第9講函數(shù)奇偶性與周期性鏈教材夯基固本激活思維1．(人A必一P84例6，P85練習(xí)T2改)(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()A．f(x)＝2x4＋3x2 B．f(x)＝x3－2xC．f(x)＝x＋eq\f(1,x) D．f(x)＝eq\f(1,x2)2．若一個奇函數(shù)的定義域為{－1,2，a，b}，則a＋b＝()A．－1 B．1C．0 D．23．(人A必一P101復(fù)習(xí)參考題T9(1)改)已知奇函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，且有最大值m，那么下列說法正確的是()A．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－b，－a]上單調(diào)遞減，且f(－b)＝－mB．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－b，－a]上單調(diào)遞減，且f(－a)＝－mC．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－b，－a]上單調(diào)遞增，且f(－b)＝－mD．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－b，－a]上單調(diào)遞增，且f(－a)＝－m4．(人A必一P86習(xí)題T11改)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則f(－2)的值是____．5．已知f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,1)時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x＜0，,x，0≤x＜1，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝____．聚焦知識1．奇偶性定義：若____，則f(x)為偶函數(shù)；若_)__，則f(x)為奇函數(shù)．這兩個式子有意義的前提條件是：定義域關(guān)于原點對稱．性質(zhì)：(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于____對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于____對稱；(2)若奇函數(shù)的定義域包含0，則必有f(0)＝____；(3)在關(guān)于y軸對稱的兩個區(qū)間內(nèi)，奇函數(shù)單調(diào)性____，偶函數(shù)單調(diào)性____．(4)一般地：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇，除法相同．(5)復(fù)合函數(shù)的奇偶性：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外．(6)既奇又偶的函數(shù)只有一個y＝0，但定義域可以有無數(shù)個．2．周期性(1)對定義域內(nèi)任意x，存在非零常數(shù)T(T＞0)，使____成立，則T為f(x)的周期；(2)若T存在最小值，則該值為最小正周期．研題型能力養(yǎng)成舉題說法函數(shù)奇偶性的判定例1(1)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x＞0，,0，x＝0，,－x2－2，x＜0；))(3)f(x)＝logaeq\f(m＋x,m－x)(m≠0)；(4)f(x)＝eq\f(ax＋1,ax－1)(a＞0且a≠1)．判斷函數(shù)奇偶性的步驟是：①求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；②驗證f(－x)是否等于±f(x)，或驗證其等價形式f(x)±f(－x)＝0或eq\f(f－x,fx)＝±1(f(x)≠0)是否成立．變式1(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3＋1，x＞0，,ax3＋b，x＜0))為偶函數(shù)，則2a＋b＝()A．3 B．eq\f(3,2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(3,2)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用視角1求值(解析式)例2－1(1)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x－1，則f(－2)＝()A．1 B．－eq\f(3,4)C．3 D．－3(2)(2025·亳州期初摸底)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，y＝f(x)＋ex是偶函數(shù)，y＝f(x)－3ex是奇函數(shù)，則f(ln3)的值為()A．eq\f(7,3) B．3C．eq\f(10,3) D．eq\f(11,3)變式2－1(2024·淮北二模)若函數(shù)f(x)＝ax＋ln(ex＋1)是偶函數(shù)，則實數(shù)a＝()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,e) D．－eq\f(1,e)視角2函數(shù)圖象識別例2－2(2024·全國甲卷理)函數(shù)f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx在區(qū)間[－2.8,2.8]上的大致圖象為()ABCD變式2－2(2024·揚州期末)(多選)已知函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則y＝f(x)的圖象可能是()ABCD視角3解不等式例2－3(2024·永州三模)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x＋sinx－x＋2，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．