2026屆山東省新高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若是的重心，且（，為實(shí)數(shù)），則（）A. B.1C. D.2．函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.3．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么A. B.C. D.4．圓：與圓：的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相離C.外切 D.內(nèi)切5．定義運(yùn)算，若函數(shù)，則的值域是（）A. B.C. D.6．將的圖象向右平移個(gè)單位，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍得到的圖象，則A. B.C. D.7．已知集合M={x|1≤x＜3}，N={1，2}，則M∩N=（）A. B.C. D.8．計(jì)算（）A. B.C. D.9．已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為4，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為（）A. B.C. D.10．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，若方程有唯一的實(shí)數(shù)解，則（）A.2 B.4C.8 D.16二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則______12．當(dāng)時(shí)x≠0時(shí)的最小值是____.13．是第___________象限角.14．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)根.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.15．函數(shù)的圖像與直線y＝a在(0，)上有三個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，，，則的取值范圍為_______.16．已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形的弧長(zhǎng)為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)滿足（1）求的解析式，并求在上的值域；（2）若對(duì)，且，都有成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍18．一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，能在短時(shí)間內(nèi)感染大量文件，使每個(gè)文件都不同程度地加長(zhǎng)，造成磁盤空間的嚴(yán)重浪費(fèi).這種病毒開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB，每3分鐘后病毒所占內(nèi)存是原來的2倍.記x分鐘后的病毒所占內(nèi)存為yKB.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）如果病毒占據(jù)內(nèi)存不超過1GB（1GB=21019．計(jì)算：（1）（2）20．（1）已知，求的最小值；（2）求函數(shù)的定義域21．對(duì)正整數(shù)n，記In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}（1）求集合P7中元素的個(gè)數(shù)；（2）若Pn的子集A中任意兩個(gè)元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】若與邊的交點(diǎn)為,再由三角形中線的向量表示即可.【詳解】若與邊交點(diǎn)為，則為邊上的中線，所以，又因?yàn)?，所以故選:A【點(diǎn)睛】此題為基礎(chǔ)題，考查向量的線性運(yùn)算.2、A【解析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,即可求解.【詳解】由函數(shù)，則，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域，需熟記對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】由題意得，，故，故選C考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用.4、A【解析】根據(jù)圓心距以及圓的半徑確定正確選項(xiàng).【詳解】圓：的圓心為，半徑為.圓：的圓心為，半徑為.，，所以兩圓相交.故選：A5、C【解析】由定義可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可求出.【詳解】由定義可得，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，綜上，的值域是.故選：C.6、A【解析】由三角函數(shù)圖象的平移變換及伸縮變換可得：將的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再把所得圖象向左平移個(gè)單位，即可得到的圖象，得解【詳解】解：將的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍得到，再把所得圖象向左平移個(gè)單位，得到，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換及伸縮變換，屬于簡(jiǎn)單題7、B【解析】根據(jù)集合交集的定義可得所求結(jié)果【詳解】∵，∴故選B【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是弄清兩集合交集中元素的特征，進(jìn)而得到所求集合，屬于基礎(chǔ)題8、A【解析】利用正切的誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】，故選：A.9、D【解析】如圖為等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體這是兩個(gè)底面半徑為，母線長(zhǎng)4的圓錐，故S=2πrl=2π××4=故答案為D.10、B【解析】由條件可得，為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為6，設(shè)，則得到偶函數(shù)，由有唯一的實(shí)數(shù)解，得有唯一的零點(diǎn)，則，從而得到答案.【詳解】由得，即，從而，所以為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為6，所以.設(shè)，將的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象，且為偶函數(shù).由有唯一的實(shí)數(shù)解，得有唯一的零點(diǎn)，從而偶函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)為，即，即，解得，所以故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由條件得到，得到為周期函數(shù)，設(shè)的圖象，且為偶函數(shù).