數(shù)理統(tǒng)計自考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)服從的分布是（）A.\(N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)B.\(N(\mu,\sigma^{2})\)C.\(N(n\mu,\sigma^{2})\)D.\(N(n\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)2.設(shè)\(X_1,X_2,X_3\)是來自總體\(X\)的樣本，以下哪個是總體均值\(\mu\)的無偏估計（）A.\(\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{3}X_2+\frac{1}{6}X_3\)B.\(\frac{1}{3}X_1+\frac{1}{3}X_2+\frac{1}{3}X_3\)C.\(\frac{1}{4}X_1+\frac{1}{2}X_2+\frac{1}{4}X_3\)D.以上都是3.設(shè)總體\(X\)的概率密度為\(f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x\gt0\\0,x\leq0\end{cases}\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則\(\theta\)的極大似然估計量為（）A.\(\overline{X}\)B.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)C.\(2\overline{X}\)D.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)4.在假設(shè)檢驗中，原假設(shè)\(H_0\)和備擇假設(shè)\(H_1\)（）A.都有可能成立B.都有可能不成立C.只有一個成立而且必有一個成立D.原假設(shè)一定成立，備擇假設(shè)不一定成立5.設(shè)\(X\)和\(Y\)相互獨立，\(X\sim\chi^{2}(n_1)\)，\(Y\sim\chi^{2}(n_2)\)，則\(Z=X+Y\)服從的分布是（）A.\(\chi^{2}(n_1+n_2)\)B.\(\chi^{2}(n_1-n_2)\)C.\(t(n_1+n_2)\)D.\(F(n_1,n_2)\)6.樣本方差\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)的自由度是（）A.\(n\)B.\(n-1\)C.\(n+1\)D.\(2n\)7.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(\sigma^{2}\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，檢驗假設(shè)\(H_0:\mu=\mu_0\)，\(H_1:\mu\neq\mu_0\)，則采用的檢驗統(tǒng)計量是（）A.\(Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)B.\(t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\)C.\(\chi^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)D.\(F=\frac{S_1^{2}}{S_2^{2}}\)8.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，總體\(X\)的期望\(E(X)=\mu\)，方差\(D(X)=\sigma^{2}\)，則\(E(\overline{X})=\)（）A.\(\mu\)B.\(\frac{\mu}{n}\)C.\(\mu^{2}\)D.\(\frac{\sigma^{2}}{n}\)9.若總體\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布\(P(\lambda)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則\(\lambda\)的矩估計量為（）A.\(\overline{X}\)B.\(S^{2}\)C.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)D.\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)10.在一元線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X+\varepsilon\)中，\(\varepsilon\simN(0,\sigma^{2})\)，要檢驗假設(shè)\(H_0:\beta_1=0\)，\(H_1:\beta_1\neq0\)，通常采用的檢驗方法是（）A.\(Z\)檢驗B.\(t\)檢驗C.\(\chi^{2}\)檢驗D.\(F\)檢驗答案：1.A2.B3.A4.C5.A6.B7.A8.A9.A10.B二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是統(tǒng)計量（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)B.\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)C.\(\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)（\(\mu,\sigma\)未知）2.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，以下關(guān)于樣本均值\(\overline{X}\)和樣本方差\(S^{2}\)的說法正確的是（）A.\(\overline{X}\)與\(S^{2}\)相互獨立B.\(E(\overline{X})=\mu\)C.\(D(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}\)D.\(E(S^{2})=\sigma^{2}\)3.常用的點估計方法有（）A.矩估計法B.極大似然估計法C.最小二乘法D.順序統(tǒng)計量法4.在假設(shè)檢驗中，可能犯的錯誤有（）A.第一類錯誤（棄真錯誤）B.第二類錯誤（取偽錯誤）C.第三類錯誤D.