若f(logeq\s\do8(\f(1,2))t)＋f(3)＞4，則實數(shù)t的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，＋∞))C．(0,8) D．(8，＋∞)視角4最值性質(zhì)例2－4已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝a＋eq\f(3sinx,2＋cosx)(a∈R)有最大值和最小值，且最大值與最小值的和為6，則a＝____．函數(shù)的周期性例3(1)若f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且f(1)＝－5，則f(f(5))＝____．(2)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，則f(2024)＝____．周期性的幾個常用結(jié)論對f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x，周期為T，則：(1)f(x＋a)＝f(x＋b)：可得f(x)為周期函數(shù)，其周期T＝|b－a|；(2)f(x＋a)＝－f(x)?f(x)的周期T＝2a；(3)f(x＋a)＝eq\f(1,fx)?f(x)的周期T＝2a；(4)f(x)＋f(x＋a)＝k(k為常數(shù))?f(x)的周期T＝2a；(5)f(x)·f(x＋a)＝k(k為常數(shù))?f(x)的周期T＝2a．變式3(2024·蘇中蘇北八市三調(diào))已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋1)為偶函數(shù)，f(x＋2)－1為奇函數(shù)．若f(1)＝0，則eq\o(∑,\s\up6(26),\s\do4(k＝1))f(k)＝()A．23 B．24C．25 D．26隨堂內(nèi)化1．(2024·山西二模)已知f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2fx－1，x≥1，,－x，0≤x≤1，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝()A．1 B．2C．3 D．42．(2024·泰州2月調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(eaxsinx,1＋ex)是定義在R上的奇函數(shù)，則實數(shù)a＝()A．－1 B．0C．eq\f(1,2) D．13．(2024·十堰期末)(多選)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞增，且f(x＋2)為偶函數(shù)，則()A．f(x)的對稱中心為(2,0)B．f(x)的對稱軸為直線x＝2C．f(－1)＞f(4)D．不等式f(x＋3)＞f(4x)的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5)))∪(1，＋∞)4．已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且周期為2，當(dāng)x∈[－1,0)時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，則f(3)＝____．5．(2025·八省聯(lián)考)已知曲線C：y＝x3－eq\f(2,x)，兩條直線l1，l2均過坐標(biāo)原點O，l1和C交于M，N兩點，l2和C交于P，Q兩點．若△OPM的面積為eq\r(2)，則△MNQ的面積為____．配套熱練A組夯基精練一、單項選擇題1．(2024·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)若函數(shù)y＝f(x)－1是定義在R上的奇函數(shù)，則f(－1)＋f(0)＋f(1)＝()A．3 B．2C．－2 D．－32．已知函數(shù)f(x)＝asinx＋beq\r(3,x)＋4，若f(lg3)＝3，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,3)))＝()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．5 D．83．(2024·晉中三模)下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是()A．f(x)＝2|x| B．f(x)＝x3C．f(x)＝eq\f(1,x)－x D．f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x＞0，,－ln(－x)，x＜0))4．(2024·福州、廈門三檢)函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋1))的圖象大致為()ABCD5．(2024·邯鄲三調(diào))已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在[－1，0]上單調(diào)遞減，若a＝f(log345)，b＝f(－log58)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))，則()A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜bC．c＜a＜b D．b＜c＜a二、多項選擇題6．