山西省陽泉市陽泉中學2026屆高二上數學期末學業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅硬物質，它的結構是由8個等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長為2，則它外接球的體積為（）A. B.C. D.2．《周髀算經》中有這樣一個問題：從冬至起，接下來依次是小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種共十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數列，其中大寒、驚蟄、谷雨三個節(jié)氣的日影長之和為25.5尺，且前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則立春的日影長為（）A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺3．已知是橢圓上的一點，則點到兩焦點的距離之和是（）A.6 B.9C.14 D.104．如圖，已知多面體，其中是邊長為4的等邊三角形，四邊形是矩形，，平面平面，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.5．已知半徑為2的圓經過點（5，12），則其圓心到原點的距離的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.136．若關于一元二次不等式的解集為，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.7．設為坐標原點，拋物線的焦點為，為拋物線上一點．若，則的面積為（）A. B.C. D.8．雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.2C. D.9．設函數，則（）A.1 B.5C. D.010．已知圓與直線，則圓上到直線的距離為1的點的個數是（）A.1 B.2C.3 D.411．將函數圖象上所有點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則（）A. B.C. D.12．已知等差數列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48C.36 D.24二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若曲線在處的切線平行于x軸，則___________.14．已知函數在R上連續(xù)且可導，為偶函數且，其導函數滿足，則不等式的解集為___.15．在平面幾何中有如下結論：若正三角形的內切圓周長為，外接圓周長為，則.推廣到空間幾何可以得到類似結論：若正四面體的內切球表面積為，外接球表面積為，則__________16．若“”是真命題，則實數的最小值為_____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）當時，求在區(qū)間上的最值；（2）若在定義域內有兩個零點，求的取值范圍18．（12分）已知函數,.(1)討論函數的單調性;(2)若不等式在上恒成立,求實數的取值范圍.19．（12分）某企業(yè)搜集了某產品的投人成本x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）的六組數據，并將其繪制成如圖所示的散點圖.根據散點圖可以看出，y與x之間是線性相關的.（1）試用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程；（2）若投入成本不高于10萬元，則可以根據（1）中的回歸方程估計產品銷售收入；若投入成本高于10萬元，投入成本x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）之間的關系式為.若該企業(yè)要追求更高的毛利率（毛利率），試問該企業(yè)對該產品的投入成本選擇收人7萬元更好，還是選擇12萬元更好？說明你的理由.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.參考數據：.20．（12分）求滿足下列條件的雙曲線的標準方程（1）焦點在x軸上，實軸長為4，實半軸長是虛半軸長的2倍；（2）焦點在y軸上，漸近線方程為，焦距長為21．（12分）已知函數（1）討論函數的單調性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍22．（10分）已知數列的前項和為，并且滿足（1）求數列的通項公式；（2）若，數列的前項和為，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】求得外接球的半徑，進而計算出外接球體積.【詳解】設，正八面體的棱長為，根據正八面體的性質可知：，所以是外接球的球心，且半徑，所以外接球的體積為.故選：A2、B【解析】設影長依次成等差數列，公差為，根據題意結合等差數列的通項公式及前項和公式求出首項和公差，即可得出答案.【詳解】解：設影長依次成等差數列，公差為，則，前9項之和，即，解得，所以立春的日影長為.故選：B.3、A【解析】根據橢圓的定義，可求得答案.【詳解】由可知：，由是橢圓上的一點，則點到兩焦點的距離之和為，故選：A4、C【解析】利用面面垂直性質結合已知尋找兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標系，用向量法可解.【詳解】取的中點O，連接OB，過O在平面ACDE面內作交DE于F∵平面平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，平面ACDE，∴平面ABC∴∵是邊長為4的等邊三角形，四邊形ACDE是矩形，∴以O為原點，OA，OB，OF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系則，，，設平面ABD的單位法向量，，由解得取，則∴點C到平面ABD的距離.