)到平面的距離的 D．點(diǎn)到平面的距離的考向十三空間幾何體在實(shí)際生活的應(yīng)用【例13-1】（2025·安徽滁州·一模）中國被稱為“制扇王國”，折扇的起源歷史悠久，最早可以追溯到西漢時期.現(xiàn)有一把折扇，其結(jié)構(gòu)如圖.完全展開后扇面的圓心角為，上板長為若把該扇面圍成一個圓臺，則圓臺的高為（）A． B． C． D．【例13-2】（2025·北京平谷·一模）冰淇淋蛋筒是大家常見的一種食物，有種冰淇淋蛋筒可以看作是由半徑為10cm，圓心角為的扇形蛋卷坯卷成的圓錐，假設(shè)高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒內(nèi)部的奶油體積相等，則該種冰淇淋中奶油的總體積約為（

）（忽略蛋筒厚度）A． B．C． D．【例13-3】（2025·江西·二模）白舍窯位于江西省南豐縣白舍鎮(zhèn)，是宋元時期“江西五大名窯”，其瓷器以白瓷最為聞名，素有“白如玉，薄如紙”的特點(diǎn)．如圖是白舍窯生產(chǎn)的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部為一個圓臺，下部實(shí)心且外形為圓柱．現(xiàn)測得底部直徑為6cm，上部直徑為12cm，茶杯側(cè)面與水平面的夾角為，則該茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不計）約為（

）（單位：）A． B． C． D．【例13-4】（2025·遼寧·二模）圖1所示幾何體是一個星形正多面體，稱為星形十二面體，是由對（個）平行五角星面組成的，每對平行五角星面角度關(guān)系如圖2所示．一個星形十二面體有個星芒（凸起的正五棱錐），將所有的星芒沿其底面削去后所得幾何體和星形十二面體的表面積之比是．（參考數(shù)據(jù)：）【例13-5】（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）如圖，某香包掛件是正四棱錐形狀，其高為，底面邊長為，若將此棱錐放在一球內(nèi)可任意轉(zhuǎn)動，則該球表面積的最小值為.【例13-6】（2025·湖南·模擬預(yù)測）2021年小米重新設(shè)計了自己的品牌形象.新舊圖像如圖所示，舊logo是一個正方形，新logo可看作一個直徑為邊長的一半的圓在原正方形中運(yùn)動，保留它運(yùn)動過程覆蓋的區(qū)域就是新logo.類比推理，現(xiàn)有一個棱長為2的正方體，一個直徑為1的球在正方體內(nèi)部滾動，將該球可到達(dá)的區(qū)域保留，不可到達(dá)的區(qū)域割去，得到一個幾何體，我們稱之為“小米正方體”，則“小米正方體”的體積為.

考向十四容納問題【例14-1】（2025·海南?？凇つM預(yù)測）（多選）如圖，透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，已知，，，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r，水面位置滿足，容器內(nèi)有水部分的幾何體體積是，下列命題正確的是（

）A．固定容器底面一邊于地面上，將容器傾斜，有水的部分始終呈棱柱形B．固定容器底面一頂點(diǎn)于地面上，將容器傾斜，有水的部分可能是三棱錐C．體積為，高為的圓錐不能放在半徑是的球體內(nèi)D．體積為的正方體可以在軸截面為正三角形且底面半徑為的圓錐內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)【例14-2】（2025·廣東·一模）（多選）已知正四面體的棱長為6，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則下列幾何體能夠整體放入正四面體的有（

）A．底面在平面上，且底面半徑為，高為的圓錐B．底面在平面上，且底面半徑為，高為1的圓柱C．軸為直線，且底面半徑為，高為2的圓錐D．軸為直線，且底面半徑為，高為0.2的圓柱【例14-3】（24-25高三上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，裝有水的正方體無蓋容器放在水平桌面上，此時水面為，已知．為了將容器中的水倒出，以為軸向右傾斜容器，使得水能從容器中倒出，當(dāng)水剛好能從容器中倒出時，水面距離桌面的高度為．

【例14-4】（2024·河北保定·二模）已知某種有蓋的圓柱形容器的底面圓半徑為，高為100，現(xiàn)有若干個半徑為的實(shí)心球，則該圓柱形容器內(nèi)最多可以放入個這種實(shí)心球.【例14-5】（2024·遼寧·二模）如圖，經(jīng)過邊長為1的正方體的三個項(xiàng)點(diǎn)的平面截正方體得到一個正三角形，將這個截面上方部分去掉，得到一個七面體，則這個七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是．考向十五新定義【例15-1】（2025·山東·模擬預(yù)測）“曼哈頓距離”是一種在幾何空間中用于衡量兩點(diǎn)之間距離的方式，如在維空間中，設(shè)點(diǎn)，，則“曼哈頓距離”表示為．若橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線交于另一點(diǎn)，則，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”；若將在軸上方的部分沿軸翻折得到一個直二面角，則在空間直角坐標(biāo)系中，．【例15-2】（24-25高三下·廣東廣州·期末）已知是棱長為的正四面體，設(shè)的四個頂點(diǎn)到平面的距離所構(gòu)成的集合為，若中元素的個數(shù)為，則稱為的階等距平面，為的階等距集.如果為的1階等距平面且1階等距集為，則符合條件的有個，的所有可能取值構(gòu)成的集合是.【例15-3】（2025·山西晉中·模擬預(yù)測）把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，，分別是橢圓柱的上、下底面橢圓的長軸，，且底面橢圓的離心率為，分別為下底面橢圓的左、右焦點(diǎn)，為母線上的動點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，為過點(diǎn)的下底面橢圓的一條動弦（不與長軸重合），則三棱錐體積的最大值為.

