專(zhuān)題14用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（最值）（一題多變）【典例展示】（2022·全國(guó)·高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是．【思路分析】思路一：轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn).依題可知，方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過(guò)原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.思路二：構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo).依題可知，設(shè)函數(shù)，再次求導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論.【精細(xì)解析】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)因?yàn)?，所以方程的兩個(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即圖象在上方當(dāng)時(shí)，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個(gè)根為因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則g，若，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則，不符合題意；若，則g在上單調(diào)遞減，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，則需滿足，，即故，所以.【題后反思】本例是根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)范圍，其中方法一，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化成利用函數(shù)的零點(diǎn)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，避免了繁瑣計(jì)算，是該題的最優(yōu)解；方法二：通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系得出不等式，解出a的范圍，屬于通性通法．作為該題的兩種解法，都涉及到了“構(gòu)造函數(shù)”，值得注意.另外，某些“恒成立”問(wèn)題，也可以轉(zhuǎn)化成最值問(wèn)題求解.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值問(wèn)題，是高考命題的熱點(diǎn)，常見(jiàn)題型包括：（1）求極值點(diǎn)、最值點(diǎn)；（2）求極值、最值；（3）根據(jù)極值點(diǎn)、最值點(diǎn)求參數(shù)范圍；（4）根據(jù)極值、最值求參數(shù)范圍；（5）極值點(diǎn)、最值點(diǎn)的辨析.（6）函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題即實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題.【追根溯源】1．求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟（1）第一步，求導(dǎo)數(shù)．（2）第二步，求方程的所有實(shí)數(shù)根．（3）第三步，考察每個(gè)根．附近，從左到右，若導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)由正變負(fù)，則是極大值；若導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)由負(fù)變正，則是極小值，若在的根的左、右側(cè)，的符號(hào)不變，則不是極值，所以，可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是是的變號(hào)零點(diǎn)．2．函數(shù)的最大值與最小值（1）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分兩步進(jìn)行．第一步，求在內(nèi)的極值；第二步，將在各極值點(diǎn)的極值與、比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．（2）若函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，則為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最小值．3．極值與最值的關(guān)系極值只是對(duì)某點(diǎn)附近而言，是局部最值；而最值是對(duì)整個(gè)區(qū)間或是對(duì)所考查問(wèn)題的整體而言．4.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立或有解問(wèn)題的主要策略：①構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍；②分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．有些不易分參的也可采用“同構(gòu)”技巧．5.解決恒成立、能成立問(wèn)題的基本策略：分離變量，①構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．②轉(zhuǎn)化策略：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.【變化角度】根據(jù)含參數(shù)函數(shù)的極值點(diǎn)，確定參數(shù)的大小關(guān)系.（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（）A．

B．

C．

D．【思路分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，畫(huà)出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故.有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號(hào)，在左右附近是變號(hào)的.依題意，a為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時(shí)，由，，畫(huà)出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，畫(huà)出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【變換角度】根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的存在性，確定參數(shù)不等關(guān)系.（2023·全國(guó)·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（）．A．

B．

C．

D．【思路分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而，因此方程有兩個(gè)不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯(cuò)誤，BCD正確.故選：BCD【變換角度】與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合，根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)情況求參數(shù)范圍.（2024·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【思路分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）思路一：求導(dǎo)，分析和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；思路二：求導(dǎo)，可知有零點(diǎn)，可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若，則對(duì)任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無(wú)極大值，由題意可得：，即，構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為；解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若有極小值，則有零點(diǎn)，令，可得，可知與有交點(diǎn)，則，若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無(wú)極大值，符合題意，由題意可得：，即，構(gòu)建，因?yàn)閯t在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為.【變換角度】研究函數(shù)的單調(diào)性并求極值，探索參數(shù)是否存在，使函數(shù)取得最小值.（21-22高三上·四川眉山·階段練習(xí)）已知，，，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．(1)討論當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性和極值；(2)求證：在（1）的條件下；(3)是否存在正實(shí)數(shù)a，使的最小值是3?若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)討論得到函數(shù)的單調(diào)性，求出極值；（2）先求出在上的最小值為1，再利用導(dǎo)數(shù)求，，即證；（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使有最小值3.對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，分別求出最小值，解方程進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】（1）∵當(dāng)a=1時(shí)，，∴．∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí).∴在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，∴的極小值為，無(wú)極大值．（2）∵的極小值為1，∴在區(qū)間上的最小值為1，即．又，∴當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增．∴，∴，∴在（1）的條件下，．（3）假設(shè)存在正實(shí)數(shù)a，使有最小值3，則．①當(dāng)時(shí)，即，由，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，滿足條件；②當(dāng)時(shí)，即，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，（舍去）．綜上，存在實(shí)數(shù)使得當(dāng)時(shí)，有最小值3【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，常常通過(guò)求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為解方程或不等式求解，其判定方法為：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，則在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式通常轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題.（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）1．已知函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．-1（23-24高二下·湖北荊州·階段練習(xí)）2．若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C． D．（2024·上?！と＃?．若函數(shù)在上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