【第2講：常用邏輯用語】總覽總覽題型梳理【知識點(diǎn)清單】1．充分條件的判斷【知識點(diǎn)的認(rèn)識】充分條件是指如果條件P成立，則條件Q必然成立．在數(shù)學(xué)上，通常記作P?Q．充分條件的概念在邏輯推理和數(shù)學(xué)證明中非常重要，常用于判斷某些結(jié)論是否成立．例如，在三角形中，如果一個(gè)三角形是等邊三角形，那么它必然是等腰三角形，這就是等邊三角形是等腰三角形的充分條件．【解題方法點(diǎn)撥】要判斷一個(gè)條件是否為充分條件，可以通過驗(yàn)證當(dāng)條件P成立時(shí)，條件Q是否也必然成立．通?？梢酝ㄟ^具體實(shí)例或邏輯推理來驗(yàn)證．例如，假設(shè)P成立，通過推理或計(jì)算驗(yàn)證Q是否成立．如果可以找到反例，即P成立但Q不成立，則P不是Q的充分條件．2．必要條件的判斷【知識點(diǎn)的認(rèn)識】必要條件是指如果條件Q成立，那么條件P必然成立．用符號表示為Q?P．必要條件是判斷一個(gè)結(jié)論是否必須具備的條件．例如，如果一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么它必然能被2整除，能被2整除是偶數(shù)的必要條件．在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，確定必要條件可以幫助我們縮小可能的解答范圍．【解題方法點(diǎn)撥】要判斷一個(gè)條件是否為必要條件，可以通過假設(shè)條件Q成立，然后驗(yàn)證條件P是否也必然成立．可以使用反證法，即假設(shè)P不成立，看看Q是否也不成立．如果Q不成立，那么P是Q的必要條件．此外，可以通過邏輯推理和實(shí)例驗(yàn)證來進(jìn)行判斷．3．充分不必要條件的判斷【知識點(diǎn)的認(rèn)識】充分不必要條件是指如果條件P成立，則條件Q必然成立，但條件Q成立時(shí)，條件P不一定成立．用符號表示為P?Q，但Q?P．這種條件在數(shù)學(xué)中表明某個(gè)條件足以保證結(jié)果成立，但不是唯一條件．【解題方法點(diǎn)撥】要判斷一個(gè)條件是否為充分不必要條件，可以先驗(yàn)證P?Q，然后找反例驗(yàn)證Q成立但P不成立．舉反例是關(guān)鍵步驟，找到一個(gè)Q成立但P不成立的例子即可證明P不是Q的必要條件．例如，可以通過幾何圖形性質(zhì)驗(yàn)證某些充分不必要條件．4．必要不充分條件的判斷【知識點(diǎn)的認(rèn)識】必要不充分條件是指如果條件Q成立，則條件P必然成立，但條件P成立時(shí)，條件Q不一定成立．用符號表示為Q?P，但P?Q．這種條件在數(shù)學(xué)中表明某個(gè)條件必須滿足才能保證結(jié)果成立，但單靠這個(gè)條件不能完全保證結(jié)果成立．【解題方法點(diǎn)撥】要判斷一個(gè)條件是否為必要不充分條件，可以先驗(yàn)證Q?P，然后找反例驗(yàn)證P成立但Q不成立．舉反例是關(guān)鍵步驟，找到一個(gè)P成立但Q不成立的例子即可證明P不是Q的充分條件．例如，通過幾何圖形性質(zhì)驗(yàn)證某些必要不充分條件．5．充分不必要條件的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】充分不必要條件是指如果條件P成立，則條件Q必然成立，但條件Q成立時(shí)，條件P不一定成立．用符號表示為P?Q，但Q?P．這種條件在數(shù)學(xué)中表明某個(gè)條件足以保證結(jié)果成立，但不是唯一條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；6．全稱量詞命題的真假判斷【知識點(diǎn)的認(rèn)識】全稱量詞：短語“對所有的”“對任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞．符號：?應(yīng)熟練掌握全稱命題的判定方法全稱量詞：對應(yīng)日常語言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任給”、“對每一個(gè)”等詞，用符號“?”表示．含有全稱量詞的命題．“對任意一個(gè)x∈M，有p（x）成立”簡記成“?x∈M，p（x）”．命題全稱命題?x∈M，p（x）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立②對一切x∈M，使p（x）成立③對每一個(gè)x∈M，使p（x）成立④對任給一個(gè)x∈M，使p（x）成立⑤若x∈M，則p（x）成立﹣【解題方法點(diǎn)撥】判斷全稱量詞命題的真假時(shí)，可以從反例入手，尋找一個(gè)使得命題不成立的例子．例如，要判斷“所有奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)”是否為真，只需找到一個(gè)奇數(shù)不是質(zhì)數(shù)（如9）即可證明該命題為假．7．存在量詞和存在量詞命題【知識點(diǎn)的認(rèn)識】存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞．符號：?特稱命題：含有存在量詞的命題．符號：“?”．存在量詞：對應(yīng)日常語言中的“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有個(gè)”、“某個(gè)”、“有些”、“有的”等詞，用符號“?”表示．特稱命題：含有存在量詞的命題．“?x0∈M，有p（x0）成立”簡記成“?x0∈M，p（x0）”．“存在一個(gè)”，“至少有一個(gè)”叫做存在量詞．命題全稱命題?x∈M，p（x）特稱命題?x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②對一切x∈M，使p（x）成立②至少有一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立③對每一個(gè)x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④對任給一個(gè)x∈M，使p（x）成立④存在某一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，則p（x）成立⑤有一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立【解題方法點(diǎn)撥】由于全稱量詞的否定是存在量詞，而存在量詞的否定又是全稱量詞；因此，全稱命題的否定一定是特稱命題；特稱命題的否定一定是全稱命題．