一元多項(xiàng)式整除性的判定問題研究目錄TOC\o"1-3"\h\u13355一元多項(xiàng)式整除性的判定問題研究 113310摘要 1291341前言 1270602預(yù)備知識(shí) 2292963一元多項(xiàng)式整除性的判定方法 3147563.1利用一元多項(xiàng)式整除的定義及判定定理判定整除性 3265573.2利用一元多項(xiàng)式整除的性質(zhì)判定整除性 567903.3利用互素多項(xiàng)式的性質(zhì)判定整除性 7128973.4利用不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)判定整除性 10255653.5利用因式分解定理判定整除性 1118443.6利用綜合除法判定整除性 13197083.7利用單位根判定整除性 1999033.8利用待定系數(shù)法判定整除性 23105304結(jié)束語 25摘要一元多項(xiàng)式的整除性是研究多項(xiàng)式理論的基礎(chǔ)并貫穿其整個(gè)研究過程,然而,對(duì)于這一部分內(nèi)容,不僅題型多,方法多,而且往往蘊(yùn)含著一定的技巧性,想要有條有理地掌握還存在著一定的難度.本文介紹關(guān)于一元多項(xiàng)式整除性的八種常用判定方法,其中包括利用一元多項(xiàng)式整除的性質(zhì)判定整除性、利用綜合除法判定整除性、利用單位根判定整除性、利用待定系數(shù)法判定整除性等等.同時(shí),對(duì)每一種判定方法都通過一些典型的例子加以闡明,使得判定方法更加具體化、形象化,最后指出每一種判定方法的優(yōu)勢(shì)和關(guān)鍵點(diǎn),以便更好地掌握一元多項(xiàng)式整除性問題的方法與要領(lǐng).關(guān)鍵詞：一元多項(xiàng)式；整除；互素多項(xiàng)式；單位根1前言多項(xiàng)式理論的研究?jī)?nèi)容很多,其中整除性理論的基礎(chǔ)性決定了其自身在多項(xiàng)式理論中的特殊地位.一元多項(xiàng)式在多項(xiàng)式理論中出現(xiàn)的頻率很高,它由系數(shù)和一個(gè)唯一的且最高次數(shù)為任意次的未知數(shù)經(jīng)過運(yùn)算所得到,其中未知數(shù)是一個(gè)非負(fù)的整數(shù).在多項(xiàng)式理論的學(xué)習(xí)中,一元多項(xiàng)式整除性的判定值得我們進(jìn)行認(rèn)真仔細(xì)地鉆研,一元多項(xiàng)式的整除性不僅可以為后續(xù)更深入的多項(xiàng)式理論學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)牢固的基礎(chǔ),而且也是其它相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)建立起前后聯(lián)系的重要橋梁.一元多項(xiàng)式整除性的判定方法很多,許多優(yōu)秀的學(xué)者都對(duì)一元多項(xiàng)式整除性的判定方法進(jìn)行過歸納總結(jié),比如,在文獻(xiàn)REF_Ref25077\n\h[1]中,孫永平歸納了利用乘法公式判定整除性、利用整除的傳遞性判定整除性、利用奇偶分析法判定整除性等幾種方法,在文獻(xiàn)REF_Ref25472\n\h[2]中,楊峻和吳忠林介紹了利用待定系數(shù)法判定整除性、利用熟知的乘法公式判定整除性等幾種常見的方法,在文獻(xiàn)REF_Ref25518\n\h[3]中,劉惠棠總結(jié)了利用單位根和單位原根判定整除性等幾種常用的方法,在文獻(xiàn)REF_Ref29175\n\h[4]中,謝慶蘭以是否包含單位根作為依據(jù)，把一元多項(xiàng)式分為兩類，再對(duì)其整除性進(jìn)行分類討論，在文獻(xiàn)REF_Ref29234\n\h[5]中,唐鵬程探究了如何利用數(shù)學(xué)歸納法、反證法等方法來判定一元多項(xiàng)式整除性.