(2024·南通一調(diào))設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x)為奇函數(shù)，f(1＋x)＝f(1－x)，f(3)＝1，則()A．f(－1)＝1 B．f(x)＝f(4＋x)C．f(x)＝f(4－x) D．eq\o(∑,\s\up6(18),\s\do4(k＝1))f(k)＝－17．(2024·湛江二模)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x)不恒為零，且f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，則()A．f(0)＝1B．f(x)為偶函數(shù)C．f(x)在x＝0處取得極小值D．若f(a)＝0，則f(x)＝f(x＋4a)三、填空題8．已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(－x)＝0，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則eq\f(f(x)－f(－x),x)≥0的解集是____．9．(2023·全國甲卷理)若y＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))為偶函數(shù)，則a＝____．10．(2024·棗莊一模)已知f(x＋2)為偶函數(shù)，且f(x＋2)＋f(x)＝－6，則f(2027)＝____．四、解答題11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－4x，x≤0，,x2＋ax，x＞0))為奇函數(shù)．(1)求f(2)和實數(shù)a的值；(2)求方程f(x)＝f(2)的解集．12．設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)的定義域是{x|x∈R且x≠±1}，f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝eq\f(x,x－1)．(1)求f(x)與g(x)的解析式；(2)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＋f(2)＋f(3)＋f(4)的值．B組滾動小練13．(2024·淮北二模)某次考試一共5道判斷題，有三名考生參加考試，每人均答對4道題，答錯一道題，三人回答具體情況記錄如下：題號12345考生甲TFFFT考生乙TTFTT考生丙FFFTT則這5道題的正確答案依次為()A．FFFTT B．FTFTTC．TFFTF D．TFFTT14．(2024·滄州二模)(多選)已知實數(shù)a，b滿足a＞b，a＋b＝1，則()A．a(chǎn)2＞ab B．a(chǎn)b＞b2C．a(chǎn)b≤eq\f(1,4) D．a(chǎn)2＋b2≥115．定義：對于實數(shù)a，b，c，若滿足a＋c＝2b，則稱a，b，c是等差的；若滿足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c)，則稱a，b，c是調(diào)和的．已知集合M＝{x||x|≤2025，x∈Z}，集合P是集合M的三元子集，即P＝{a，b，c}?M，若集合P中的元素a，b，c既是等差的，又是調(diào)和的，則稱集合P為“好集”，則集合P為“好集”的個數(shù)是____．第9講函數(shù)奇偶性與周期性激活思維1.BC2.A3.B【解析】奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，最值互為相反數(shù)．4.－6【解析】由題知f(2)＝6，因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－2)＝－f(2)＝－6.5.1【解析】由題意得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋2＝1.聚焦知識1.f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)(1)原點y軸(2)0(3)相同相反2.(1)f(x＋T)＝f(x)舉題說法例1【解答】(1)f(x)的定義域為{－1，1}，關(guān)于原點對稱．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(2)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，當(dāng)x＞0時，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；當(dāng)x＜0時，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；當(dāng)x＝0時，f(0)＝0，也滿足f(－x)＝－f(x).故該函數(shù)為奇函數(shù)．(3)f(x)的定義域為(－|m|，|m|)，f(－x)＝logaeq\f(m－x,m＋x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋x,m－x)))eq\s\up12(－1)＝－logaeq\f(m＋x,m－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．(4)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝eq\f(a－x＋1,a－x－1)＝eq\f(1＋ax,1－ax)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．變式1(1)B【解析】由題意可得f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝－1＋eq\f(2,1＋x).