命題的“否定”與一個(gè)命題的“否命題”是兩個(gè)不同的概念，對命題的否定是否定命題所作的判斷，而否命題是對“若p則q”形式的命題而言，既要否定條件，也要否定結(jié)論．常見詞語的否定如下表所示：詞語是一定是都是大于小于詞語的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于詞語且必有一個(gè)至少有n個(gè)至多有一個(gè)所有x成立詞語的否定或一個(gè)也沒有至多有n﹣1個(gè)至少有兩個(gè)存在一個(gè)x不成立【命題方向】本考點(diǎn)通常與全稱命題的否定，多以小題出現(xiàn)在填空題，選擇題中．8．存在量詞命題的真假判斷【知識點(diǎn)的認(rèn)識】存在量詞：對應(yīng)日常語言中的“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有個(gè)”、“某個(gè)”、“有些”、“有的”等詞，用符號“?”表示．特稱命題：含有存在量詞的命題．“?x0∈M，有p（x0）成立”簡記成“?x0∈M，p（x0）”．“存在一個(gè)”，“至少有一個(gè)”叫做存在量詞．命題特稱命題?x0∈M，p（x0）表述方法①存在x0∈M，使p（x0）成立②至少有一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立③某些x∈M，使p（x）成立④存在某一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立⑤有一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立﹣【解題方法點(diǎn)撥】判斷存在量詞命題的真假時(shí)，可以通過具體實(shí)例來驗(yàn)證．例如，要判斷“存在一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)”是否為真，只需找到一個(gè)3的倍數(shù)（如6）即可證明該命題為真．如果無法找到任何一個(gè)符合條件的對象，則命題為假．9．求全稱量詞命題的否定【知識點(diǎn)的認(rèn)識】一般地，對于含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱命題p：?x∈M，p（x）它的否命題?p：?x0∈M，?p（x0）．【解題方法點(diǎn)撥】寫全稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞，即將“任意”改為“存在”；（2）將結(jié)論否定，比如將“＞”改為“≤”．值得注意的是，全稱命題的否定的特稱命題．10．求存在量詞命題的否定【知識點(diǎn)的認(rèn)識】一般地，對于含有一個(gè)量詞的特稱命題的否定，有下面的結(jié)論：特稱命題p：?x0∈M，p（x0）它的否命題?p：?x∈M，?p（x）．【解題方法點(diǎn)撥】寫特稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將存在量詞換為全稱量詞，即將“存在”改為“任意”；（2）將結(jié)論否定，比如將“＞”改為“≤”．值得注意的是，特稱命題的否定的全稱命題．題型題型分類知識講解與常考題型【題型1：充分條件必要條件的判斷】例題精選例題精選【例題1】（2025·浙江紹興·二模）已知集合A，B，C均為非空集合．若是的充分不必要條件，是的充分不必要條件，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)已知有是的真子集，且是的真子集，即得是的真子集，結(jié)合充分、必要性定義即可得.【詳解】由是的充分不必要條件，即是的真子集，由是的充分不必要條件，即是的真子集，所以是的真子集，即是的充分不必要條件.故選：A【例題2】（2023·天津和平·二模）若，則“”的一個(gè)充分不必要條件可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)充分不必要條件的概念，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由，推不出，排除AB；由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要條件，排除C；，反之不成立，D正確；故選：D．【例題3】已知，，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先化簡題目中的不等式，然后根據(jù)充分性和必要性的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由結(jié)合函數(shù)是上的增函數(shù)，可得，由結(jié)合函數(shù)是上的減函數(shù)，可得，故“”是“”的充分不必要條件，故選：C相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2023·安徽蚌埠·一模）若且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】若，滿足，此時(shí)，排除充分性，若，滿足，此時(shí)，排除必要性，故選：D【相似題2】（2022·江西新余·三模）若，則“”是“”的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】B【分析】利用充分條件，必要條件的定義直接判斷作答.【詳解】依題意，取，滿足，而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則，“”是“”的必要不充分條件.故選：B【相似題3】多選題（2021·廣東深圳·二模）下列敘述中正確的是（