不僅如此,有很多優(yōu)秀作者的著作中也對(duì)一元多項(xiàng)式整除性的判定方法進(jìn)行了深入的研究,比如,在文獻(xiàn)REF_Ref29619\n\h[6]、REF_Ref29342\n\h[7]中,王利廣、李本星、錢吉林精心整理了與一元多項(xiàng)式整除性相關(guān)的定義、定理、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)也整理了相應(yīng)的習(xí)題.這一系列優(yōu)秀的文獻(xiàn),無不為研究一元多項(xiàng)式整除性的判定提供了科學(xué)有效的方法和強(qiáng)有力的指導(dǎo).在一元多項(xiàng)式的加減乘除這四種運(yùn)算中,并非全部都能夠滿足封閉性，其中一元多項(xiàng)式的除法運(yùn)算是不封閉的,而另外三種運(yùn)算則滿足封閉性,這就顯示出一元多項(xiàng)式的整除性在一元多項(xiàng)式的運(yùn)算中是重要且特殊的.再者,一元多項(xiàng)式的整除性與-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型等其它的數(shù)學(xué)內(nèi)容休戚相關(guān),因此對(duì)一元多項(xiàng)式的整除性進(jìn)行深入研究就具有了重大意義.本文介紹八種關(guān)于一元多項(xiàng)式整除性判定的常用方法,其中包括利用一元多項(xiàng)式整除的定義及判定定理判定整除性、利用一元多項(xiàng)式整除的性質(zhì)判定整除性、利用互素多項(xiàng)式的性質(zhì)判定整除性、利用不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)判定整除性、利用因式分解定理判定整除性、利用綜合除法判定整除性、利用單位根判定整除性、利用待定系數(shù)法判定整除性,每一種判定方法都有相關(guān)的例題以加深理解,并指出使用每一種方法的優(yōu)勢(shì)和關(guān)鍵點(diǎn)所在.只有對(duì)一元多項(xiàng)式的整除性的基礎(chǔ)知識(shí)和判定方法都了如指掌,后續(xù)的多項(xiàng)式學(xué)習(xí)才會(huì)變得游刃有余.2預(yù)備知識(shí)定義REF_Ref23098\n\h[8]設(shè),,,則在中存在唯一的多項(xiàng)式與使,（2.1）其中或.稱為除的商式,為除的余式.定義REF_Ref23098\n\h[8]設(shè),,如果存在使,（2.2）則稱多項(xiàng)式能整除多項(xiàng)式,這時(shí)我們說是的一個(gè)因式,是的一個(gè)倍式.習(xí)慣上我們用符號(hào)表示整除.3一元多項(xiàng)式整除性的判定方法3.1利用一元多項(xiàng)式整除的定義及判定定理判定整除性定理REF_Ref23098\n\h[8]若,則除所得的余式為.例設(shè),證明:當(dāng)且僅當(dāng),其中是一個(gè)實(shí)數(shù).分析證明過程分為兩步.首先證明必要性,被整除,又被整除,則根據(jù)一元多項(xiàng)式整除的定義即可證明.其次證明充分性,首先假設(shè),再利用一元多項(xiàng)式的帶余除法和一元多項(xiàng)式整除的判定定理推導(dǎo)出矛盾即可推翻假設(shè).證明首先證明必要性.因?yàn)?則根據(jù)一元多項(xiàng)式整除的定義可知,存在一個(gè)一元多項(xiàng)式,使,于是,從而有.下面證明充分性.假設(shè),根據(jù)一元多項(xiàng)式的帶余除法,則可知存在唯一的一元多項(xiàng)式、,使,,于是.因?yàn)?則根據(jù)一元多項(xiàng)式整除性的判定定理可知,即.這與產(chǎn)生矛盾,從而推翻假設(shè),所以.綜上,當(dāng)且僅當(dāng),其中是一個(gè)實(shí)數(shù).