專題10計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理題型概覽題型01計(jì)數(shù)原理、排列組合題型02求二項(xiàng)式展開式中某項(xiàng)的系數(shù)題型03求二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)題型01計(jì)數(shù)原理、排列組合題型011．（2025·山東菏澤·二模）某班班會(huì)從甲、乙等6名學(xué)生中選3名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，那么不同的選法為（

）A．32 B．20 C．16 D．10【答案】C【分析】利用組合數(shù)和對(duì)立事件來解決選取問題即可.【詳解】利用對(duì)立事件思想：從6名同學(xué)中任選3名同學(xué)共有種方法，這3名同學(xué)中沒有甲乙同學(xué)的共有種方法，所以甲乙至少有一人參加的不同選法有種方法，故選：C.2．（2025·遼寧·二模）第五批實(shí)施新高考的8個(gè)省份將于2025年迎來新高考，新高考模式下語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選科模式，若今年高一的甲、乙兩名同學(xué)，在四選二科目中，恰有一科相同，則他們四選二科目的選科方式共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．96種【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理解決即可.【詳解】先確定相同的科目，有4種情況，再從剩下的3個(gè)科目中，甲、乙各選一個(gè)不同的科目，有種情況，則他們四選二科目的選科方式共有種.故選：B.3．（2025·重慶·二模）某學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，該校高二年級(jí)2班有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)將參加跳高、跳遠(yuǎn)、100米三個(gè)項(xiàng)目的比賽，每人只能參加一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有一個(gè)人參加，若甲、乙兩人不能參加同一項(xiàng)目的比賽，則不同參賽方案總數(shù)為（

）A．20 B．24 C．30 D．36【答案】C【分析】先對(duì)四位同學(xué)進(jìn)行分組，再將三組同學(xué)分配到三個(gè)比賽項(xiàng)目.【詳解】對(duì)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分成3組，則三組各有位同學(xué)，共有種，又因?yàn)榧?、乙兩人不能參加同一?xiàng)目的比賽，且甲乙在一組時(shí)僅有種分法，則共有種分組方法，所以不同的參賽方案共有種.故選：C4．（2025·山西·二模）將1至6這六個(gè)自然數(shù)填到一個(gè)兩行三列的空格內(nèi)，每格填一個(gè)，要求每行中任意兩個(gè)相鄰數(shù)字的和為奇數(shù)，則不同的填法種數(shù)共有（

）A．24 B．36 C．48 D．72【答案】D【分析】分第一行中間為偶數(shù)，兩邊為奇數(shù)，第二行中間為奇數(shù)，兩邊為偶數(shù)，和第一行中間為奇數(shù)，兩邊為偶數(shù)，第二行中間為偶數(shù)，兩邊為奇數(shù)，兩種情況討論即可.【詳解】①第一行中間為偶數(shù)，兩邊為奇數(shù)，有，第二行中間為奇數(shù)，兩邊為偶數(shù)，有，所以共有，②第一行中間為奇數(shù)，兩邊為偶數(shù)，有，第二行中間為偶數(shù)，兩邊為奇數(shù)，有，所以共有，所以共有，故選：D5．（2025·江西鷹潭·二模）2025年春節(jié)期間，有《封神》《哪吒》《神雕英雄傳》《熊出沒》《唐探1900》五部電影上映，小李和另外3名同學(xué)去隨機(jī)觀看這五部電影，則小李看電影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部電影的不同排列方式共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【答案】D【分析】分類求出滿足小李看電影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部電影的不同排列方式.【詳解】若小李看《哪吒》，且4人中恰有兩人看同一部電影，有兩人看《哪吒》，則有種方案，有一人看《哪吒》電影，則有種方案，即滿足小李看《哪吒》，且4人中恰有兩人看同一部電影一共有種方案.故選：D.6．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）將六個(gè)連續(xù)的整數(shù)隨機(jī)排成一行，則從左到右先遞增再遞減的排列方式有（

）A．720種 B．120種 C．32種 D．30種【答案】D【分析】根據(jù)的取值，進(jìn)行分級(jí)，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】六個(gè)連續(xù)的整數(shù)隨機(jī)排成先遞增再遞減的單峰序列，封頂必須是最大整數(shù).封頂位置可在第2、3、4、5位，對(duì)于每個(gè)，左邊需選個(gè)數(shù)并按升序排列，右邊選個(gè)數(shù)并按降序排列.當(dāng)時(shí)，左邊選1個(gè)數(shù)，方式有種；當(dāng)時(shí)，左邊選2個(gè)數(shù)，方式有種；當(dāng)時(shí)，左邊選3個(gè)數(shù)，方式有種；當(dāng)時(shí)，左邊選4個(gè)數(shù)，方式有種；所以.故選：D.7．（2025·湖北·二模）甲、乙等5名志愿者參加2025年文化和旅游發(fā)展大會(huì)的、、、四項(xiàng)服務(wù)工作，要求每名志愿者只能參加1項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少安排1人，且甲不參加項(xiàng)工作，乙必須參加項(xiàng)工作，則不同的安排方法數(shù)有（