【例15-4】（2025·遼寧·二模）我們規(guī)定：在四面體中，取其異面的兩條棱的中點(diǎn)連線稱為的一條“內(nèi)棱”，三條內(nèi)棱兩兩垂直的四面體稱為“垂棱四面體”，如左圖.

如右圖，在空間直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)有橢圓，為其下焦點(diǎn)，經(jīng)過的直線與交于兩點(diǎn)，為平面下方一點(diǎn)，若為垂棱四面體，則其外接球表面積是的函數(shù).（1）的定義域是；（2）的最小值是.單選題1．（2025·山西臨汾·二模）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為個圓，則該圓錐的母線長為（

）A．4 B． C． D．2．（2025·遼寧鞍山·二模）若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為，則圓錐母線與底面所成角的大小為（

）A． B． C． D．3．（2025·山東濟(jì)南·一模）已知圓臺的側(cè)面展開圖是半個圓環(huán)，側(cè)面積為4π，則圓臺上下底面面積之差的絕對值為（

）A．π B．2π C．4π D．8π4．（2025·天津·一模）已知，，為球的球面上的三個點(diǎn)，為的外接圓，若的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．5．（24-25高三下·重慶·階段練習(xí)）已知正三棱錐的體積為，其底面三角形的斜二測直觀圖面積為，則三棱錐的高為（

）A．2 B． C．1 D．6．（2025·青海海東·二模）如圖，在正方體中，，，分別是棱，的中點(diǎn)，則正方體被平面所截得的截面周長是（

）

A． B． C． D．7．（2025·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知正三棱臺的上底面邊長為，高為，體積為，則該正三棱臺的外接球表面積為（

）A． B． C． D．8．（2025·新疆喀什·二模）《九章算術(shù)》中將正四棱臺稱為方婷，如圖，在方婷中，，其體積為，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則異面直線所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．9．（2025·天津·一模）已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，，則10．（2025福建龍巖·期末）如圖，在正方體中，、為正方體內(nèi)（含邊界）不重合的兩個動點(diǎn)，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若，，則B．若，，則平面平面C．若，，則平面D．若，，則11．（2025·江西萍鄉(xiāng)·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，E為CD的中點(diǎn)，沿AE將翻折至的位置得到四棱錐，且.若F為棱PB的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面PCE的距離為（

）A． B． C． D．12．（2024·云南麗江·一模）如圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，側(cè)面上有一個小孔，點(diǎn)到的距離為3，若該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當(dāng)水恰好流出時，側(cè)面與桌面所成的銳二面角的正切值為（

）A． B． C．2 D．13．（2025·江西·一模）如圖，正方體的棱長為1，，分別為，的中點(diǎn)，在上，且，平面與棱所在直線交于點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．14．（2025·河北·一模）象牙鏤雕套球又稱“同心球”，制作相當(dāng)繁復(fù)，工藝要求極高.據(jù)《格古要論》記載，早在宋代就已出現(xiàn)3層套球，時稱“鬼工球”.某象牙鏤雕套球的直徑為，其表面的圓形孔的直徑均為，記其中兩個圓形孔的圓心為，如圖所示，若，則圓與圓所在平面的夾角的正弦值為（

）A． B． C． D．多選題15．（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測）如圖，已知底面為矩形的四棱錐的頂點(diǎn)的位置不確定，點(diǎn)在棱上，且，平面平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．平面平面C．若，則直線與平面所成角為D．存在某個位置，使平面與平面的交線與底面平行16．（2025·河南·二模）如圖，在三棱柱中，是與的交點(diǎn)，，，則（

）A． B．C．平面 D．到平面的距離為17．（2025·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，已知側(cè)棱長為的直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)．則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，異面直線與成角的余弦值是B．當(dāng)時，直線與平面成角的余弦值是C．的最大值是D．三棱錐體積的最大值是18．（2025·遼寧·二模）如圖，四棱錐的外接球球心為點(diǎn)O，且底面為正方形，平面．若點(diǎn)M為上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為線段與平面上的點(diǎn)，則最小時，下列說法正確的是（

）A．B．點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)C．平面截四棱錐所得的截面是直角梯形D．三棱錐的體積為19．（2025·安徽安慶·二模）如圖，在正三棱柱中，，點(diǎn)為正三棱柱表面上異于點(diǎn)的點(diǎn)，則（

）A．存在點(diǎn)，使得B．直線與平面所成的最大角為C．若不共面，則四面體的體積的最大值為D．若，則點(diǎn)的軌跡的長為20（2025·江西·二模）如圖，在邊長為的正方體中，分別是棱的中