第二章函數(shù)§2.13函數(shù)模型的應(yīng)用【考情分析·探規(guī)律】考點(diǎn)三年考情（2021-2024）命題趨勢函數(shù)模型2024·北京卷2022·北京卷2021·全國甲卷了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異；理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義；能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用?！局R梳理】1.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax2.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)【名師點(diǎn)撥】1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對實(shí)際問題的合理性.【隨堂訓(xùn)練】1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫存積壓降價(jià)，若按九折出售，則每件還能獲利.()(2)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大.()(3)不存在x0，使ax0<xeq\o\al(n,0)<logax0.()(4)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a>0)的增長速度.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√【解析】(1)9折出售的售價(jià)為100(1＋10%)×eq\f(9,10)＝99(元).∴每件賠1元，(1)錯(cuò)誤.(2)當(dāng)x＝2時(shí)，2x＝x2＝4.(2)不正確.(3)如a＝x0＝eq\f(1,2)，n＝eq\f(1,4)，不等式成立，因此(3)錯(cuò)誤.2.下列函數(shù)中，隨著x的增長，y的增長速度最快的是()A.y＝50 B.y＝1000xC.y＝2lnx D.y＝11000e【答案】D【解析】依據(jù)常函數(shù)、一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知隨著x的增長，y＝11000ex的增長速度最快3.在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)運(yùn)用圖形計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù)：x0.240.5112.023.988.02y－2.0－1.001.02.03.0在下列四個(gè)函數(shù)模型(a，b∈R)中，最能反映x，y函數(shù)關(guān)系的是()A.y＝a＋bx B.y＝a＋bxC.y＝a＋logbx D.y＝a＋b【答案】C【解析】作出散點(diǎn)圖如圖所示，由散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)圖和對數(shù)函數(shù)圖象接近，可選擇y＝a＋logbx反映x，y函數(shù)關(guān)系.4.我國的煙花名目繁多，其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果煙花距地面的高度h(單位：米)與時(shí)間t(單位：秒)之間的關(guān)系為h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么煙花沖出后在爆裂的最佳時(shí)刻距地面高度約為()A.26米 B.28米 C.31米 D.33米【答案】C【解析】h(t)＝－5t2＋15t＋20＝－5t?322＋1254,h【名師點(diǎn)撥】(1)理解三個(gè)術(shù)語：“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長速度緩慢.(2)充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(3)解題時(shí)，易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對實(shí)際問題的合理性.【必練核心題型】題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程命題點(diǎn)1函數(shù)的增長差異例1.設(shè)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，對這三個(gè)函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較，下列結(jié)論正確的是()A.f(x)的增長速度最快，h(x)的增長速度最慢B.g(x)的增長速度最快，h(x)的增長速度最慢C.g(x)的增長速度最快，f(x)的增長速度最慢D.f(x)的增長速度最快，g(x)的增長速度最慢【答案】B【解析】畫出函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得三個(gè)函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x中，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，函數(shù)g(x)＝2x增長速度最快，h(x)＝log2x增長速度最慢.所以選項(xiàng)B正確.命題點(diǎn)2用函數(shù)圖象刻畫變化過程例2.(多選)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí)，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人服用該藥物的說法中，正確的是()A.首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用B.每次服用1單位該藥物，兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí)，一定會產(chǎn)生藥物中毒C.首次服用1單位該藥物，約5.5小時(shí)后第二次服用1單位該藥物，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D.首次服用1單位該藥物，3小時(shí)后再次服用1單位該藥物，不會發(fā)生藥物中毒【答案】ABC【解析】從圖象中可以看出，首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用，A正確；根據(jù)圖象可知，首次服用1單位該藥物，約1小時(shí)后血藥濃度達(dá)到最大值，由圖象可知，當(dāng)兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí)，一定會產(chǎn)生藥物中毒，B正確；服藥5.5小時(shí)時(shí)，血藥濃度等于最低有效濃度，此時(shí)再服藥，血藥濃度增加，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，C正確；首次服用1單位該藥物4小時(shí)后與再次服用1單位該藥物1小時(shí)后，血藥濃度之和大于最低中毒濃度，因此一定會發(fā)生藥物中毒，D錯(cuò)誤.【解題技巧】判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)圖象.(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.【變式訓(xùn)練】變式1.為了能在規(guī)定時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)期的運(yùn)輸量Q0，某運(yùn)輸公司提出了四種運(yùn)輸方案，每種方案的運(yùn)輸量Q與時(shí)間t的關(guān)系如圖(四個(gè)選項(xiàng))所示，其中運(yùn)輸效率(單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量)逐步提高的選項(xiàng)是()【答案】B【解析】由題意，運(yùn)輸效率逐步提高，即函數(shù)增長速率逐漸加快，選項(xiàng)B滿足.題型二已知函數(shù)模型的實(shí)際問題例1.2024年1月5日，第40屆中國·哈爾濱國際冰雪節(jié)在哈爾濱冰雪大世界園區(qū)開幕，現(xiàn)場流光溢彩，游客如潮，充滿熱情與活力.該園區(qū)為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量N(mg/L)與時(shí)間t(小時(shí))的關(guān)系為N＝N0e－kt(N0為最初污染物數(shù)量).如果前2個(gè)小時(shí)消除了20%的污染物，那么前6個(gè)小時(shí)消除了污染物的()A.51.2% B.48.8% C.52% D.48%【答案】B【解析】依題意有N0e－2k＝(1－20%)N0，可得e－2k＝0.8，當(dāng)t＝6時(shí)，N0e－6k＝N0(e?2k)3＝0.512N0＝(因此，前6個(gè)小時(shí)消除了污染物的48.8%.變式2.在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度y(km/s)和燃料的質(zhì)量x(kg)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(kg)的函數(shù)關(guān)系是y＝4[ln(m＋x)－ln(2m)]＋2ln2，要使火箭的最大速度達(dá)到12km/s，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值是.