例設(shè)、,其中,,,,均為實(shí)數(shù),且,證明:當(dāng)整除時(shí),實(shí)數(shù),,滿足關(guān)系式.分析已知一元多項(xiàng)式、的含有未知數(shù)的表達(dá)式,便可對(duì)、進(jìn)行除法計(jì)算,從而得到商式和余式.已知,則根據(jù)一元多項(xiàng)式整除的判定定理,利用解方程即可得知實(shí)數(shù),,之間的關(guān)系.證明設(shè)除所得到的商式為,余式為.根據(jù)一元多項(xiàng)式的帶余除法可知,存在唯一的一元多項(xiàng)式、,使.因?yàn)?則根據(jù)一元多項(xiàng)式整除的判定定理可知,必然有.對(duì)、進(jìn)行除法計(jì)算如下,由此得知,=0.從而有,解之得.綜上,當(dāng)整除時(shí),實(shí)數(shù),,滿足關(guān)系式.利用一元多項(xiàng)式整除的定義及判定定理判定整除性的優(yōu)勢(shì)及關(guān)鍵點(diǎn):對(duì)定義的理解和應(yīng)用是解題的根本所在,且判定定理作為判斷兩個(gè)一元多項(xiàng)式是否符合整除定義的定理,兩者在解題的過程中往往是不可分割的.把這兩者運(yùn)用在解決一元多項(xiàng)式整除性問題上,干脆利落,直接了當(dāng),無需進(jìn)行過多的考慮,重視并利用好定義和判定定理,才能使一元多項(xiàng)式整除性問題的解決更加合理、更加高效.利用本方法解題的關(guān)鍵點(diǎn)在于熟悉定義并能夠把定義與判定定理中余式為0相結(jié)合,以此作為解題的突破口.3.2利用一元多項(xiàng)式整除的性質(zhì)判定整除性性質(zhì)REF_Ref23098\n\h[8]如果,,那么.性質(zhì)REF_Ref23098\n\h[8]如果,,那么,其中,,為任意多項(xiàng)式.例設(shè)、,其中,是一個(gè)正整數(shù),,,,,,證明:.分析經(jīng)過整理,可得.令,則有.要證,只需證,即要證明,,,,,借助性質(zhì)以及公式即可證明.證明由公式,可知.因?yàn)?,,,,所以,從而有,,,,.由于,,則根據(jù)性質(zhì)可得,,,,.經(jīng)過整理,可得.令,由于,,,,,所以.又因?yàn)?所以根據(jù)性質(zhì),令,,則有,即.例設(shè),,,且三者滿足如下的兩個(gè)關(guān)系式:,,證明:且.分析要證分別整除、,只需找到一元多項(xiàng)式、,使,.現(xiàn)已知,,滿足如下的兩個(gè)關(guān)系式:,,根據(jù)性質(zhì),只需要確定、,就可找到、.證明令,,則有,.由性質(zhì),令,,則有,而,即,所以.同理,由性質(zhì),令,,則有,而,即,所以.利用一元多項(xiàng)式整除的性質(zhì)判定整除性的優(yōu)勢(shì)和關(guān)鍵點(diǎn):性質(zhì)是定義的延伸,一元多項(xiàng)式整除的性質(zhì)可以由其定義直接推理得到,性質(zhì)在解題中的作用也不容小覷.從一元多項(xiàng)式整除的性質(zhì)入手,充分挖掘題目的內(nèi)在,理清解題思路,就可以讓問題更為簡(jiǎn)單化,從而大大地提高解題速度,同時(shí)對(duì)于提高思考能力和鍛煉數(shù)學(xué)思維也有積極的作用.利用本方法的關(guān)鍵點(diǎn)在于熟悉一元多項(xiàng)式整除的性質(zhì),充分理解這些性質(zhì)的本質(zhì),根據(jù)題干所給的已知條件靈活地運(yùn)用.3.3利用互素多項(xiàng)式的性質(zhì)判定整除性性質(zhì)REF_Ref23098\n\h[8]如果,并且,那么.性質(zhì)REF_Ref23098\n\h[8]如果,,且,那么.例設(shè)一元多項(xiàng)式、、、滿足如下的兩個(gè)關(guān)系式:,,證明:且.