）A．若則“"的充要條件是“”B．“”是“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條件C．若則“對恒成立"的充要條件是“”D．“”是“”的充分不必要條件【答案】BD【分析】對于A，當(dāng)時(shí)必要性不成立，根據(jù)二次方程根的分布列不等式求解即可判斷B，根據(jù)不等式恒成立條件轉(zhuǎn)化即可判斷C，當(dāng)“”得“或”，從而判斷D．【詳解】對于A，因?yàn)榭傻?，?dāng)，時(shí)，有，所以若則“"是“”的充分不必要條件，故A錯；對于B，方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則，整理得，所以“”是“”的必要不充分條件，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，“對恒成立"的充要條件是“”，故C錯；對于D，當(dāng)“”是“”成立，當(dāng)“”得“或”，故“”是“”的充分不必要條件，D正確．故選：BD【題型2：充分條件必要條件求參數(shù)范圍】例題精選例題精選【例題1】若不等式是成立的充分條件，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意知可得，解不等式即可得出答案.【詳解】由題設(shè)，不等式且成立的充分條件是，則，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.【例題2】已知，且是的充分條件，則實(shí)數(shù)可以是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】A【分析】由題意先求出的充要條件，然后結(jié)合是的充分條件可得實(shí)數(shù)的范圍，從而對比選項(xiàng)即可得解.【詳解】由題意，若是的充分條件，則當(dāng)且僅當(dāng)，對比選項(xiàng)可知實(shí)數(shù)可以是3.故選：A.【例題3】若不等式的一個(gè)充分條件為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先解，得到，再利用條件即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，又不等式的一個(gè)充分條件為，所以，故選：C.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】已知命題：，，則為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分離參數(shù)求出的取值范圍，則為真命題的一個(gè)充分不必要條件應(yīng)該是的一個(gè)真子集，即可得出答案.【詳解】由題設(shè)命題為真，即在上恒成立，所以，則為真命題的一個(gè)充分不必要條件應(yīng)該是的一個(gè)真子集，故選：A．【相似題2】已知不等式成立的充分條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】由題意知，根據(jù)子集關(guān)系列式解得參數(shù)范圍即可.【詳解】由題意得，所以，且等號不能同時(shí)成立，解得.故選：D.【相似題3】解答題設(shè)為實(shí)數(shù)，集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；或(2)【分析】（1）可知，結(jié)合集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算求解即可；（2）分析可知集合B是集合A的真子集，結(jié)合包含關(guān)系列式求解即可.【詳解】（1）若，則，且，可得，，所以或.（2）若“”是“”的必要不充分條件，可知集合B是集合A的真子集，顯然集合B不是空集，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題型3：全稱量詞存在量詞的否定】例題精選例題精選【例題1】（24-25高一下·四川瀘州·期末）命題：“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定可直接寫出答案.【詳解】依據(jù)題意，先改變量詞，然后否定結(jié)論，可得命題，的否定是：，.故選：B【例題2】（2025·河北保定·一模）已知命題，則為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用“全稱量詞命題的否定為存在量詞命題”，得到.【詳解】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以為“”.故選：A.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（23-24高一下·江西宜春·階段練習(xí)）命題“任意實(shí)數(shù)，都有”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由全稱命題的否定為特稱命題，即可得出答案.【詳解】命題“任意實(shí)數(shù)，都有”的否定是:.故選：B.【相似題2】（24-25高一上·北京豐臺·期中）命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的否定得到答案即可.【詳解】根據(jù)含有一個(gè)量詞的否定，命題“，”的否定是“，”，故選：A.【題型4：全稱量詞存在量詞的真假判斷】例題精選例題精選【例題1】（2025·四川·模擬預(yù)測）已知命題p：，，命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題【答案】D【分析】需要分別判斷命題和命題的真假，再根據(jù)命題真假性與它的否定之間的關(guān)系，得出和的真假．【詳解】對于p，取，則有，故p是假命題，是真命題；對于q，，則，故q是假命題，是真命題.綜上，和都是真命題.故選：D.【例題2】（24-25高一上·河北滄州·階段練習(xí)）已知命題：，，命題：，，則（

