3.4隨機誤差的判斷隨機誤差的大小可用試驗數(shù)據(jù)的精密度來反映，而精密度的好壞可用方差來

度量，所以，對測試結果進行方差檢驗，即可判斷各試驗方法或試驗結果的隨機誤差之間的關系。授課內容(a)

精密度好，正確度不好

(b)精密度好，正確度好

(c)精密度不好，正確度好Page:1

2026/1/71

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理對于給定的顯著性水平a,

由x2分布表查得臨界值進行比較，就可判斷兩方差之間有無顯著差異。顯著性水平a一般為0.01和0.05。雙尾檢驗時，若

,則可判斷該組數(shù)據(jù)的方

差與原總體方差無顯著差異，否則有顯著差異。3.4隨機誤差的判斷(1)隨機誤差x2檢驗檢驗適用于單個正態(tài)總體的方差檢驗，即在試驗數(shù)據(jù)的總體方差已知的情況授課內容下，對試驗數(shù)據(jù)的隨機誤差或精密度進行檢驗。有一組試驗數(shù)據(jù)x?,x?,…,xn

服從正態(tài)分布，則統(tǒng)計量1

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理Page:2

2026/1/73.4隨機誤差的判斷(1)x2

檢驗單尾檢驗時，若,則判定該組數(shù)據(jù)的方差與原總體方差無顯著減小，否則有顯著減小，此為左尾檢驗；若

,則判定該組數(shù)

據(jù)的方差與原總體方差無顯著增大，否則有顯著增大，此為右尾檢驗。如果對所研究的問題只需判斷有無顯著差異，則采用雙尾檢驗；如果所關心的是某個參數(shù)是否比某個值偏大(或偏小),則宜采用單尾檢驗。Page:3

2026/1/7授課內容1

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理3.4隨機誤差的判斷(1)隨機誤差x2檢驗【例3.5】測定某材料的彈性模量，在正常情況下的測定方差σ2=3.52,儀器設備檢修后，用它測定同樣的樣品，測得彈性模量

(GPa,服從正態(tài)分布)分別為：

38.50,39.00,40.25,39.25,43.00,39.75,41.25。試問：(1)儀器設備經(jīng)過檢修

后穩(wěn)定性是否有了顯著性變化；(2)儀器檢修后穩(wěn)定性是否更好?

(a=0.05)授課內容1

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理Page:4

2026/1/73.4隨機誤差的判斷(1)隨機誤差x2檢驗(1)本題提到的“穩(wěn)定性”實際反映的是隨機誤差大小，檢修后試驗結果的樣本方差比正常情況下的方差顯著變大或變小，都認為儀器的穩(wěn)定性有了顯著變化，可用

x2

雙尾檢驗。授課內容由α=0.05,n=7,

查表，

,

可見落在區(qū)間(1.237,14.449)之外，所以儀器設備經(jīng)檢修后穩(wěn)定性有顯著變化。1

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理Page:5

2026/1/7s2=2.39285714285714(2)要判斷儀器檢修后穩(wěn)定性是否更好，只要檢驗檢修后的方差有顯著性減小即可，這是左尾檢驗問題。由α=0

.05,所以儀器

經(jīng)檢修后穩(wěn)定性比以前更好。Page:6

2026/1/7授課內容1

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理3.4隨機誤差的判斷(1)隨機誤差x2檢驗3.4隨機誤差的判斷(

1

)