分析比較上述的兩個(gè)關(guān)系式,發(fā)現(xiàn)與的前面是一個(gè)相同的一元多項(xiàng)式,而、前面的一元多項(xiàng)式的形式均形如,只有常數(shù)及其前面的正負(fù)號(hào)不相同,把上述兩個(gè)關(guān)系式進(jìn)行加減運(yùn)算,便可進(jìn)一步得知四個(gè)一元多項(xiàng)式、、、之間的關(guān)系,再利用互素多項(xiàng)式的性質(zhì)即可得證.證明令第一個(gè)關(guān)系式為①式,第二個(gè)關(guān)系式為②式.①+②得,即,從而可知.易知,則根據(jù)性質(zhì)可知.①-②得,即,從而可知.由于,則.因?yàn)?所以,從而.由于、,所以.綜上,當(dāng)一元多項(xiàng)式、、、滿足題干中的兩個(gè)關(guān)系式時(shí),、均可被整除.例設(shè)、,其中,,證明:.分析經(jīng)過整理,可得.要證,只需證明,即.證明當(dāng)時(shí),有,從而.當(dāng)時(shí),有,從而.由于、,且,則根據(jù)性質(zhì)可得,,即.利用互素多項(xiàng)式的性質(zhì)判定整除性的優(yōu)勢(shì)及關(guān)鍵點(diǎn)：互素多項(xiàng)式與一元多項(xiàng)式的整除性密不可分,兩者有機(jī)地結(jié)合起來,就可推導(dǎo)出互素多項(xiàng)式的重要性質(zhì).互素多項(xiàng)式的性質(zhì)是解決一元多項(xiàng)式整除性問題的有效工具,把互素多項(xiàng)式的性質(zhì)靈活地運(yùn)用到一元多項(xiàng)式整除的問題中去,往往可以激發(fā)做題的靈感,解題效果也會(huì)因此變得更好.利用本方法解題的關(guān)鍵點(diǎn)在于熟悉互素多項(xiàng)式的性質(zhì),根據(jù)題干所給的已知條件,找出互素多項(xiàng)式的性質(zhì)與一元多項(xiàng)式整除性問題之間的內(nèi)在聯(lián)系.3.4利用不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)判定整除性性質(zhì)REF_Ref23098\n\h[8]不可約多項(xiàng)式與任意的多項(xiàng)式的關(guān)系只有或.例設(shè)、、,其中、均為不可約多項(xiàng)式且互不相等,、、存在整除關(guān)系,證明：.分析已知,要證,根據(jù)性質(zhì)只需證.根據(jù)題意,由性質(zhì)即可證明.證明因?yàn)?、均為不可約多項(xiàng)式且互不相等,則,由性質(zhì)可知,.又因?yàn)?所以.例設(shè)、,且是不可約多項(xiàng)式,證明:.分析證明過程分為兩步.首先證明必要性,由于、,根據(jù)性質(zhì)即可證明必要性.其次證明充分性,先假設(shè),再利用性質(zhì)推導(dǎo)出矛盾即可推翻假設(shè).證明首先證明必要性.由于,則.又因?yàn)?則根據(jù)一元多項(xiàng)式整除的傳遞性可知.下面證明充分性.假設(shè),由題意知,為不可約多項(xiàng)式,則由性質(zhì)可知,一元多項(xiàng)式與互素,從而由多項(xiàng)式互素的性質(zhì)知與互素,這與產(chǎn)生矛盾,從而推翻假設(shè),所以.利用不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)判定整除性的優(yōu)勢(shì)和關(guān)鍵點(diǎn):從不可約多項(xiàng)式延伸出來的性質(zhì)在解決一元多項(xiàng)式的整除性問題上優(yōu)勢(shì)突出,運(yùn)用不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)進(jìn)行解題,巧妙性極強(qiáng),不僅可以快速找到解題的突破口,而且解題思路也會(huì)變得一清二楚,這樣花費(fèi)在解題上的時(shí)間也可以在很大程度上得到節(jié)約.