【答案】e3－1【解析】根據(jù)題意，可得4[ln(m＋x)－ln(2m)]＋2ln2＝12，所以lnm＋x2m即lnm＋xm4＝ln可得1＋xm4而1＋xm>0，則1＋xm＝e所以xm＝e3－1即燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值是e3－1.【解題技巧】已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).【變式訓(xùn)練】變式1.我國量子計(jì)算機(jī)“悟空”預(yù)計(jì)到2025年可以操控的超導(dǎo)量子比特達(dá)到1024個(gè).已知1個(gè)超導(dǎo)量子比特共有2種疊加態(tài)，2個(gè)超導(dǎo)量子比特共有4種疊加態(tài)，3個(gè)超導(dǎo)量子比特共有8種疊加態(tài)，…，每增加1個(gè)超導(dǎo)量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就增加一倍.若N＝a×10k(1≤a<10，k∈N)，則稱N為k＋1位數(shù)，已知1024個(gè)超導(dǎo)量子比特的疊加態(tài)的種數(shù)是一個(gè)m位的數(shù)，則m等于(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301)()A.308 B.309 C.1023 D.1024【答案】B【解析】根據(jù)題意，得n個(gè)超導(dǎo)量子比特共有2n種疊加態(tài)，所以當(dāng)有1024個(gè)超導(dǎo)量子比特時(shí)共有N＝21024(種)疊加態(tài).兩邊取以10為底的對數(shù)得lgN＝lg21024＝1024lg2≈1024×0.301＝308.224，所以N≈10308.224＝100.224×10308.由于1<100.224<10，故N是一個(gè)309位的數(shù)，即m＝309.題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題例1.汽車智能輔助駕駛已開始得到應(yīng)用，其自動(dòng)剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與前方障礙物之間的距離，當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開啟報(bào)警提醒，等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動(dòng)剎車.某種算法將報(bào)警時(shí)間分為4段(如圖所示)，分別為準(zhǔn)備時(shí)間t0、人的反應(yīng)時(shí)間t1、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間t2、制動(dòng)時(shí)間t3，相應(yīng)的距離分別為d0，d1，d2，d3，當(dāng)車速為v(單位：m/s)，且0≤v≤33.3時(shí)，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到如表(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，且0.5≤k≤0.9).階段準(zhǔn)備人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動(dòng)時(shí)間t0t1＝0.8st2＝0.2st3距離d0＝30md1d2d3＝v2(1)請寫出報(bào)警距離d(單位：m)與車速v(單位：m/s)之間的表達(dá)式；(2)若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報(bào)警距離均小于90m，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少以下？【解析】(1)根據(jù)題意，d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋v220k＝30＋v＋v220k(0(2)根據(jù)題意，對任意的k∈[0.5，0.9]，d<90恒成立，即對任意的k∈[0.5，0.9]，30＋v＋v220k易知當(dāng)v＝0時(shí)，滿足題意；當(dāng)0<v≤33.3時(shí)，有120k<60v2－1v對任意的k由k∈[0.5，0.9]，得120k所以60v2即v2＋10v－600<0，解得－30<v<20，所以0<v<20.綜上，0≤v<20.所以汽車的行駛速度應(yīng)限制在20m/s以下.【解題技巧】構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟(1)建模：抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型.(2)推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解.(3)評價(jià)、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評價(jià)、解釋，然后返回到原來的實(shí)際問題中去，得到實(shí)際問題的解.【變式訓(xùn)練】變式1.“打水漂”是一種游戲，通過一定方式投擲石片，使石片在水面上實(shí)現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好.小趙同學(xué)在玩“打水漂”游戲時(shí)，將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時(shí)的速度為20m/s，然后石片在水面上繼續(xù)進(jìn)行多次彈跳.不考慮其他因素，假設(shè)石片每一次接觸水面時(shí)的速度均為上一次的85%，若石片接觸水面時(shí)的速度低于6m/s，石片就不再彈跳，沉入水底，則小趙同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.48，lg17≈1.23)()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】設(shè)石片第n次接觸水面時(shí)的速度為vn，則vn＝20×0.85n－1，由題意得20×0.85n－1≥6，即0.85n－1≥0.3，得n－1≤log0.850.3，又log0.850.3＝lg0.3lg0.85＝所以n≤8.4，故這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為8.變式2.用打點(diǎn)滴的方式治療“支原體感染”病患時(shí)，第一次注射的血藥濃度(血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度)隨時(shí)間變化的函數(shù)符合c1(t)＝N0(1－2－kt)，其函數(shù)圖象如圖所示，其中N0為與環(huán)境相關(guān)的常數(shù)，此種藥物在人體內(nèi)有治療效果的濃度在4到15之間，當(dāng)達(dá)到上限濃度時(shí)，必須馬上停止注射，之后血藥濃度隨時(shí)間變化的函數(shù)符合c2(t)＝c·2－kt，其中c為停藥時(shí)的人體血藥濃度.(1)求出函數(shù)c1(t)的解析式；(5分)(2)一病患開始第一次注射后，最遲隔多長時(shí)間停止注射？為保證治療效果，最多再隔多長時(shí)間開始進(jìn)行第二次注射？(如果計(jì)算結(jié)果不是整數(shù)，保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48，lg2≈0.30)(9分)【解析】(1)由圖象可知，圖象經(jīng)過(4，8)