對于A，f(x－1)－1＝eq\f(2,x)－2不是奇函數(shù)；對于B，f(x－1)＋1＝eq\f(2,x)是奇函數(shù)；對于C，f(x＋1)－1＝eq\f(2,x＋2)－2，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，f(x＋1)＋1＝eq\f(2,x＋2)，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)．(2)B【解析】由已知得，當(dāng)x>0時，－x<0，即f(x)＝x3＋1，f(－x)＝－ax3＋b.因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，即－ax3＋b＝x3＋1，所以a＝－1，b＝1，所以2a＋b＝2－1＋1＝eq\f(3,2).例21(1)D【解析】當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x－1，則f(2)＝22－1＝3.因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(－2)＝－f(2)＝－3.(2)D【解析】因為函數(shù)y＝f(x)＋ex為偶函數(shù)，所以f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，即f(x)－f(－x)＝e－x－ex①.又因為函數(shù)y＝f(x)－3ex為奇函數(shù)，所以f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex，即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x②.聯(lián)立①②可得f(x)＝ex＋2e－x，所以f(ln3)＝eln3＋2e－ln3＝eq\f(11,3).變式21B【解析】依題意，f(－x)＝f(x)，即－ax＋ln(e－x＋1)＝ax＋ln(ex＋1)，整理得2ax＋lneq\f(ex＋1,e－x＋1)＝0，即2ax＋lnex＝0，則有(2a＋1)x＝0.因為x不恒為0，所以必有2a＋1＝0，解得a＝－eq\f(1,2).例22B【解析】f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx＝f(x)，又函數(shù)的定義域為[－2.8，2.8]，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A，C.又f(1)＝－1＋(e－eq\f(1,e))sin1>－1＋(e－eq\f(1,e))sineq\f(π,6)＝eq\f(e,2)－1－eq\f(1,2e)>eq\f(1,4)－eq\f(1,2e)>0，故可排除D.變式22BC【解析】由已知得f(－x)＝－x(e－x＋a·ex)，若y＝f(x)為偶函數(shù)，則－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)恒成立，所以x(1＋a)(ex＋e－x)＝0恒成立，故a＝－1，則f(x)＝x(ex－e－x)，所以x>0時有f(x)>0，且f(x)單調(diào)遞增，顯然C正確，D錯誤．若y＝f(x)為奇函數(shù)，則－x(e－x＋aex)＝－x(ex＋ae－x)恒成立，所以x(a－1)(ex－e－x)＝0恒成立，故a＝1，則f(x)＝x(ex＋e－x)，所以x>0時有f(x)>0，且f(x)單調(diào)遞增，顯然B正確，A錯誤．例23C【解析】因為f′(x)＝ex＋e－x＋cosx－1≥2eq\r(ex·e－x)＋cosx－1＝1＋cosx≥0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增．令g(x)＝f(x)－2，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)＝g(x)＋2.因為g(－x)＝e－x－ex＋sin(－x)＋x＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，則f(logeq\s\do9(\f(1,2))t)＋f(3)>4化為g(logeq\s\do9(\f(1,2))t)＋2＋g(3)＋2>4，所以g(logeq\s\do9(\f(1,2))t)>－g(3)?g(logeq\s\do9(\f(1,2))t)>g(－3)?logeq\s\do9(\f(1,2))t>－3，解得0<t<8.例243【解析】令g(x)＝eq\f(3sinx,2＋cosx)，顯然g(x)為奇函數(shù)，最大值、最小值互為相反數(shù)，分別設(shè)為M，－M，則f(x)＝a＋eq\f(3sinx,2＋cosx)(a∈R)的最大值、最小值分別為M＋a，－M＋a，和為2a＝6，則a＝3.例3(1)5【解析】因為f(x＋2)＝－f(x)，所以T＝4，所以f(5)＝f(1)＝－5，所以f(f(5))＝f(－5)＝f(－1).令x＝－1，則f(1)＝－f(－1)＝－5，所以f(f(5))＝f(－1)＝5.(2)0【解析】因為f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，代入x－2得，f(x＋1)＋f(x－1)＝f(2).兩式相減得，f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4為函數(shù)f(x)的周期，因此f(2024)＝f(4×506)＝f(0).在f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)中，令x＝－1，得f(2)＋f(0)＝f(2)，所以f(0)＝0，即f(2024)＝0.變式3C【解析】由f(x＋1)為偶函數(shù)，得f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x)關(guān)于x＝1對稱．