利用本方法的關(guān)鍵點(diǎn)在于要對(duì)不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)了如指掌,根據(jù)題干所給的已知條件,找出利用不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)的條件即可.3.5利用因式分解定理判定整除性定理REF_Ref23098\n\h[8]的一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式可分解成不可約多項(xiàng)式的乘積.若不計(jì)算零次多項(xiàng)式的差異及因式的順序,分解成不可約因式的乘積的分解式是唯一的.推論REF_Ref23098\n\h[8]設(shè)，,,,而的標(biāo)準(zhǔn)分解式為,則的充分必要條件是,其中,,,.例判斷一元多項(xiàng)式能否被整除,若能整除,求出其商式.分析除式是一個(gè)在實(shí)數(shù)域上的最高次數(shù)為次的不可約多項(xiàng)式.因?yàn)橐辉囗?xiàng)式的最高次數(shù)為次,所以可進(jìn)行因式分解.若除式為其中的因式之一,則可知.解對(duì)一元多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解,可得.由在實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式可知,商式.例設(shè)、,且兩者的最高次數(shù)均大于或者等于,證明:.分析證明過程分為兩步.首先證明必要性,由于,根據(jù)一元多項(xiàng)式整除的定義即可證明.其次證明充分性,由于,的最高次數(shù)大于或者等于,則利用因式分解唯一性定理即可證明充分性成立.證明首先證明必要性.因?yàn)?則根據(jù)一元多項(xiàng)式整除的定義可知,存在一個(gè)一元多項(xiàng)式,使,從而有,所以.下面證明充分性.由于一元多項(xiàng)式,的最高次數(shù)大于或者等于,則,均可以進(jìn)行因式分解.設(shè),的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為,,則,的標(biāo)準(zhǔn)分解式可分別表示為,.由題意知,則根據(jù)推論,有,,,,,即,再由推論可知.利用因式分解定理判定整除性的優(yōu)勢(shì)和關(guān)鍵點(diǎn):對(duì)于一元多項(xiàng)式整除性的判定問題,若除式是一個(gè)不可約多項(xiàng)式的時(shí)候,則可利用因式分解定理對(duì)被除式進(jìn)行分解,便可一眼看出是否整除,同時(shí)還可看出其商式.對(duì)一元多項(xiàng)式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)分解,不僅可以快速對(duì)整除關(guān)系進(jìn)行判定,而且效果甚佳,因此對(duì)其牢固掌握并熟練運(yùn)用很有必要.利用本方法解題的關(guān)鍵點(diǎn)在于充分地理解一元多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式,同時(shí)也要明確一點(diǎn),即當(dāng)兩個(gè)一元多項(xiàng)式之間具有整除關(guān)系的時(shí)候,它們兩個(gè)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中除了常數(shù)、以及因式的次數(shù)之外,其它都是一樣的.3.6利用綜合除法判定整除性定義REF_Ref23098\n\h[8]設(shè),除所得的商式和余式分別為和,則,其中.上面求商式和余數(shù)的過程可以用以下表格的形式表示:例試判斷能否整除,并求出其商式以及余式:;，;;，.分析由于,提取公因式后,符合的除式形式,而且的表達(dá)式也是已知的,從而可以利用綜合除法判定兩者是否存在整除關(guān)系,并求除出商式以及余式.解設(shè)除的商式為,余式為,則有.利用綜合除法,可得根據(jù)綜合除法列表可知,除的商式,余式,即能整除.