第四類錯誤5.設(shè)\(X\simt(n)\)，則（）A.\(X\)的概率密度函數(shù)關(guān)于\(y\)軸對稱B.\(E(X)=0\)C.\(D(X)=\frac{n}{n-2}(n\gt2)\)D.當(dāng)\(n\)很大時，\(X\)近似服從標準正態(tài)分布\(N(0,1)\)6.以下哪些分布是連續(xù)型分布（）A.正態(tài)分布B.\(\chi^{2}\)分布C.\(t\)分布D.\(F\)分布7.設(shè)總體\(X\)的分布函數(shù)\(F(x;\theta)\)含有未知參數(shù)\(\theta\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的一個估計量，若滿足（），則\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的無偏估計量。A.\(E(\hat{\theta})=\theta\)B.\(D(\hat{\theta})=\theta\)C.\(\lim_{n\rightarrow\infty}E(\hat{\theta})=\theta\)D.\(\hat{\theta}\)是樣本的函數(shù)8.在方差分析中，涉及的平方和有（）A.總平方和\(S_T\)B.組間平方和\(S_A\)C.組內(nèi)平方和\(S_E\)D.誤差平方和\(S_{err}\)9.對于一元線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X+\varepsilon\)，以下說法正確的是（）A.\(\beta_0,\beta_1\)是回歸系數(shù)B.\(\varepsilon\)是隨機誤差C.回歸直線\(\hat{y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x\)過點\((\overline{x},\overline{y})\)D.可以用相關(guān)系數(shù)\(r\)衡量\(X\)與\(Y\)之間線性關(guān)系的密切程度10.設(shè)總體\(X\)的概率密度為\(f(x;\theta)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，求\(\theta\)的極大似然估計量的步驟包括（）A.寫出似然函數(shù)\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(X_i;\theta)\)B.對\(L(\theta)\)取對數(shù)得\(\lnL(\theta)\)C.求\(\frac{d\lnL(\theta)}{d\theta}=0\)的解D.驗證解是否為極大值點答案：1.ABC2.ABCD3.AB4.AB5.BCD6.ABCD7.A8.ABC9.ABCD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無偏估計量。（）2.若\(X\simN(0,1)\)，\(Y\sim\chi^{2}(n)\)，且\(X\)與\(Y\)相互獨立，則\(\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\simt(n)\)。（）3.在假設(shè)檢驗中，顯著性水平\(\alpha\)就是犯第一類錯誤的概率。（）4.總體方差\(\sigma^{2}\)的無偏估計量是樣本方差\(S^{2}\)。（）5.極大似然估計一定是無偏估計。（）6.若\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則\(\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2=\sum_{i=1}^{n}X_i^2-n\overline{X}^2\)。（）7.對于給定的樣本觀測值，參數(shù)的置信區(qū)間是唯一的。（）8.在方差分析中，若組間平方和\(S_A\)較大，則說明因素對試驗結(jié)果有顯著影響。（）9.相關(guān)系數(shù)\(r\)的取值范圍是\([0,1]\)。（）10.設(shè)總體\(X\)服從均勻分布\(U(a,b)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則\(a\)和\(b\)的矩估計量分別為\(\overline{X}-\sqrt{3}S\)和\(\overline{X}+\sqrt{3}S\)。（）答案：1.√2.√3.√4.√5.×6.√7.×8.√9.×10.√四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述矩估計法的基本思想。答案：用樣本矩來估計總體矩。因為樣本矩是樣本的函數(shù)，容易計算。根據(jù)大數(shù)定律，當(dāng)樣本容量足夠大時，樣本矩依概率收斂于總體矩，通過建立總體矩與未知參數(shù)的關(guān)系，用樣本矩替換總體矩求解未知參數(shù)的估計值。2.什么是無偏估計量？并舉例說明。答案：設(shè)\(\hat{\theta}\)是未知參數(shù)\(\theta\)的一個估計量，若\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的無偏估計量。例如樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無偏估計量，因為\(E(\overline{X})=\mu\)。3.簡述假設(shè)檢驗的一般步驟。答案：①提出原假設(shè)\(H_0\)和備擇假設(shè)\(H_1\)；②選擇合適的檢驗統(tǒng)計量；③確定顯著性水平\(\alpha\)，并根據(jù)檢驗統(tǒng)計量的分布確定拒絕域；④根據(jù)樣本觀測值計算檢驗統(tǒng)計量的值；⑤將計算值與拒絕域比較，作出拒絕或接受\(H_0\)的決策。4.簡述一元線性回歸模型的基本形式及各部分含義。答案：基本形式為\(Y=\beta_0+\beta_1X+\varepsilon\)。其中\(zhòng)(Y\)是因變量，\(X\)是自變量，\(\beta_0\)是回歸常數(shù)，\(\beta_1\)是回歸系數(shù)，\(\varepsilon\)是隨機誤差，服從\(N(0,\sigma^{2})\)，表示除\(X\)對\(Y\)的線性影響外的其他隨機因素。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論在實際應(yīng)用中，如何選擇合適的點估計方法。答案：矩估計法計算簡便，對總體分布形式要求