窗口濾波法的實驗探究案例分析1窗函數(shù)設(shè)計步驟窗函數(shù)設(shè)計法是FIR濾波器的最基本的設(shè)計方法，其基本思路是把理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd（ejw）進行傅里葉反變換得到hd（n），在時域內(nèi)用窗函數(shù)隊理想濾波器的時域特性hd（n）截斷，用截斷后，周期延拓的虛擬長沖激響應(yīng)h（n）去逼近理想濾波器的hd(n),最后進行傅里葉變換得到的頻率響應(yīng)H（ejw）去逼近Hd（ejw）。這種截取可以形象的想象為h（n）是通過一個“窗口”所看到的一段hd（n），因此h（n）也可以表達為hd（n）和一個截斷函數(shù)ω（n）的乘積，即式4.1：式（4.3）截斷函數(shù)ω（n）稱為“窗函數(shù)”，簡稱為窗。窗函數(shù)設(shè)計法的實際步驟可以簡化如下：給定理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd（ejw）。根據(jù)給定的濾波器技術(shù)指標，選擇濾波器長度和窗函數(shù)ω（n），使其具有最窄寬度的主瓣和最小的旁瓣。根據(jù)指標選擇窗函數(shù)和N值，N值如式（4.2）所示：式（4.4）式中，B=|ωp-ωr|為技術(shù)指標給定的過渡帶寬，△ω為窗函數(shù)給定的過渡帶寬。根據(jù)式(4.3)求出移位后的因果序列：式（4.5）加窗截斷為有限長,用什么樣的窗來截取會有不同的過渡帶和阻帶的最小衰減。

確定窗函數(shù)類型的主要依據(jù)是過渡帶的帶寬和阻帶的最小衰耗指標。因此,選取窗函數(shù)的要求是：

①窗譜主瓣盡可能窄以獲得較陡的過渡帶。

②盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度,能量盡量集中于主瓣,使肩峰和波紋減小,從而增大阻帶的衰減。

相對而言,三角窗、漢明窗、漢寧窗效果比矩形窗好,因為它們在邊緣處不是陡然下降的。通過加窗街區(qū)得到滿足FIR濾波器的單位采樣響應(yīng)h（n）如式（4.4）所示：式（4.6）檢驗。由h（n）進行傅里葉逆變換求出H（ejw）作為Hd（ejw）的逼近，用給定的技術(shù)指標驗證H（ejw）是否在誤差容限之內(nèi)。2常見窗函數(shù)矩形窗矩形窗是使用最多的窗函數(shù)，習(xí)慣上默認不加窗就是使信號通過了矩形窗。這種窗的優(yōu)點是主瓣比較集中，缺點是旁瓣較高，并有負旁瓣，導(dǎo)致變換中帶進了高頻干擾與泄露，甚至出現(xiàn)負譜現(xiàn)象。矩形窗函數(shù)如下所示：式（4.7）矩形窗在時域和頻域的圖形與各項參數(shù)如下圖所示：圖4.5矩形窗的圖形與參數(shù)Fig4.5GraphicsandParametersofRectangularWindows漢寧（hanning）窗漢寧窗可以看做是3個矩形時間窗的頻譜之和，或者說3個sinc（t）型函數(shù)之和，而括號中的兩項相對于第一個譜窗向左，右各移動了π/T，從而使旁瓣相互抵消，消去高頻干擾和漏能。其函數(shù)表達式如下所示：式（4.8）它的思路是通過矩形窗譜的合理疊加減小旁瓣面積，上式還可以寫為：式（4.9）其對應(yīng)的頻譜如下所示：式（4.10）其主瓣寬度為8π/N,旁瓣幅度小。式中，WR（ejw）是矩形窗譜，當N較大時，2π/N-1近似等于2π/N，這樣W（ejw）可以看做是三個不同位置的矩形窗譜的疊加。疊加付出的代價是主瓣增寬一倍，得到的好處是旁瓣峰值衰耗得到大幅提升。漢寧窗在時域和頻域的圖形與各項參數(shù)如下圖所示：圖4.6漢寧窗的圖形和參數(shù)Fig4.6GraphicsandParametersofHanningWindow三角窗三角窗是冪窗的一次方形式，與矩形窗比較，主瓣寬約等于矩形窗的兩倍，但旁瓣小，而且無負旁瓣。其窗函數(shù)表達式如下所示：n為奇數(shù)時：式（4.11）n為偶數(shù)時：式（4.12）三角窗的窗譜為：式（4.13）幅度函數(shù)為：式（4.14）主瓣寬度為8π/N,旁瓣幅度較小。主瓣是由兩個長度為N/2的矩形窗進行線性卷積得到的。三角形窗在時域和頻域的圖形與各項參數(shù)如下圖所示：圖4.7三角形窗的圖形與參數(shù)Fig4.7GraphicsandParametersofTriangleWindow下表為各種常用窗函數(shù)的性能指標：窗函數(shù)窗譜性能指標加窗后濾波器性能指標旁瓣峰值（dB）主瓣寬度過渡帶寬△ω阻帶最小衰減δr（dB）矩形窗-132×（2π/N）0.9×（2π/N）-21漢寧窗-314×（2π/N）3.1×（2π/N）-44三角窗-254×（2π/N）2.1×（2π/N）-25表4.1各種常用窗函數(shù)的性能指標Table4.1Performanceindicatorsofvariouscommonlyusedwindowfunctions由三種窗函數(shù)的主要性能指標可以看出，矩形窗的旁瓣幅度較大，所以僅能去除較小的噪聲，對于較強的干擾噪聲，則應(yīng)選取旁瓣幅度較小的窗函數(shù)，如三角窗，漢寧窗等等。3仿真結(jié)果對比圖4.8矩形窗去噪結(jié)果圖4.9矩形窗誤差Fig4.8RectanglewindowdenoisingresultsFig4.9errorofrectwin圖4.10漢寧窗去噪結(jié)果圖4.11漢寧窗誤差Fig4.10HanningwindowdenoisingresultsFig4.11errorofHanning圖4.12三角窗去噪結(jié)果圖4.13三角窗誤差Fig4.12TriangularwindowdenoisingresultsFig4.13errorofTringular下表為各類窗函數(shù)的信噪比：窗類型矩形窗漢寧窗三角窗信噪比/dB11.3014.9716.85表4.2三種窗函數(shù)的信噪比Table4.2