設(shè)除的商式為,余式為,則有,其中.利用綜合除法,可得根據(jù)綜合除法列表可知,除的商式,余式,即能整除.由上可知,即找到一個(gè)一元多項(xiàng)式,使,所以能整除.例若、均為實(shí)數(shù),一元多項(xiàng)式能夠被整除,求實(shí)數(shù)、的值.分析由于能夠被整除,則根據(jù)一元多項(xiàng)式整除的定義可知,存在一元多項(xiàng)式,使,即表明也能夠被整除.令,則也能夠被整除.利用兩次綜合除法進(jìn)行計(jì)算,再結(jié)合兩個(gè)一元多項(xiàng)式整除余式為,即可得到一個(gè)關(guān)于、的方程組,通過解方程即可求出實(shí)數(shù)、的值.解由于能夠被整除,所以也能夠被整除.設(shè)整除的商式為,則有.利用綜合除法,可得根據(jù)綜合除法列表可知,除的商式,余式.由題意可知,也能夠被整除.設(shè)整除的商式為,則有.利用綜合除法,可得由綜合除法列表知,除的商式,余式.通過兩次綜合除法得到關(guān)于、的二元一次線性方程組,解之得.綜上,若能夠被整除,則實(shí)數(shù),.定義中的綜合除法只適用于形如的除式,下面介紹綜合除法的兩種推廣形式,使得綜合除法不再局限于形如的除式,而是適用于二次甚至更高次的除式.推廣一:除式為一元二次多項(xiàng)式.定義設(shè)多項(xiàng)式,,由帶余除法定理得,,其中,為余數(shù).記,除式為二次多項(xiàng)式的綜合除法可表示為如下的計(jì)算形式REF_Ref1724\n\h[9]例設(shè)有一元多項(xiàng)式、,試判斷是否存在整除關(guān)系,,;,.分析除式為一元二次多項(xiàng)式,利用推廣一的綜合除法求出商式和余式即可進(jìn)行判斷.解設(shè)除的商式為,余式為,則有.利用推廣一的綜合除法,可得根據(jù)綜合除法列表可知,商式,余式,即能整除.設(shè)除的商式為,余式為,則有,其中,.利用推廣一的綜合除法,可得根據(jù)綜合除法列表知,除的商式,余式,即,從而,則除的商式,余式.推廣二:除式為一元次多項(xiàng)式,其中.定義設(shè)多項(xiàng)式,,,下面給出給出利用綜合除法求除的商和余式的計(jì)算形式REF_Ref1724\n\h[9].例試判斷一元多項(xiàng)式、是否存在整除關(guān)系,,;,.分析除式的最高次數(shù)大于,利用推廣二的綜合除法求出商式和余式即可進(jìn)行判斷.解設(shè)除的商式為,余式為,則有,其中,.利用推廣二的綜合除法可得,根據(jù)綜合除法列表可知,除的商式,,即.因?yàn)?,所以.由上可知，除的商式,余式.設(shè)除的商式為,余式為,則有,利用推廣二的綜合除法,可得根據(jù)綜合除法列表可知,除的商式,余式,即能整除.利用綜合除法判定整除性的優(yōu)勢(shì)和關(guān)鍵點(diǎn):綜合除法作為判定一元多項(xiàng)式整除的有力工具,不僅容易掌握,而且應(yīng)用起來也極其方便.綜合除法列表簡(jiǎn)潔美觀,只需要書寫一元多項(xiàng)式的系數(shù)即可,簡(jiǎn)便計(jì)算的同時(shí)提高運(yùn)算效率,節(jié)約時(shí)間,準(zhǔn)確性也得以提高.通過綜合除法列表,可以簡(jiǎn)便地看出余式,從而判斷兩個(gè)多項(xiàng)式的整除關(guān)系,同時(shí)也得到兩個(gè)一元多項(xiàng)式相除的商式.利用該方法解題的關(guān)鍵點(diǎn)在于真正掌握綜合除法列表的計(jì)算,找準(zhǔn)除式的最高次,以此選定所使用綜合除法的類型.3.7利用單位根判定整除性定義REF_Ref2053\n\h[10]多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上的每一個(gè)根稱為次單位根.性質(zhì)REF_Ref2053\n\h[10]設(shè)是次單位根,則;當(dāng)時(shí),.性質(zhì)REF_Ref2053\n\h[10]設(shè),,,是所有次單位根,則.