隨

機

誤

差F

檢

驗F檢驗適用于兩組具有正態(tài)分布的試驗數(shù)據(jù)之間的精密度的比較。設有兩組試驗數(shù)據(jù)x?,X?,

…

,,y?,

…,Yn?,兩組數(shù)都服從正態(tài)分布，樣本方差分別為s2和

,

則

對于給定的顯著性水平α,將所計算的F

值與臨界值比較，即可得出檢驗結論。授課內容1

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理Page:7

2026/1/73.4隨機誤差的判斷(1)F

檢驗雙尾檢驗時，,表示σ2與σ2

無顯著差異，否則有顯著差異。單尾檢驗時，若F<1,且F

>F?-α(n?-1,n?-1),

則判斷無顯著減少，否則有顯著減少，此為左尾檢驗；若F<1,

且F<Fa(n?-1,n?-1),

則判斷σ{2與

無顯著增大，否則有顯著增大，此為右尾檢驗。授課內容1

授課內容第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理Page:8

2026/1/73.4隨機誤差的判斷(1)隨機誤差F

檢驗【例3.6】用新、舊儀器設備測定某材料的彈性模量

(GPa),測定結果如下。新：37.90,39.35,40.20,42.15,38.25,37.95,40.35,41.80,38.90,39.60舊：39.15,36.60,36.80,38.55,39.50,40.25,39.25,43.50,39.75,41.25,37.20試問：

(1)新舊儀器設備的精密度是否有顯著差異?

(2)新儀器設備的精密度是否有顯著提高?

(a=0.05)授課內容1

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理Page:9

2026/1/73.4隨機誤差的判斷(1)隨機誤差F

檢驗(1)依題意，新儀器設備測得的數(shù)據(jù)方差可能大、也可能小，所以采用F

雙

尾檢驗。根據(jù)試驗值計算出兩組數(shù)據(jù)的方差及F值：由顯著性水平α=0.05,查F

分布表得Fo.975(9,10)=0.252,Fo.25(9,10)=3.779,所以Fo.975(9,10)<F<Fo25(9,10),兩組數(shù)據(jù)的方差沒有顯著性差異，

即新舊儀器設備的精密度是一致的。Page:10

2026/1/7授課內容1

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理3.4隨機誤差的判斷(1)隨機誤差F

檢驗(2)依題意，要判斷新儀器設備是否比舊儀器設備測得的精密度更高，只要檢驗新儀器設備比舊儀器設備測得數(shù)據(jù)的方差有顯著性減小即可，這是F

單尾(左尾)檢驗。由α=0.05,查F分布表得Fo.975(9,10)=0.319,

所

以F>Fo.975(9,10),

說明

新儀器設備比舊儀器設備測得數(shù)據(jù)的方差沒有顯著性減小，即新儀器設備的精密度沒有顯著提高。授課內容1

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理Page:11

2026/1/73.5系統(tǒng)誤差的檢驗在相同條件下的多次重復試驗不能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，只有改變形成誤差的條件，才能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。對系統(tǒng)結果必須進行檢驗，以便能及時減小或消除系統(tǒng)誤差，提高試驗結果的正確度。若試驗數(shù)據(jù)的平均值與真

值的差異較大，就認為試驗數(shù)據(jù)的正確度不高，

試驗數(shù)據(jù)與試驗方法的系統(tǒng)誤差較大，所以對試驗數(shù)據(jù)的平均值進行檢驗，實

際上是對系統(tǒng)誤差的檢驗。授課內容1

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理Page:12

2026/1/73.5系統(tǒng)誤差的檢驗平均值與給定值比較兩個平均值比較成對數(shù)據(jù)比較授課內容1

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理Page:13

2026/1/73.5系統(tǒng)誤差的檢驗(1)平均值與給定值比較如果有一組試驗數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，要檢驗這組數(shù)據(jù)的算術平均值是否與給定值

有顯著差異，則檢驗統(tǒng)計量

。S是n(n<30)個試驗數(shù)據(jù)的樣本標準差

,μ?是給定值(可以是真值、期望或標準值),根據(jù)給定的顯著性水平α,將計算的t值與臨界值比較，即可得到檢驗結論。雙尾檢驗時，若

則可判斷該組數(shù)據(jù)的平均值與給定值無顯著差異，否則就有顯著差異。左尾檢驗時，若t<0,

且t>-t。(n-1)

或

|

1<ta(n-1)

,則判斷該組數(shù)據(jù)的平均值與給定值無顯著減小，否則有顯著減小。右尾檢驗時，若t>0,且t<ta(n-1),則判斷該組數(shù)據(jù)的平均值與給定值無顯著增大，否則有顯著增大。授課內容1授課內容第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理3.5系統(tǒng)誤差的檢驗(1)平均值與給定值比較【例3.7】為了判斷某種新型快速水分測定儀的可靠性，用該儀器測定了某試劑含水量為7.5%的標準樣品，5次測量結果(%)為：7.6,7.8,8.5,8.3,8.7。對于給定的顯