）A．36種 B．42種 C．54種 D．72種【答案】B【分析】按照B項(xiàng)工作安排的人數(shù)分為兩類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】安排B項(xiàng)工作的人數(shù)分為兩類，第一類，B項(xiàng)工作僅安排1人，因?yàn)榧撞粎⒓覤項(xiàng)工作，乙必須參加D項(xiàng)工作，從甲、乙以外的3人中選一人參加B項(xiàng)工作有種方法，再安排A，C，D項(xiàng)工作，若D項(xiàng)工作安排兩人，則有種方法，若D項(xiàng)工作安排一人，則有種方法，所以B項(xiàng)工作僅安排1人共種方法，第二類，B項(xiàng)工作安排2人，有種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有種方法.故選：B.8．（2025·河南·二模）某同學(xué)收集了第一屆全國學(xué)生（青年）運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物“壯壯”和“美美”的卡片各一張，第19屆亞運(yùn)會(huì)吉祥物“宸宸”“琮琮”和“蓮蓮”的卡片各一張.現(xiàn)該同學(xué)準(zhǔn)備將這5張卡片貼在墻上，若將“壯壯”和“美美”的卡片貼在“宸宸”和“蓮蓮”之間，則不同的貼法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】20【分析】按照特殊元素優(yōu)先考慮的原則，先排“壯壯”、“美美”和“宸宸”、“蓮蓮”，再與“琮琮”進(jìn)行排列即可.【詳解】先將“壯壯”和“美美”的卡片貼在“宸宸”和“蓮蓮”之間，有種貼法，再貼“琮琮”，有種貼法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的貼法種數(shù)為種.故答案為：20.9．（2025·安徽黃山·二模）某單位在五一假期，需要從5人中選若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天，共有種不同的安排方法．【答案】1280【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理，結(jié)合題意計(jì)算即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，第一天從5個(gè)人中選1個(gè)人值班，有5種選法；第二天不能選第一天值班的人，所以有4種選法；第三天同樣不能選第二天值班的人，所以還是有4種選法；第四天也不能選第三天值班的人，有4種選法；第五天不能選第四天值班的人，有4種選法.所以，總共有種不同的安排方法.故答案為：1280.10．（2025·江西南昌·二模）某次慶典后，墻壁上的裝飾品需要取下來，如圖，由于材料特性，每次能取一個(gè)，且所取的裝飾品只能有個(gè)或個(gè)相鄰的裝飾品，則不同的取法數(shù)有種.【答案】【分析】對(duì)小球進(jìn)行編號(hào)，然后對(duì)前三個(gè)球的取法進(jìn)行分類討論，進(jìn)而對(duì)后續(xù)小球的摸球順序進(jìn)行討論，結(jié)合分步乘法與分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】將這個(gè)小球編號(hào)如下圖所示：分以下兩種情況討論：第一種，第一步，先取、、號(hào)球，第二步，再取、、號(hào)球依次取個(gè)球，最后一步，從剩余兩球依次摸取，此時(shí)不同的抽法種數(shù)為種；第二種，將、、視為三個(gè)整體，前三個(gè)球從其中一個(gè)整體和每支不與號(hào)球相鄰的小球中依次摸取，有種，以、、為例，可依次為、、，共種，剩余、、、號(hào)球，先從、號(hào)球中摸一個(gè)，有種情況，比如先取號(hào)球，剩余三個(gè)相鄰的小球，接下來從、號(hào)球中取一個(gè)，有種情況，最后剩余兩球摸取的先后順序任意，此時(shí)，不同的取法種數(shù)為.綜上所述，不同的取法種數(shù)為種.故答案為：.11．（2025·江蘇南京·二模）英國數(shù)學(xué)家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地圖只需不超過四種顏色即可實(shí)現(xiàn)相鄰區(qū)域顏色不同.該猜想于1976年由阿佩爾和哈肯借助計(jì)算機(jī)完成證明.如圖，一個(gè)地區(qū)分為6個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖上的行政區(qū)域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每個(gè)區(qū)域涂1種顏色，相鄰區(qū)域不同色.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法有種（用數(shù)字作答）.