）A．和均為真命題 B．和均為真命題C．和均為真命題 D．和均為真命題【答案】C【分析】由判別式的正負(fù)可判斷，由可判斷；【詳解】由，，可知方程無解，故為假命題，為真命題；，因?yàn)?，所以成立，即為真命題，為假命題，故選：C相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（24-25高一上·廣西柳州·期末）已知命題，命題，則（

）A．和都是真命題 B．和都是真命題C．和都是真命題 D．和都是真命題【答案】B【分析】取出反例得到是假命題，是真命題，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷得到方程有根，故是真命題，是假命題，得到答案.【詳解】對于而言，取，則，故是假命題，是真命題.對于而言，令，，，由零點(diǎn)存在性定理可知，存在，使得，故是真命題，是假命題.綜上，和都是真命題.故選：B【相似題2】（24-25高三上·江西·開學(xué)考試）已知命題，命題，則（

）A．命題和命題都是真命題B．命題的否定和命題都是真命題C．命題的否定和命題都是真命題D．命題的否定和命題的否定都是真命題【答案】D【分析】依次判斷兩個(gè)命題的真假，即可求解.【詳解】對于命題，當(dāng)或時(shí)，，故命題是假命題，命題的否定為真命題；對于命題，因?yàn)?，所以命題為假命題，命題的否定為真命題；綜上可得：命題的否定和命題的否定都是真命題，故選：D【題型5：全稱量詞存在量詞求參數(shù)范圍】例題精選例題精選【例題1】（24-25高一上·天津·階段練習(xí)）已知集合，若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出命題的否定，再結(jié)合全稱量詞命題為真求出a的范圍.【詳解】由命題“”為假命題，得為真命題，而，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，則要，，因此；所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：A【例題2】（24-25高一上·湖北·階段練習(xí)）已知集合，集合，如果命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題命題“，”為真命題，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可.【詳解】因?yàn)槊}“，”為假命題，所以，命題“，”為真命題；因?yàn)榧?，集合，所以，?dāng)時(shí)，即時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，由“，”得，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A【例題3】（21-22高三上·吉林白城·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．“對任意一個(gè)無理數(shù)x，也是無理數(shù)”是真命題B．“”是“”的充要條件C．命題“，使得”的否定是“，”D．若“”的一個(gè)必要不充分條件是“”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】D【分析】對A選項(xiàng)舉反例，對B選項(xiàng)舉反例，，對C選項(xiàng)，根據(jù)存在性命題的否定知其錯誤，對D選項(xiàng)，根據(jù)題意列得不等式組，解得.【詳解】是無理數(shù)，是有理數(shù)，A錯誤；，時(shí)，，但，不是充要條件，B錯誤；命題“，使得”的否定是“，”，C錯誤；“”的必要不充分條件是“”，則，兩個(gè)等號不同時(shí)取得，解得．D正確．故選：D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（23-24高一上·福建廈門·階段練習(xí)）若“”為假命題，則的取值可以是（