由有唯一的實(shí)數(shù)解，得有唯一的零點(diǎn)，從而偶函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)為，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由二倍角公式，商數(shù)關(guān)系得，再由誘導(dǎo)公式、商數(shù)關(guān)系變形求值式，代入已知可得【詳解】，所以，故答案為：12、【解析】直接利用基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】解：由于，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）故最小值為故答案為：13、三【解析】根據(jù)給定的范圍確定其象限即可.【詳解】由，故在第三象限.故答案為：三.14、或或【解析】作出函數(shù)的圖象，設(shè)，分關(guān)于有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、，和兩相等實(shí)數(shù)根進(jìn)行討論，當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，再檢驗(yàn)，當(dāng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、時(shí)，或，再由二次方程實(shí)數(shù)根的分布進(jìn)行討論求解即可.【詳解】作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如圖，令，要使關(guān)于的方程有且僅有個(gè)不同的實(shí)根，（1）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，由，即，此時(shí)當(dāng)，此時(shí)，此時(shí)由圖可知方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)不滿足.當(dāng)，此時(shí)，此時(shí)由圖可知方程有6個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)滿足條件(2)當(dāng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、時(shí)，則或當(dāng)時(shí)，由可得則的根為由圖可知當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)滿足條件.當(dāng)時(shí)，設(shè)由，則，即綜上所述：滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是或或故答案為：或或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用復(fù)合型二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵由條件結(jié)合函數(shù)的圖象，分析方程的根情況及其范圍，再由二次方程實(shí)數(shù)根的分布解決問題，屬于難題.15、【解析】由x∈(0，)求出，然后，畫出正弦函數(shù)的大致圖像，利用圖像求解即可【詳解】由題意因?yàn)閤∈(0，)，則，可畫出函數(shù)大致的圖則由圖可知當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)根，由解得，解得，且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，故由圖得，令，當(dāng)為x∈(0，)時(shí)，解得或，所以，，，解得，，則，即.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于利用x∈(0，)，則畫出圖像，并利用對(duì)稱性求出答案16、【解析】由扇形的圓心角與面積求得半徑再利用弧長(zhǎng)公式即可求弧長(zhǎng).【詳解】設(shè)扇形的半徑為r，由扇形的面積公式得：，解得，該扇形的弧長(zhǎng)為.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）由條件可得，然后可解出，然后利用對(duì)勾函數(shù)的知識(shí)可得答案；（2）設(shè)，條件中的不等式可變形為，即可得在區(qū)間（2，4）遞增，然后分、、三種情況討論求解即可.【小問1詳解】因?yàn)棰?，所以②，?lián)立①②解得.當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，時(shí)為減函數(shù)，因?yàn)樗浴拘?詳解】對(duì)，，，都有，不妨設(shè)，則由恒成立，也即可得函數(shù)在區(qū)間（2，4）遞增；當(dāng)，即時(shí)，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，為兩個(gè)在上單調(diào)遞增函數(shù)的和，則可得在單調(diào)遞增，從而滿足在（2，4）遞增，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，，其在遞減，在遞增，若使在（2，4）遞增，則只需；綜上可得：18、（1）y=2x3（2）57分鐘【解析】（1）根據(jù)題意可得，y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）先根據(jù)題意，換算病毒占據(jù)的最大內(nèi)存1GB【小問1詳解】因?yàn)檫@種病毒開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB，每3分鐘后病毒所占內(nèi)存是原來的2倍.所以x分鐘后的病毒所占內(nèi)存為，得y=2x3【小問2詳解】因?yàn)椴《菊紦?jù)內(nèi)存不超過1GB時(shí)，計(jì)算機(jī)能夠正常使用，故有2x3+1所以本次開機(jī)計(jì)算機(jī)能正常使用的時(shí)長(zhǎng)為57分鐘.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)恒等式計(jì)算可得；【小問1詳解】解：【小問2詳解】解：20、（1）3；（2）或【解析】（1）由，利用基本不等式即可求解.（2）由題意可得，解一元二次不等式即可求解.【詳解】解：（1），，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最小值為3；（2）由題知，令，解得或∴函數(shù)定義域?yàn)榛?1、（1）46（2）n的最大值為14【解析】（1）對(duì)于集合P7，有n=7．當(dāng)k=4時(shí)，Pn={|m∈In，k∈In}中有3個(gè)數(shù)（1，2，3）與In={1，2，3…，n}中的數(shù)重復(fù)，由此求得集合P7中元素的個(gè)數(shù)為7×7﹣3=46（2）先證當(dāng)n≥15時(shí)，Pn不能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集．否則，設(shè)A和B為兩個(gè)不相交的稀疏集，使A∪B=Pn?In不妨設(shè)1∈A，則由于1+3=22，∴3?A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，這與A為稀疏集相矛盾再證P14滿足要求．當(dāng)k=1時(shí)，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2個(gè)稀疏集的并集事實(shí)上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，則A1和B1都稀疏集，且A1∪B1=I14當(dāng)k=4時(shí)，集合{|m∈I14}中，除整數(shù)外，剩下的數(shù)組成集合{，，，…，}，可以分為下列