【答案】216【分析】如圖，將6個(gè)行政區(qū)標(biāo)上序號(hào)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，按照一定的順序?qū)Ω鱾€(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，同時(shí)考慮相鄰區(qū)域顏色不同的限制條件即可求解.【詳解】如圖，將6個(gè)行政區(qū)標(biāo)上序號(hào)，區(qū)域1有4種顏色可選，共4種方法；區(qū)域2與區(qū)域1相鄰，不能與區(qū)域1同色，有3種顏色可選，共3種方法；區(qū)域3與區(qū)域1、2相鄰，不能與區(qū)域1、2同色，有2種顏色可選，共2種方法；①若區(qū)域4與區(qū)域2同色，有1種顏色可選，此時(shí)區(qū)域5與區(qū)域2不同色且有2種涂色方法，此時(shí)區(qū)域6有2種涂色方法；②若區(qū)域4與區(qū)域2不同色，有1種顏色可選，此時(shí)若區(qū)域5與區(qū)域2同色，有1種涂色方法，區(qū)域6有3種涂色方法，若區(qū)域5與區(qū)域2不同色，有1種涂色方法，區(qū)域6有2種涂色方法，所以一共有種方法.故答案為：216.12．（2025·湖南·二模）定義：對(duì)于一個(gè)位正整數(shù)，若其各位數(shù)字的極差（即最大數(shù)字與最小數(shù)字之差）不超過2，則稱其為位“穩(wěn)定數(shù)”，則三位“穩(wěn)定數(shù)”共有個(gè).【答案】151【分析】法一：依題意，按照最小值分別取0，取1到7，和取8，取9進(jìn)行分類討論，計(jì)算每個(gè)對(duì)應(yīng)的三位數(shù)的數(shù)量合計(jì)即得；法二：根據(jù)極差，按照，，，分類討論每種情況下的三位“穩(wěn)定數(shù)”的數(shù)量，再合計(jì)即可.【詳解】法一：要求各位數(shù)字的極差不超過2的“穩(wěn)定數(shù)”的數(shù)量，可以按照最小值進(jìn)行分類討論，并計(jì)算每個(gè)對(duì)應(yīng)的三位數(shù)的數(shù)量.①當(dāng)時(shí)：允許的數(shù)字范圍是，百位數(shù)不能為0，因此百位只能是1或2，總數(shù)為種，減去不含0的情況（即所有數(shù)字都是1或2）的8種，得到10個(gè)符合條件的數(shù)；②當(dāng)?shù)?時(shí)：允許的數(shù)字范圍是，百位數(shù)可以是中的任何一個(gè)，總數(shù)為種，減去不含的情況（即所有數(shù)字都是或）的8種，得到每個(gè)對(duì)應(yīng)的19個(gè)數(shù)，故共有133個(gè)符合條件的數(shù)；③當(dāng)時(shí)：允許的數(shù)字范圍是8，9，百位數(shù)可以是8或9，總數(shù)為種，減去不含8的情況（即所有數(shù)字都是9）的1種，得到7個(gè)符合條件的數(shù)；④當(dāng)時(shí)：所有數(shù)字都是9，只有1個(gè)數(shù)999.將各個(gè)的情況累加起來，總數(shù)為：.故答案為：151.法二：位數(shù)的極差范圍為0到9，根據(jù)定義，“穩(wěn)定數(shù)”需滿足極差，即.①極差，所有數(shù)字相同，即形如，共9個(gè)（即）.②極差，分兩種情況：最小值含0：數(shù)字范圍為，且百位，此時(shí)十位和個(gè)位可為0或1，但需至少含一個(gè)0，共3個(gè).最小值：數(shù)字范圍為，每位可選或，且至少含和各一次，每位選擇數(shù)有2種（或），扣除全或全的情況，每個(gè)對(duì)應(yīng)6個(gè)數(shù)，共8個(gè)，共個(gè)，小計(jì)：個(gè).③極差，分兩種情況：最小值含0：數(shù)字范圍為，且百位，需至少含0和2各一次，時(shí)，十位和個(gè)位需含0和2，共2個(gè)；時(shí)，十位和個(gè)位需含0，共5個(gè)（），小計(jì)：個(gè).最小值：數(shù)字范圍為，每位可選，且至少含和各一次，由容斥原理有個(gè)，共7個(gè)，共個(gè).小計(jì)：個(gè).三位“穩(wěn)定數(shù)”總數(shù)為個(gè).故答案為：151.13．（2025·湖北黃岡·二模）一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字．事件，事件，若事件滿足，則滿足條件的事件的個(gè)數(shù)為．【答案】【分析】計(jì)算出，根據(jù)條件得到，，，故，其中，，則或2，當(dāng)時(shí)，，，，分，和，，兩種情況，求出相應(yīng)的，時(shí)，不合要求，從而得到答案.【詳解】事件，事件，故，又，故，即，因?yàn)?，，所以，故，即，又，，故，所以，即，所以，故，其中，，則或2，若，則，又，故，，故，若，，可令或或或；若，，可令或或或，事件，事件若，則，此時(shí)，此時(shí)，故，不合要求，舍去，綜上，滿足條件的事件的個(gè)數(shù)為8.故答案為：8題型02求二項(xiàng)式展開式中項(xiàng)的系數(shù)題型021．（2025·廣東廣州·二模）的展開式中的系數(shù)為（

