用樣本估計總體

的離散程度——極差、方差、標(biāo)難差課堂任務(wù)創(chuàng)設(shè)情景歸納探索例題講解課堂練習(xí)課后延伸目

錄C0NTENTS423651

課前任務(wù)

課

堂

任

務(wù)

能用樣本數(shù)據(jù)估計總體極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.能夠結(jié)合實際問題與數(shù)據(jù)做出合理判斷.

創(chuàng)設(shè)情景例如，某地隨機抽取9個家庭，調(diào)查得到每個家庭的人均月收入(單位：元)為1080,750,1080,1080,850,960,2000,1250,1630,思考，通過已有知識我們可以從那幾個角度來分析這一地區(qū)的收入情況?集中趨勢和離散程度

歸納探索1.極差在統(tǒng)計學(xué)中，我們將一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值統(tǒng)稱為極值，將最大值與最小值之差稱為極差，也稱全距，用R表示.1.極差由定義不難看出極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度，是描述數(shù)據(jù)離散程度的最簡單的代表值。并且計算簡單直觀。但是極差也有不足之處，在于它容易受極端值的影響，由于極差只利用了一組數(shù)據(jù)兩端的信息，一旦

出現(xiàn)極端的異常值，則不能客觀的反映中間數(shù)據(jù)的離散狀況。統(tǒng)計上，常采用方差來刻畫一組數(shù)據(jù)波動的大?。喝粼O(shè)y?,y2,…,yn是總體的全部個體，μ是總體均值，則稱

歸

納

探

索

2.方差2.方差學(xué)校從甲、乙兩名射擊運動員中選拔一人參加市中學(xué)生運動會，甲、乙兩人參加測試的成績(單位：環(huán))如下：甲：7,8,8,9,7,8,8,9,7,9乙：6,8,7,7,8,9,10,7,9,9教練員該如何選出合適選手?(1)

(2)圖6.4-2容易計算得到甲乙的成績均值都為8.也就是集中趨勢基本相同但是，從兩人的成績散點圖上不難發(fā)現(xiàn)甲的成績基本都集中在均值8附近，相對而言乙的成績則較為分散，成績波動較大甲射擊成績/環(huán)1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

射

擊

次

數(shù)2.方差109765

歸納探索

2.方差由于S甲<S

乙，可以估計甲的射擊成績比乙更穩(wěn)定，故可推薦甲參加運動會。3.標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根.如果α2是總體方差，則稱σ=

√

是總體標(biāo)準(zhǔn)差；如果s2是樣本方差，則稱s=√2是樣本標(biāo)準(zhǔn)差.給定數(shù)據(jù)X?,X?,…,Xn

和均值X.由方差計算公式知道，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s

可以用下面

的公式計算：歸納探索3.標(biāo)準(zhǔn)差方差充分利用所有數(shù)據(jù)，并且僅用一個數(shù)值來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度。但方差也有局限性，如方差的單位是觀測數(shù)據(jù)的單位的平方，而刻畫離散程度的一種理想度量應(yīng)當(dāng)具有與觀測數(shù)據(jù)

相同的單位。為了解決這一局限性的方法就是引入標(biāo)準(zhǔn)差。

例題講解例7一臺機床生產(chǎn)一種直徑為40

mm的零件，在正常生產(chǎn)時，零件的直徑的標(biāo)準(zhǔn)差不應(yīng)超過0.1.如果超過0.1,則機床應(yīng)檢修調(diào)整.下表是某日8:30—9:30及10:00—11:00兩個時段中各隨機抽取10個零件量出的直徑的數(shù)值(單位：

mm):8:30—9:304039.840.140.239.840.140.240.239.839.810:00—11:00404039.94039.940.24040.14039.9試判斷在這兩個時段內(nèi)機床生產(chǎn)是否正常.解

設(shè)8:30—9:30為甲時段，10:00—11:00為乙時段.用計算器計算可得x甲

=

4

0

,x乙

=

4

0

.S甲≈

0

.1

7

3

,

sz≈0.089.從樣本均值看，兩個時段生產(chǎn)的零件尺寸差異性不大；從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看，S甲>0

.

1,S乙<0.1,甲這說明甲時段(8:00-9:30)機床生產(chǎn)不正常，而經(jīng)過調(diào)試，機床在乙時段(10:00-11:00)生產(chǎn)正常.生產(chǎn)的零件穩(wěn)定程度高，且在質(zhì)量控制范圍內(nèi)例6某校高一年級有男生180人，女生120人.某統(tǒng)計小組為調(diào)查本年級學(xué)生身高情況，采取分層抽樣的方法從總體中隨機抽取樣本，其中男生抽取18人，女

生抽取12人.將男生組看作樣本A?

,計算出樣本A?的平均身高為173.5cm,方差為

17;將女生組看作樣本A?

,

計算出樣本A2的平均身高為164.0cm,方差為30.試根據(jù)

以上數(shù)據(jù)計算由A?,A?組成的樣本A的方差，并估計總體方差.解

設(shè)從男生中抽出的樣本個體為y?,y?,…,y18,均值記為y,方差記為s2;從女生中抽取的樣本個體為z1,22,

…,212,均值記為z,

方差記為s2.先計算總樣本均值x:=169.7(cm);(z?—x)2+(z?—x)2+…+(z12—x)2]例題講解=43.86.

課堂練習(xí)1.某公司準(zhǔn)備蓋大樓，有兩塊土地可供征用，但兩塊土地都崎嶇不平，需要平整.現(xiàn)對每塊土地確定房基基準(zhǔn)高度，然后在兩塊土地上分別適當(dāng)?shù)亓砣?0點，

用水平儀測得各點對基準(zhǔn)的相對標(biāo)高(單位：

cm)如下表所示：編號12345678910甲-457647-2613584-61-387692乙74120100-70-449563-5057-25問：哪一塊土地較容易平整?4.為研究男女學(xué)生在生活費支出(單位：元)上的差異，某中學(xué)在高一年級400名學(xué)生(其中男生220人，女生180人)中隨機抽取22名男生與18名女生，統(tǒng)計他們

的生活費支出，得到下面的結(jié)果：男生：x?=520,s2=250;女生：x?=500

,s2=280;試根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該校高一學(xué)生生活費支出的總體均值、總體方差2.某電池廠有A,B兩條生產(chǎn)線制造同一型號可充電電池.A,B生產(chǎn)線的產(chǎn)量比為4:5.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從某天兩條生產(chǎn)線上的成品中隨機抽取樣本，并測

量產(chǎn)品可充電次數(shù)的均值及方差，結(jié)果如下：項目抽取成品數(shù)樣本均值樣本方差A(yù)生產(chǎn)線產(chǎn)品162158B生產(chǎn)線產(chǎn)品2021213試根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算由36個產(chǎn)品組成的樣本的方差，并估計總體方差.返回目錄

歸納探索

如果將總體分為兩層，第一

、二層的樣本量分別為n?,n?,樣本分別為x1,x?,樣本方差分別為s2,s2,則全部樣本的樣本容量、樣本均值和方差分別為：n=n?+n?