下面介紹兩種利用單位根的定義和性質(zhì)解決一元多項(xiàng)式整除性問題的常見題型.題型一:證明兩個(gè)一元多項(xiàng)式具有整除關(guān)系,即,其中為一個(gè)包括了全部不等于的單位根的特殊多項(xiàng)式,證明的根也是的根.例設(shè)有一元多項(xiàng)式,,證明:.分析由公式,則可得知的所有不等于的根,,,也是的根.要證,只需證的根也是根,由單位根的性質(zhì)和性質(zhì)即可證明,,,,.證明由公式,可設(shè),,,,為的次單位根,同時(shí),,,也是根,即,,,,.根據(jù)性質(zhì)和性質(zhì)可知,,,,,,,,,,.把,,,,代入,可得,即,,,,也是的根,所以.推論類似于例的證明可得,若有一元多項(xiàng)式,,其中、、均為正整數(shù),則.例設(shè)一元多項(xiàng)式,,其中是正整數(shù),,,,,證明:.分析由公式,則可得知的所有不等于的根,,,也是的根.要證,只需證的根也是根,由單位根的性質(zhì)和性質(zhì)即可證明,,,,.證明由公式,可設(shè),,,,為的次單位根,同時(shí),,,也是根,即,,,,.根據(jù)性質(zhì)和性質(zhì)知,,,,,,,,,,,把,,,,代入,可得,即,,,,也是的根,所以.推論類似于例的證明可得,若有一元多項(xiàng)式,,其中、、均為正整數(shù),則有.題型二:根據(jù)單位根的性質(zhì)得到一個(gè)齊次線性方程組,進(jìn)而證明系數(shù)行列式不為零,即可證明兩個(gè)一元多項(xiàng)式的整除關(guān)系.例若有一元多項(xiàng)式,其中,,,,且有整除關(guān)系,證明:.分析令,.由公式,則可得知的所有不等于的根,,,也是的根.由于整除,從而,,,也是的根,代入即可得到一個(gè)齊次線性方程組.要證,只需證,,,,.證明令,.由公式,可設(shè),,,,為的次單位根,同時(shí),,,也是的根.由性質(zhì)和性質(zhì)知,,,,,,,,,,.由于,所以,,,也是的根,故有（3.1）即（3.2）其中,齊次線性方程組（3.2）以,,,為未知數(shù).系數(shù)行列式,即表明方程組唯一的解就是零解,即,從而有,,,,,所以有整除關(guān)系成立.推論類似于例的證明可得,若有一元多項(xiàng)式,其中,,,,且有整除關(guān)系,則.利用單位根判定整除性的優(yōu)勢(shì)和關(guān)鍵點(diǎn):有些一元多項(xiàng)式的整除問題看上去比較復(fù)雜,不知從何下手,這時(shí)候單位根就可派上用場(chǎng).單位根的性質(zhì)比較特殊,只要抓住單位根解題的竅門,把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化,一元多項(xiàng)式整除的問題便可迎刃而解.利用本方法的關(guān)鍵點(diǎn)在于找到與題干相關(guān)的乘法公式,以此作為解題的突破口,把乘法公式靈活地與單位根的性質(zhì)進(jìn)行結(jié)合,即可對(duì)兩個(gè)一元多項(xiàng)式之間的整除關(guān)系進(jìn)行證明.3.8利用待定系數(shù)法判定整除性定義REF_Ref23098\n\h[8]若兩個(gè)多項(xiàng)式和的同次項(xiàng)的系數(shù)都相等,則稱和相等,記為.例設(shè)一元多項(xiàng)式,,其中、均為整數(shù),若與存在二次的公因式,試求整數(shù)與的值.分析已知一元多項(xiàng)式與的表達(dá)式,且它們有二次的公因式,不妨設(shè)其二次公因式為,便可利用二次公因式得到與的與題干中不同的表達(dá)式,這時(shí),與均有兩個(gè)不同表達(dá)式,從而可以利用待定系數(shù)法進(jìn)行解題.解設(shè)與的二次公因式為.由于與的最高次數(shù)為次,則有一元一次多項(xiàng)式與,使,.由待定系數(shù)法得到有關(guān)于未知數(shù)、、、、、的線性方程如下解