）A．24 B． C． D．【答案】D【分析】求出展開式的通項(xiàng)，即可求出的系數(shù).【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，所以的系數(shù)為．故選：D.2．（2025·山東聊城·二模）若的展開式中的系數(shù)為12，則其展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為（

）A．16 B．32 C．48 D．64【答案】C【分析】先根據(jù)已知系數(shù)列式求出，再應(yīng)用賦值法計(jì)算系數(shù)和即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)為，所以，所以令，所以展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為48.故選：C.3．（2025·河北張家口·二模）的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.故選：C.4．（2025·遼寧沈陽·二模）在的展開式中，的系數(shù)是（

）A． B． C．20 D．40【答案】D【分析】利用的通項(xiàng)可得答案.【詳解】，的通項(xiàng)為，所以的系數(shù)是.故選：D．5．（2025·山西晉城·二模）已知，若，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C．90 D．270【答案】B【分析】先令，結(jié)合題意求出，再利用展開式的通項(xiàng)中計(jì)算出，然后可得.【詳解】令，，得，解得．又的展開式的通項(xiàng)為，所以，解得，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．故選：B．6．（2025·江西·二模）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．3 B．6 C．60 D．30【答案】C【分析】求出展開式的通項(xiàng)，再根據(jù)的次數(shù)確定的次數(shù)，最后求出的系數(shù).【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理，可得展開式的通項(xiàng)為（）.要求的系數(shù)，則的次數(shù)，此時(shí).同樣根據(jù)二項(xiàng)式定理，展開式的通項(xiàng)為（）.要得到，則令，解得.當(dāng)，時(shí)，的系數(shù)為在的展開式中，的系數(shù)為60.故選：C.7．（多選）（2025·江蘇·二模）的展開式中，則（

）A．的系數(shù)為 B．第3項(xiàng)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等C．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32 D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為32【答案】ABC【分析】A選項(xiàng)，寫出展開式的通項(xiàng)公式，得到，求出的系數(shù)；B選項(xiàng)，第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)均為10；C選項(xiàng)，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為；D選項(xiàng)，賦值法得到所有項(xiàng)的系數(shù)和.【詳解】A選項(xiàng)，展開式第項(xiàng)，時(shí)，，A對(duì)；B選項(xiàng)，第3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，兩者相同，B對(duì).C選項(xiàng)，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，C對(duì).D選項(xiàng)，時(shí)，，即所有項(xiàng)的系數(shù)和為，D錯(cuò)；故選：ABC8．（多選）（2025·江西上饒·二模）若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)給定的等式，利用賦值法求解判斷AC；利用二項(xiàng)式定理求出判斷B；對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，再利用賦值法求解判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，得；令，得，因此，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因此，B正確；對(duì)于C，令，即，得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，原等式兩邊求導(dǎo)得，令，得，D正確.故選：BD9．（2025·重慶·二模）若二項(xiàng)式展開式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為，則．【答案】【分析】根據(jù)展開式所有項(xiàng)系數(shù)的求法，通過賦值，即可求得.【詳解】令得，二項(xiàng)式展開式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為，解得.故答案為：10．（2025·黑龍江大慶·三模）的展開式中的系數(shù)為.【答案】40【分析】先根據(jù)二項(xiàng)式定理求出展開式的通項(xiàng)公式，再通過令通項(xiàng)公式中的冪次等于，求出的值，最后將的值代入通項(xiàng)公式中關(guān)于系數(shù)的部分，從而得到的系數(shù).【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理，對(duì)于，其展開式的通項(xiàng)公式為.進(jìn)行化簡，所以.

令.解得.將代入到中，所以，即的系數(shù)為40.故答案為：40.11．（2025·天津南開·二模）在的展開式中，的系數(shù)為．【答案】15【分析】寫出展開式通項(xiàng)公式，得到，得到答案.【詳解】展開式通項(xiàng)公式為，令，解得，，故的系數(shù)為15.故答案為：1512．（2025·遼寧·二模）的展開式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】寫出二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，因?yàn)?，在的展開式通項(xiàng)中，令，在的展開式通項(xiàng)，令，可得，因此，展開式中的的系數(shù)為.故答案為：.13．（2025·山東泰安·二模）已知的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為60，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【分析】寫出的二項(xiàng)展開式，根據(jù)題意求出的系數(shù)，進(jìn)