由f(x＋2)－1為奇函數(shù)，得f(－x＋2)－1＝－f(x＋2)＋1，即f(－x＋2)＋f(x＋2)＝2，則f(x)關(guān)于點(2，1)對稱．由f(x)關(guān)于x＝1對稱得f(x)＝f(－x＋2)，則f(x)＋f(x＋2)＝2，f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，作差得f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)為周期函數(shù)，且周期為4.因為f(1)＋f(3)＝2，f(1)＝0，所以f(3)＝2.因為f(0)＝f(2)，f(0)＋f(2)＝2，所以f(0)＝f(2)＝1，f(4)＝f(0)＝1，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，所以eq\o(∑,\s\up6(24),\s\do4(k＝1))f(k)＝24，eq\o(∑,\s\up6(26),\s\do4(k＝1))f(k)＝24＋1＋0＝25.隨堂內(nèi)化1.B【解析】因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(－eq\f(5,2))＝－f(eq\f(5,2))，且f(eq\f(5,2))＝2f(eq\f(3,2))＝4f(eq\f(1,2))＝4×(－eq\f(1,2))＝－2，所以f(－eq\f(5,2))＝2.2.C【解析】因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即eq\f(e－axsin（－x）,1＋e－x)＝－eq\f(eaxsinx,1＋ex).因為x不恒為0，所以eq\f(e－ax,1＋e－x)＝eq\f(eax,1＋ex)，所以eq\f(exe－ax,ex＋1)＝eq\f(eax,ex＋1)，即x－ax＝ax，解得a＝eq\f(1,2).3.BD【解析】因為f(x＋2)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(x)圖象的對稱軸為直線x＝2，故A錯誤，B正確；又f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞增，所以f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(－1)＝f(5)<f(4)，故C錯誤；由不等式f(x＋3)>f(4x)結(jié)合f(x)的對稱性及單調(diào)性，得|x＋3－2|<|4x－2|，即(x＋3－2)2<(4x－2)2，即(5x－1)(3x－3)>0，解得x<eq\f(1,5)或x>1，所以不等式f(x＋3)>f(4x)的解集為(－∞，eq\f(1,5))∪(1，＋∞)，故D正確．4.1【解析】由題知當(dāng)x＝－1時，f(－1)＝1.因為函數(shù)f(x)的周期T＝2且為偶函數(shù)，所以f(x＋2)＝f(x)，所以f(3)＝f(1)＝f(－1)＝1.5.2eq\r(,2)【解析】如圖，由y＝x3－eq\f(2,x)為奇函數(shù)，y＝kx為奇函數(shù)，知M與N，P與Q分別關(guān)于原點對稱，則S△MNQ＝2S△OMQ＝2S△OMP＝2eq\r(,2).(第5題)配套精練1.A【解析】設(shè)F(x)＝f(x)－1，則F(x)＋F(－x)＝0，即f(x)－1＋f(－x)－1＝0，即f(x)＋f(－x)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝2.因為F(0)＝f(0)－1＝0，所以f(0)＝1，故f(－1)＋f(0)＋f(1)＝2＋1＝3.2.C【解析】由f(lg3)＝asin(lg3)＋beq\r(3,lg3)＋4＝3，得asin(lg3)＋beq\r(3,lg3)＝－1，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,3)))＝f(－lg3)＝－asin(lg3)－beq\r(3,lg3)＋4＝1＋4＝5.3.C【解析】對于A，函數(shù)f(x)＝2|x|的定義域為R，又f(－x)＝2|－x|＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，由冪函數(shù)f(x)＝x3的圖象可知，f(x)＝x3在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)－x的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝eq\f(1,－x)－(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，又冪函數(shù)y＝eq\f(1,x)，y＝－x都在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故C正確；對于D，因為對數(shù)函數(shù)y＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,－ln（－x），x<0))在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故D錯誤．4.A【解析】函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋3,\r(,x2＋1))的定義域為R，故排除C，D.又f(－x)＝f(x)，即f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除B.5.B【解析】因為f(x)是偶函數(shù)，f(x＋2)＝f(x)，f(x)在[－1，0]上單調(diào)遞減，所以f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減．