第15講三角函數的圖象和性質題型梳理題型梳理易錯分析易錯點一忽略ω的正負對三角函數性質的影響題型方法題型一三角函數的圖象變換題型二根據三角函數的部分圖象求解析式題型三判斷三角函數的單調性與最值題型四求三角函數的最小正周期題型五三角函數圖象的對稱性題型六極值、零點問題題型七ω的求解知識清單知識清單知識點01用“五點法”作正弦函數和余弦函數的簡圖(1)在正弦函數y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．知識點02正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中k∈Z)函數y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數偶函數奇函數單調遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))單調遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ常用結論1．對稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是eq\f(1,2)個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個周期．(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是eq\f(1,2)個周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)為奇函數的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．易錯分析易錯分析【易錯點一】忽略ω的正負對三角函數性質的影響【例1】（2023·河南·模擬預測）已知函數，，則的單調遞增區(qū)間是（

）A． B．C．， D．，【舉一反三】【變式1】（2021·陜西咸陽·一模）設函數，則在上的單調遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式2】已知函數，則函數的單調遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【變式3】（2025·寧夏·一模）已知函數，則函數的單調遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．題型方法題型方法【題型一】三角函數的圖象變換【例1】（2024·湖北武漢·模擬預測）若函數（）向左正移個單位后在區(qū)間上單調遞增，則（

）A． B． C． D．解題技巧(1)由y＝sinωx的圖象到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象的變換：向左平移eq\f(φ,ω)(ω>0，φ>0)個單位長度而非φ個單位長度．(2)如果平移前后兩個圖象對應的函數的名稱不一致，那么應先利用誘導公式化為同名函數，ω為負時應先變成正值【舉一反三】【變式1】（2024·福建廈門·三模）將函數的圖象向右平移個單位后得到的圖象，則（

）A． B．C． D．【變式2】（2025·上海浦東新·模擬預測）把函數圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），再將圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則.【變式3】（2023·安徽·模擬預測）已知函數.(1)若函數恒成立，求實數的取值范圍；(2)若函數，求函數的最大值.【題型二】根據三角函數的部分圖象求解析式【例2】（2022·全國·模擬預測）已知函數的部分圖像如圖，則的解析式為（

）A． B．C． D．【舉一反三】【變式1】（2020·寧夏銀川·三模）已知函數的部分圖像如圖，則的解析式可能是（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·廣東江門·模擬預測）已知函數部分圖像如圖所示，則函數的解析式可能為（

）A． B． C． D．【變式3】（2025·江西九江·三模）若將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，則．【題型三】判斷三角函數的單調性與最值【例3】（2022·北京·高考真題）已知函數，則（

）A．在上單調遞減 B．在上單調遞增C．在上單調遞減 D．在上單調遞增解題技巧(1)已知三角函數解析式求單調區(qū)間求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的單調區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，可先借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯．(2)已知三角函數的單調區(qū)間求參數先求出函數的單調區(qū)間，然后利用集合間的關系求解．【舉一反三】【變式1】（2025·山東濰坊·模擬預測）下列四個函數中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【變式2】（2025·湖北襄陽·模擬預測）在中，角，，所對的邊分別為，，，邊上的高為.若，則的最大值為.【變式3】（2023·河南·模擬預測）已知函數．(1)求的單調區(qū)間；(2)求在上的值域．【題型四】求三角函數的最小正周期【例4】（2024·上?！じ呖颊骖}）下列函數的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．解題技巧(1)奇偶性的判斷方法：三角函數中奇函數一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數一般可化為y＝Acosωx的形式．(2)周期的計算方法：利用函數y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期為eq\f(2π,ω)，函數y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期為eq\f(π,ω)求解．【舉一反三】【變式1】（2025·甘肅酒泉·模擬預測）函數的最小正周期是（

）A． B． C． D．【變式2】（2025·陜西漢中·一模）若函數（）的最小正周期為，則【變式3】（2022·四川綿陽·模擬預測）已知向量?，設函數?(1)求?的最小正周期.(2)求函數?的單調遞減區(qū)間.(3)求?在?上的最大值和最小值.【題型五】三角函數圖象的對稱性【例5】（2023·天津·高考真題）已知函數的圖象關于直線對稱，且的一個周期為4，則的解析式可以是（

）A． B．C． D．【舉一反三】【變式1】（2025·河南駐馬店·模擬預測）函數的圖象的一條對稱軸方程為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·全國·模擬預測）函數的圖象的對稱中心為【變式3】（2025·河北保定·模擬預測）已知函數．(1)求函數的對稱中心及對稱軸方程；(2)當時，求函數的最大值和最小值．【題型六】極值、零點問題【例6】（2022·全國甲卷·高考真題）設函數在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【舉一反三】【變式1】（2025·甘肅白銀·模擬預測）已知函數的圖象關于原點對稱，且在上單調，在處取得極值，則（

）A．1 B． C．2 D．3【變式2】（2025·浙江杭州·模擬預測）已知函數，則函數在上恰有1個零點，則實數的取值范圍為.【變式3】（2024·河南·模擬預測）已知向量，向量，.(1)求的最小正周期；(2)求在上零點和極值點的個數.【題型七】ω的求解【例7】（2025·北京·高考真題）設函數，若恒成立，且在上存在零點，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．3【舉一反三】【變式1】（2023·陜西西安·模擬預測）已知函數，若，在內有極小值，無極大值，則可能的取值個數（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式2】（2020·安徽池州·三模）已知函數滿足，，且在區(qū)間上單調，則取值的個數有個．【變式3】（2024·全國·模擬預測）已知函數．(1)當時，求函數的單調遞增區(qū)間；(2)若函數在上有且僅有兩個零點，求的取值范圍．好題必刷好題必刷一、單選題1．（2025·重慶·模擬預測）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2025·甘肅白銀·三模）函數的最小值和最小正周期分別為（

）A． B． C． D．3．（2025·湖北黃岡·模擬預測）已知函數的最小正周期為，則在上的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．34．（2025·遼寧·二模）將函數的圖像先向右平移個單位長度，再把所得函數圖像上的每個點的縱坐標不變，橫坐標都變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函數的圖像．已知函數在上有兩個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2024·河北·模擬預測）已知函數在區(qū)間單調遞減，且和是兩個對稱中心，則（

）A． B． C． D．6．（2025·內蒙古包頭·二模）已知在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2025·河北·模擬預測）已知函數，則下列說法正確的是（

）A．是的周期B．的圖象關于直線對稱C．的值域為D．若在上恰有個零點，則8．（2025·山東臨沂·三模）已知函數，則（

）A．函數的最小正周期為B．是的一條對稱軸C．函數在上單調遞增D．函數圖象與直線有3個交點三、填空題9．（2025·天津河北·模擬預測）函數的最大值為．10．（2025·甘肅白銀·三模）若函數的最小正周期是，則.11．（2024·全國·模擬預測）若函數在內恰好存在兩個極值點，且直線與曲線在內恰有兩個交點，則的取值范圍是．12．（2025·江西新余·模擬預測）已知函數在上有且僅有一個零點，則的取值范圍是．13．（2024·上?！と＃┰O，．若存在公比的無窮等比數列，使得對任意正整數都成立，則的取值范圍是．14．（2025·四川巴中·二模）已知函數在區(qū)間上的最小值為，則的取值范圍為.15．（2024·全國·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若函數和在上都恰好存在兩個零點，則的取值范圍是．四、解答題16．（2025·北京海淀·三模）已知函數．(1)若，求的值；(2)若在一個周期內的部分取值如下表，：x0m求的解析式及單調增區(qū)間．17．（2022