著性水平α=0.05,試檢驗：(1)該儀器的測量結果是否存在顯著的系統(tǒng)誤差?(2)該

儀器的測量結果較標準值是否顯著偏大?本例屬于平均值與標準值之間的比較，(1)屬于雙尾檢驗，(2)屬于單尾檢驗。根據(jù)題意有根據(jù)α=0.05,查附表1得：to.025(4)=2.776,to.05(4)=2.132因t>

to.025(4),所以新儀器的測量結果

有顯著系統(tǒng)性誤差；因t>to.o5(4),

所以新儀器的測量結果

較標準值有明顯偏大。授課內容1

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理Page:15

2026/1/7x=8.2,

s=0.471

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理3.5系統(tǒng)誤差的檢驗(2)兩平均值比較設有兩組試驗數(shù)據(jù)：x,X?…,xn與y,Y?…,yn?兩組數(shù)據(jù)都服從正態(tài)分布，根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的方差是否存在顯著差異，分以下兩種情況進行分析。如果兩組數(shù)據(jù)的方差無顯著差異時，則統(tǒng)計量標準差，其計算公式為如果兩組數(shù)據(jù)的精密度或方差有顯著差異時，則統(tǒng)計量授課內容Page:16

2026/1/73.5系統(tǒng)誤差的檢驗(2)兩平均值比較根據(jù)給定的顯著性水平α,將計算的t值與臨界值比較，即可得到檢驗結論。雙尾檢驗時，若

,則可判斷兩平均值無顯著差異，否則就有顯著差異。單尾檢驗時(左尾檢驗),

若

<

0

,

且

t>-ta(df),則判斷平均值1與平均值2無顯著減小，否則有顯著減小。單尾檢驗時(

右尾檢驗),若D>0,且

t<t。(df)

,則判斷平均值1與平均值2無顯著增大，否則有顯著增大。授課內容1

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理Page:17

2026/1/73.5系統(tǒng)誤差的檢驗(2)兩平均值比較【例3.8】硅酸鹽水泥砂漿配方的抗折強度試驗。某工程師比較改良配方砂漿與未改良配方砂漿的抗折強度(又稱粘合強度),改良的砂漿配方是在水泥砂漿的原配方中加進了聚合乳膠液。試驗者收集了改良配方砂漿強度的10個觀察值和未改良配方砂漿強度的10個觀察值。改良砂漿：165.2,160.8,168.8,160.3,162.0,167.1,166.3,168.2,162.37,162.5未改良砂漿：171.6,172.9,179.0,176.5,175.1,174.1,178.7,175.5,176.1,178.0假設兩種砂漿配方的抗折強度的方差是相同的，對于給定的顯著性水平α=0.05,試檢驗：改良砂漿與未改良砂漿強度是否存在系統(tǒng)誤差?授課內容1

授課內容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理授課內容1

授

課

內

容

第三章：試驗數(shù)據(jù)誤差及處理3.5系統(tǒng)誤差的檢驗(2)兩平均值比較根據(jù)試驗數(shù)據(jù)計算得x=164.36,

,y=175.75,Page:19

2026/1/7說明改良砂漿與未改良砂漿強度存,to.025(18)=2.1009在系統(tǒng)誤差。而3.5系統(tǒng)誤差的檢驗(3)成對數(shù)據(jù)比較在某些試驗中，試驗數(shù)據(jù)是成對出現(xiàn)的，除了被比較的因素之外，其他條件是相同的。例如，用兩種分析方法或用兩種儀器測定同一來源的樣品，或兩分析人員用同樣的方法測定同一來源的樣品，以判斷兩種方法、兩種儀器或兩分析人員的測定結果之間是否存在系統(tǒng)誤差。成對數(shù)據(jù)的比較，是把成對數(shù)據(jù)之差的總體平均值與零或其它指定值進行比較，采用的統(tǒng)計量為

,d?

可取零或給定值，d

是成對測定值之差的算術平均值