a(chǎn)＝f(log345)＝f(2＋log35)＝f(log35)，b＝f(－log58)＝f(log58)，因為53＝125>34＝81，83＝512<54＝625，所以5>3eq\s\up6(\f(4,3))，8<5eq\s\up6(\f(4,3))，所以1<log58<eq\f(4,3)<log35<2，所以f(log58)>f(eq\f(4,3))>f(log35)，故a<c<b.6.ABD【解析】由f(x)為奇函數(shù)，知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(0，0)對稱，又f(1＋x)＝f(1－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，則f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)為周期函數(shù)且周期為T＝4，故B正確；f(3)＝f(－1)＝1，故A正確；f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，故C錯誤；由上可知f(2)＝－f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－f(－1)＋0＋1＋0＝0，則eq\o(∑,\s\up6(18),\s\do4(k＝1))(k)＝f(1)＋f(2)＝－1，故D正確．7.ABD【解析】對于A，令x＝y(tǒng)＝0，得2f(0)＝2[f(0)]2，解得f(0)＝0或f(0)＝1.當(dāng)f(0)＝0時，令y＝0，則2f(x)＝2f(x)f(0)，則f(x)＝0，這與f(x)不恒為零矛盾，所以f(0)＝1，故A正確．對于B，令x＝0，則f(0＋y)＋f(0－y)＝2f(y)f(0)，即f(y)＝f(－y)，即f(x)為偶函數(shù)，故B正確．對于C，取f(x)＝cosx，滿足題意，此時x＝0不是f(x)的極小值點，故C錯誤．對于D，令y＝a，得f(x＋a)＋f(x－a)＝2f(x)f(a)，若f(a)＝0，則f(x＋a)＝－f(x－a)，則f(x)＝－f(x＋2a)，則f(x＋4a)＝－f(x＋2a)＝f(x)，故D正確．8.[－2，0)∪(0，2]【解析】因為函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)是奇函數(shù)，則eq\f(f（x）－f（－x）,x)＝eq\f(2f（x）,x).當(dāng)x>0時，因為f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，所以eq\f(f（x）－f（－x）,x)＝eq\f(2f（x）,x)≥0的解集為(0，2]；當(dāng)x<0時，易得f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(－2)＝－f(2)＝0，所以eq\f(f（x）－f（－x）,x)＝eq\f(2f（x）,x)≥0的解集為[－2，0).綜上，eq\f(f（x）－f（－x）,x)≥0的解集是[－2，0)∪(0，2].9.2【解析】因為y＝f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝(x－1)2＋ax＋cosx＝x2＋cosx－2x＋ax＋1為偶函數(shù)，定義域為R，所以f(－x)＝(－x)2＋cos(－x)＋2x－ax＋1＝f(x)，解得a＝2.10.－3【解析】因為f(x＋2)為偶函數(shù)，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，又f(x＋2)＋f(x)＝－6，所以f(－x＋2)＋f(x)＝－6.因為f(x＋2)＋f(x)＝－6，所以f(x＋4)＋f(x＋2)＝－6，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，周期為4，所以f(2027)＝f(3)＝f(－1).由f(－x＋2)＋f(x)＝－6，可得f(1)＋f(1)＝－6，由f(x＋2)＋f(x)＝－6，可得f(1)＋f(－1)＝－6，所以f(1)＝f(－1)＝－3，所以f(2027)＝－3.11.【解答】(1)方法一：因為當(dāng)x≤0時，f(x)＝－x2－4x，所以f(－2)＝4.又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(2)＝－f(－2)＝－4，即4＋2a＝－4，所以a＝－4.檢驗：當(dāng)a＝－4時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－4x，x≤0，,x2－4x，x>0，))當(dāng)x＝0時，f(0)＝0；當(dāng)x>0時，f(－x)＋f(x)＝－x2＋4x＋x2－4x＝0；當(dāng)x<0時，f(－x)＋f(x)＝x2＋4x－x2－4x＝0.從而對任意x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立，所以f(x)為奇函數(shù)，符合題意．綜上所述，實數(shù)a的值為－4.方法二：設(shè)任意x>0，則－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－4(－x)＝－x2＋4x.又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)＝－x2＋4x，所以f(x)＝x2－4x，所以f(2)＝－4.因為當(dāng)x>0時，x2＋ax＝x2－4x恒成立，所以a＝－4.(2)原方程等價于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,x2－4x＝－4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,－x2－4x＝－4，))解得x＝2或x＝－2－2eq\r(2)，即該方程的解集為{2，－2－2eq\r(2)}．12.