故選：C5、B【解析】由條件可得圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，然后可得答案.【詳解】因為半徑為2的圓經過點（5，12），所以圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，所以圓心到原點的距離的最小值為，故選：B6、B【解析】結合判別式求得的取值范圍.【詳解】由于關于的一元二次不等式的解集為，所以，解得，所以實數的取值范圍是.故選：B7、D【解析】先由拋物線方程求出點的坐標，準線方程為，再由可求得點的橫坐標為4，從而可求出點的縱坐標，進而可求出的面積【詳解】由題意可得點的坐標，準線方程為，因為為拋物線上一點，，所以點的橫坐標為4，當時，，所以，所以的面積為，故選：D8、A【解析】根據點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】由雙曲線的標準方程可知：，該雙曲線的焦點坐標為：，雙曲線的漸近線方程為：，所以焦點到漸近線的距離為：，故選：A9、B【解析】由題意結合導數的運算可得，再由導數的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.10、B【解析】根據圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】由得，則圓的圓心為，半徑，由，則圓心到直線的距離，∵，∴在圓上到直線距離為1的點有兩個.故選：B.11、A【解析】根據三角函數圖象的變換，由逆向變換即可求解.【詳解】由已知的函數逆向變換，第一步，向左平移個單位長度，得到的圖象；第二步，圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，即的圖象.故.故選：A12、B【解析】利用等差數列的性質求解即可.【詳解】解：由等差數列的性質得.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出導函數得到函數在時的導數，由導數值為0求得a的值【詳解】由，得，則，∵曲線在點處的切線平行于x軸，∴，即.故答案為：14、【解析】由已知條件可得圖象關于對稱，在上遞增，在上遞減，然后分四種情況討論求解即可【詳解】因為為偶函數，所以的圖象關于軸對稱，所以的圖象關于對稱，因為，所以當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，由，得，或，或，或，解得，或，或，或，綜上，，所以等式的解集為故答案為：15、【解析】分析：平面圖形類比空間圖形,二維類比三維得到,類比平面幾何的結論,確定正四面體的外接球和內切球的半徑之比,即可求得結論.詳解：平面幾何中，圓的周長與圓的半徑成正比，而在空間幾何中，球的表面積與半徑的平方成正比，因為正四面體的外接球和內切球的半徑之比是，，故答案為.點睛：本題主要考查類比推理，屬于中檔題.類比推理問題，常見的類型有：（1）等差數列與等比數列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復數與實數的類比；（5）向量與數的類比.16、1【解析】若“”是真命題，則大于或等于函數在的最大值因為函數在上為增函數，所以，函數在上的最大值為1，所以，，即實數的最小值為1.所以答案應填:1.考點：1、命題；2、正切函數的性質.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】（1）當時，求出導函數，求出函數得單調區(qū)間，即可求出在區(qū)間上的最值；（2）由，分離參數得，根據函數得單調性作圖，結合圖像即可得出答案.【詳解】解：（1）當時，，，∴在單調遞減，在單調遞增，，，∴，（2），則，∴在單調遞增，在單調遞減，，當時，，當時，，作出函數和得圖像，∴由圖象可得，.18、（1）時，函數在單調遞增，無減區(qū)間；時，函數在單調遞增，在單調遞減.（2）.【解析】（1）對求導得到，分和進行討論，判斷出的正負，從而得到的單調性；（2）設函數，分和進行討論，根據的單調性和零點，得到答案.【詳解】解:（1）函數定義域是，，當時，，函數在單調遞增，無減區(qū)間；當時，令，得到，即，所以，，單調遞增，，，單調遞減，綜上所述，時，函數在單調遞增，無減區(qū)間；時，函數在單調遞增，在單調遞減.（2）由已知在恒成立，令，，可得，則，所以在遞增，所以，①當時，，在遞增，所以成立，符合題意.②當時，，當時，，∴，使，即時，在遞減，，不符合題意.綜上得【點睛】本題考查利用導數討論函數的單調性，根據導數解決不等式恒成立問題，屬于中檔題.19、（1）（2）該企業(yè)對該產品的投入成本選擇收人12萬元更好，理由見解析.【解析】（1）根據公式計算出和，求出線性回歸方程；（2）分別求出投入成本7萬和12萬時的毛利率，比較出大小即可得到答案.【小問1詳解】，，，所以y關于x的線性回歸方程為；【小問2詳解】該企業(yè)對該產品的投入成本選擇收人12萬元更好，理由如下：當時，，此時毛利率為×100％≈34％；當時，，此時毛利率為=40％，因為40％>34％，所以該企業(yè)對該產品的投入成本選擇收人12萬元更好.20、（1）（2）【解析】（1）（2）直接由條件解出即可得到雙曲線方程.【小問1詳解】由題意有，解得：，則雙曲線的標準方程為：【小問2詳解】由題意有，解得：，則雙曲線的標準方程為：21、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求，分別討論不同范圍下的正負，分別求單調性；（2）由（1）所求的單調性，結合，分別求出的范圍再求并集即可.【詳解】解：（1）由已知定義域為，當，即時，恒成立，則在上單調遞增；當，即時，（舍）或，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以時，在上單調遞增；時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由（1）可知，當時，在上單調遞增，若對任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當時，若，即，則在上單調遞增，又，所以成立；若，則