）A．5 B．3 C．1 D．-1【答案】A【分析】利用假命題的否定為真命題，分離參數(shù)即可求得.【詳解】因?yàn)椤啊睘榧倜}，所以其否定恒成立，所以在上恒成立，所以即，所以的取值可以是5.故選：A【相似題2】（2025·云南·模擬預(yù)測）已知命題：“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)原命題為假命題得出其否定為真命題，再將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，最后利用基本不等式求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】已知命題“”為假命題，根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，可知其否定“”為真命題.由，，移項(xiàng)可得，因?yàn)?，兩邊同時(shí)除以，得到在上恒成立.在中，因?yàn)?，所?x和都是正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ砸∮诘扔诘淖钚≈?，即，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【相似題3】（24-25高三下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）若命題“”是假命題，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可知命題的否定為真命題，由判別式得到不等式，解得的取值范圍》【詳解】命題“”是假命題，則是真命題，∴，解得：或，即a的范圍是故選：D.課后針對訓(xùn)練課后針對訓(xùn)練一、單選題1．（2022·天津·高考真題）“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·北京·高考真題）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題4．（2025·河南·模擬預(yù)測）已知集合，則使得“且”成立的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．5．（2025·福建·模擬預(yù)測）已知集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2022·福建·模擬預(yù)測）已知，若集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）命題“”的否定是（

）A． B． C． D．9．（2022·陜西西安·三模）若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)可取的最小整數(shù)值是（

）A． B．0 C．1 D．310．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測）條件，條件，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．（2022·浙江寧波·二模）已知，為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件12．（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知為全集的兩個(gè)不相等的非空子集，若，則（

）A． B．C． D．13．（2025·廣西桂林·一模）“，使”的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B．C． D．或14．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）若命題“,”是假命題，則不能等于（

）A． B． C． D．二、多選題15．（2024·福建·模擬預(yù)測）若平面點(diǎn)集滿足：任意點(diǎn)，存在，都有，則稱該點(diǎn)集是階聚合點(diǎn)集．下列命題為真命題的是（

）A．若，則是3階聚合點(diǎn)集B．存在對任意正數(shù)，使不是階聚合點(diǎn)集C．若，則不是階聚合點(diǎn)集D．“”是“是階聚合點(diǎn)集”的充要條件三、填空題16．（2022·福建寧德·模擬預(yù)測）已知命題，命題，若命題是命題的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案題號12345678910答案ACBAAABDAB題號1112131415答案ADCCACD1．A【分析】由當(dāng)為整數(shù)時(shí)，必為整數(shù)；當(dāng)為整數(shù)時(shí)，不一定為整數(shù)；即可選出答案.【詳解】當(dāng)為整數(shù)時(shí)，必為整數(shù)；當(dāng)為整數(shù)時(shí)，不一定為整數(shù)，例如當(dāng)時(shí)，.所以“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.2．C【分析】解法一：由化簡得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【詳解】解法一：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因?yàn)?，且，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成?所以“”是“”的充要條件.故選：C3．B【分析】對于兩個(gè)命題而言，可分別取、，再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.【詳解】對于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，對于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，綜上，和都是真命題.故選：B.4．A【分析】當(dāng)且時(shí)求出的取值范圍，然后根據(jù)充分不必要條件的定義可求出答案.【詳解】由題可知且，解得，所以使得“且”成立的一個(gè)充分不必要條件是集合的一個(gè)真子集，因?yàn)橹挥羞x項(xiàng)A中的是的真子集，故選：A5．A【分析】利用集合中元素的互異性，集合并集的運(yùn)算及充分條件，必要條件的定義即可判斷.【詳解】①若，則，，所以”是“”的充分條件；②若，則或，解得或或.當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，與集合中元素的互異性相矛盾，故舍去，所以或，所以”是“”的不必要條件，所以由①②可知，”是“”的充分不必要條件，故選：A6．A【分析】前者推后者可以用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，后者推不出前者舉反例【詳解】若