1.8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)圖形的特點(diǎn)一、函數(shù)的連續(xù)性是一條連綿不斷的曲線.直觀的定性描述用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行定量的分析設(shè)變量u從它的一個(gè)初值u1變到終值u2,終值與初值的差

u2-u1,叫做變量u的增量（改變量），記作Δu，即Δu=u2-u1一、函數(shù)的連續(xù)性增量可以是正的，也可以是負(fù)的.1.變量的增量當(dāng)Δu為正時(shí)，變量u從u1變到u2=u1+Δu時(shí)是增大的；當(dāng)Δu為負(fù)時(shí)，變量u從u1變到u2=u1+Δu時(shí)是減小的.u2=u1+Δuu1注：Δu是一個(gè)整體不可分割的記號(hào)，不表示乘積.自變量x從自變量的增量(改變量)Δx函數(shù)的增量(改變量)Δy2.連續(xù)的定義定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0

的某一鄰域內(nèi)有定義，如果那么就稱函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)x0

連續(xù).2.連續(xù)的定義定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0

的某一鄰域內(nèi)有定義，如果那么就稱函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)x0

連續(xù).自變量初值x0，終值x0+Δx=xf(x)在點(diǎn)x0連續(xù)：定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0

的某一鄰域內(nèi)有定義，如果那么就稱函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)x0

連續(xù).3.連續(xù)的等價(jià)定義函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)極限值等于函數(shù)值.定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0

的某一鄰域內(nèi)有定義，如果那么就稱函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)x0

連續(xù).(1)有定義，即f(x0)存在；(2)有極限，即存在；(3)相等，即判定函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

連續(xù)：必需同時(shí)滿足下述條件.判定函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

連續(xù)：必需同時(shí)滿足下述條件.(1)有定義，即f(x0)存在；(2)自變量的增量趨于0時(shí)，函數(shù)的增量趨于0；

例討論函數(shù)在處是否連續(xù)？解函數(shù)在處有定義，且于是所以，函數(shù)在處連續(xù).

例解函數(shù)f(x)在x=0處左連續(xù)函數(shù)f(x)在x=0處有定義，f(0)=-2例解函數(shù)f(x)在x=0處有定義，f(0)=2函數(shù)f(x)在x=0處右連續(xù)定義左、右連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的充要條件是：函數(shù)在點(diǎn)既左連續(xù)，又右連續(xù)，定理4.連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).如果區(qū)間包括端點(diǎn)，那么在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)，在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù).定義

連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.判斷函數(shù)連續(xù)的直觀方法:ab有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都是連續(xù)的。有理整函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)

我們來(lái)證明,函數(shù)y=sinx在區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)三角函數(shù)積化和差公式三角函數(shù)和差化積公式

三角函數(shù)積化和差公式

三角函數(shù)和差化積公式我們來(lái)證明,函數(shù)y=sinx在區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的由三角公式有類似可證y

=cosx

在(-,+)上連續(xù).說(shuō)以

y=sinx

在(-,+)上連續(xù).連續(xù)函數(shù)例解點(diǎn)x=0

稱為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)1.定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0

的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)y=f(x)有下列三種情形之一：(1)

在x=x0

沒(méi)有定義；(2)

雖在x=x0

有定義，但不存在；(3)

雖在x=x0

有定義，且存在，但則稱函數(shù)f(x)在x0

間斷，點(diǎn)x0

稱為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(不連續(xù)點(diǎn)）.思考：函數(shù)的間斷點(diǎn)可能會(huì)在哪些點(diǎn)上？例1討論的連續(xù)性xyO-

無(wú)窮間斷點(diǎn):f(x0-),f(x0+)中至少有一個(gè)是無(wú)窮大例2在x=0不存在討論處的連續(xù)性振蕩間斷點(diǎn):f(x0-),f(x0+)中至少有一個(gè)是振蕩的例3間斷點(diǎn)討論處的連續(xù)性xy1O可去間斷點(diǎn):f(x0-)=f(x0+)≠f(x0)xy11O例4所以,x=1也稱為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn)討論在x=1處的連續(xù)性xy1-1O例5函數(shù)因?yàn)閥=f(x)的圖形在x=0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象,我們稱x=0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點(diǎn)在x=0處的連續(xù)性跳躍間斷點(diǎn):f(x0-)

f(x0+)

所以，x=0為函數(shù)f(x)間斷點(diǎn)

2.間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)f(x0-),f(x0+)都存在可去間斷點(diǎn)f(x0-)=f(x0+)跳躍間斷點(diǎn)f(x0-)

f(x0+)第二類間斷點(diǎn)f(x0-),f(x0+)中至少有一個(gè)不存在無(wú)窮間斷點(diǎn)f(x0-),f(x0+)中至少有一個(gè)是無(wú)窮大振蕩間斷點(diǎn)f(x0-